LEZIONE 5: CALCOLO COMBINATORIO · 2012. 10. 31. · Giacomo Tommei Calcolo combinatorio....
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LEZIONE 5: CALCOLOCOMBINATORIO
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: Martedi 16 - 18Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126
31 Ottobre 2012
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Cos’e il calcolo combinatorio?
Il calcolo combinatorio e uno strumento che ci permette dicontare i modi nei quali raggruppiamo, secondo opportuneregole, elementi di un insieme finito.
Esempi
In quanti modi posso combinare 6 canzoni in gruppi di 4? E se lecanzoni fossero 10? Oppure 20?
Ad una corsa partecipano 15 persone. Quanti possibili podipossono verificarsi? Quanti sono gli ordini di arrivo possibili?
Quanti sono i possibili pin di un bancomat formati da 5 cifre?
Ho un gruppo di 7 persone e ne devo scegliere 3. In quanti modiposso farlo?
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Disposizioni senza ripetizione
EsercizioQuanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre2, 4, 6, 8, 9?
SoluzionePosso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e laterza in 3:
# {num. 3 cifre distinte} = 5 · 4 · 3 = 60
Quello che abbiamo fatto e stato disporre un insieme finito dielementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o ugualedel numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potesseroripetere.
Giacomo Tommei Calcolo combinatorio
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Disposizioni senza ripetizione
EsercizioQuanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre2, 4, 6, 8, 9?
SoluzionePosso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e laterza in 3:
# {num. 3 cifre distinte} = 5 · 4 · 3 = 60
Quello che abbiamo fatto e stato disporre un insieme finito dielementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o ugualedel numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potesseroripetere.
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Disposizioni senza ripetizione
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiamadisposizione semplice degli n elementi , presi k a k, o di classe k(k ≤ n), un gruppo ordinato di k degli n elementi dell’insieme.
Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, presi k a k,e uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti, deiquali il primo e n:
Dn,k = n (n− 1) (n− 2) . . . (n− k + 1)
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Disposizioni senza ripetizione
EsercizioQuanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte?
SoluzioneLe cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e ledisposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da:
D10,3 = 10 · 9 · 8 = 720
Tra queste pero figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifradelle centinaia e 0, che naturalmente non rappresentano un numero ditre cifre. Dalle disposizioni D10,3 dobbiamo quindi sottrarre
D9,2 = 9 · 8 = 72
che rappresenta la cardinalita dell’insieme dei numeri composti da duecifre distinte. La soluzione finale e quindi:
D10,3 −D9,2 = 720− 72 = 648
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Disposizioni senza ripetizione
EsercizioQuanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte?
SoluzioneLe cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e ledisposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da:
D10,3 = 10 · 9 · 8 = 720
Tra queste pero figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifradelle centinaia e 0, che naturalmente non rappresentano un numero ditre cifre. Dalle disposizioni D10,3 dobbiamo quindi sottrarre
D9,2 = 9 · 8 = 72
che rappresenta la cardinalita dell’insieme dei numeri composti da duecifre distinte. La soluzione finale e quindi:
D10,3 −D9,2 = 720− 72 = 648
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Disposizioni con ripetizione
EsercizioQuante sono le targhe di tre lettere formate usando l’insieme{A,B,C,D,E}?
SoluzioneDobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone adisposizione cinque e soprattutto, a differenza degli eserciziprecedenti, potendo ripetere la stessa lettera (e ammessa, ad esempio,la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la primalettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; ilnumero totale di targhe e allora dato da:
# {targhe} = 5 · 5 · 5 = 53 = 125
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Disposizioni con ripetizione
EsercizioQuante sono le targhe di tre lettere formate usando l’insieme{A,B,C,D,E}?
SoluzioneDobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone adisposizione cinque e soprattutto, a differenza degli eserciziprecedenti, potendo ripetere la stessa lettera (e ammessa, ad esempio,la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la primalettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; ilnumero totale di targhe e allora dato da:
# {targhe} = 5 · 5 · 5 = 53 = 125
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Disposizioni con ripetizione
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiamadisposizione con ripetizione degli n elementi , presi k a k, con kintero qualunque, un gruppo ordinato di k degli n elementi,considerando che uno stesso elemento possa figurare nel gruppo fino ak volte.
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi distinti, presik a k, e uguale alla potenza di base n ed esponente k:
Drn,k = nk
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Permutazioni
EsercizioTrova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola“zero”.
SoluzioneCon anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, adesempio un possibile anagramma di “zero” e “ezro”. Abbiamo adisposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti,naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato e
# {anagrammi} = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
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Permutazioni
EsercizioTrova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola“zero”.
SoluzioneCon anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, adesempio un possibile anagramma di “zero” e “ezro”. Abbiamo adisposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti,naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato e
# {anagrammi} = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
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Permutazioni
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiamapermutazione di n elementi una disposizione semplice degli nelementi, presi “n a n”.
In parole piu semplici, le permutazioni di n elementi distinti di uninsieme sono tutti i gruppi di n elementi formati con gli elementidell’insieme e che differiscono tra loro solo per l’ordine degli elementi.Il numero delle permutazioni di n elementi e dato da
Pn = Dn,n = n (n− 1) (n− 2) . . . 2 · 1 = n!
Attenzione: il simbolo ! indica il fattoriale del numero naturale n:n! e il prodotto dei primi n numeri naturali escluso lo zero. Se n = 1 on = 0 si pone per definizione 1! = 1 e 0! = 1.
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Combinazioni semplici
EsercizioIn Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha adisposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due percomporre la coppia per il doppio. In quanti modi puo scegliere?
SoluzioneRagioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona puoessere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; cosı facendo peroconsideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai finidel gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delledisposizioni semplici ottenute (4 · 3 = 12) per il numero delle coppieequivalenti dato da 2! = 2. Il risultato e quindi
4 · 32
= 6
e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementipresi a 2 a 2.
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Combinazioni semplici
EsercizioIn Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha adisposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due percomporre la coppia per il doppio. In quanti modi puo scegliere?
SoluzioneRagioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona puoessere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; cosı facendo peroconsideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai finidel gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delledisposizioni semplici ottenute (4 · 3 = 12) per il numero delle coppieequivalenti dato da 2! = 2. Il risultato e quindi
4 · 32
= 6
e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementipresi a 2 a 2.
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Combinazioni semplici
Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiamacombinazione semplice degli n elementi, presi k a k, o di classe k(k ≤ n), un qualunque gruppo di k degli n elementi dell’insieme.
Il numero di combinazioni semplici di n elementi, presi k a k, e datoda
Cn,k =Dn,k
k!=
n (n− 1) (n− 2) . . . (n− k + 1)
k!=
(nk
)
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Coefficiente binomiale
Proprieta (nk
)=
n!
k! (n− k)!
Dalla convenzione 0! = 1 si ha(n0
)= 1 e
(nn
)= 1
(nk
)=
(n
n− k
)Formula di Stifel(
nk
)+
(n
k + 1
)=
(n + 1k + 1
)Proprieta di ricorrenza(
nk + 1
)=
(nk
)n− k
k + 1
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La formula del binomio di Newton
Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y)6.
SoluzioneE possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di(x + y)6 e:
(x + y)6 = x6 + 6x5 y + 15x4 y2 + 20x3 y3 + 15x2 y4 + 6x y5 + y6
utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal).
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La formula del binomio di Newton
Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y)6.
SoluzioneE possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di(x + y)6 e:
(x + y)6 = x6 + 6x5 y + 15x4 y2 + 20x3 y3 + 15x2 y4 + 6x y5 + y6
utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal).
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Il triangolo di Tartaglia
1
1 1
21 1
3 31 1
4 461 1
10 10 551 1
6 615 15 11 20
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
Triangolo di Tartaglia rappresentato fino a n = 6, naturalmente eestendibile a qualsiasi n ∈ N.
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Il triangolo di Tartaglia
Come costruire il triangolo di Tartaglia
2
1 1
1 1
1
331 1
+
+ +
4 6 4 11
+ + +
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Sviluppo di binomi
Qualunque siano i due numeri x e y e il numero naturale n si ha:
(x + y)n =
n∑k=0
(nk
)xn−k yk =
(n0
)xn +
(n1
)xn−1 y +
(n2
)xn−2 y2 + . . .
. . . +
(n
n− 2
)x2 yn−2 +
(n
n− 1
)x yn−1 +
(nn
)yn
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