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LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREProf. Pier Paolo RossiUniversità degli Studi di Catania
Instabilità locale
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Instabilità localeIntroduzione
3
Instabilità localeIntroduzione
Le parti interessate sono quelle compresse della sezione trasversale dell’elemento
4
comportamento elastico
5
Carico critico elasticoTensioni normali
La deformata della lastra soggetta ad instabilità è espressa tramite la doppia serie di Fourier :
6
mn
m 1 n 1
m nx yw x ,y A sin sina b
dove :w spostamento fuori pianom, n numero di semionde sinusoidali
nelle direzioni longitudinali e trasversali Amn coefficienti incogniti rappresentanti spostamenti generalizzati
a
bx
Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione xcostante sui due lati opposti
Carico critico elasticoTensioni normali
La tensione critica della lastra è :
7
22 2
cr 2
nm +m
D b at b a b
a
bx
Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione xcostante sui due lati opposti
dove :
t spessore della lastraD rigidezza flessionale della lastra
3
212 1Et
Carico critico elasticoTensioni normali
8
2
cr 2212 1E
kb t
a
bx
Il valore minimo del carico critico della lastra si ha per n=1, ovvero quando trasversalmente si ha una sola semionda sinusoidale :
dove :
21
mm
b ak
a b
Carico critico elasticoEsempio di lastra appoggiata sui bordi
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Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1 Fx=1
1° carico critico 2° carico critico 3° carico critico
cr,1=723.12 cr,2=1130.05 cr,3=2009.74
(m=1) (m=2) (m=3)
1 m
1 m 1 m 1 m
(spessore= 1cm) (spessore= 1cm) (spessore= 1cm)
(E=200000 Mpa) (E=200000 Mpa) (E=200000 Mpa)
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
12 3 4 5
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
10
Ⱶ Il valore piu` basso del carico critico si ottiene per un rapporto d`aspetto pari ad un numero intero.
21
mm
b ak
a b
a
bxm =
σ,min 4k
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
12 3 4 5
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
11
Ⱶ La dimensione delle semionde è comparabile con la dimensione trasversale della sezione
a
bxm =
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
12
k=k,min
a=b
bx
a=2b
bx
b
a=3b
x
k=k,min
k=k,min
Ⱶ Le lastre, pur se caratterizzate da un rapporto d’aspetto pari ad un diverso numero intero, hanno lo stesso carico critico
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
13
k=k,min
a=b
bx
a=2b
bx
b
a=3b
x
k=k,min
k=k,min
Ⱶ In lastre con rapporto d’aspetto pari ad un numero intero, l’uso di irrigidimenti trasversali con spaziatura equale alla larghezza della lastra non muta il valore del carico critico
irrigidimenti trasversali
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
12 3 4 5
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata sui bordi
14
Ⱶ L’uso di irrigidimenti trasversali è efficace solo se la loro spaziatura è minore della larghezza della lastra
a
bxm =
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
k
a/b
Carico critico elasticoLastra appoggiata su 3 bordi
15
Ⱶ La modifica dei vincoli cambia la dipendenza del fattore di stabilità dal rapporto d’aspetto della lastra
a
bx
σ,min 0 425k .
Carico critico elasticoTensioni tangenziali
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cr ek
dove
2
e 2212 1Eb t
La tensione tangenziale critica della lastra è :
a
bSia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da tensioni tangenziali costanti sui lati
Carico critico elasticoValutazione con metodi numerici
Con l’eccezione dei pochi casi per cui esiste una soluzione analitica, il carico di instabilità locale delle lastre è usualmente valutato mediante metodi numerici.
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Il metodo più utilizzato è quello di Rayleigh‐Ritz, basato sulle variazioni dell’energia di deformazione elastica della lastra Up e del lavoro interno Wint.
Lo stato critico corrisponde all’equilibrio indifferente e dunque alla relazione :
2 22 2 2 2 2
p 2 2 2 20 0
2 1 d d2
a bD w w w w wU x y
x y x y x y
p int 0U Wdove :
2 22 2
p x y2 20 0
2 d d2
a bt w w w wW x y
x y x y
Carico critico elasticoIl fattore di stabilità
Il fattore di stabilita` dipende da :
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Ⱶ Condizioni di vincolo
Ⱶ Tipo di tensioni (normali o tangenziali)
Ⱶ Condizioni di carico (compressione uniforme, flessione o presso flessione)
Carico critico elasticoIl fattore di stabilità secondo Eurocodice
L’Eurocodice 3 (parte 1‐5) fornisce i fattori di stabilità per alcune distribuzioni di tensioni normali e tangenziali su pannelli rettangolari interni o esterni, irrigiditi o non irrigiditi.
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Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni non irrigiditi
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=2/1 1<≤0 0<≤‐1 ‐1<≤‐3
k 8.2/(1.05+) 7.81 ‐ 6.29 5.98(1‐)2
k
b
1
2>0
1
2a
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (Tab. 4.1)
Tensioni normali
4.07.81
23.9
Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli esterni non irrigiditi
21
=2/1 1 0 ‐1<≥‐3
k 0.43 0.57 0.57‐0.21 2
1
2>0
1
2
1
2<0
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=2/1 1 1>≥0 0>≥‐1
k 0.43 0.578/(0.34+) 0.57‐0.21 2
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (Tab. 4.2)
Tensioni normali
Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni non irrigiditi
Tensioni tangenziali
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a
b
=a/b ≥1 <1
k 5.34 + 4.0/² 4.0 + 5.34/²
k
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (annesso A.3)
9.34
Carico critico elasticoIl fattore di stabilità di pannelli interni irrigiditi
Tensioni normali
23
b
1
2=1≥ 0.5 1
1
2
≤
> a ≥ 0.5 b
2
,p 2
2 1 11 1
k
,p
4 11 1
k
sl pI I sl pA A
dove :
Ap = b t
Asl somma delle aree degli irrigidimentiIsl momento d’inerzia dell’intero piatto irrigidito
Ip momento d’inerzia del piatto 3
212 1bt
tratto da: Eurocodice 3-1-5 (annesso A.1)
Carico critico elasticoLastre irrigidite
L’instabilità di lastre irrigidite può essere valutata con il metodo numerico di Rayleigh‐Ritz aggiungendo i contributi degli irrigidimenti all’energia di deformazione elastica e al lavoro interno :
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2 22 2nx nx
sxi sxist 2
i 1 i 10 0y=yi y=yi
d d2 2
a aEI w GJ wU x x
x x y
2nx
sxisx xi
i 1 0 y=yi
d2
aA wW x
x
dove :
Asx area trasversale dell’irrigidimentoIsx momento d’inerzia dell’irrigidimentoJsx costante torsionale dell’irrigidimento
Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
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b=2.0 m
1=10 MPa 1
22=5 MPa a =3.0 m
spessore lastra e irrigidimenti = 10 mmaltezza irrigidimenti = 150 mm
cr,1=38.193
(E=200000 MPa)
Valutazione numerica del moltiplicatore critico
Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
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x=10 MPa x x x x x
1° carico critico 2° carico critico 3° carico critico
cr,1=38.193 cr,2=38.427 cr,3=40.781
2 m
3 m 3 m 3 m
Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
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Valutazione della tensione critica secondo Eurocodice 3
p 200 1 200 cm²A
3 3
4p 2 2
200 118 31 cm
12 1 12 1 0 3b s
I ..
Lastra
Irrigidimento sl 15 1 15 cm²A
sl 3 15 45 cm²A
sl p 45 200 0 225A A .
4sl 3211 44 cmI .
sl p 3211 44 18 31 175 39I I . . .
Momento d’inerzia del pannello non irrigidito
Momento d’inerzia del pannello irrigidito
Carico critico elasticoEsempio di lastra interna irrigidita
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Valutazione della tensione critica secondo Eurocodice 3
4300 200 1 5 3 64a b . .
2 1 5 10 0 5.
2 2
,p 2 2
2 1 1 2 1 1 5 175 39 189 47
1 1 1 5 0 5 1 0 225 1. .
k .. . .
22
e 22
1189800 4 75MPa20012 1
E .b t
cr,p σ,p e 89 47 4 75 424 98MPak . . .
Carico critico elasticoCondizioni di carico combinate
Lo stato critico per un carico combinato x,Ed, z,Ed, Ed è raggiunto quando le tensioni raggiungono i seguenti valori :
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cr,x cr x,Ed
dove : cr moltiplicatore dei carichi corrispondenti al carico critico
cr,z cr z,Ed cr cr Ed
In alternativa, il moltiplicatore critico può essere valutato come :
2
x z x z x z2 2 2
cr cr,x cr,z cr,x cr,z cr,x cr,z cr,
1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 2 2
cr,x cr,x x,Eddove : cr,z cr,z z,Ed cr, cr Ed
x rapporto di tensione normale in direzione longitudinale
z rapporto di tensione normale in direzione trasversale
Carico critico elasticoAssemblaggi di lastre
L’instabilità di insiemi di lastre può essere valutata assumendo che le lastre siano incernierate lungo i bordi comuni (ovvero siano semplicemente appoggiate lungo i bordi connessi e libere lungo i bordi non connessi)
30
FINE
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