Lezione 1 Elettrostatica - unina.it · Matrice p: matrice dei nodi della mesh [2*Np] (Np è il...
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Matlab Pdetool
Lezione 1Elettrostatica
Ing Flavio Calvano
bull Richiami sul metodo degli elementi finitibull Pdetool in modalitagrave GUIbull Pdetool su linee di comandobull Calcolo Capacitagrave in elettrostatica
Argomenti trattati
Formulazione Classica
Le soluzioni sono funzioni di classe C2(Ω)
0 in Ω E - u0 in Ω
in Ω
ED
D Eε
nablatimes = rArr = nabla nabla sdot = =
Elettrostatica in un mezzo omogeneo
Moltiplichiamo lrsquoequazione di Laplace per unrsquoarbitraria funzione test wand integriamo su Ω
Formulazione Debole
e la formula di Green
Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale
Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale
rArr
rArr
Metodo di Galerkin
Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio
Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk
NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema
Funzioni di Forma 1D
Xh-1 Xh Xh+1
Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Funzioni lineari a tratti
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
bull Richiami sul metodo degli elementi finitibull Pdetool in modalitagrave GUIbull Pdetool su linee di comandobull Calcolo Capacitagrave in elettrostatica
Argomenti trattati
Formulazione Classica
Le soluzioni sono funzioni di classe C2(Ω)
0 in Ω E - u0 in Ω
in Ω
ED
D Eε
nablatimes = rArr = nabla nabla sdot = =
Elettrostatica in un mezzo omogeneo
Moltiplichiamo lrsquoequazione di Laplace per unrsquoarbitraria funzione test wand integriamo su Ω
Formulazione Debole
e la formula di Green
Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale
Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale
rArr
rArr
Metodo di Galerkin
Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio
Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk
NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema
Funzioni di Forma 1D
Xh-1 Xh Xh+1
Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Funzioni lineari a tratti
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Formulazione Classica
Le soluzioni sono funzioni di classe C2(Ω)
0 in Ω E - u0 in Ω
in Ω
ED
D Eε
nablatimes = rArr = nabla nabla sdot = =
Elettrostatica in un mezzo omogeneo
Moltiplichiamo lrsquoequazione di Laplace per unrsquoarbitraria funzione test wand integriamo su Ω
Formulazione Debole
e la formula di Green
Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale
Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale
rArr
rArr
Metodo di Galerkin
Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio
Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk
NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema
Funzioni di Forma 1D
Xh-1 Xh Xh+1
Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Funzioni lineari a tratti
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Formulazione Debole
e la formula di Green
Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale
Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale
rArr
rArr
Metodo di Galerkin
Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio
Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk
NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema
Funzioni di Forma 1D
Xh-1 Xh Xh+1
Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Funzioni lineari a tratti
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Metodo di Galerkin
Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio
Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk
NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema
Funzioni di Forma 1D
Xh-1 Xh Xh+1
Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Funzioni lineari a tratti
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Funzioni di Forma 1D
Xh-1 Xh Xh+1
Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti
H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili
Funzioni lineari a tratti
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Funzioni lineari a tratti
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Funzioni di Forma 1D
leleminusminus
leleminusminus
= ++
+
minusminus
minus
altrove0
xxxperxxxx
xxxperxxxx
)x(w 1hhh1h
1h
h1h1hh
1h
h
Per valutare gli integrali dxdx
dwdx
dwl k
lh
hk int=0
=∆
+=minus=∆
minus
=
altrove0
per2
11per1
khx
hkehkx
lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito
Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare
1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Discretizzazione del dominio in elementi triangolari
)()()()( )( rh
rh
rh
rh cybxayxw ++=
)(2
1)(ji
r
rh yy
Aa minus= )(
21)(
ijr
rh xx
Ab minus= )(
21)(
ijjir
rh yxyx
Ac minus=
Ar =12
xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]
ybxayxw rk
rk
rk ˆˆ)( )()()( +=nabla
Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva
Funzioni di Forma 2D
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Definizione del problema fisico
Definizione della geometria
Condizioni alcontorno
Discretizzazionedel dominio
Assemblaggio matrici e soluzionedel problema
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Matlab pdetool modalitagrave GUI
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Disegno geometria
Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Condizioni al contorno
Passiamo in boundary mode
Fissiamo le condizioni al contorno
R1-E1-E2
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Condizioni di Dirichlethmiddotu=r
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Equazione differenziale risolvente
-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f
pde mode Elliptic equation
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Mesh a elementi finitiInitialize mesh
Refine mesh
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Equazioni alle derivate parziali
Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche
Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche
Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Post processingSelezione dei plot
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
PotentialeContour Plot
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Campo ElettricoArrow plot
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Utilizzo di pdetool da linea di comando
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Definire la geometria
pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)
pdecirc(xcycr R2lsquo)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)
dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Esportare le informazioni geometriche
Geometria
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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- Diapositiva numero 22
- Geometria
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- Mesh
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- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
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- Risultati
-
Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)
pdesetbd(4dir11V)
Dirichlethmiddotu=r
Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g
Esportare le condizioni al contorno
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
V=num2str(10)
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
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end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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- Geometria
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- Mesh
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- Esercitazione 1
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- Costruzione geometria
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- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
pdeplot(pet) Plot della mesh
Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
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τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
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Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
- Formulazione Classica
- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
- Funzioni di Forma 1D
- Funzioni lineari a tratti
- Funzioni di Forma 1D
- Diapositiva numero 9
- Diapositiva numero 10
- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
- Condizioni al contorno
- Condizioni di Dirichlet
- Condizioni di Neumann
- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Assemblaggio matrici e soluzione
u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve
bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando
-div(cgrad(u))+au=f
h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)
pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando
[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
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0
0005
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Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
- Matlab Pdetool
- Argomenti trattati
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- Metodo di Galerkin
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- Funzioni lineari a tratti
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- Disegno geometria
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- Equazione differenziale risolvente
- Mesh a elementi finiti
- Equazioni alle derivate parziali
- Post processing
- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Esercitazione 1
Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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- Matlab pdetool modalitagrave GUI
- Disegno geometria
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- Condizioni di Dirichlet
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- Equazioni alle derivate parziali
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- Potentiale
- Campo Elettrico
- Diapositiva numero 22
- Geometria
- Condizioni al contorno
- Mesh
- Assemblaggio matrici e soluzione
- Esercitazione 1
- Definizione del problema 2d
- Costruzione geometria
- Condizioni al contorno
- Definizione mesh
- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Definizione del problema 2d
=partpart
=
=
=nabla
0
0
100
inf
2
2
1
nu
u
uu
l
l
u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico
dArr
Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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Costruzione geometria
xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)
set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)
Piano ρ-z
pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))
Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
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Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
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Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito
Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
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001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
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-
Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)
[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
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Energia=0for n=1Nt
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cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
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Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
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0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
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0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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- Diapositiva numero 10
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- Geometria
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- Assemblaggio matrici e soluzione
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- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
- Campo Elettrico
- Risultati
-
Calcolo soluzione
Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang
coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))
u = assempde(blpetx00)
c a f
Energia immagazzinata da un condensatore
22222 E21E)dA(
21dE
dA
21VC
21Energia ετ=ε=
εrArr∆=
τε= intreal
d)zyx(E21Energia
3
2
Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
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cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
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Campo Elettrico
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Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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- Formulazione Debole
- Metodo di Galerkin
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- Diapositiva numero 10
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εrArr∆=
τε= intreal
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3
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[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
0005
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0015
002
0025
Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
-001
-0005
0
0005
001
0015
Campo Elettrico
Risultati
cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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- Esercitazione 1
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- Calcolo soluzione
- Energia immagazzinata da un condensatore
- Calcolo capacitagrave con energia del sistema
- Plot soluzione-Potenziale u
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Calcolo capacitagrave con energia del sistema
Nt=size(t2) Numero dei triangoli
eps=epsr885e-12
calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z
[URUZ]=pdegrad(ptu)
coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))
area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo
Energia=0for n=1Nt
E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi
end
cnumerico=2Energiav^2
cteorico=epspi((xmax)^2)dh
Plot soluzione-Potenziale u
figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)
Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
-0015
-001
-0005
0
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002
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Campo Elettrico
0095 01 0105 011 0115 012
-0015
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0005
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0015
Campo Elettrico
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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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Campo Elettrico
figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)
Oppure semplicemente con il comando
pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)
Ma esso non consente lrsquoopzione scale
002 004 006 008 01 012-0025
-002
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Campo Elettrico
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Campo Elettrico
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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F
R=10 cmD=29 mm
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Campo Elettrico
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R=10 cmD=29 mm
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