Lez.16 Il metodo simbolico - elettrotecnica.unina.it AA 2017-2018 Il... · Università di Napoli...
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Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 16 Pagina 1
Lez.16 Il metodo simbolico
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Regime sinusoidale
Stato di funzionamento di un circuito in cui tutte le tensioni e tutte le
correnti variano nel tempo con legge sinusoidale a pulsazione fissata ,
indipendentemente dallo stato iniziale energetico del circuito.
Il regime sinusoidale a pulsazione si raggiunge quando la rete è eccitata
da uno o più generatori indipendenti sinusoidali a pulsazione e la rete è
lineare, tempoinvariante, stabile (con frequenze naturali a parte reale
negativa).
E’ il caso di reti lineari passive in cui l’energia inizialmente immagazzinata
nel circuito viene totalmente dissipata e l’unica energia in gioco rimane
quella continuamente erogata dai generatori.
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Funzioni sinusoidali
Una funzione sinusoidale nel tempo è esprimibile come:
𝑎(𝑡) = 𝐴𝑀sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
AM è l’ampiezza (valore massimo) della funzione
è la pulsazione angolare [rad/s]
è la fase iniziale [rad].
E’ una funzione periodica di periodo T e frequenza f: 𝑇 =2𝜋
𝜔=
1
𝑓
T AM
a(t)
t 𝑡0 =
𝛼
𝜔
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Effetto dell’ampiezza AM
Effetto della pulsazione
Effetto della fase iniziale
pulsazione
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Valore medio 𝑨𝒎
Può essere definito per qualsiasi funzione periodica:
𝐴𝑚 =1
𝑇 ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
Il valore medio di una funzione sinusoidale è 𝐴𝑚 = 0
Valore efficace 𝑨
Può essere definito per qualsiasi funzione periodica:
𝐴 = √1
𝑇∫ 𝑎2(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
Il valore efficace di una funzione sinusoidale è 𝐴 =𝐴𝑀
√2= 0.707𝐴𝑀
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Risoluzione di una rete in regime sinusoidale
La soluzione della rete si ricava scrivendo il sistema di equazioni
differenziali lineari descrittivo della rete. In particolare, si ottiene
risolvendo l’integrale particolare della equazione differenziale lineare a
coefficienti costanti, con termine noto sinusoidale, che descrive il
funzionamento della rete.
Tale operazione può risultare molto dispendiosa dal punto di vista
computazionale.
E’ possibile utilizzare una tecnica alternativa che consente di
semplificare i calcoli, pervenendo alla risoluzione di un sistema di
equazioni algebriche lineari, invece che a un sistema di equazioni
differenziali.
La tecnica risolutiva è nota come metodo simbolico.
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Il metodo simbolico
L’idea base del metodo simbolico è la seguente: si cerca una
corrispondenza biunivoca che metta in relazione ogni elemento 𝑎(𝑡)
dell’insieme T delle funzioni sinusoidali nel tempo (ossia le tensioni e le
correnti della rete) con un elemento �̅� di un nuovo insieme C.
Questa corrispondenza deve conservare le seguenti operazioni:
1) Operazione di somma algebrica (per le LKC e LKT)
2) Operazione di moltiplicazione per una costante (per la
caratteristica dei resistori)
3) Operazione di derivazione (per la caratteristica di induttori e
condensatori)
a(t) �̅�
T C
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Se tale insieme esiste, ed è più semplice operare in C perché i calcoli sono
più facili, allora si può procedere in questo modo:
a) si trasformano tutte le grandezze di T nelle corrispondenti
grandezze in C;
b) si opera nel dominio C (si opera cioè nella rete trasformata)
c) si eseguono i calcoli in C (cioè si risolve la rete in C);
d) si ottiene il risultato in C e si antitrasforma, ricavando il risultato
in T, ossia ricavando la soluzione nel dominio delle funzioni
sinusoidali nel tempo
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La trasformata di Steinmetz
Assegnata la pulsazione , una grandezza sinusoidale nel tempo è
univocamente determinata da due numeri: AM (valore massimo) e (fase
iniziale):
𝑎(𝑡) = 𝐴𝑀sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
Ad ogni funzione 𝑎(𝑡) in T è possibile associare, con corrispondenza
biunivoca, un numero complesso �̅� in C che ha come modulo AM e come
argomento :
𝑎(𝑡) ⟺ �̅� = 𝐴𝑀ejα
La funzione sinusoidale 𝑎(𝑡) ha pertanto il suo corrispondente anche nel
piano di Gauss: esso è rappresentato da un vettore con centro nell’origine
degli assi, di modulo AM e formante con l’asse reale un angolo ,
considerato positivo se valutato in senso antiorario.
A tale vettore viene dato il nome di fasore.
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Abbiamo creato un corrispondenza biunivoca
tra funzioni sinusoidali nel tempo e fasori.
Si può facilmente verificare che la
corrispondenza conserva le 3 operazioni
fondamentali:
1) 𝑎(𝑡) ⟺ �̅�; 𝑏(𝑡) ⟺ �̅�; 𝑎(𝑡) + 𝑏(𝑡) = 𝑐(𝑡); �̅� + �̅� = 𝐶̅; 𝑐(𝑡) ⟺ 𝐶̅
2) 𝑎(𝑡) ⟺ �̅�; 𝑘𝑎(𝑡) ⟺ 𝑘𝐴̅̅̅̅ ;;
3) 𝑎(𝑡) ⟺ �̅�;𝑑𝑎(𝑡)
𝑑𝑡⟺ 𝑗𝜔�̅�;
Quindi, l’operazione di derivazione si trasforma in C in operazione
algebrica, con l’operatore di derivazione definito come 𝑀 = 𝑗𝜔:
real
imag
A -
AM
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In conclusione …
Se la rete è in regime sinusoidale, scriviamo il modello nel dominio del
tempo ottenendo un sistema di equazioni differenziali e associamo ad ogni
grandezza (tensione e corrente) il corrispondente fasore, ottenendo un
sistema di equazioni algebriche:
{
∑𝑣𝑘(𝑡) = 0∑ 𝑖𝑘(𝑡) = 0
𝑣𝑘(𝑡) = 𝑅𝑘𝑖𝑘(𝑡)
𝑖𝑘(𝑡) = 𝐶𝑑𝑣𝑘(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣𝑘(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖𝑘(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖𝑘(𝑡) = 𝐽𝑘(𝑡)
𝑣𝑘(𝑡) = 𝐸𝑘(𝑡)
⟹
{
∑ �̅�𝑘 = 0
∑ 𝐼�̅� = 0
�̅�𝑘 = 𝑅𝑘𝐼�̅�𝐼�̅� = 𝑗𝜔𝐶�̅�
�̅�𝑘 = 𝑗𝜔𝐿𝐼 ̅
𝐼�̅� = 𝐽�̅��̅�𝑘 = �̅�𝑘
Si risolve il sistema di equazioni algebriche, si ricavano le soluzioni 𝐼�̅� e
�̅�𝑘, si opera l’antitrasformazione e si ottengono le soluzioni 𝑖(𝑡) e 𝑣(𝑡).
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Esempio
𝑒(𝑡) = 100 sin (𝜔𝑡 +𝜋
3) 𝑉 ; 𝑅 = 20Ω; 𝐶 = 50𝜇𝐹; 𝜔 = 1000
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑒(𝑡) = 𝑅𝐶𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡+ 𝑣𝑐(𝑡) ⟹ �̅� = 𝑅𝐶𝑗𝜔𝑉𝐶̅̅ ̅ + 𝑉𝐶̅̅ ̅
𝑉𝐶̅̅ ̅ =�̅�
1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶=100𝑒𝑗
𝜋3
1 + 𝑗1=100𝑒𝑗
𝜋3
√2𝑒𝑗𝜋4
= 70.7𝑒𝑗(𝜋3−𝜋4) = 70.7𝑒𝑗
𝜋12
𝑣𝑐(𝑡) = 70.7 sin (1000𝑡 +𝜋
12)𝑉
𝑖𝑐(𝑡) = 𝐶𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡= 𝐶 ∙ 1000 ∙ 70.7 cos (1000𝑡 +
𝜋
12) = 3.5 cos (1000𝑡 +
𝜋
12) 𝐴
E C
R
Vc(t)
ic(t)