Leyes de Kepler y Movimiento Planetario

7/24/2019 Leyes de Kepler y Movimiento Planetario

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UNIVERSIDAD DON BOSCO

Departamento de Ciencias Bsicas

Fisica I

Trabajo Cooperativo

Interantes!

Rosa Lissette Coto Toloza CT130613

Docente!

Marleny Santos


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"e#es de $ep%er # e% &ovimiento '%anetario

Los movimientos de los planetas, estrellas y otros cuerpos celestes han sido observados por la ente

durante miles de a!os" #n la anti$edad, los cient%&icos consideraban a la Tierra como el centro deluniverso" 's%, el modelo llamado eocntrico &ue elaborado por el astr(nomo rieo Claudio Ptolomeo

(100-170) en el seundo silo )"C"y &ue aceptado durante los siuientes 1*00 a!os" #n 1+*3, el

astr(nomo polaco Nicols Coprnico (1473-1543) suiri( ue la Tierra y otros planetas iraban en

(rbitas circulares alrededor del sol, modelo heliocntrico.

#l astr(nomo dan-s !cho "rahe hizo mediciones astron(micas m.s precisas por un periodo de /0 a!os

y proporcion( una prueba riurosa de los modelos alternativos del sistema solar" #s interesante observar

ue estas observaciones sobre los planetas y las estrellas visibles a simple vista se llevaron a cabo

con un ran setante y un comp.s, sin un telescopio, el cual aun no se hab%a inventado"

#l astr(nomo alem.n 2ohannes epler, uien era ayudante de 4rahe, obtuvo los datos astron(micos de

este 5ltimo a!o y empleo casi 16 a!os en tratar de desarrollar un modelo matem.tico para el movimiento

de los planetas" )espu-s de muchos c.lculos laboriosos epler descubri( ue los datos precisos de

4rahe en relaci(n con la rotaci(n de Marte alrededor del Sol eran la clave de la respuesta" #l estudio de

epler como primer punto mostr( ue el concepto de orbitas circulares alrededor del Sol deber%a de

abandonarse" )e todos sus an.lisis surieron los tres enunciados ue conocemos como leyes de epler"

()Todos los planetas se mueven en orbita el%pticas alrededor del Sol en uno de los puntos &ocales

*)#l radio vector trazado desde el solo hasta un planeta barre .reas iuales en intervalos de tiempo

iuales"

+)#l cuadrado del periodo orbital de cualuier planeta es proporcional al cubo del ee semimayor de la

orbita el%ptica"


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'rimera "e# de $ep%er

Laprimera ley de epler indica ue la (rbita circular es un caso muy especial y ue las (rbitas

el%pticas son la situaci(n eneral" #sta noci(n &ue di&%cil de aceptar para los cient%&icos de la

-poca, porue cre%an ue las (rbitas circularesper&ectas de losplanetas re&le6aban laper&ecci(n

del cielo"

La elipse, sirve como modelo para la (rbita el%ptica de un planeta" 7na elipse se de&ine

matem.ticamente al eleir dospuntosF

1y

F2 , cada uno llamado &oco, y lueo dibuar una

curva a trav-s de los puntos para los ue la suma de las distanciasr1

y

r2

desdeF

1

y

F2 , respectivamente, es una constante" La mayor distancia a trav-s del centro entre los

puntos en la elipse 8y ue pasa a trav-s de cada &oco9 se llama ee mayor, y esta distancia es

:/a#" La distancia a se llama semiee mayor" )e iual modo, la distancia m.s corta a trav-s del

centro entre lospuntos en la elipse se llama ee menor de lonitud :/$#, donde la distancia :$#

es el semiee menor" Cualuier &oco de la elipse se ubica a una distancia :c; desde el centro de

la elipse, donde a2

=b2

+c2

" #n la (rbita el%ptica de un planeta alrededor del Sol, el Sol est. en

un &oco de la elipse"


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La ecentricidad de una elipse se de&ine como e=c /a y

describe la &orma eneral de la elipse" =ara un c%rculoc=0

, y por tanto la e1centricidad es cero" Mientras m.s peue!a

sea :$% en comparaci(n con : a#, m.s corta es la elipse a lo

laro de la direcci(n ! en comparaci(n con su medida en la

direcci(n :" ' medida ue :$ ; disminuye, :c; aumenta y la

e1centricidad :e; aumenta" =or lo tanto, mayores valores de

e1centricidad corresponden a elipses m.s randes y deladas"

#l intervalo de valores de la e1centricidad para una elipse es

entre 0 y 1"

Se,nda "e# de $ep%er # "a Conservaci-n de%

&omento An,%ar

Considere un planeta de masa Mp ue se mueve en torno al

Sol en una (rbita el%ptica" Considere al planeta como un

sistema" #l Sol se modela como mucho m.s pesado ue elplaneta, de tal modo ue el Sol no se

mueve" La &uerza ravitacional ue eerce el Sol sobre el planeta es una &uerza central, siempre

a lo laro del radio vector, diriido hacia el Sol"

Recuerde ue el momento de torsi(n eterno neto sobre un sistema es iual a la relaci(n de cambio en

el tiempo de la cantidad de movimiento anular del sistema" =or lo tanto, ya ue el momento de torsi(n

eterno sobre el planeta es cero, se modela como un sistema aislado para cantidad de movimiento

anular y la cantidad de movimiento anular L del planeta es una constante de movimiento>

L=r p=Mp r v=constante

#ste resultado se puede relacionar con la siuiente consideraci(n eom-trica" #n un intervalo de

La fgura muestra una

elipse con sus respectivas

partes

F

1y F

2 son los ocos.

c: distancia del

centro de la elipse al

La uerza gravitacional que

acta sobre un planeta se

dirige hacia el Sol


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tiempo dt , el radio vector r en la &iura barre el .rea, ue es iual a la mitad del .rea ? r

d r? del paraleloramo &ormado por los vectores

ry

d r" @a ue el desplazamiento del planeta

en el intervalo de tiempo dt se conoce por dr=

v dt ,

dA

dt=

L

2Mp

)onde L yMp son constantes"

Tercera "e# de $ep%er

Considere un planeta de masaMp ue se supone en movimiento alrededor del Sol con masa

Ms ,

en una (rbita circular"

@a ue la &uerza ravitacional proporciona la aceleraci(n centr%peta del planeta con&orme se mueve en

un c%rculo, se usa la seunda ley de

Fg=GMS Mp

r2 =Mpa=

Mp v2

r

"a Ener.a en e% &ovimiento '%anetario # de Sat/%ites

Un planeta de masa Mp

que se mueve en una rbita

circular alrededor del Sol.


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Considere un cuerpo de masa m ue se mueve con una velocidad ' cerca de un cuerpo masivo de masa

dondem. #l sistema podr%a ser un planeta ue se mueve alrededor del Sol o un sat-lite en (rbita

en torno de la Tierra"

Si suponemos ue est. en reposo en un marco de re&erencia inercial, entonces la ener%a total * del

sistema de los dos cuerpos cuando est.n separados por una distancia r es la suma de la ener%a cin-ticade my de la ener%a potencial del sistema, dada asi>

E=K+U

E=1

2m v

2GMm

r (Ecuaci n1)

E=GMm

(Energ a total para rbitascirculares)

*puede ser positiva, neativa o cero 0, dependiendo del valor de '" Sin embaro, para un sistema liado

8como el sistema Tierra B Sol9,*necesariamente es menor ue cero porue se elii( la convenci(n de

ueU 0

con&ormer

"

La ener%a mec.nica total es neativa en caso de las (rbitas circulares

#sto muestra claramente ue la ener+,a total de$e ser ne+ati'o en el caso de las or$itas circulares.

bserve ue la ener+,a cintica es positi'a de la ma+nitud de la ener+,a potencial. #l valor absoluto de

la* tambi-n es iual a la ener%a de enlace del sistema"

La ener%a mec.nica total tambi-n es neativa en el caso de (rbitas el%pticas" La epresi(n de *para

(rbitas el%pticas es la misma ue la ecuaci(n de las (rbitas circulares, con rsustituida por la lonitud del

semiee mayor a>

E=GMm

(Energ a total para rbitasel pticas) !n la fgura semuestra un ob"eto de

masa m que se

mueve en rbita

circular en torno a un

ob"eto mucho ma#or


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La ener%a total permanece constante y las ecuaciones anteriores eneran>

E=1

2m v i

2GMm

ri=1

2m v

2GMm

r

Tanto la ener%a total como el momento anular total del sistema palanteBsol son constantes del

movimiento"

Ener.a 'otencia% 0ravitatoria

Recordemos ue el cambio en la ener%a potencial ravitatoria de un sistema asociado con un

desplazamiento de un interante del sistema se de&ine como el neativo del trabao realizado por la

&uerza ravitacional sobre dicho interante durante el desplazamiento"

! U=UUi=r i

r

F(r ) dr

Considere de nuevo la part%cula de masa mue se mueve entre dos puntos a y b sobre la super&icie de la

Tierra, como se muestra en la &iura" La part%cula est. sueta a la &uerza

ravitacional conocida" #sta &uerza se epresa como>

F(r )=GM"m

r2

)onde el sino neativo indica ue la &uerza es de atracci(n" 'l

sustituir la esta epresi(n en la interal ue de&ine la ener%a potencial

ravitatoria, se puede calcular el cambio en la ener%a potencial

ravitacional para el sistema part%cula D Tierra>

UUi=G M"mri

r dr

r2=G M"m[1r] rir

UUi=G M"m

(1

r

1

r i

)" 'l considerar

Ui=0 en r i= , se enera>


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U(r )=G M"m

r

#sta epresi(n se aplica cuando la part%cula est. separada del centro de la Tierra una distancia r, siempre

uer # $" " #l resultado no es v.lido para part%culas dentro de la Tierra, donde

r


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'hora tenemos la posibilidad de calcular la velocidad m%nima del obeto debe tener en la super&icie

terrestre para poder escapar de la in&luencia del campo ravitacional del planeta" 'l viaar a esta

velocidad m%nima, el obeto puede alcanzar ustamente el in&inito con una velocidad &inal iual a cero"

%esc=

2G Mr

$ r

#l resultado unto con alunas ideas de la teor%a cin-tica de los ases, eplican por u- alunos planetas

tienen atmos&era y otros no" Las mol-culas m.s lieras como el hidroeno y el helio, tienen una

velocidad promedio m.s altas ue las especies m.s pesadas de la misma temperatura" Cuando la

velocidad de las mol-culas m.s lieras no es mucho menos ue la velocidad de escape, una &racci(n

sini&icativa de ellas tiene oportunidades de escapar del planeta"este mecanismo eplica tambi-n por u-

la tierra no retiene mol-culas de hidroeno y helio en su atm(s&era, en tanto ue las mol-culas pesadas,

como el oieno y el nitr(eno, no escapan"

Supona ue un obeto de masa m se proyecta verticalmente hacia arriba desde la super&icie de la Tierra

con una rapidez inicial 'i. #s posible usar consideraciones ener-ticas para encontrar el valor m%nimo

de la rapidez inicial necesaria para permitir al obeto moverse in&initamente leos de la Tierra"


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'unue la luz de un hoyo nero no puede escapar, la luz de los

eventos ue tienen luar cerca del hoyo nero debe ser visible"

=or eemplo, es posible ue un sistema de estrella binaria ue

consiste de una estrella normal y un hoyo nero" #l material ue

rodea la estrella ordinaria se puede alar hacia el hoyo nero, lo

ue &orma un disco de acrecentamiento alrededor del hoyo

nero" La &ricci(n entre part%culas en el disco de acreci(n resulta

en trans&ormaci(n de ener%a mec.nica en ener%a interna"

Como resultado, se eleva la temperatura del material sobre el horizonte de eventos" #ste material de alta

temperatura emite una ran cantidad de radiaci(n y se etiende bien en la rei(n de rayos E del espectro

electroman-tico" Tambi-n hay evidencia de ue en los centros de las alaias eisten hoyos neros

superpesados, con masas mucho mayores ue la del Sol"

Modelos te(ricos para estos etra!os obetos predicen ue chorros de material deben ser evidentes a lo

laro del ee de rotaci(n del hoyo nero"

I&'ORTANCIA DE "OS TE&AS

Importancia de %as %e#es de 5ep%er

#stas leyes han tenido un sini&icado especial en el estudio de los astros, ya ue permitieron describir su

movimiento"

La obsesi(n de epler, por la eometr%a y la supuesta armon%a del universo, le permiti(, lueo de varios

&rustrados intentos, enunciar las tres leyes ue describen con etraordinaria precisi(n, el movimiento de

los pla!eras alrededor del sol" )esde una posici(n cosmol(ica copernicana, ue como hemos visto en


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esa -poca era mas una creencia &ilos(&ica ue una teor%a cient%&ica" epler loro esta mani&ica empresa

de manera totalmente emp%rica, dan mas teor%a ue su propio convencimiento sobre el car.cter

&undamental de la eometr%a, y utilizando la ran cantidad de datos eperimentales de Tycho 4rahe con

una importancia enorme para el entendimiento del movimiento planetario"

Sin embaro las leyes de epler permiten describir con su&iciente precisi(n las orbitas de los planetas

del sistema solar" 'dem.s, tienen una importancia hist(rica notable, pues &ueron el elemento de ruptura

con la descripci(n del universo debida a Tolomeo ue estuvo en vior durante silos" 7niendo estas tres

sencillas leyes con las leyes de la din.mica propuestas con


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Importancia de %os a,jeros neros

Los cuerpos m.s etra!os del universo, los aueros neros, tienen muy merecido su nombre pues no

emiten ninuna luz visible" Sin embaro, la mayor%a de ellos constituyen el estado &inal de los obetos

m.s brillantes del cosmos"

Lo m.s interesante es el hecho de ue la vida necesita tener ener%a cerca, pero no demasiado cerca" #n

otras alaias hay aueros neros ue emiten tanta ener%a ue hacen imposible la vida, crean un

entorno yermo y est-ril en el ue no se pueden crear estrellas" =or esta raz(n, el auero nero ue se

encuentra en nuestra alaia es distinto, est. a medio camino, ni emite mucha ener%a, ni muy poca, ya

ue ser%a imposible ue se diera la vida en esa condiciones"

Las mol-culas y part%culas tienden a aruparse a causa de la ravedad de la atracci(n ue eperimenta"

Toda esta materia acabar%a arupada en un 5nico cuerpo" ' m.s masa, menor volumen y mayor

ravedad, lo ue atrae m.s materia ue a su vez acent5a esa &uerza de atracci(n" Con el tiempo ese

cuerpo se comprime cada vez m.s"

Re6erencias Bib%ior6icas

Hisica tomo I,

Raymon '" SerAay, cuarta edici(n,

editorial mcFraABJill"

=as" 3K6B3KK G *0*B *0

:H%sica para Inenier%a y Ciencias;"

olumen 1, =rimera #dici(n 8/0119"

ol&an 4auer y Fary )" est&all"#ditorial :McFraA D Jill;"

:H%sica para Ciencias e Inenier%a;"

olumen 1, Cuarta #dici(n 8/00N9"

)oulas C" Fiancoli"


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#ditiorial :=earson #ducaci(n;"

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