LEY DEL SENO Y COSENO

B

Ca

b

c

A

Letras mayúsculas A, B y C, representan a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, representan los lados.

Notación

A

B

C

c

ab

A

B

Cc

a

b

Ley de los senos

Si ABC es un triángulo con lados a, b y c,

a c bsensen sen

LEY DEL SENO

La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que

siempre se cumplen entre los lados y

ángulos de un triángulo cualquiera.

a c bsensen sen

C

ABc

ab

Aplicaciones

En el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los

ángulos y lados restantes.

Solución:

El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados.

Usando que b = 27.4 se obtiene, a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = 43.06 mts.

Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen 102.3 = 55.75 mts.

Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3

Ejercicios:

1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente: b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’.

2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 115 kg y 215 kg es de 275 kg. Encuentra el ángulo formado por las direcciones de las dos componentes.

No veas las respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.

Respuestas a los ejercicios:Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.

1. B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70 .

2. = 109° 5’ 33’’

Sirve para resolver triángulos que NO son Rectángulos.

Permite encontrar el valor de un lado de un triángulo conociendo dos lado y el ángulo formado entre estos dos lados

c² = a² + b² - 2a·b·cos α

a² = b² + c² - 2b·c·cos β

b² = a² + c² - 2a·c·cos φ

LEY DEL COSENO

B

b=19 mts.C

c=14 mts.

A

a=8 mts.

Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 m, b = 19 m., c=14 m.

Solución.

Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 +

142 – 192) = -0.4508.

Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados.

Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = 0.37582.

Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados.

Revisión del estudio individual

Dos nadadores se encuentran a 250 m uno de otro. Ambos están nadando hacia el mismo punto, que se halla a 423m del primero y a 360m del otro.¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos?

Rta/ = 36,8o

Un barco está a 15 km directamente al sur de un puerto. Si el barco navega al nordeste 4,8 km,¿a qué distancia se encuentra del puerto?

P

B

C

PBC = 450

PC = ?

PB = 15 km

BC = 4,8km

Ejercicio 1Ejercicio 1

Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera?

Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera?

N

S

EO

NENO

SESOA B

C

165 km

72 k

m

185 km

Ejercicio 2

Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km de la primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de la segunda en dirección noroeste aproximadamente. Halla la dirección exacta a que se encuentra la tercera ciudad respecto a cada una de las dos primeras.

N

S

EO

NENO

SESO

A B

C

15 km

10 k

m

14 km