Tema 3. Electromagnetismo *Fuerza magnética sobre cargas y corrientes. Aplicaciones: -Botella magnética -Espira -Efecto Hall -Selector de velocidades -Ciclotrón -Relación e/m *Campo magnético creado por corrientes. Ley de Biot-Savart. Aplicaciones: -Conductor rectilíneo -Espira, -Fuerza entre conductores paralelos (definición de ampere) -Solenoide *Ley de Ampère. Aplicaciones: -Cilindro -Solenoide *Inducción magnética. Leyes de Faraday y Lenz. Aplicaciones: - f.e.m. debida al movimiento -Corrientes de Foucault *Inductancia. *Energía magnética

ALONSO: 22, 24B, 26, 27A TIPLER: 26, 27, 28

•El magnetismo se conoce desde la antigüedad, pues existe un mineral llamado magnetita (óxido ferroso-férrico, Fe3O4) que constituye un imán permanente. •En 1269, Pierre de Maricourt observó que una aguja sobre un imán permanente se alinea a lo largo de determinadas líneas, las cuales convergen en dos puntos del imán, llamados polos. •En 1600 Gilbert descubrió que la tierra era un imán natural. •A diferencia de las cargas eléctricas (las cargas negativas y positivas pueden aparecer independientemente) los imanes siempre presentan los dos polos.

Campo magnético es una propiedad del espacio en torno a un imán. Ese campo se manifiesta porque ejerce una fuerza sobre una carga eléctrica en movimiento. Posteriormente nos centraremos en las causas ( fuentes) del campo magnético. Fuerza sobre una carga puntual El campo magnético se mide en Teslas, T. N=C·m/s·T T=N/A·m El campo magnético terrestre es aproximadamente 10-4 T= 1 gauss

BvqF

×=

Movimiento de una carga puntual en un campo magnético. Una partícula cargada en movimiento en un campo magnético se ve sometida a una fuerza, y por consiguiente describe una trayectoria acorde a esa fuerza. Si la partícula se mueve en un plano normal al campo magnético, describirá una trayectoria circular: frecuencia ciclotrón Cuando la partícula cargada se mueve en un plano que no es perpendicular a B, hay que resolver las distintas componentes. En concreto la componente paralela a B no sufre ninguna fuerza, mientras que la componente perpendicular a B sufrirá una fuerza como la estudiada anteriormente, de modo que la trayectoria de la partícula es una espiral con el eje en la dirección de B

qBmvr

rvmqvBamF

2

=⇒=→=

mqB

T2;

qBm2

vr2T =

π=ν

π=

π=

Trayectoria de electrones en una cámara de niebla

Movimiento en campos magnéticos no uniformes Confinamiento magnético Cinturones de Van Allen

El campo es débil en el centro y más intenso en los extremos. Como consecuencia de ello, la partícula cargada describe espirales de ida y vuelta, de forma que las partículas cargadas quedan espacialmente confinadas (reactores nucleares de fusion).

Estos cinturones de radiación se originan debido al intenso campo magnético de la tierra, que atrapa las partículas cargadas (plasma) proveniente del sol (viento solar). Dado que el campo magnético aumenta cerca de los polos de la Tierra, las partículas se mueven de un lado a otro en recorridos helicoidales entre los polos norte y sur de la Tierra.

Selector de velocidades En presencia de un campo eléctrico y otro magnético, ortogonales entre sí: Se pueden regular los campos de forma que las dos fuerzas se cancelen entre sí: predomina la fuerza eléctrica predomina la fuerza magnética

Las partículas que lleven esta velocidad, independientemente de su masa ó carga, atravesarán el sistema sin desviarse, lo que significa que mediante el uso de campos eléctricos y magnéticos adecuados se puede hacer un filtro de partículas por su velocidad ( selector de velocidades)

BEvSi ≤

BEvqvBqE =⇒=

BEvSi ≥

BvqEqF

×+=

Experimento de Thomson (1897) Thomson demostró que los rayos catódicos se desviaban mediante campos eléctricos y magnéticos, y por consiguiente estaban constituidos por partículas cargadas. Además demostró, que todas las partículas constituyentes tenían la misma relación carga/masa, y eran iguales para cualquier cátodo, por lo que debían ser un constituyente fundamental de la materia. Los rayos catódicos se generan en el cátodo y son acelerados por el potencial negativo entre C y A. La velocidad de las partículas se determina mediante un campo magnético B, que se ajusta para que las partículas no se desvíen. Una vez establecida la velocidad, v0, se elimina el campo magnético. Se observa el destello en la pantalla y se mide la desviación.

( )0

2

0

1y2y2

0

12

y21y1

0

1y1

y1yy

vx

vx

mqE

tvy

vx

mqE

21ta

21y

vx

mqE

tm

qEtav

==∆

==∆

===

2120

y212

0

y21 xx

mvqE

xmvqE

21yy +=∆+∆

2120

y212

0

y

21

xxvE

xvE

21

yymq

+

∆+∆=

Espectrómetro de masas (F.W.Aston-1919) Permite medir las masas de los isótopos. Un campo eléctrico acelera los iones producidos en la fuente de iones. Estos llegan acelerados al campo magnético donde se desvían, describen una trayectoria circular, y son detectados en la pantalla. Las ecuaciones que rigen el movimiento de los iones son: El radio depende de la relación masa/carga

qBmvr

Vqmv21 2

=

∆=

V2rB

qm 22

∆=

Ciclotrón (E.O.Lawrence, M.S.Livingston,1934)

Las partículas cargadas se mueven en el interior de dos recipientes metálicos con forma de D, sometidos a un campo magnético. Entre las dos Ds se mantiene un potencial electrostático, cuyo signo se alterna con un período igual al período ciclotrón: T= 2πm/qB Este potencial crea un campo eléctrico entre las Ds que acelera las partículas. En el interior de las Ds el blindaje metálico apantalla el campo eléctrico (E=0). Las partículas se generan en una fuente de iones S, cerca del centro del espacio entre las Ds. El haz describe una semicircunferencia en D1 y llega al espacio entre las Ds en un tiempo T/2. Al llegar ahí el campo eléctrico lo acelera hasta la otra D, D2, y gana una energía cinética q|∆V|. Al llegar a la otra D describe una semicircunferencia de radio mayor como consecuencia de la mayor velocidad. El periodo se mantiene, pues no depende de la velocidad, ni del radio. Cada vez que la partícula llega al hueco aumenta su energía en q|∆V|, y por consiguiente el radio de la trayectoria. La energía se puede calcular a partir del radio de las Ds, r. Se producen alrededor de 100 vueltas, y se consiguen energías de hasta varios centenares de MeV. Cuando las energías se hacen muy altas, en el límite relativista la masa varía, por consiguiente el período empieza a depender de la velocidad, y es preciso corregir esa variación.

222

2 rmBq

21vm

21K

mqBrv;

qBmvr

==

==

•La cámara de aceleración del primer ciclotrón tenía 5 pulgadas de diámetro y permitió acelerar iones de hidrógeno (protones) hasta una energía de 80,000 electron voltios(eV). •27-pulgadas 5 MeV. •1936, 37-pulgadas acelera deuterones hasta 8 MeV y partículas alpha hasta 16 MeV, se utilizó para crear radioisótopos y el primer elemento artificial: tecnecio. •1939, 60-pulgadas, sus imanes pesaban 220 Tm. •1939- premio Nobel, 184 pulgadas, imanes de 4000Tm, hasta 100 MeV. Para albergar semejante máquina se construyó un edificio de 48 m de diámetro. Hoy en día alberga la fuente avanzada de luz (sincrotrón).

•Fuerza sobre un conductor rectilíneo Sea un conductor cilíndrico por el que circula una corriente I. Al haber cargas en movimiento el campo magnético actúa sobre ellas, siendo la fuerza resultante la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada una de las cargas: n concentración volúmica de portadores de carga, A sección, L longitud La corriente que circula por el conductor es: Fuerza debida al campo magnético, que actúa sobre un conductor rectlíneo de longitud L Cuando el conductor tiene una geometría arbitraria se utiliza la fuerza sobre un elemento de dicho conductor Fuerza debida al campo magnético, que actúa sobre un elemento de corriente dl

)nAL(BvqF

×= )nAL(BvqF

×=

BLIFqvnAI

×=⇒=

BldIFd

×=

•Momento de la fuerza magnética sobre una espira Las fuerzas que actúan sobre una espira por la que circula una corriente en presencia de un campo magnético están representadas en la figura F1=F2=IaB la fuerza neta es nula, pero se forma un par de fuerzas cuyo momento es: Este momento tiende a girar la espira situando n paralelo a B. Podemos expresar el momento vectorialmente como: donde la magnitud vectorial m se conoce como momento dipolar magnético de una espira. Si tuviéramos N espiras enrolladas:

θ=θ=θ=τ senBAIsenbBaIsenbF2

( ) BmBnAI ×=×=τ

nAINm =

Efecto Hall

Cuando un conductor por el que circula una corriente está en presencia de un campo magnético, este actúa sobre las cargas libres, que se desvían y generan un potencial eléctrico transversal, tensión Hall, VH, que actúa sobre las cargas y eventualmente neutraliza la fuerza magnética sobre ellas. Mediante la medida del voltaje Hall, se pueden determinar el signo de los portadores, la concentración de los mismos, n, y su movilidad µ ( velocidad por unidad de campo eléctrico). I=qvnA; A=wt, sección transversal del conductor; q es la carga del electrón HtqV

IBqvwt

IqvA

In ===

El efecto Hall es la base de las sondas de medida del campo magnético: HH V

IntqB

ntqIBV =⇒=

wBEV

Ev H==µ

vBwVwVvB;qEqvB H

HH =→==

•Fuentes del campo magnético

Una carga puntual en movimiento genera un campo magnético en el punto P: µo=4πx10-7 Tm/A=4πx10-7NA-2 es la permeabilidad magnética del espacio libre, y ur vector unitario en la dirección de r, que une q con el punto de campo P. Puesto que una carga en movimiento genera un campo campo magnético, una corriente debe también generar un campo magnético. Generalizando la ecuación anterior, podemos poner que el campo magnético generado por un elemento de corriente en un punto del espacio cuyo vector posición con respecto a dl es r, viene dado por:

ruqv

π4μB 2

r0 ×

=

∫×

=⇒×

=C

2R0

2r0

RulId

π4μB

rulId

π4μBd

Ley de Biot y Savart

La ley de Biot-Savart es equivalente a la ley de Coulomb que describe el campo eléctrico. El campo magnético es también proporcional a 1/r2, como el campo eléctrico, pero direccionalmente no es radial.

•Campo magnético debido a una espira

R20 Idlsenπ4

dBμ ϑ

=

R2I

R2RI

4dl

RI

4RIdl

4B 0

20

20

20 µ

=ππ

µ=

πµ

=π

µ= ∫∫

En el centro de la espira En un punto del eje

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

33

2

3

2

22 23

2

22 23

22 2322 23

22 232222

222r

RImzm2

40

zRI2

40

zIR

20Bz

RzRz

IR20R2

RzIR

40

dlRz

IR4

0Rz

IRdl4

0BzdBz

RzIRdl

40

RzR

RzIdl

40dBsenBzd

RzIdl

40

ruxldI

40Bd

π=

πµ

=ππ

µ=

µ=

>>

+

µ=π

+πµ

=

=+π

µ=

+πµ

==

+πµ

=++π

µ=ϑ=

+πµ

=π

µ=

∫∫∫

Campo magnético debido a un solenoide

Campo magnético debido a un tramo de longitud dz de un solenoide con n espiras por unidad de longitud

( )

( )( ) ( )R)'zz( 2 2'nIdzR

2R'zz 2 2'diR

2dB

Rz2 2IR

2Bz

23

20

23

20

z

23

20

+−

µ=

+−

µ=

+

µ=

( )

+−

−−

++

+µ=

=

+−

−−µ=

+−

µ=

∫

−

−

R)2/Lz( 2 22/Lz

R)2/Lz( 2 22/LznI

21

R)'zz( 2 2'zz

R21nIR

21

R)'zz( 2 2'dznIR

21

Bz

0

2/L

2/L

20

2/L

2/L23

20

L>>R => Bz=µ0nI

Campo debido a una espira en un punto z

Campo magnético debido a una corriente rectilínea

θπ

µ=φ

πµ

=×

πµ

= cosr

Idx4

senr

Idx4r

)uu(Idx4

dB 20

20

2rx0

θ=θ=θθ=

θ=

dRrd

RrRdsecRdx

Rtgx2

2

22

)sensen(RI

4dcos

RI

4dcos

rIdx

4B 12

002

02

1

2

1

θ−θπ

µ=θθ

πµ

=θθπ

µ= ∫∫

θ

θ

θ

θ

Cuando el conductor rectilíneo es muy largo: θ1= -π/2 y θ2=π/2 Este resultado permite calcular los campos magnéticos creados por espiras cuadradas o rectangulares

RI2

4B 0

πµ

=

Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes I1 e I2

RII

2ldFd 210

2

12

πµ

=

12212 BldIFd

×=

R2IdlIBdlIdF 10

2212212 πµ

==

La fuerza que ejerce un campo magnético sobre un elemento de corriente es Si dicho campo lo genera un circuito, recordando la ley de Biot-Savart podemos escribir en general la fuerza entre dos corrientes como: En el caso de la figura, el conductor rectilíneo 1 crea un campo magnético, B1, que actúa sobre el conductor rectilíneo 2, de donde resulta la fuerza: La fuerza por unidad de longitud del conductor 2 es: => Definición de Ampere patrón

( )∫ ∫

××

πµ

=1 2 21

2r11220

12 ruldIldI

4F 21

dl1

z1

O

dl2

z2

ρ r R

Fuerzas entre conductores

Ley de Ampère

Leyes de Gauss y Ampère del magnetismo

Las líneas de campo de los campos eléctricos y magnéticos son muy diferentes. Las líneas del campo eléctrico son abiertas, mientras las del campo magnético son cerradas. Esto tiene una influencia determinante en el flujo de ambos campos a través de una superficie cerrada. En el caso del campo magnético, las líneas entran y salen de dicha superficie, por consiguiente el flujo a través de ella es siempre nulo.

ε=⋅=Φ ∫

0

i

Se

QSdE

0SdBS

m =⋅=Φ ∫

∫∫ ⋅µ=µ=⋅S

0cc

0 SdJIldB

Ley de Gauss del magnetismo

Ley de Gauss de la electrostática Las diferencias se reflejan también en la expresión de las integrales de línea (circulación):

Ley de Ampère

φ∇−=⇒=⋅∫

E0ldEc

Ley de Ampère. Campo B producido por un conductor cilíndrico largo

∫∫ ⋅µ=µ=⋅S

0cc

0 SdJIldB

Acabamos de enunciar la ley de Ampère, particularmente útil en simetrías elevadas Simetría cilíndrica B≠B(φ); Β≠B(z); Por tanto, tomando como trayectoria de integración una circunferencia como la mostrada en la imagen: La corriente que fluye por la superficie circular delimitada, depende de si s es mayor o menor que R:

ϕϕ= uBB

∫ ∫∫ π=ϕ=ϕ⋅=⋅ ϕϕC CC

)r(rB2d)r(rBudru)r(BldB

ϕ

ϕ

πµ

=>⇒=>

πµ

=<⇒ππ

=⋅π

=< ∫

ur2I)Rr(BII;Rr

uR2Ir)Rr(Br

RIudSu

RII;Rr

0c

202

2zz

r

02c

Ley de Ampère. Campo B producido por un solenoide toroidal

Este tipo de circuito presenta simetría axial. Por tanto, como en el caso anterior B≠B(φ). Si se aplica la ley de Ampère a una trayectoria como la indicada en la figura, se tiene: donde N es el número de vueltas del bobinado en torno al núcleo toroidal. Por tanto, en el interior del solenoide: Se puede demostrar que las otras componentes del campo B son menores (en un factor N), y, por tanto, poco relevantes para un bobinado prieto.Fuera del solenoide,la corriente englobada es nula de forma neta, y también es prácticamente cero el campo B. Finalmente, obsérvese que si se tiene un solenoide de radio muy grande y sección limitada esto es, el campo que ya encontramos para la parte central en el eje de un solenoide recto.

)z,r(BB

=

NII)z,r(rB2udr)·z,r(B 0c0C

µ=µ=π=ϕ∫ ϕϕ

r2NIB 0

πµ

=ϕ

nIIr2

NB 00 µ=π

µ=ϕ

La inducción magnética Faraday y Henry observaron que la variación temporal del flujo magnético a través de una espira inducía una corriente eléctrica en el circuito. Es decir que una variación de flujo magnético a través de la espira equivale a una f.e.m.. Este fenómeno se conoce como inducción magnética.

Ley de Faraday

dtd m

indΦ

−=ε

Unidad de flujo magnético: Wb (Weber) = T·m2

∫∫ −=Φ

−=⋅=εs

m

Cncind Sd·B

dtd

dtdldE

Ley de Lenz: la corriente inducida tiende a oponerse a la variación que la produjo. Es decir, esa corriente genera un campo magnético que tiende a restituir el flujo original.

Los generadores de electricidad y los motores eléctricos tienen como base la inducción magnética

Generador de corriente alterna Una bobina con N espiras que gira en un campo magnético genera una f.e.m. sinusoidal. La bobina se hace girar mediante otro tipo de energía: e.g. mecánica

Motor eléctrico Una corriente alterna a través de la bobina la hace girar alrededor de su eje.

NBA

tsentNBAsendt

dtcosNBA

tcosNBA

m

mm

m

m

ω=

ω=ωω=φ

−=

ω=φω=ϑ

ϑ=φ

εεε

La inductancia

Cuando una corriente circula por una circuito induce un campo magnético, B. El flujo magnético a través del propio circuito es proporcional a I, y el factor de proporcionalidad es lo que se conoce como autoinducción del circuito: Φm=LI L se mide en Henry (H); H = Tm2/A En el caso de un solenoide la autoinducción se expresa como:

dtdIL

dtd

ALnIL

IALnLIANnIANNBA

m

20

m

20

20

0m

−=Φ−=ε

µ=Φ=

µ=µ

=µ==Φ

La ley de Faraday puede escribirse en términos de este factor:

Inductancia mutua Es el factor de proporcionalidad entre el flujo magnético inducido por circuito sobre otro próximo a él, y la intensidad de corriente en el primer circuito.

El campo magnético neto en el circuito 2 es el debido a I2 y el debido a I1. El flujo asociado a I2 ya sabemos cómo expresarlo. El debido a I1 depende de cómo estén dispuestos los circuitos y de su forma; en cualquier caso, es proporcional a I1, siendo el factor de proporcionalidad la inductancia mutua. El flujo magnético a través de 2 debido al campo generado por 1 se expresa como:

Φm12=M12I1 Igualmente:

Φm21=M21I2

Energía magnética

Como se recordará los condensadores acumulan energía eléctrica. Los inductores (solenoides), a su vez, almacenan energía magnética. Vamos a considerar un circuito sencillo formado por una resistencia, una inducción, y una f.e.m. Además hay un interruptor, S. Inicialmente no circula corriente; entonces se cierra el interruptor y pasa una corriente I por el circuito. Se produce una caída de potencial IR en la resistencia, y una caída de potencial en L, que será igual a la fuerza electromotriz inducida multiplicada por la intensidad de corriente.

Potencia suministrada por la f.e.m.

020

=−−dtdILIRIIε

Potencia disipada en la resistencia

Potencia incidente en la inducción

2m

2mm

m

LI21

U

CLI21U;LIdIdU;

dtdILI

dtdU

=

+=⇒=⇒=

Energía almacenada en la inducción

En el caso de un solenoide B=µ0nI, L=µ0n2AL

µ=

µ=

0

2

m

0

2

m

2Bu

AL2BU Energía magnética almacenada

Densidad de energía magnética