LES FRACTIONS ET LES DÉCIMAUX - Les TIC au...
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LES FRACTIONS ET LES DÉCIMAUX
Nom : _____________________________
Groupe : _____
École : _____________________________
Il s’agit de notes de cours trouées pour soutenir les élèves suite à l’enseignement d’un concept ou suite à
une activité de découverte d’un concept.
Note : Toutes les images proviennent de Pixabay.com et sont libres de droits.
0 1 -1
2 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Table des matières
Sens de la fraction ......................................................................................................................... 3
Fraction partie d’un tout ................................................................................................................. 4
Fraction sur une droite ................................................................................................................... 6
Écritures équivalentes .................................................................................................................... 8
Comparaison de fractions ............................................................................................................ 10
Fractions équivalentes ................................................................................................................. 11
Pourcentage ................................................................................................................................ 13
Addition et soustraction de fractions ............................................................................................ 14
Multiplication de fractions ............................................................................................................. 16
Inverse d’un nombre .................................................................................................................... 19
Division de fractions ..................................................................................................................... 20
Nombres décimaux ...................................................................................................................... 25
Lecture des nombres décimaux ................................................................................................... 26
Arrondissement ............................................................................................................................ 28
Comparaison de nombres décimaux ........................................................................................... 29
Droite numérique ......................................................................................................................... 30
Troncature ................................................................................................................................... 31
Multiplication et la division par une puissance de 10 ................................................................... 33
Passage d’une forme d’écriture à une autre ................................................................................ 34
Pourcentage d’un nombre ............................................................................................................ 35
Stratégies de calcul mental .......................................................................................................... 36
Validation du cahier : Anne Saint-Germain et Wahiba Hassani, enseignantes, CSSDM
Claudine Leclerc, conseillère pédagogique en mathématique au secondaire, CSSDM
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020 Reproduction autorisée à des fins non commerciales 3
Opérateur
Sens de la fraction
Quotient
3 pommes divisées entre 4 personnes.
Rapport
3 billes noires pour 4 billes blanches
Mesure
3
4 tasse = 3 ×
1
4 tasse
Chacun aura 3
4d’une pomme.
=
Partie d’un tout
0 1
3
4 de 8 étoiles
4 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Pourquoi peut-on dire que ce sont des exemples oui et des exemples non?
Exemple OUI Exemple NON
Exemple OUI Exemple NON
Exemple OUI Exemple NON
Exemple OUI Exemple NON
Les parties du tout
doivent toujours être
___________
ou
elles doivent avoir la
même_________.
Une fraction ne
donne aucune
indication quant à la
grandeur du ______
ou la grandeur des
__________.
Pour comparer des
fractions, il faut le
même _______.
Dans une fraction, le
numérateur représente
le nombre
_________________
et le dénominateur
représente le nombre
________________.
1
2
3
5
1
4
1
5 <
1
4
1
4
Fraction partie d’un tout
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020 Reproduction autorisée à des fins non commerciales 5
À ton tour! Écris la fraction qui est représentée :
Fraction (partie d’un tout) Fraction
Le tout est l’hexagone
Le tout est un rectangle
Le tout est l’ensemble de jetons
Le tout est le grand rectangle
Le tout est un cercle
Une fraction peut-être :
plus petite qu’un 1
égale à 1
plus grande que 1
Ex :
< 1
___ = 1
___ > 1
Dans une fraction,
le numérateur et le
dénominateur sont
toujours des
nombres entiers.
Ex : 3,5
7 n’est pas
une fraction. Il faut
plutôt écrire 35
70 ou
encore 1
2.
Le dénominateur
ne peut pas être 0.
6 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Exemple 1 : Situe 2
5 sur la droite numérique.
1) J’estime : La fraction se situe entre ____ et _____.
2) Je situe les 2 entiers sur la droite.
3) Le dénominateur est 5. Je divise l’espace entre 0 et 1 en 5 parties égales.
4) Le numérateur est 2. Ceci qui veut dire 2
5 de l’entier. J’irai placer la fraction à la 2e graduation
après l’entier.
0, c’est comme
0
5
1, c’est comme
5
5
Fraction sur une droite
1) Estimer la grandeur de la fraction (inférieur à 0, entre 0 et 1, entre 1 et 2, etc.)
2) Situer sur la droite les entiers qui sont nécessaires.
3) Regarder le dénominateur. Il indique en combien de parties l’entier sera divisé.
Diviser la droite de façon à avoir les mêmes espaces entre les graduations.
4) Regarder le numérateur. Il indique l’endroit où sera placée la fraction.
0 1
0 1
0 1 2
5
1
5
3
5
4
5
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Exemple 2 :
Quelle fraction représente le point sur la droite?
La fraction se situe entre ____ et ____ .
Cette section est divisé en ____ parties égales donc ce sont des _________.
La fraction qui est représentée par le point est _____ ou _____.
À ton tour!
1. Situe les fractions suivantes sur la droite numérique.
a) 5
6
b) 7
3
2. Détermine les fractions situées au point A, B et C.
A : ____ B : ____ C : ____
0 2 1
0 1
A B C
0
0
8 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Nombre fractionnaire Fraction
Exemple : 21
3 = 2 +
1
3 = 2 entiers +
1
3 d'un entier
= 3
3 +
3
3 +
1
3 =
7
3
J’obtiens donc 7 parties de 1
3 ou 7 x
1
3.
Fraction Nombre fractionnaire
Exemple : 17
6 Je cherche le nombre de fois que
6
6 (un entier) entre dans 17 parties.
Représentation : Calcul :
Attention : Calculatrice : 17 ÷ 6 = 2,8333…
Donc, il entre 2 entiers complets (2 entiers × 6 morceaux)
Il reste 17 – 12 = 5 morceaux
Écritures équivalentes
17 6
-12
5
Réponse : 2 entiers + 5
6
Pour transformer un nombre fractionnaire en fraction, on
transforme les entiers en fraction et on additionne le nombre de
parties au total (les parties dans les entiers + les parties qui ne forment pas un entier).
(Les parties doivent avoir la même grosseur ou même surface).
Pour transformer une fraction en nombre fractionnaire, on
divise le numérateur par le dénominateur (sens division) pour
connaître le nombre d’entiers. Ensuite, on regarde ce qui reste.
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Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020 Reproduction autorisée à des fins non commerciales 9
À ton tour! Transforme le nombre fractionnaire en fraction en utilisant une représentation visuelle.
a) 42
5=
b) 31
4=
c) 25
6=
À ton tour!
Transforme la fraction en nombre fractionnaire.
a) 13
5=
b) 38
9=
c) 7
6=
Pour en faire plus, tu peux aller sur le site : https://phet.colorado.edu/sims/html/build-a-fraction/latest/build-a-fraction_fr.html
10 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Il existe plusieurs stratégies pour ordonner ou comparer des fractions sans les mettre
automatiquement sur le même dénominateur.
À ton tour!
Ordonne les fractions suivantes (de la plus petite à la plus grande) sans transformer les fractions :
5
12
11
7
7
9
10
11
4
12
7
8
−5
6 Explique tes stratégies.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comparaison de fractions
Si on remarque qu’il
manque une fraction
unitaire pour arriver à
½ ou à 1.
Il faut donc regarder
la grosseur de cette
fraction unitaire.
Si les fractions ont le
même dénominateur,
c’est que la grosseur des
morceaux est la _______.
Il faut donc regarder le
___________ de morceaux.
Si les fractions ont le
même numérateur
c’est que le nombre de
morceaux est le_______.
Il faut donc regarder la
__________ des morceaux.
Si on peut facilement
estimer la grandeur de la
fraction : Inférieur à 0
Entre 0 et la moitié
Entre la moitié et 1
Plus grand que 1
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020 Reproduction autorisée à des fins non commerciales 11
Deux fractions sont équivalentes si elles ont la même valeur. Elles représentent donc la même
portion du même tout ou encore elles occupent la même place sur la droite numérique.
Exemple : 2
5,
4
10,
6
15 sont des fractions équivalentes, car
2
5=
4
10=
6
15 .
Différentes façons d’obtenir des fractions équivalentes :
Par multiplication
On multiplie le numérateur et
le dénominateur par le même ____________.
À ton tour! Trouve 2 fractions équivalentes à chaque fois :
a) 2
5=
c) 7
12=
b) 1
6=
d) 9
10=
Fractions équivalentes
3
4 =
?
8
× 𝟐
× 𝟐
J’ai 2 fois plus de morceaux au total
(dénominateur) donc 2 fois plus de
morceaux colorés (numérateur).
Les morceaux sont 2 fois plus petits.
12 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Par division
On divise le numérateur et
le dénominateur par le même nombre.
Pour obtenir une fraction irréductible (2 façons) :
• On trouve par quel(s) nombre(s) le
numérateur et le dénominateur se divisent (critères de divisibilité).
On continue jusqu’à ce que le seul diviseur commun soit 1.
• On divise le numérateur et le dénominateur
par le plus grand commun diviseur.
À ton tour!
Trouve les fractions irréductibles :
a) 12
20= c)
15
75=
b) 24
32= d)
24
48=
16
24 =
?
3
÷ 𝟖
÷ 𝟖
J’ai 8 fois moins de morceaux au total
(dénominateur) donc 8 fois moins de
morceaux colorés (numérateur).
Les morceaux sont 8 fois plus gros.
Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible
si le numérateur et le dénominateur n’ont
pas de diviseurs communs sauf le nombre 1.
54
60 =
27
30 =
9
10
÷ 𝟐
÷ 𝟐
54
60 =
9
10
÷ 𝟔
÷ 𝟔
÷ 𝟑
÷ 𝟑
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
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À ton tour!
Transforme les fractions en pourcentage :
a) 8
20= c)
12
25=
b) 27
40= d)
142
160=
Pour transformer une fraction en
pourcentage, on doit trouver une
fraction équivalente sur 100.
Une fraction dont le
dénominateur est 100 peut être
exprimée sous la forme d’un
pourcentage. On remplace alors le
dénominateur 100 par le symbole %
, qui se lit « pour cent ».
4
5 =
?
100
× 𝟐𝟎
× 𝟐𝟎
J’ai 20 fois plus de morceaux au
total (dénominateur) donc 20
fois plus de morceaux colorés
(numérateur).
Les morceaux sont 20 fois plus
petits.
Pourcentage
20
100 = 20 %
14 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Pour additionner ou soustraire des fractions, je dois avoir une unité commune (des morceaux
de la même grosseur ou de la même surface), comme lorsque nous additionnons des mesures.
Ex : 1 cm + 3 cm = 4 cm
Ex : 1
5
3
5=
4
5
Lorsque les unités sont différentes, il faut trouver une unité commune.
Ex : 1
2
1
6
Addition et soustraction de fractions
Comme des demis et des sixièmes d’un même tout ne sont pas des morceaux de la même grosseur, alors il faut trouver une façon de transformer ces morceaux pour pouvoir les additionner.
+
Les morceaux
sont 3 fois plus
petits donc
j’en ai 3 fois
plus qu’au
départ.
Je dois trouver une fraction équivalente à 1
2
1
2 =
?
6
× 𝟑
× 𝟑
Important :
Tu devrais
toujours estimer
le résultat avant
de commencer!
Le tout ne change PAS
et l’unité commune ne
change PAS!
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Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020 Reproduction autorisée à des fins non commerciales 15
Ex : 3
5
1
2
À ton tour!
Trouve la somme ou la différence. Tu peux utiliser du matériel ou un dessin.
a) 2
3
1
4=
b) 1
2
5
7=
c) 3
4
1
6=
Comme des cinquièmes et des demis d’un même tout ne sont pas des morceaux de la même grosseur, alors il faut trouver une façon de transformer ces morceaux pour pouvoir les soustraire.
Je dois trouver une fraction équivalente à 3
5 et une fraction équivalente à
1
2
3
5 =
?
10
× 𝟐
× 𝟐
1
2 =
?
10
× 𝟓
× 𝟓
Les morceaux
sont 2 fois plus
petits donc
j’en ai 2 fois
plus qu’au
départ.
Les morceaux
sont 5 fois plus
petits donc
j’en ai 5 fois
plus qu’au
départ.
16 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Multiplication d’une fraction par un nombre entier ou d’un nombre entier par
une fraction
Multiplier une fraction par un entier, revient à additionner la fraction le même nombre de fois que
l’entier.
Exemple : 1
3 × 2 = 2 ×
1
3
Exemple : 5
4 × 3 = 3 ×
5
4
× 3 =
Multiplication de fractions
× 2 = =
1
3
1
3 =
2
3
1
3 × 2 =
2
3
=
5
4
5
4
5
4 =
15
4 = 3 +
3
4 = 3
3
4
5
4 × 3 =
15
4 = 3 +
3
4 = 3
3
4
La multiplication est
commutative
2 × 1
3 =
2
1 ×
1
3 =
2
3
3 × 5
4 =
3
1 ×
5
4 =
15
4 = 3 +
3
4 = 3
3
4
Le dénominateur ne change
PAS puisqu’on additionne
des tiers avec des tiers.
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
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Multiplication d’une fraction par une fraction
À l’aide du dessin
Exemple : 2
3 ×
1
4 c’est comme
2
3 de
1
4
À l’aide du matériel de manipulation
À l’aide du matériel de manipulation ou du dessin, trouve le résultat des multiplications suivantes :
a) 3
4 ×
1
3 =
3
4 de =
b) 1
2 ×
5
6 =
1
2 de =
c) 2
5 ×
1
2 =
2
5 de =
Suite à tes observations, peux-tu trouver une méthode qui te permettrait d’arriver à la réponse,
d’une multiplication d’une fraction par une fraction, sans passer par le dessin ou par le matériel de
manipulation?
Conclusion
2
3 de =
2
12
1
4
Le matériel de
manipulation ou le
dessin te permet de
mieux comprendre le
sens de la multiplication
de fractions.
2
12
1
4 du tout
2
3 de
1
4
L’estimation peut
t’aider à valider
ta réponse!
18 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
À ton tour!
Trouve le produit. Tu peux utiliser du matériel ou un dessin.
a) 1
4 × 6 =
b) 4 × 2
5=
c) 1
3 ×
5
6=
d) 3
4 ×
1
5=
e) 5
8 ×
2
3=
f) 1
4 ×
5
9=
N’oublie pas, la
multiplication est
commutative!
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
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Une fraction est l’inverse d’une autre si leur produit est ______. Pour y arriver, il suffit de
_______________________ le numérateur et le dénominateur.
Exemples :
• L’inverse de 4
3 est
3
4, car
3
4 ×
4
3=
12
12= 1
• L’inverse de 2 est 1
2, car 2 ×
1
2=
2
1= 1
À ton tour! Trouve l’inverse des nombres suivants.
a) L’inverse de 5
8 est _______.
b) L’inverse de 7 est _______.
c) L’inverse de −1
3 est _______.
d) L’inverse de 12
3 est _______.
Complète les phrases suivantes.
a) L’opposé de 2
3 est ______.
b) L’inverse de 2
3 est ______.
ATTENTION!
L’INVERSE n’est PAS l’OPPOSÉ.
• L’opposé de 4 est - 4
• L’opposé de 2
5 est -
2
5 .
• L’inverse de 2
5 est
5
2 .
Opposé
Inverse
Inverse d’un nombre
20 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Diviser un nombre entier par une fraction (sens groupement)
À l’aide du matériel de manipulation
Exemple : 4 ÷ 𝟐
𝟑
4 entiers = 12
3
Division de fractions
Combien de fois 2
3 entre dans
12
3 ?
C’est comme combien de fois ___ entre dans ?
Sens groupement
Lorsqu’on divise 2 nombres, on se
demande combien de fois un nombre
entre dans l’autre.
Exemple : Antoine a 20 $. Il donne 5 $ à chacun
de ses amis. Combien d’amis Antoine a-t-il?
20 ÷ 5 = ? Combien de fois __ entre dans ___?
(On cherche le nombre de groupements)
Combien de fois 2
3 d’un entier
entre dans 4 entiers?
Estime : < 1 ou > 1 ?
6 groupements de 2
3
Sens partage
Lorsqu’on divise 2 nombres, on se
demande ce que l’on obtient lorsqu’on partage
ce nombre également.
Exemple : Antoine a 20 $ qu’il aimerait partager également entre 4 amis. Quel montant d’argent chacun recevra-t-il?
20 ÷ 4 = ? Qu’est-ce que j’obtiens si je partage 20 en 4?
(On cherche la valeur du groupement)
5 $ 5 $ 5 $ 5 $
20 $
?
? ? ? ?
20 $
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020 Reproduction autorisée à des fins non commerciales 21
À l’aide du dessin (sens groupement)
Exemple : 4 ÷ 2
3
À l’aide de symboles
Exemple : 4 ÷ 2
3
4 ÷2
3=
3 ÷
3 =
12
2= 6
Complète et observe : Théo veut transvider 6 litres de sirop d’érable dans différents contenants : 3 litres, 2 litres, 1 litre,
1
2 litre,
1
3 litre,
1
6 litre.
Combien de contenants obtiendra-t-il selon la grosseur des contenants?
6 ÷ 3 = ____
6 ÷ 2 = ____
6 ÷ 1 = ____
6 ÷1
2= ____
6 ÷1
3= ____
6 ÷1
6= ____
Peux-tu expliquer pourquoi une division peut donner un nombre plus grand que le nombre de départ?
____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
Combien de fois 2
3
d’un entier entre
dans 4 entiers?
Combien de fois 2
3 entre dans 4 ?
Combien de fois 2
3 entre dans _____ ?
Le tout (les tiers) n’est plus nécessaire. On regarde
maintenant :
Combien de fois 2 entre dans ? Le tout CHANGE! Ce sont des demis!
22 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Diviser une fraction par une fraction (sens groupement)
Même dénominateur
J’ai ____ kg de pépites de chocolat à répartir dans des sacs qui contiennent chacun ____ kg. Combien de sacs puis-je faire avec la totalité du chocolat?
Observe :
J’ai 6
7 kg de pépites Je fais des sacs de
3
7 kg Combien de fois
3
7 entre dans
6
7?
ou Combien de fois 3 entre dans 6?
6
7 ÷
3
7
= 6 ÷ 3 = ___ sacs
J’ai 8
15 kg de pépites Je fais des sacs de
2
15 kg Combien de fois
2
15 entre dans
8
15?
ou Combien de fois 2 entre dans 8?
8
15 ÷
2
15
= 8 ÷ 2 = ___ sacs
J’ai 6
11 kg de pépites Je fais des sacs de
1
11 kg Combien de fois
1
11 entre dans
6
11?
ou Combien de fois 1 entre dans 6?
6
11 ÷
1
11
= 6 ÷ 1 = ___ sacs
J’ai 3
7 kg de pépites Je fais des sacs de
2
7 kg Combien de fois
2
7 entre dans
3
7?
ou Combien de fois 2 entre dans 3?
3
7 ÷
2
7
= 3 ÷ 2 = ___ sacs
Conclusion
Lorsqu’on divise deux fractions ayant le même dénominateur, il suffit de _____________ les numérateurs.
6
7
3
7
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Dénominateurs différents
Exemple : J’ai 5
6 kg de pépites de chocolat à répartir dans des sacs qui contiennent chacun
1
3 kg.
Combien de sacs puis-je faire avec la totalité du chocolat?
À l’aide du matériel de manipulation
À l’aide du dessin
Exemple : 5
6 ÷
1
3
À l’aide de symboles
5
6÷
1
3=
6 ÷
6 = = 2
Conclusion
Lorsqu’on divise deux fractions ayant des dénominateurs différents, il suffit
de les mettre sur le ________ dénominateur et ensuite on _____________ les
_______________ .
Combien de fois 1
3 entre dans
5
6 ?
Il entre 2 fois complètement + 1
2 fois.
1
6
1
6
1
6
1
6
1
Combien de fois 1
3 entre dans
5
6 ?
Si je mets au même dénominateur, ce sera plus facile :
Combien de fois 2
6 entre dans
5
6?
Le tout (6e) n’est plus nécessaire. On regarde
maintenant :
Combien de fois 2 entre dans 5?
Le tout CHANGE! Ce sont des demis!
1
3
1
6
24 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
À ton tour!
Trouve le quotient. Tu peux utiliser du matériel ou un dessin.
a) 3 ÷ 1
5 =
b) 2 ÷ 3
8=
c) 7
8 ÷
1
4=
d) 1
2 ÷
3
5=
e) 3
4 ÷
2
3=
f) 5
6 ÷ 3 =
Sens partage
As-tu estimé avant
de commencer?
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020 Reproduction autorisée à des fins non commerciales 25
Nombre décimal
Quotient de 2 nombres entiers dont l’écriture, en notation décimale, comporte une suite finie de chiffres à la droite de la virgule dans la partie décimale (ou fractionnaire).
Exemples :
33
4 = 8,25
8,25 est un nombre décimal, car 25 qui est dans la partie décimale (25
100) est un suite finie de chiffres.
35
3 = 11,6666…
11,6666… n’est pas un nombre décimal, car 6666… qui est dans la partie décimale est une suite infinie de
chiffres.
Valeur et position
Notre système de numération est en base ___. Chaque position possède une valeur qui est 10 fois
plus grande que celle de la position immédiatement à sa __________.
Exemple : Dans le nombre 597,436 chaque chiffre possède une position et une valeur :
Complète le tableau suivant :
Position du 8 Valeur du 8 en fraction
a) 23,81
b) 0,008 5
c) 401,081
d) 20,404 8
Partie entière Partie décimale (partie fractionnaire)
5 9 7 , 4 3 6
Position centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
Valeur 500 90 7 4
10
3
100
6
1000
Forme
développée 5 x 100 + 9 x 10 + 7 x 1 + 4 x
1
10 + 3 x
1
100 + 6 x
1
1000
Nombres décimaux
Valeur 10 fois plus grande d’une position à l’autre
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RAPPEL
Exemple : 7,51 se lit donc 7 et 51 centièmes.
Comment doit-on lire les nombres suivants?
a) 12,3 : _________________________________________________________________
b) 34,506 : _______________________________________________________________
c) 0,0023 : _______________________________________________________________
Les nombres décimaux font partis de la vie quotidienne. Cependant, une simple erreur de
positionnement et on peut faire face à une catastrophe.
Corrige les erreurs suivantes :
a) En 2019, la population du Québec était de 84,85 millions.
b) À sa naissance, Kévin mesurait 3,6 m.
c) Un enfant de 8 ans peut prendre 75 mL de sirop aux 4 heures.
d) La vitesse de croisière d’un avion est de 95 km/h.
e) La hauteur du tunnel Louis-Hippolyte-La Fontaine est de 44 m.
Fraction décimale
Lecture des nombres décimaux
Pour lire un nombre décimal :
1- On lit la partie entière (sauf quand l’entier est zéro).
2- On mentionne « et » (pour la virgule).
3- On lit la partie décimale (fractionnaire).
4- On nomme la position occupée par le chiffre le plus à droite dans le nombre.
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est un multiple de
10 (10, 100, 1 000, …).
Exemple : 12 6
10 est une fraction décimale, car le dénominateur est 10.
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Écris les nombres suivants en fraction décimale.
Nombre décimal Fraction décimale Nombre décimal Fraction décimale
a) 2,3 b) 8,065
b) 0,0001 d) 6,19
Notation décimale
Nombre décimal avec partie décimale finie :
Partie entière Virgule Partie décimale FINIE
3 , 21
40 , 345 618
Nombre en notation décimale avec partie décimale infinie périodique :
Partie
entière Virgule
Partie décimale
INFINIE
et périodique
Écriture
symbolique
3,222 222 222 …
12,565 656 565
…
5,344 444 …
1 233,333 333 …
Nombre en notation décimale avec partie décimale infinie non périodique :
Partie entière Virgule Partie décimale INFINIE et
NON périodique
𝜋 = 3,141 592 653 …
√2 = 1,414 213 562 …
La partie décimale d’un nombre peut être :
finie;
infinie périodique;
infinie non périodique.
Écriture symbolique : On met
une barre au-dessus du ou des
chiffres qui se répètent :
Ex : 0,363636… = 0,36തതതത
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RAPPEL
Pour arrondir un nombre à une position donnée, il faut simplement se demander quelle est
la position la plus près (le dixième le plus près, le centième le plus près, etc.).
Exemple : Arrondis au dixième près 34, 76
À ton tour!
Arrondis les nombres suivants :
a) Arrondis au centième près 27,049 Réponse :
b) Arrondis au dixième près 3,248 Réponse :
c) Arrondis au millième près 27,5986 Réponse :
d) Arrondis au centième près 1,899 Réponse :
e) Arrondis à l’unité près 748,39 Réponse :
Arrondissement
Est-ce que 34,76 est plus près de :
34,0 ? 34,1 ? 34,2 ? 34,3 ? 34,4 ? 34,5 ?
34,6 ? 34,7 ? 34,8 ? 34,9 ?
Réponse : 34,76 est plus près de 34,80 ou 34,8
Lorsqu’on arrive au
milieu de 2
nombres, on prend
______________
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RAPPEL
Pour ordonner des nombres décimaux :
Comparer la partie entière des nombres : la partie entière la plus grande est le plus
grand nombre.
Si la partie entière est identique, comparer la partie décimale
o Transformer la partie décimale en fraction décimale.
o Comparer les fractions.
o La plus grande fraction correspondra au plus grand nombre.
ATTENTION! : Lorsque tu compares des nombres négatifs, le nombre le plus éloigné du
« 0 » est le plus petit nombre.
Exemple : Compare 5,8 et 5,47
La partie entière est identique.
On transforme la partie décimale en fraction décimale. 5 8
10 et 5
47
100
On compare 8
10 et
47
100 (L’une est en haut de la moitié et l’autre en bas de la moitié.)
Réponse : 5,8 > 5,47
À ton tour!
Compare les nombres suivants (<, > ou =).
a) 3,42 3,43 f) 2,01 2,1
b) 0,060 0,50 g) -1,4 -1,5
c) 9,76 9,8 h) 5,62 5,614
d) 0,087 0,0091 i) -1,1 1,1
e) 4,65 5,56 j) -3,45 -4,42
Place par ordre croissant les nombres suivants : -3,3 3,033 -3,03 3,33 3,303
__________________________________________________________________________
Comparaison de nombres décimaux
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1. Combien de nombres retrouve-t-on entre 2,4 et 2,5? Entre 2,46 et 2,47?
__________________________________________________________________
2. Quel est le nombre le plus près de 1?
a) 1,2 ou 0,85? _______________ b) -1,8 ou 1,8? _______________
3. Trouve les nombres décimaux indiqués par la flèche sur la droite numérique.
a)
b)
c)
4. Place les nombres suivants sur la droite numérique : 1,45 1,6 1 1,15
1 2 3 4 5 6
-1,6 -1,5 -1,4 -1,3 -1,2 -1,1
3 3,25 3,5 3,75 4 4,25
1,4 1,5 1,3 1,2
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Pour tronquer un nombre (à notation décimale) à une position donnée, il suffit de retirer
tout ce qui se trouve après cette position.
Exemple : Tronque à l’unité près 79,8.
e trouve
Exemple : Tronque au centième près 12,5643
À ton tour! Tronque les nombres suivants :
a) Tronque au centième près 27,049 Réponse :
b) Tronque au dixième près 3,248 Réponse :
c) Tronque à l’unité près 27,83 Réponse :
Troncature
Qu’est-ce qu’il y a après la position de l’unité dans 79,8?
* La partie décimale (,8)
* C’est ce que je supprime, sans arrondir.
Réponse : 79
Qu’est-ce qu’il y a après la position
du centième dans 12,5643?
* Les chiffres suivants (43)
* C’est ce que je supprime
Réponse : 12,56
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Attention! Dans un problème ce n’est pas toujours aussi simple, il faut réfléchir au contexte. Souvent, il
faudra arrondir, parfois il faudra tronquer et d’autres fois, il faudra aller à l’entier suivant.
Exemple :
Dans une salle de 250 m2, je veux installer des chaises pour un concert. Je dois considérer
que chaque chaise occupera 1,8 m2. Combien de chaises puis-je installer dans cette salle?
Calculs :
250 m2 ÷ 1,8 m2 138,8889 sièges
Réponse : Je peux installer 138 sièges.
Pour ramasser de l’argent pour une collecte de fond, ton ami vend des paniers de fruits. Il doit
amasser 350 $. Si un panier de fruits se vends 6 $, combien doit-il vendre de paniers de fruits
pour atteindre son objectif?
Calculs :
350 $ ÷ 6 $ 58,3333… paniers
Réponse : Il doit vendre 59 paniers de fruits pour atteindre son objectif.
1) Je ne peux pas mettre 0,8889 sièges.
Est-ce que je choisis 138 sièges ou 139 sièges?
2) 138 138,8889, donc 138 sièges entre dans la salle. (troncature)
3) 139 138,8889, donc 139 sièges n’entre pas dans la salle.
1) Je ne peux pas vendre 0,3333… panier.
Est-ce que je choisis 58 paniers ou 59 paniers?
2) 58 58,3333…, donc s’il vend 58 paniers, il n’aura pas assez d’argent.
3) 59 58,3333…, donc s’il vend 59 paniers, il aura assez d’argent.
(entier suivant)
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RAPPEL
Multiplication d’un nombre par une puissance de 10
Observe la position des chiffres après chaque multiplication :
Ex :
Unités de milles
Centaines Dizaines Unités , Dixièmes Centièmes
6,78 x 1 = 6 , 7 8
6,78 x 10 = 6 7 , 8
6,78 x 100 = 6 7 8
6,78 x 1 000 = 6 7 8 0
Que remarques-tu quant à la position des chiffres lorsqu’on effectue des multiplications par une
puissance de 10? _______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
Ex :
Dizaines Unités , Dixièmes Centièmes Millièmes Dix-millièmes
Cent-millièmes
85,26 ÷ 1 = 8 5 , 2 6
85,26 ÷ 10 = 8 , 5 2 6
85,26 ÷ 100 = 0 , 8 5 2 6
85,26 ÷ 1 000 = 0 , 0 8 5 2 6
Que remarques-tu quant à la position des chiffres lorsqu’on effectue des divisions par une
puissance de 10? _______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
À ton tour! Effectue mentalement les multiplications et les divisions suivantes :
a) 45,76 10 =
b) 23,8 1000 =
c) 134,5 ÷ 100 =
d) 4,6 ÷ 1000 =
Multiplication et division d’un nombre
par une puissance de 10
34 Insipiré de Meggy Blanchette et Panoramath Mathématique 1re secondaire Reproduction autorisée à des fins non commerciales Ariane Bisaillon, Marie-France Dubé et Nathalie Krikorian, CSSDM, 2020
Passage d’une forme d’écriture à une autre
Nombre
décimal Pourcentage
Nombre décimal Pourcentage
0,3 = 1,25 =
0,238 =
Pourcentage Nombre décimal
25 % =
7,5 % =
104 % =
Nombre décimal Fraction
3,5 =
0,02 =
Pourcentage Fraction
60 % =
15 % =
Fraction
Fraction Pourcentage
4
5=
9
20=
Fraction Nombre décimal
9
4=
2
5=
D P________________________________
_____________________________________
P D _______________________________
_____________________________________
Mathématique 1re secondaire Inspiré de Meggy Blanchette et Panoramath
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Le pourcentage d’un nombre, c’est une fraction d’un nombre. Tout comme pour les fractions,
lorsque l’on retrouve le mot « de », il représente une multiplication.
1. Effectue les calculs suivants en transformant les pourcentages en fractions.
a) 20 % de 35 = 20
100 ×
35
1 =
b) 15 % de 40 =
2. Effectue les calculs suivants en transformant les pourcentages en nombre décimal.
a) 40 % de 125 =
b) 3 % de 60 =
Pourcentage d’un nombre
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Pour calculer : on peut :
1 % d’un nombre × 1
100 ÷ 100 c’est 100 fois plus petit que le nombre
5 % d’un nombre × 5
100 ÷ 20 calculer la moitié de 10 % du nombre
10 % d’un nombre × 10
100 ÷ 10 c’est 10 fois plus petit que le nombre
25 % d’un nombre × 25
100 ÷ 4 c’est le
1
4 du nombre
50 % d’un nombre × 50
100 ÷ 2 c’est la demie du nombre
75 % d’un nombre × 75
100 ÷ 4 × 3 c’est le
3
4 du nombre
100 % d’un nombre C’est le nombre lui-même
2 % d’un nombre × 2
100 calculer 2 fois 1 % du nombre
3 % d’un nombre × 3
100 calculer 3 fois 1 % du nombre
15 % d’un nombre prendre 10 % plus la moitié du 10 % du nombre
20 % d’un nombre ÷ 5 c’est le 1
5 du nombre ou 2 fois 10 % du nombre
90 % d’un nombre Total – 10 % du nombre
99 % d’un nombre Total – 1 % du nombre
200 % d’un nombre × 2 C’est le double du nombre
300 % d’un nombre × 3 C’est le triple du nombre
À ton tour!
Effectue mentalement les calculs suivants :
a) 25 % de 24 =
b) 5 % 40 =
c) 90 % de 80 =
d) 1 % 150 =