Les fonctions en économie et en mathématiques
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Les fonctionsen économie et en mathématiques
Jacques BAIR
(CDS, 9 décembre 2011)
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Sommaire
(Historique) (Dans l’enseignement) Décalage interdisciplinaire potentiel (Fonctions mathématiques exploitées en
économie) Conclusion
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Historique
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Deux points de vue
En mathématiques
- Concept très ancien
- Fort lente maturation
- cfr B-H, sur Orbi En économie
- Assez récent : Cournot (1801-1877)
- cfr B-H sur BibNum
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Dans l’enseignement : généralités
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Variété des notations
( ) [...]
( )
[...]
( )
( ) [...]
[...]
:
: ( )
: ( )
( , ) : ,
f x
f x
f
f
f f x
f t
y
f x y
f x f x
f x y f x
x y x A y B
E A B
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« Pluridimensionnalité conceptuelle »
Plusieurs facettes :
- verbale
- numérique (tables)
- graphique
- analytique
- (ensembliste)
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« Procept » (Tall, Sfard, …)
Exemple simple :
Symbole Processus Concept
x2 calcul du carré d’un nombre
-
f(x) = x2 idem fct = une loi
y= x2 dessiner une parabole
fct = équation
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Décalage interdisciplinaire potentiel
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Le procept
Souvent = outil Construction (souvent)
inductive Pas de mention explicite
de la loi ex.: C = C(q) Grandeurs endogène et
exogène (p, q, …)
Grandeur parfois ordinale
Souvent = objet Approche (souvent)
hypothético-déductive Mention explicite de la
loi f
Variables (in)dépendantes (x, y, …)
Grandeur cardinale
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Compétences
Habiletés calculatoires faibles
Savoir calculer et interpréter :
- taux d’évolution (nbre décim., fraction, %)
- propension- élasticité
Habiletés calculatoires importantes
Savoir exploiter :- taux de variation
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Compétences (suite)
Traitement de cas typiques
Procédé de résolution familier
Liens avec la réalité économique
Explorer des cas exceptionnels, contre-exemples
Situation de résolution de problème
La situation problématique est admise
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La représentation graphique
Représentation graphique = un départ
Choix des axes variable Importance des unités sur
les axes (inclinaison vs pente)
Axes orthogonaux Segments verticaux Construction par points
Parfois, plusieurs courbes
Représentation graphique = un but
Choix des axes imposé Peu d’importance des unités
sur les axes
Axes pouvant être qcqs Pas de sgmts verticaux Construction d’après des
propriétés Généralement, 1 seule
courbe par graphique
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Graphe dans le 1er quadrant
Intensité de la pente (et élasticité)
Rendement
Représentation typique: une droite
Graphe complet
Signe de la pente
Concavite / convexité
Représentation typique: une courbe
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Analyse infinitésimale
Souvent variations discrètes (ou entières)
Infini actuel Notations dC/dq (ou D ou
« del » ou « delta ») Variation marginale : C(q+1)
– C(q) ou C’(q) ou C(q)-C(q-1) Importance de l’élasticité
(sans dérivée) Différentielle = nombre très
petit
Variations généralement continueInfini potentielNotation : f’(x) Variation :
Peu d’intérêt pour l’élasticité (avec dérivée)Différentielle = fct linéaire
f
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Fonctions usuelles
Fonctions linéaires Importance des FAPM Fonctions carré, cube,
puissances quelc., … Définition du logarithme
(expo.) Définition de
l’exponentielle (continuité)
Fonctions affines Peu d’intérêt pour les
FAPM Fonctions polynômes
(degré quelconque) Définition du logarithme
(primitive) Définition de
l’exponentielle (logarithme)
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Types de raisonnement
Souvent « littéraire »
Exemple : Si le coût moyen est minimal, alors il est égal au coût marginal
Souvent « formel »
Démonstration mathématique (avec hypothèses)
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Situations particulières
Quasi-concavité Importance des
fonctions implicites Courbes enveloppes
Extrema liés Equations récurrentes
Concavité Fonctions surtout
explicites Rarement courbes
enveloppes Extrema libres Equations
différentielles
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Fonctions mathématiques exploitées en économie
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Exemples simples (cfr SBPMef)
Lois d’offre et de demande Coûts (fixes, variables, moyens, marginaux,
taxes, …) Revenu (net, brut, …) Fonction d’utilité, courbe d’indifférence Fonction de production, isoquante Evolution dynamique d’une grandeur …
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Conclusion
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Plaidoyer pour un enseignement interdisciplinaire
Les différents points de vue peuvent être utilisés pour faciliter l’acquisition des concepts dans chacune des deux disciplines
Une interdisciplinarité peut mettre en pratique le jeu de contextualisation-décontextualisation
Permet une réflexion formatrice sur le processus de modélisation
Pour les mathématiques, montre l’utilité de la discipline, tout en renouvelant l’enseignement
Pour l’économie, peut apporter plus de rigueur, une motivation pour les études abstraites
…
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Citation (Cf. Bonneval, Repères-IREM, 1999)
Les enseignants qui acceptent de s’y engager y trouvent leur compte : en décloisonnant le savoir, l’échange permet un enrichissement mutuel et un nouveau regard sur sa propre discipline
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Merci pour votre attention