Lenguajes simbólicos

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Santiago López de Medrano Instituto de Matemáticas U.N.A.M. LENGUAJES SIMBOLICOS 1973 Programa Nacional de Formación de Profesores ASOCIACION NACIONAL DE UNIVERSIDADES E INSTITUTOS DE ENSEÑANZA SUPERIOR

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Lenguajes simbólicos

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Santiago López de Medrano

Instituto de MatemáticasU.N.A.M.

LENGUAJESSIMBOLICOS

1973Programa Nacional de Formación de Profesores

ASOCIACION NACIONAL DE UNIVERSIDADES E INSTITUTOS DEENSEÑANZA SUPERIOR

Primera edición: Noviembre,1972. 50,000 ejemplaresPrimera reimpresión: Agosto,1973. 75,000 ejemplares

Derechos reservadosCopyright © 1972Programa Nacional de Formación de ProfesoresASOCIACION NACIONAL DE UNIVERSIDADESE INSTITUTOS DE ENSEÑANZA SUPERIORAv. M. A. Quevedo 8-4°pisoApdo. Postal 70-230México 20, D. F.

Diseño de la Portada:Fernando Mercado

Edición a cargo de:DISEÑO y COMPOSICION LITOGRAFICA, S. A.Blv. M. Avila Camacho N° 40-316Naucalpan, Edo. de México

Miembro Núm. 727 de la CámaraNacional de la Industria Editorial

Impreso en México

Printed in Mexico

PRESENTACION

Esta puhlicacuru [ornia parte de la Serie TEMASBASICOS, preparada por la Asociacion Nacional de Uui-versidades e Institutos de Enseñanza Superior. En cadauna de las áreas de matemáticas, ciencias naturales, his-toria y ciencias sociales, y lengua y literatura, la Serieofrece los tenias vertebrales de los cursos correspondientesen el nivel de enseñanza preparatoria o bachillerato. Algu-1I0S de los tenias serán útiles tatubiéu CONtOauxiliares pararepaso en el inicio del ciclo profesional o COl/tO [ueute deconocituieuto para el lector autodidacta.

Dentro de la inteucion didáctica C01l que han sidoelaborados los niateriales, cabe destacar los propósitos declaridad, concisiou y, en la 'medida de lo posible, desarrolloautónomo de los temas. E1l cada caso, se hall incorporadoal texto ejemplos, preguntas o ejercicios. En ocasiones, laspreguntas o los ejercicios se acompaiian de sus correspon-dientes resotuciou es. Se recotuienda que el lector intente supropia respuesta, antes de ver la que el autor ofrece.

. Excepto en el área de historia y ciencias sociales, endonde se utilizaron trabajos de autores extran teros, en elresto se contó con la valiosa interveucion de destacadoscientíficos e intelectuales niexicanos. La coordinación ge-neral de la Serie estuvo a cargo del señor Lic. Hugo Pa-dilla. Los señores doctores Emilio Lluis, Francisco MedinaNicolau, Arnalao Cordova y Luis Rius, coordinaron, res-pectivamente, las áreas de' matemáticas, ciencias naturales,historia y ciencias sociales, y lengua y literatura.

uc. ALFONSO HANGEL GUERRASECH.ETARIO GENERAL EJECUTIVO

ASOCJACION NACIONAL DE UNIVERSIDADESE INSTITUTOS DE ENSEÑANZA SUPEIUOR

INDICE

l. INTRODllCCION 72. CARACTERISTICAS DE LOS

LENGUAJES SIMBOLICOS 172.1 Arbitrariedad - convención 172.2 Simbolización - operatividad 172.3 Creación y enriquecimiento de

los lenguajes 283. HISTORIA DE LOS LENGUAJES

SIMBOLICOS 384. ALGUNOS SIMBOLOS ESPECIALES

DE LOS LENGUAJES SIMBOLICOS 384.1 La igualdad 384.2 Indices 424.3 Paréntesis 43

5. LOS LENGUAJES HUMANOS YLA LOGICA 49

6. EL METODO CIENTIFICO y LASMATEMATICAS 54

Problemas. Temas de investigación. Activ idades 59Lecturas que se recomiendan 64

1. INTRODUCCION

En el folleto "Modelos Matemáticos" hemos visto a tra-vés de ejemplos cómo se construye un modelo matemáticode una situación real, y cómo se trabaja con el modelo pa-ra resolver los problemas que esta situación presenta.

Vamos ahora a ver cómo se puede facilitar la construc-ción de los modelos. En el ejemplo del viejo y el río llega-mos lentamente a un modelo simbólico a través de unaserie de modelos que cada vez eran más abstractos, es de-cir, que cada vez se parecían menos a la situación real.Pero una vez que hemos hecho este trabajo con el pro-blema del viejo y el río vemos que para otros problemas noslo podemos ahorrar, porque ya tenemos idea de dondequeremos llegar. Esto ya lo vimos. Al tratar el problemadel viejo y el río con lobo ya no fue necesario realizar otravez paso por paso todo el proceso de abstracción: pudimosllegar directamente al modelo simbólico. Ya sabíamos queutilizando ciertos símbolos (letras mayúsculas y el símbolo" 1") podíamos construir un modelo de este problema, yasí lo hicimos.

Lo que sucede es que al resolver el problema del viejoy el río no sólo construimos un modelo, también desarro-llamos un lenguaje simbólico. Este lenguaje simbólico con-sistía de las letras mayúsculas: A, B, C ... , X, Y, Z y elsímbolo para el río "1". Estos símbolos los agrupábamos pa-ra formar ciertas "palabras" o expresiones, como XAC B oXABClD, en las cuales seguíamos ciertas reglas que nomencionamos explícitamente, pero que eran claras paranosotros. Por ejemplo, la regla de que todos los símbolosdeben ir en fila unos detrás de otros. No se nos hubieraocurrido, por ejemplo, escribir cosas como las siguientes

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IX

BACv ~

~XBCAD x

o "1~.-,

Una vez que tenemos un lenguaje simbólico, con sussímbolos y las reglas para combinados, estamos en posibi-lidad de construir muchos modelos para resolver muchosproblemas distintos. Podemos pensar en un lenguaje sim-bólico como una caja llena de piezas, que se pueden 'en-samblar unas con otras de ciertas formas, y mediante lascuales podemos armar muchos modelos distintos.

Cada uno ,de los modelos que hicimos del problema delviejo y el río lo hicimos con un lenguaje particular. Unode estos lenguajes puede consistir de un río, una barca yun grupo de actores capacitados para desempeñar los másdiferentes papeles. Las reglas para combinados son: labarca debe estar sobre el río y los actores deben estar enlas orillas del río o sobre la barca. Si conseguimos esteequipo estamos listos para resolver muchísimos problemasque se nos planteen. Lo que necesitamos es que se nos di-gan con precisión las condiciones del problema. Una vezque las sepamos le asignamos a cada uno de los actores elpapel que debe representar, los colocamos en la posiciónque se nos indicó y empezamos a efectuar los cruces. Labarca y las orillas del río estarán representando tambiénun papel: esta orilla representa tal orilla del río Usuma-cinta, aquella orilla representa la otra y la barca represen-ta a aquella barca del viejo en la que caben sólo dos perso-nas. El mismo equipo lo podemos utilizar después pararesolver el problema de los. caníbales y el de los espososcelosos, o incluso el de Juan y sus hermanos ("ModelosMatemáticos", ejercicio 11) donde los actores representana las personas, la barca representa a la moto, una orilla re-presenta a la escuela, etc. Con este lenguaje no podemosresolver todos los problemas que se nos planteen, claroque no, pero sí podemos resolver toda una serie de proble-mas de un cierto tipo.

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eEjercicio l. Describe lenguajes que correspondan a cadauno de los modelos que desarrollamos en el folleto de Mo-delos Matemáticos.

Una característica especial tienen los lenguajes queutilizamos para construir modelos simbólicos y es que loselementos los vamos construyendo al mismo tiempo que

. construimos el modelo. Podíamos haberlo hecho de otraforma: primero construir el lenguaje recortando pedacitosde papel y dibujando letras y otros símbolos en ellos. Unavez que tuviéramos una pila de papelitos con el símbolo"A", otra pila con el símbolo "B", etc. estaríamos listospara resolver el problema 'que nos plantearan, para lo cualasignaríamos un símbolo a cada elemento del problema, yconstruiríamos los modelos pegando los pedacitos de papelen fila sobre una hoja. También podríamos tener comolenguaje una bolsa de sopa de letras, o una caja de dadoscon letras. Otra forma más sería fabricar una gran canti-dad de piezas de madera de la siguiente forma:

~

con diferentes letras y símbolos dibujados sobre ellas. Paraconstruir el modelo ensamblamos varias de estas piezas

Este lenguaje tiene la ventaja de que las piezas ya es-tán conformadas de manera que sea muy clara la formaen que se deben combinar unas con otras.

Lo que hacemos con los lenguajes simbólicos general-mente es "fabricar" los símbolos a medida que los vamosnecesitando, lo cual resulta mucho más cómodo y rápidoque fabricar una cantidad grande de ellos de antemano.La pluma viene siendo una maquinita muy rápida y efi-

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cien te para hacerlos al gusto. (No olvidemos que las letrasdibujadas sobre un papel son también "cosas", es decir'Objetos materiales que podemos fabricar y destruir). Otrasmáquinas de fabricar símbolos son las máquinas de escri-bir, los linotipos, las varitas (para la playa) y las navajas(para los árboles). (¿Sabes cómo construye un linotipistasus "cajas"?). Observa también el lenguaje simbólico quese utiliza para anunciar las películas en las marquesinas delos cines y los de los anuncios luminosos.

Con las gráficas podríamos hacer lo mismo. Ya sea fa-bricar de antemano un montón de bolitas de plastilina condistintos símbolos grabados y una pila de palitos. Las.re-glas de combinación son que cada palito debe tener sus dosextremos clavados en dos bolítas de plastilina. Con estosobjetos podemos construir modelos gráficos mucho más im-presionantes que las gráficas que ya dibujamos. Tambiénpodríamos tener una máquina que nos fabricara las bolí-tas marcadas a medida que las necesitaramos, o tambiénpodríamos hacerlas con las manos y marcarlas con un lá-piz. (Aquí necesitaríamos una masota de .plastilina quecorrespondería al repuesto de tinta de la pluma). Perotambién resulta más fácil dibujar puntos y líneas sobre unp~el. '

Esta idea de tener una serie de objetos que podamos en-samblar para construir objetos muy complicados es muynatural y se utiliza mucho. Por ejemplo, con una gran can-tidad de ladrillos podemos construir una gran diversidadde casas, si sabemos como pegar unos ladrillos con otros.Claro que todo tiene su límite, y para construir edificios,presas y puentes muy grandes es preferible usar otras cosas.

Este proceso también aparece en la naturaleza. Con losátomos, de los cuales hay 92 tipos distintos, están formadastodas las cosas que conocemos, desde los granos de polvohasta las galaxias, pasando por las piedras, las nubes, estefolleto, las plantas, los animales y los hombres. Sabemostambién que estos átomos tienen sus reglas especiales paracombinarse, que un átomo de oxígeno solo no se puedecombinar con más de dos átomos de hidrógeno (y nos dael agua), y que el helio y el neón no se combinan con nadie,etc. A su vez, los diferentes átomos están formados por

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la combinación de protones, neutrones y electrones, si-guiendo también ciertas reglas. Y ya se ha empezado a ma-nejar la idea de que protones, neutrones y electrones estánformados por la combinación de partículas aún más peque-ñas.

La vida también tiene su lenguaje especial. En el núcleode las células de todos los seres vivos se encuentran losácidos nucléicos que regulan el desarrollo y funcionamien-to de un individuo y determinan sus características. Enestos ácidos se encuentra la información hereditaria quehace que al desarrollarse un nuevo individuo, reproduzcao combine las características de sus padres. Pues bien, es-tos ácidos están formados por la combinación de moléculasmás simples, de los cuales hay cuatro tipos distintos: timi-na, citosina, adenina y guanina. Estas cuatro "letras"se agrupan en larguísimas cadenas que se enrollan en for-ma de hélice y en cada "palabra" están escritas las carac-terísticas del individuo. Una palabra nos dirá si el ser quese desarrolla será un cactus o un elefante, una amiba o unhombre, si tendrá los ojos azules o cafés. Viendo la enormediversidad de individuos, y de especies de plantas y anima-les, nos damos cuenta de la enorme cantidad de palabrasdistintas que se escriben con sólo cuatro letras.

Estos lenguajes aparecen en la naturaleza y no son enrealidad lenguajes simbólicos, pues las expresiones quecon ellos se construyen no son símbolos de nada, o mejordicho, son sólo símbolos de ellos mismos.

Es el hombre el que inventa lenguajes simbólicos parapoder representar situaciones reales, es decir, para crearmodelos de ellas. Entre los lenguajes creados por el hombreestán los alfabetos, y en especial el latino, que se utilizaen casi todo el mundo. Con 26 letras mayúsculas, 26 mi-núsculas y unos cuántos signos más (acentos, diéresis ysignos de puntuación) y ciertas leyes para combinadosC'el acento debe ir sobre una vocal" "antes de B y P nopuede ir una N, etcétera, y todas las reglas más compli-cadas de la gramática) se ha escrito en el idioma castellanouna cantidad increíble de libros, folletos, revistas, periódi-cos, cartas, etc., todas distintas unas de las otras. Muchos

«,

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otros idiomas utilizan los mismos símbolos, aunque sus re-glas de combinación presentan cierta variación.

Muchos otros lenguajes simbólicos han desarrollado loshombres para los más diversos fines. Además de los len-guajes propios de las matemáticas, que mencionaremos enla siguiente sección, podemos citar los siguientes:

El lenguaje simbólico de la química:

NaOH + HCI ~ H20 + NaCl2NH4Cl + Ca(OH)2 ~2NH40H + CaCl2

El de la física nuclear:

U238 + rr' ~92 o U239-+ Np239 + _e"92 93 1

El de los circuitos eléctricos y electrónicos:

~

Los de la programación de computadoras:

00 100 !=l.M100 lAC!)=I) DO 200 I=2.M-lJ8=IACIIJ Ircn,ra,OlGO to 2nh

Do 300 J=I+l.MJ C=IACJ)J Ir(C,EQ,O)G~ TO 300Ir(MOD(C.Ol.E~.r)IACJ1=0

]00 CONTINU[200 CONTINU(

DO 400 l=l.Mi IrCIACI1.[O.OJGC TO 400J PRINT 2.IA(Il/jOn CONTlNUE

CAIL[XTT2 rORMATCI6)

ENO

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los cuales deben traducirse al lenguaje de las tarjetasperforadas, para que la máquina las pueda entender:

t!.,!~-f~;·T~.-:~; r:r; " T.__::~,l>·. j!~:._T ..·,T 7,,",t·.r:,-·.,·;-r~ "" ::.::,.(!J.J:!I!••'r.-.~.!..!!...~•••••~" ••• lt"/1· 'O'IOI"/t.'UI:'ll :•.••. 111'1" _•••••••••• ' ..• :''''. l;\:~·"'·~""'''H.'"I''HHnl'''''.''.' .'.~ E:::3

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Los de la lingüística:

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El de las estructuras del parentesco:

r--===l~= Ó A=6I I I L,

= 0----,..---J ! = 6Oi.~b I I ¿=.-=..I 1=6 I I

0'"""1. =' I I 1~'

,...•~.if62b#l. / --

" ~ I ¡q::;::¡ •••••••••••

oJ r y - ~~ -~ ~ T .. '.f - - r---. ~' •.

L .•. ..,

REYKIA VIK, 6 de agosto. CAP). - Desarrollo de laundécima partida por el título mundial de ajedrez entreel campeón Boris Spassky, de la Unión Soviética y el re-tador Bobby Fischer, de Estados Unidos.

Spassky, blancas.1 P4R P4AD2 C3AR P3D3 P4D PxP4 CxP C3AR5 C3AD P3TD6 ASCR P3R7 P4A D3C8 D2D DxP

El de la música:

Allegro moderato

Violin

Piano

El del ajedrez:

9 C3C10 AxC11 A2R12 O-O13 RIT14 CIC15 D3R16 PxP

D6TPxAP4TRC3AA2DD5CP4DC2R

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17 P4A C4A 25 PxD PTRxP(j)18 D3D P5T 26 RxP T6T19 A4C C3D 27 D6A C4A20 C(IC)2D P4A 28 P6A AlA21 P3TD D3C 29 PxPR PxPR,22 P5A D4C 30 TCIA)IR A2R-23 D3AD PxA 31 TxPR Abandonan24 P4T P6T

El del tejido de agujas:

Puntada:

1a V. 1 d. 2 j. >f 4 d. 1 b. 1 b. 4 d. 3 j. >f Termi-nar con 4 d. 1 b. 1 d. 1 b. 4 d. 2 j. 1 d.

2i:l V. 1 d. 2 jr. >(. 3 r. 1 b. 3 r. 1 b. 3 r. 3 jr. >(. Termi-nar con 3 r. 1 b. 3 r. 1 b. 3 r. 2 jr. 1 d.

3i:l V. 1 d. 2 j. >f 2 d. 1 b. 5 d. 1 b. 2 d. 3 j. >(. Termi-nar con 2 d. 1 b. 5 d. 1 b. 2 d. 2 j. 1 d.

4i:l V. 1 d. 2 jr. >(. 1 r. 1 b. 7 r. 1 b. 1 r. 3 jr. >(. Termi-nar con 1 r. 1 b. 7 r. 1 b. 1 r. 2 jr. 1 d .

5i:l V. 1 d. 2 j. >(. 1 b. 9 d. 1 b. 3 j. >(. Terminar con1 b. 9 d. 1 b. 2 j. 1 d.

6i:l V. 1 d. 1 r. >(. 1 b. 4 r. 3 jr. 4 r. 1 b. 1 r. >(. Termi-nar con 1 b. 4 r. 3 jr. 4 r. 1 b. 1 r. 1 d.

7i:l V. 3 d. >(. 1 b. 3 d. 3 j. 3 d. 1 b. 3 d. >(.

8i:l V. 1 d. 3 r. >(. 1 b. 2 r. 3 jr. 2 r. 1 b. 5 r. >(. Termi-nar con 1 b. 2 r. 3 jr. 2 r. 1 b. 3 r. 1 d.

9a V. 5 d. >(. 1 b. 1 d. 3 j. 1 d. 1 b. 7 d. >(. Terminarcon 1 b. 1 d. 3 j. 1 d. 1 b. 5 d. ,

10i:l V. 1 d. 5 r. >(. 1 b. 3 jr. 1 b. 9 r. >(. Terminar con1 b. 3 jr. 1 b. 5 r. 1 d.

Ejercicio 2. Investiga cuáles son los símbolos utilizados ylas reglas de combinación de los lenguajes simbólicos queacabamos de mencionar. ¿Qué representan los modelos

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que presentamos como ejemplo de la utilización de loslenguajes? ¿Qué relación existe entre el modelo y la si-tuación real que representan?

(Algunos de estos lenguajes no tienen reglas muy defi-nidas. Algunos son conocidos por mucha gente, mientrasque otros sólo son conocidos por algunos especialistas).

./

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2. CARACTERISTICAS DE LOS LENGUAJESSIMBOLICOS

Vamos a ver aquí algunas características de los lengua-jes, en especial de los lenguajes simbólicos que se utilizanen matemáticas. Muchas características de los lenguajestienen- que ver con las características de los modelos quese construyen con ellos; por esta razón no las mencionamostodas.ipuesto que ya las vimos al estudiar los modelos. (Pe-ro sería conveniente que repasaras la sección No. 3.3 de"Modelos Matemáticos"). También vamos a describir có-mo se crean y se transforman estos lenguajes, y por últimovamos a ver cómo se utilizan los lenguajes para construirmodelos.

2.1 Arbitrariedad - Convención .

Ya vimos que los símbolos que utilizamos para represen-tar los elementos de un problema son arbitr(arios. Para re-presentar al viejo pudimos haber utilizado la letra Z o laletra H, en lugar de la letra V o la letra X como lo hici-mos en dos ocasiones. Inclqsive ..Eudimos haber inventadosímbolos especiales como ~ ,@ .o ¿j .Ya vimos quelo importante no es el símbolo en sí, sino sus relacionescon otros símbolos y con el elemento que representan.

,.

Nadie nos obliga a utilizar el símbolo 2, para represen-tar el número dos. Podemos usar el símbolo =f en lugarde el 2 y operar con él como en la siguiente multiplica-ción:

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l=j=X =t= 1--l=r.=t=4=t=S=t=

(en la cual hemos utilizado los demás símbolos convencio-nales para no complicar el ejemplo).

En la mayor parte de los modelos que hemos visto, lossímbolos utilizados tenían esta propiedad de ser arbitrarios.

Pero a pesar de que los símbolos son arbitrarios, a V(1-

ces es muy conveniente escoger con cuidado los símbolos'empleados o fijar algunos símbolos.

Que es conveniente escoger con cuidado los símbolos ya:lo experimentamos al resolver el problema del viejo y el río.Elque los símbolos para las pertenencias (A, B, C), parael viejo (X) y para el río (1) los hayamos escogido detipos distintos, nos ayuda a acordamos de las diferentesfunciones que tienen a la hora de trabajar con el modelo.También fue muy útil el orden de los símbolos A, B y Cpara acordamos de quién se come a quién. Además, 'unavez que fijamos el símbolo" 1" para el río, lo podemos usarpara los demás problemas del mismo estilo. Naturalmenteque en el nuevo problema podríamos simbolizar el río me-diante cualquier otro símbolo (una R, una coma, etc.),pero al estar ya familiarizados con su uso en un problema,se nos facilita mucho su uso en los demás problemas.

Otra necesidad que nos lleva a no utilizar símbolos ar-bitrarios en cada problema que ataquemos sino, por elcontrario, a fijar ciertos símbolos que se utilizan frecuen-temente, es la de comunicar los resultados que obtengamos.Esto requiere que nos pongamos de acuerdo con las per-sonas con las que queremos intercambiar resultados, puessi les mandamos solamente el modelo, no sabrían cómointerpretarlo o aplicarlo. Si ya nos hemos puesto de acuer-do con el viejo sobre el significado de los símbolos quevamos a utilizar para la resolución de su problema, bastaenviarle la solución simbólica para que él entienda lo quele estamos proponiendo.

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Para este fin de poder entendernos se utilizan muchí-simos símbolos convencionales que todo el mundo com-prende. Muchos símbolos y lenguajes que se utilizan fre-cuentemente en matemáticas son conocidos y aceptados encasi todo el mundo. Entre estos sc encuentran los símbolospara los números (O, 1, 2, ... ) y los símbolos para lasoperaciones (+, -, X, -:-), así como las reglas para com-binar estos símbolos y para operar con ellos. En los len-guajes humanos no se ha llegado a este acuerdo univer-sal, lo cual resulta en una gran dificultad para comunicar-nos. La palabra "a" quiere decir una cosa en español, otracosa muy distinta en inglés, y otra cosa muy distinta enfrancés. Incluso la forma como se pronuncian los mismossímbolos es muy diferente, y en otros idiomas se utilizansímbolos muy distintos. Sin embargo, también hay símbo-los convencionales (como los signos de puntuación: . , ;: ? !) que son utilizados y comprendidos por personas quehablan y escriben en idiomas muy diferentes.

Pero hay otro aspecto de esta situación, y es que a ve-ces no queremos que nos entiendan. En ese caso lo másconveniente, claro está, es utilizar un lenguaje simbólico10 más arbitrario posible. Sin embargo, el conocimiento dela relación que existe entre los símbolos y el conocimientode la situación real permite a veces descifrar el contenidode un mensaje "en clave". Por ejemplo, si nos dan el frag-mento siguiente dcl problema del viejo y el río

:(. ? ! #::(.=#= ?!

? :(..:j:j:: !

podemos descubrir que "?" representa al viejo (porque cru-za sólo en el segun do paso) y que "!" represen ta la ga-llina (porque "¿" y "fj:" se quedaron solos, y ningunopuede ser la gallina). De ":(." y "#" no podemos saber cuáles el perro y cuál es el maíz, y esto no lo podríamos averi-guar ni aunque tuviéramos un fragmento mayor, porqueya sabemos que el perro y el maíz juegan un papel simétri-co, y se pueden intercambiar. También en la multiplica-ción que hicimos antes podíamos haber descubierto que9= representaba al 2.

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Naturalmente que si quisiéramos esconder más la so-lución del problema, podríamos hacerla utilizando un sím-bolo arbitrario en lugar del símbolo convencional (paranosotros) "1", revolviendo los símbolos en cada lado delrío o haciendo "pasos" que no signifiquen nada, como elpaso de XABC I a ABXC l. La habilidad de descifrar unmensaje depende del conocimiento del lenguaje utilizadoy, por lo tanto, también un mejor conocimiento de éste nospermite disfrazar mejor los mensajes que no queremosque sean entendidos por algunas personas. En la actuali-dad, el arte de cifrar y descifrar mensajes está muy desarro-llado. Una situación similar se da al tratar de interpretarlos símbolos dejados por culturas desaparecidas. Algunosde estos idiomas han sido descifrados, pero otros, comopor ejemplo el maya, han resistido los intentos de descí-frarlos durante muchos años.

El matemático francés Francisco Vieta (1540-1603),que fue uno de los que más contribuyeron al desarrollo dellenguaje simbólico del álgebra, descifró la clave de losmensajes que el gobierno de España mandaba al goberna-dor de los Países Bajos. Se dice que la clave de estos men-'sajes tenía más de 500 símbolos, y que cuando el rey Fe-lipe II se dio cuenta de que sus mensajes secretos eranleídos por los franceses, a pesar de la clave que él creíaindescifrable, acusó a éstos de brujería ante el Papa.

(Ejemplos muy interesantes de desciframiento de cla-ves los podemos encontrar en la literatura. Ver, por ejem-plo, "La Aventura de los Bailarines" en "La Reaparición deSherlock H olmes" de A. Co n an Doyle, y. "El Escarabajode Oro" de Edgar Allan Poe).

Ejercicio 3. El viejo ya está cansado de que nos metamosen sus asuntos, y ya no nos quiere decir lo que hace. Perointerceptamos un mensaje que envió a su nieto en el cuálle explica los cruces que tuvo que efectuar un día debidoa diversas circunstancias. Sabemos que en ese día el viejotenía también el problema del lobo, .que come perros ygallinas. El mensaje fue el siguiente:

stuw I v

20

ts lVVU

stuv wtv usw

¿Qué símbolo representa al viejo? ¿Dónde quedó elmaíz al finalizar el día? ¿Qué otro símbolo puedes desci-frar?

Ejercicio 4. Las siguientes multiplicaciones fueron hechasen clave para que no las entendamos. ¿Las puedes desci-frar?

Q el) * ?-•......

O \J 0*Q ® 0*

\7cf?® -\{- J) ~-

~ ~ • (¡) *J) O *Inventa más problemas de éstos.

Ejercicio 5. Mientras estábamos descifrando las multiplica-ciones, el viejo se dio cuenta de que habíamos descubiertosu clave, por lo que decidió complicarla más. Para esto nousó un símbolo especial para el río, y le mandó el siguien-te mensaje a su nieto sobre los cruces que hizo un día queno había lobo en las orillas del río. Nuestros espías lovolvieron a interceptar:

KOMNLKMNOLNOKMLNMLKO

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¿Puedes descifrar este mensaje? (Como hemos visto que,sabiendo cuál es el símbolo del río, podemos sacar los de-más fácilmente, lo primero que hay que hacer es encon-trar el río).

2.2 Símholjzacién - operatividad.

Hay lenguajes que sólo nos sirven para describir y co-municar con mayor facilidad y rapidez una situación. Unejemplo de esto es la taquigrafía, que es una forma de es-cribir los lenguajes humanos a mayor velocidad. El len-guaje simbólico del ajedrez es un ejemplo de una taquigra-fía. Podemos representar muy fácilmente una partida deajedrez utilizándolo, pero para poder verificar si una cier-ta jugada es posible tenemos que reconstruir jugada porjugada en un tablero, o hacer algo equivalente o muchomás complicado (como programar una computadora elec-trónica para que comprenda el significado de estos símbo-los). En los lenguajes humanos también es muy difíciloperar con los símbolos escritos para sacar alguna idea nue-va. En algunos casos es posible hacer algo (ver, por ejem-plo, los ejercicios 3 y 4 de Modelos Matemáticos), perosiempre es muy limitado lo que podemos hacer y sólo abase de escribir todo con muchísima precisión, lo cual nosucede naturalmente en estos lenguajes (ver Sección 5).

En cambio los lenguajes simbólicos de las matemáticastienen cierta vida propia. Si conocemos las reglas precisaspara manipular los símbolos, podemos manipularlos mecá-nicamente, sin tener que estar pensando en cada paso loque los símbolos significan. Esta mecanización puede sertan completa que una máquina puede realizar este pro-ceso, sin la intervención de la mente humana.

Esto lo podríamos hacer en el problema del viejo y elrío. Para esto necesitamos describir los símbolos, las reglaspara formar expresiones y las reglas de transformación:

Símbolos: X, A, B, C, IExpresiones: Una expresión bien formada es una suce-

sión de símbolos tal que

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(í ) Todos los símbolos aparecen en ella.(ií ) Ningún símbolo aparece más de una vez.(Iíí ) Si A y B están del mismo lado del signo 1, enton-ces también X está de ese lado del signo l.(iv) Si B y C están del mismo lado del signo 1, enton-ces también X está de ese lado del signo l.

Reglas de transformación. Consisten en pasar la letra X,o la letra X junto con cualquier otra letra, de un lado alotro del signo 1, de tal forma que se obtenga nuevamenteuna expresión bien formada. Después de hacer esta trans-posición se pueden reordenar los símbolos de cada ladodel signo I como se quiera.

La especificación de las "expresiones bien formadas" co-rresponde a lo que queríamos. ASÍ, las expresiones XAB ICy XB IAC son expresiones bien formadas, pero las expresio-nes XBIC, XABIXAC y ABIXC no lo son. La "regla detransformación" también corresponde al problema que nosinteresa. La regla nos dice que, por ejemplo, de XABICpodemos pasar a BiXAC y a AIXBC (y que después laspodemos reordenar así: B ICAX y AlCXB) pero no podemospasar a ¡XABC, XA¡BC, XACIB, AB[XC, etc.

Las reglas de formación de expresiones y las reglas detransformación forman la sintaxis del lenguaje. La semán-tica del lenguaje es la relación que existe entre los símbo-los y los elementos que representan.

Este proceso de especificar con toda precisión las re-glas para formar expresiones y las reglas para transformar-las se llama la [ormalizacián del lenguaje. La ventaja deformalizar el lenguaje reside en que podemos trabajarcon los modelos sin hacer ninguna referencia al problemareal. Esto .perrnite que sepamos en todo momento cuálesson los elementos de la situación real que estamos utilizan-do. Así, si el modelo no funciona, ya sabemos que tenemosque agregar algún elemento más, O modificar alguna delas relaciones que guardan entre sí, y podemos detectarmejor cómo influye cada elemento y cada relación en elproblema.

Algo. así ya habíamos hecho cuando hicimos la gráficadel problema del viejo y el río ('Modelos Matemáticos'

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No. 4). Lo qu~ hicimos allí fue escribir todas las expre-siones bien formadas (a las que llamamos "posiciones per-mitidas") y representamos todas las transformaciones po-sibles mediante la gráfica. Esto nos permitió ver cómocambiaba el problema cuando introducíamos un nuevoelemento (el lobo) o cuando alterábamos las condicionesdel problema (al cambiar la relación entre el lobo y lagallina).

En otros problemas no es posible escribir todas las ex-presiones del lenguaje porque hay un número muy gran-de de ellas. En algunos casos la imposibilidad es total,porque su número es infinito. Esto sucede muy fre-cuentemente, como por ejemplo en los lenguajes humanos,en el lenguaje simbólico de los números (no podemos es-cribir todos los números). En estos casos la formalizaciónes mucho más útil, aún cuando no se haga con tanta pre-cisión como aquí lo hicimos, para poder reconocer cuandouna expresión está bien formada o no, para saber bien quétransformaciones están permitidas, y para poder desarro-llar la teoría.

Una vez que tenemos formalizado un lenguaje simbóli-co, los problemas se presentan bajo la forma de pasar deuna expresión bien formada a otra, o a una expresión deun tipo especial, utilizando las reglas de transformación.

Sin llegar a una formalización completa, muchos len-guajes simbólicos permiten cierta operatividad con lossímbolos. Por ejemplo, el lenguaje simbólico de la químicapermite realizar ciertas operaciones con los símbolos y des-cubrir algunas propiedades químicas sin tener que ir allaboratorio a experimentar con las substancias. Pero parainvestigar otras propiedades necesitamos, ya sea recurriral laboratorio, ya sea utilizar otros lenguajes y teorías dela química, de la física y de las matemáticas, mucho máscomplicadas.

En otras situaciones es conveniente tener una imagen,aunque sea mental, de la situación real que estamos des-cribiendo, o de algún modele más concreto (es decir, me-nos abstracto), ya sea porque las reglas son muy compli-cadas, ya sea porque no las hemos podido precisar. En todocaso, no se debe caer en una pura mecanización tal que

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perdamos la noción de lo que estamos haciendo o del finque nos proponemos (como sucede con muchos "ejerci-cios" de matemáticas). En todo momento debemos poderpararnos y explicar el sentido de 10 que estamos haciendo,qué quiere decir en la situación real una expresión simbó-lica que nos aparezca o un paso de los que hemos dado.Pero el mecanizar un proceso y el adquirir la técnica yla habilidad para manipular los símbolos con destreza, nospermite guardar nuestras fuerzas mentales para utilizar-las en otras cosas que nos hagan avanzar más en nuestroconocimiento y en la aplicación práctica de este conoci-miento.

De hecho podemos hacer que las máquinas hagan estetrabajo mecánico por nosotros (aunque siempre es conve-niente tener la habilidad para hacerla, por si no tenemosuna máquina a la mano, o resulta más complicado utilí-zarla). Habiendo precisado los símbolos utilizados y lasreglas para combinarlos y manipularlos, se pueden darinstrucciones a una computadora para que efectúe el pro-ceso (con lo cual la máquina se convierte en un nuevo mo-delo de la situación original). Para eso es imprescindiblellegar a la formalización, porque la máquina no tiene co-nocimiento ni experiencia de la situación real para poderechar mano de ellos cuando surge alguna duda o ambi-güedad. Cada vez son más y más las tareas humanas quese pueden precisar y encargar a las máquinas. Esto nosignifica que las máquinas suplantarán al hombre; sólo sig-nifica que liberan sus fuerzas físicas y mentales paraque las pueda emplear en tareas más y más complejas yelevadas. Siempre y cuando, claro está, no nos convirtamosen máquinas, apéndices de otras máquinas.

Ejercicio 6. Efectúa las siguientes operaciones con núme-ros romanos:

CLXXIV+ CCXXXIII

XLVIIICCXXV

X XIV

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¿Puedes encontrar las reglas para operar con los númerosromanos? Efectúa las mismas operaciones con númerosarábígos:

174+ 233

48225

X 14

¿Cuál lenguaje simbólico es más operativo?

Ejercicio 7. Formaliza el lenguaje para el problema del vie-jo y el río, con lobo.

Ejercicio 8. Otro lenguaje formal para el problema del vie-jo y el río:

Símbolos: X, A, B, e, l.Expresiones: Una expresión bien formada en una suce-

ción de símbolos tal que

(i) Los símbolos X, A, 1 aparecen en ella.(ií ) Ningún símbolo aparece más de una vez.

Reglas de transformación:

Si A, B, están del mismo lado de 1 y X está delotro lado, se quita la B.Si B, C, están del mismo lado de ¡, y X, A estándel otro lado, se quita C.En cualquier otro caso se pasa X" o X con otraletra, de un lado al otro del signo ¡.

Escribe varias expresiones bien formadas de este len-guaje. Escribe también varias mal formadas. A las bien for-madas aplícales las reglas de transformación.

¿Qué nuevas circunstancias de la situación real se pue-den representar mediante este lenguaje? ¿Qué simetría delotro lenguaje se pierde?

a)

b)

c)

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Ejercicio 9·El lenguaje del ejercicio 8 tiene la ventaja deque las reglas de transformación dan directamente expresio-nes bien formadas cuando se aplican a expresiones bien for-madas. En el anterior, por el contrario, había que verificardespués de hecha la transformación que lo que se obteníaera una expresión bien formada para que la transformaciónfuera válida.

Otra diferencia es que en el primer lenguaje todas lasreglas (o sea, la única regla) de transformación son rever-sibles. En este lenguaje unas reglas Son reversibles y otrasno. Por ejemplo, de XABIC podemos pasar a ABIXC, y deaquí sólo podemos pasar a ,AjXC. Pero de AjXC no po-demos regresar a ABIXC, ni de ABIXC a XABIC. (Noincluimos, para no complicar más las cosas, la regla quenos dice que podemos reordenar al gusto los símbolos decada lado del signo j).

Esta situación la podemos representar gráficamente co-mo sigue: cuando tengamos una regla de transformaciónque no es reversible, ponemos una arista con una flecha enla dirección de la transformación, para conectar al puntoal que se aplica, con el resultado. Por ejemplo, así:

Las reversibles se escriben como antes. o con una rayacon dos flechas.« )., o poniendo una flecha de ida yotra de regreso: <>.Dibuja la gráfica del problemadel viejo y el río con este nuevo lenguaje. Si 'te resulta muycomplicado dibuja la gráfica del viejo con perro y gallinasólamente.

(Una gráfica en la que a cada arista se le asigna una soladirección se llama una gráfica dirigida. Estas gráficas sonmuy útiles como modelos de problemas de tránsito en unaciudad, como modelos de torneos, en los cuales se poneuna flecha del punto que representa el equipo A al puntoque representa el equipo B, si A le ganó a B. Construye al-gunos modelos de este tipo).

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2.3 Creación y enriquecimiento de los lenguajes.

Como ya hemos visto, un lenguaje simbólico se crea apartir de la construcción de un modelo. Si al enfrentamosa un problema logramos construir un modelo que funcione,lo más probable es que el tipo de símbolos y de reglas quehemos inventado sirvan también para resolver otros proble-mas similares. Si es así, podemos describir el lenguaje quehemos utilizado para construir los distintos modelos.

Pero también sucede que al utilizar el lenguaje paraconstruir otros modelos vemos que es necesario o convenien-te, modíficarlo. Es necesario modificarlo si el nuevo pro-blema tiene elementos que no podemos representar connuestro lenguaje. Es conveniente modífícarlo si vemos que,al hacerla, podemos construir modelos que se puedan ma-nejar mejor que los que se construían con el lenguaje ori-ginal. En ambos casos lo que se obtiene es un enriqueci-miento del lenguaje. Veremos algunos ejemplos de esto enla sección No. 4.

Esta situación también es muy frecuente en los lenguajeshumanos. Al enfrentarse a situaciones nuevas los hombrestienen que modificar su lenguaje (introduciendo nuevaspalabras o utilizando las antiguas en forma distinta) parapoder representarlas.

Nosotros no hemos desarrollado aquí mucho el lenguajede cruce de ríos. Los lenguajes que desarrollamos siguen es-tando muy adaptados al problema del viejo y el río. Lo quese necesita, por ejemplo, es poder escribir simbólicamentelas relaciones entre los distintos elementos. Por ejemplo, elhecho de que el perro se come a la gallina lo podríamos re-presentar mediante la "reacción"

A+B\ >A

y el hecho de que la presencia del viejo inhibe esta "reac-ción" podría aparecer como sigue:

A+B l--tAX

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Si desarrolláramos bien el lenguaje, así como las relacio-nes entre estos símbolos y el signo" 1", podríamos llegar a

, un lenguaje único que nos sirviera para resolver todos losproblemas de cruce de ríos. Pero la necesidad de llegar aun lenguaje de este tipo sólo la notaríamos al tratar deresolver nuevos problemas.

2.4 Utilización de los lenguajes simbólicos.

Como ya vimos, los lenguajes simbólicos se utilizan paraconstruir modelos, es decir (a fin de cuentas), para resol-ver problemas. Para hacer esto es conveniente hacerla sis-temáticamente para evitar errores o confusiones. Un esque-ma de lo que se debe hacer es el siguiente:

l. - Estudiar el problema para ver si el lengua je que que-remos utilizar parece ser el adecuado.

2.-Establecer la notación. Es decir, asignar a cada ele-mento del problema un símbolo adecuado. Es costumbreestablecer la notación en la siguiente forma:

Sea X el viejoSea I el río.etc.

También se está utilizando últimamente una flechita pa-ra hacer esto:

X - el viejoA - el perroetc.

3.-Construir el modelo, escribiendo las expresiones dellenguaje que corresponden a las condiciones del problema.

4.-Manipular el modelo buscando llegar a la solución.5.-Si no logramos resolver el problema, buscar cómo

modificar o enriquecer el lenguaje, o inventar un nuevolenguaje y volver a empezar.

6.-Si por fin logramos resolver el problema, interpretarlas expresiones que nos dan la solución en términos de lasituación original del problema.

29\".:~f' ·f:~~:\,{:'

En todo esto está implícito el hecho de que conozcamosbien el lenguaje que estamos utilizando. Para ello es ne-cesario tener bastante práctica con el lenguaje, por lo queen ocasiones es conveniente ejercitarnos un poco antes deatacar el problema.

Otra regla práctica que se utiliza mucho es tratar de re-solver primero algún problema similar más simple, si 110 lohemos hecho ya, y utilizar nuestra experiencia en el proble-ma más simple para resolver el más complicado. Tambiénes muy conveniente que exploremos sistemáticamente todaslas posibilidades que un modelo o un lenguaje permiten,antes de concluir qu,e es necesario alterarlos de una manerasubstancial.

Toda esta relación compleja entre los modelos y los len-guajes la podemos esquematizar con un diagrama.

~.

Realidad

El proceso de formalización corresponde a aislar los mo-delos y lenguajes de la influencia de la complicada situa-ción real:GYl~~~ .. ~

~ »> t'E:030

E incluso, a veces se estudia el lenguaje aislado de losmodelos. El objeto de hacer esto es estudiar los modelos ylos lenguajes de manera independiente. Es decir, se tratade una nueva abstracción, en la cual nos olvidamos de unaparte de la situación para concentrarnos sólo en la relaciónque guardan algunos elementos. Esto tiene las ventajas ydesventajas de toda abstracción. Gracias a ella podemos ex-plorar todas las posibilidades de un lenguaje y analizar susalcances y limitaciones. También nos permite estudiar lasdiferencias esenciales que hay entre varios lenguajes. Perouna vez que hemos hecho esto, necesitamos del fructíferocontacto con los problemas reales para poder enriquecernuestros modelos y nuestros lenguajes.

Los lenguajes simbólicos más útiles y conocidos son lossistemas de numeración. En el sistema decimal, que es elque usamos todos los días, se utilizan los símbolos de losdígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), Y símbolos para las ope-raciones ( +, ~, X, -:-). Este lenguaje simbólico nos permi-te resolver muchísimos problemas de la vida diaria. Estelenguaje se enriquece con otros símbolos, como la "raya dequebrados", exponentes, radicales, paréntesis, símbolo deigualdad, etc., para resolver problemas más complicados.

Otro lenguaje simbólico de las matemáticas, que es su-mamente importante, es el del álgebra. En este lenguaje seutilizan, además de los que acabamos de mencionar, lossímbolos de las letras: a, b, e, ... , x, y, z. Con estos símbo-los formamos expresiones:

2a + 2b3 (x + y) (x + z) = x3

- 1x:¿-I=x-lx + 1

y existen muchas reglas de transformación (reglas paradesarrollar, factorizar, sustituir, regla de los signos, de losexponentes, reglas para cancelar, despejar, etc., etc.).

Con este lenguaje se pueden construir modelos para re-solver muchísimos problemas. Entre los modelos más impor-

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tantes se encuentran las fórmulas algebráicas, las ecuacio-nes y los sistemas' de ecuaciones. También podemos cons-truir modelos algebráicos de situaciones geométricas. El es-tudio de estos modelos se llama la Geometría Analítica, lacual podemos utilizar también en sentido inverso: paraconstruir modelos geométricos de problemas numéricos oalgebráicos.

La dificultad que encuentran muchos estudiantes paradominar el álgebra reside en el hecho de que es un lenguajemuy complicado, y que muchas veces al estudiado se pierde·el sentido de lo que se está haciendo. En un curso de álge-bra generalmente se aprende primero la relación de lessímbolos con las situaciones reales, después se aprenden lasreglas para formar expresiones y después las reglas para ope-rar con estas expresiones, todo lo cual requiere bastantetiempo. Finalmente se estudia cómo plantear ecuaciones ycómo resolved as (es decir, cómo construir modelos y cómomanipularlos para encontrar la solución de los problemas):Es muy frecuente que al finalizar el curso el estudiante sehaya olvidado de lo que se vio al principio o a la mitad deél y que no encuentre sentido a lo que está haciendo. (Losárboles no dejan ver el bosque).

La gran utilidad del álgebra hace que valga la pena hacerel esfuerzo para dominada. Esperamos que este estudio delos lenguajes simbólicos sirva a algunos estudiantes paratener mayor claridad del esquema general que rige el des-arrollo del lenguaje algebráico, y que esta visión les permitallegar a dominarlo gradualmente de una manera agradablee interesan te.

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3. HISTORIA DE LOS LENGUAJES SIMBOLICOS

"

No se tiene un conocimiento exacto de cómo el hombreempezó a desarrollar los lenguajes simbólicos. Este desarro-llo comenzó hace muchísimos siglos y en sus comienzos es-tuvo mezclado con cuestiones religiosas y místicas. Sólo po-demos reconstruir algunos aspectos de este proceso a travésde los restos de las culturas antiguas y del contacto con lospueblos primitivos que aún existen. El desarrollo posteriores mucho mejor conocido y sabemos de las dificultades quetuvieron los hombres para crear lenguajes simbólicos másútiles, y de la resistencia que pusieron algunos para utili-zar los nuevos símbolos.

El hombre se tuvo que enfrentar en un momento delahistoria al problema de asegurarse que no se le extraviaranalgunos objetos. En particular, el ganado de la tribu repre-sentaba un problema bastante serio. Al principio, la únicaforma que tenía para detectar si le faltaba o no un animalera conociendo individualmente a cada uno de ellos, en suapariencia física y en su carácter. El encargado de la mana-da (o quizá toda la tribu) conocía a sus animales, los cui-daba y aseaba uno por uno, les hablaba, les ponía nombres,tenía sus favoritos y sus "ovejas negras". Así, si alguno fal-taba, él lo echaría de menos inmediatamente. Es decir, aquíel hombre empleaba el método directo.

A medida que sus rebaños fueron más y más grandesy a medida que tenía más ocupaciones, empezó a ver lanecesidad de construir modelos. Estos podían estar forma-dos por guijarros, dedos, varas, marcas en un árbol, etc. Alhacer esto había realizado un proceso de abstracción, olvi-dándose de muchas de las características individuales desus animales para quedarse con 10 que era esencial para sus .

. propósitos. Naturalmente que esto lo hacía sólo en forma

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parcial, pues seguía distinguiendo a algunos animales indi-vidualmente.

Nuevas necesidades de registro y comunicación, el des-arrollo de la agricultura y, en consecuencia, de la astrono-mía, hicieron que diera un nuevo paso de abstracción: lainvención de nuevos símbolos para los números, como pue-den ser palabras o marcas especiales en tablas o piedras(que muchas veces se obtenían como un desarrollo del sis-tema de marcar una raya por cada objeto). Los modelos queasí se construyen ya no preservan la característica numéricadel rebaño, los símbolos son hasta cierto punto arbitrarios ysólo se relacionan con el "número" que representan median-te la convención, o a través de un orden memorizado ..Al-gunas culturas sólo realizaron esto en forma muy limitada,pero algunas civilizaciones antiguas llegaron a crear len-guajes simbólicos mediante los cuales se podía representar,en principio, cualquier número, aprovechando la idea deagrupar los objetos por montones, por montones de monto-nes, etc. ,

Pero estos lenguajes simbólicos eran una simple taquigra-fía. Su ventaja esencial consistía en poder representar gran-des números en forma breve, pero en el proceso de abstrac-ción se había perdido la operatividad. Con los modelos an-teriores, por ejemplo con los guijarros, se podían realizaroperaciones, como juntar dos conjuntos de guijarros (su-ma) o formar montones iguales (multiplicación). Re-cuérdese que la palabra "cálculo" viene de la palabra latinaque significa guijarro: calcular viene a querer decir mani-pular guijarros. En cambio con los modelos simbólicos nose podía operar. Para realizar cualquier operación era ne-cesario pasar a algún modelo como el de guijarros, y lo másque se lograba hacer era escribir tablas y tablas de sumas ymultiplicaciones para no tener que operar con guijarros acada momento. Un ejemplo muy significativo es el de losmayas, que desarrollaron una notación posicional e inven-taron el cero mucho antes que cualquier cultura del viejomundo. Pero su lenguaje simbólico tenía Un defecto. Susistema de posición iba de veinte en veinte (como el nues-tro va de diez en diez: unidades, decenas, centenas, etc.)con una "pequeña" excepción: si bien la unidad de segundo

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orden era veinte veces la unidad, la de tercer orden era18 veces la de primer orden. Esto 10 hicieron para escribircon sencillez el importantísimo número 18 X 20 = 360(en todas las antiguas culturas mexicanas el año consistíade 360 días "hábiles" y 5 de fiesta al finalizar). Cada una delas unidades siguientes volvía a ser 20 veces la unidad an-terior, pero esta pequeña irregularidad era suficiente paraque el lenguaje no fuera operativo. Lo utilizaban para es-cribir fechas y otras cantidades en sus estelas, pero cuandose trataba de sumar tenían que volver a unas esterillas, quevenían a ser lenguajes del estilo del de los guijarros. Estoes lo que necesitaríamos hacer nosotros si siguiéramos uti-lizando los números romanos (ejercicio 6) y es análogoa lo que hacen los niños al sumar con los dedos. Sólo lasmás grandes civilizaciones antiguas, como Egipto y Babi-lonia, que tuvieron necesidad de llevar un control exactode su ejército y de los impuestos y realizaron grandesobras de ingeniería, llegaron a desarrolla r métodos paraoperar con números escritos, pero éstos eran sumamentecomplicados y sólo algunos estudiosos llegaban a dominarel arte de multiplicar y operar con quebrados.

Los lenguajes simbólicos se estancaron e incluso dege-neraron. Los lenguajes de guijarros, en cambio, se desarro-llaron con la práctica, y al correr del tiempo, con la nece-sidad de calcular rápidamente que planteaba el grandesarrollo del comercio, dieron lugar a los ábacos.

Las matemáticas también siguieron un camino diferente.Con el desarrollo de la agricultura a las orillas de los gran-des ríos que se desbordaban con frecuencia (en especialel Nilo) se hizo imprescindible realizar mediciones parareconstruir las divisiones de la tierra, y comenzaron a des-arrollarse los modelos geométricos (dibujos, planos, mapas)que, a pesar de tener cierta operatividad con la utilizaciónde la regla y el compás, no dan lugar en forma natural ala idea de un lenguaje simbólico. En lugar del lenguajesimbólico se desarrolló la teoría, culminando con la geo-metría deductiva de los griegos.

Con el desarrollo del método deductivo surgió tambiénla teoría de los números, y en los libros de Euclides apa-recen ya teoremas como el de la descomposición de un

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número en factores primos, y la demostración de que elnúmero de primos es infinito. Sin embargo, el sistema denumeración de los griegos era increíblemente torpe, y sólohacia el final de la época griega, Arquímedes sugirió unsistema de numeración mediante el cual se podía escribircualquier número, sistema que nunca-se llegó a utilizar.El sistema romano de numeración, que hoy utilizamos' to-davía en ocasiones, es muy superior al griego, pero de todasmaneras no es operativo y de hecho es inferior a los de lasgrandes civilizaciones antiguas.

El paso fundamental en la creación de un lenguaje sim-bólico operativo se dio en la India varios siglos después-de la desaparición de la civilización griega, con la inven-ción del cero y su uso en la notación decimal. Este sistemacoincide con el que utilizamos actualmente, .excepto porlos símbolos particulares de los dígitos. Su mayor ventajaconsiste en la' gran facilidad con que permite realizar las .operaciones aritméticas, las cuales se pueden realizar me-cánicamente, sin hacer referencia alguna a la realidad oa un modelo más concreto. Basta conocer la tabla de lasuma y de la multiplicación de los primeros 9 númerospara poder llevar a cabo cualquier operación en formamecánica. La conocida regla de "cinco y siete, doce; dosy llevamos uno'.', que todos aprendemos actualmente desdela primaria, es la clave de la operatividad de este lenguaje(y fue algo que tardó mucho en descubrirse y que losgrandes ,matemáticos griegos no conocieron ). Se ha cons-truido finalmente un verdadero lenguaje simbólico, me-diante el cual se pueden construir modelos con papel ylápiz de situaciones reales, con todas las características deoperatividad, rapidez y economía de las que hemos ha-blado.

Este descubrimiento abrió las puertas para la creaciónde otros modelos y lenguajes simbólicos. Los árabes, queconocían el sistema de numeración hindú, comenzaron adesarrollar el álgebra, y al introducir sus conocimientos enla Europa medieval rompieron el estancamiento de lasmatemáticas, las cuales no habían sufrido ningún cambioapreciable desde la época de los griegos. El cálculo arit-mético con los números "arábigos" desplazó a los ábacos,

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aunque no sin una dura lucha contra lo que era una tra-dición de siglos.

El gran -desarrollo comercial e industrial del Renací-miento planteó numerosas necesidades técnicas y cientí-ficas. Esto hizo que se desarrollara el álgebra de los árabes.Durante varios siglos se fue desarrollando el lenguaje sim-bólico del álgebra hasta llegar a una forma casi igual a laque hoy conocemos. El álgebra se introdujo en la geome-tría con la Geometría Analítica de Descartes, y comenzóuna riquísima interrelación entre los modelos geométricosy los algebraicos. Esto fue fundamental en el desarrollode un nuevo lenguaje simbólico: el cálculo "ínfinítesimal",de Newton y Leibnítz, que permitió comprender aspectosmuy importantes del cambio y el movimiento, superandomuchas dificultades que perduraban desde tiempos de losgriegos. El cálculo "infinitesimal" (o cálculo diferencial eintegral, como lo conocemos actualmente), se convirtióen el lenguaje de la ciencia, transformó la técnica y cambióla concepción que el hombre tenía del universo y de símismo. Dentro de las propias matemáticas, el cálculo di-ferencial e integral, los problemas que suscitaban sus apli-caciones y la necesidad de darle una fundamentación teó-rica, fueron los temas que impulsaron las investigacionesde la mayoría de las matemáticas durante dos siglos.

Nuevos lenguajes simbólicos se descubrieron, entre losque cabe destacar el de la lógica matemática y el de los con-juntos. En la actualidad los problemas de la programaciónde las computadoras electrónicas han hecho necesaria lacreación de muchos lenguajes simbólicos y el desarrollode una teoría de los lenguajes. Esta teoría ha llegado in-cluso a ser de gran utilidad para comprender mejor la.estructura de los lenguajes humanos.

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4. ALGUNOS SIMBOLOS ESPECIALES DE LOSLENGUAJES SIMBOLICOS

Veremos en esta sección algunos símbolos especialesque se utilizan en casi todos los lenguajes simbólicos: olaigualdad, los índices y los paréntesis.

4.1 La igualdad

Muchas veces se utilizan distintos símbolos para deno-tar un mismo elemento, o podemos tener distintas ex-presiones del lenguaje para denotar la misma situación.Por ejemplo, en el problema del viejo y el río podíamosconsiderar las dos expresiones siguientes:

XABIC BAX le

Las dos expresiones denota'n la misma situación: deeste lado del río están el viejo, el perro y la gallina, y delotro lado está el maíz. Nosotros utilizamos indistintamenteambas expresiones (e incluso en la formalización del len-guaje simbólico para este problema indicamos que lossímbolos de cada lado del signo " I ", se podían reordenara voluntad). Para simbolizar esta situación se utiliza elsigno" - "

XAB I e = BAX I e

En general, cuando se escribe el signo "=" entre dossímbolos o dos expresiones, es para indicar que ambos re-presentan lo mismo, es decir, que son dos formas de es-cribir lo mismo. Hay que subrayar que la igualdad es una

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relación entre símbolos, no entre objetos o situacionesreales. Cualquier objeto es diferente de otro objeto, pormuy parecidos que se vean. Para muchos propósitos puedeser equivalente utilizar uno u otro, pero esto no indicaque sean iguales. Al escribir a = b tampoco estamos .di-ciendo que los dos símbolos sean iguales (son claramentediferentes), sólo decimos que son dos nombres distintospara el mismo objeto.

La utilización del signo" =" puede obedecer a muchosfines. Puede servir simplemente para establecer el hechode que los símbolos representan lo mismo. Por ejemplo,al escribir

1 + 1 = 2

sólo estamos diciendo que 1 + 1 es otra forma de escribirel 2. Esto se puede también utilizar para substituir el"2" por" 1 + 1" en cualquier expresión en que aparezca"1 + 1".

Otra forma de usar el signo "=" es al expresar las con-diciones particulares de un problema. Aquí no quieredecir que las dos expresiones de nuestro lenguaje se uti-licen siempre para denotar lo mismo, sino que en nuestrocaso particular sucede esto, y ésta puede ser una de lascondiciones importantes de nuestro problema. Este es elpunto fundamental sobre el que se basa la utilización delas ecuaciones para resolver problemas. La expresión quese obtiene utilizando el signo "=" es parte de nuestromodelo y podemos operar con ella.

La relación de igualdad entre símbolos satisface ciertaspropiedades muy simples que se deducen inmediatamentede la definición:

x = x (propiedad .reflexiva)

Si x = y; entonces y = x (propiedad simétrica)

Si x ,y y y = z; entonces x = z (propiedadtransitiva )

Estas propiedades pueden interpretarse como reglas de

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transformación del lenguaje. Por ejemplo, si en nuestromodelo aparece la expresión

2x + 5 = 3x + 1

ésta la podemos transformar automáticamente en la ex-presión

3x+ 1 = 2x + 54.2 Indices

.Muchas veces dos o más clcmen tos de un problema

juegan un papel similar, ya sea por una simetría delproblema, ya sea por una simple analogía. En estos casoses muy conveniente que la forma misma de los símbolosnos recuerde estas relaciones, para poder operar con mayorfacilidad. Si los dos elementos juegan exactamente el mis-mo papel, muchas veces es posible utilizar el mismo sím-bolo para los dos. Por ejemplo, en el problema de Juany sus hermanos ('Modelos Matemáticos:' ejercicio 11),Luisito y Jaimito juegan el mismo papel y podíamos haberutilizado la letra H para representarlos a los dos. Nuestromodelo comenzaría así:

JPHH IHH I JP etc.

En el problema de los caníbales y los misioneros ("Mo-delos Matemáticos" al final de la sección 4), los tres mi-sioneros juegan el mismo papel y podemos utilizar la letraM para los tres. Pero entre los caníbales hay uno especial,que es el que sabe remar. Los otros dos los podemosrepresentar por la letra C, pero para el tercero necesitamosun símbolo distinto. Sin embargo, aunque en lo que aremar se refiere este caníbal es distinto, en cuanto a comermisioneros es igual a los demás, por lo cual es convenienteque utilicemos un símbolo que nos recuerde esta similitud.Una forma muy conveniente de hacerla es utilizar un

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símbolo que sea parecido, para lo cual se puede alterarlevemente el símbolo que) se ~utiliza para los otros caní-bales. ASÍ, por ejemplo: ~, C, V' etc. En matemáticasse utiliza mucho poner una pequeña rayita o coma arribay a la derecha del símbolo: C' (esto se lee "C prima").Nuestro modelo comenzaría así:

MMMCCC'B I

MMCC' I MCB

MMMCC'B I C

MMM r CCC' .. etc.

Veamos el problema siguiente, el de los esposos celosos.Sólo que en lugar de tres parejas vamos a poner cuatro,para complicar más el asunto. Aquí cualquier pareja juegael mismo papel que cualquier otra. Pero como las parejasse dividen durante los cruces, es necesario decir quiénestá casado con quién. Una forma de hacerla sería utilizarsímbolos parecidos para los dos miembros de cada pareja.Por ejemplo, AA', BB' CC', DD'. Aquí sabremos ya queA' es la mujer de A, que las letras sin "prima" represen-tan a los hombres, etc, Vamos a ver otra forma de hacerla,para ilustrarla. Podemos utilizar la letra A para simbolizara los hombres y la letra B para simbolizar a las mujeres.y para distinguir a cada pareja, ponemos pequeños nu-meritos (llamados "subíndíces") abajo y a la derecha delas letras. Así, la primera pareja sería Al' B/, la segundaA , B , etc.

2, 2,

Con esto estamos preparados para resolver el problema,y vamos a hacerla. Si quisiéramos hacer toda la gráficadel problema nos tardaríamos mucho tiempo. Basta obser-var que a partir de la primera posición puede haber 10cruces diferentes (6 donde pasan dos mujeres y 4 dondepasa una pareja). Sin embargo, basta dibujar parte de lagráfica, pues sabemos por la simetría del problema que elresto de la gráfica nos da la misma información. Es decir,utilizando la simetría del problema vemos que si hay una

<

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solución que empiece con el cruce de B 1 Y B2' tambiénhabrá otra que empiece con el cruce de B 2 Y B4' Y si em-pezando por el cruce de B 1 YB2 no se llega a una solución,tampoco se llegará si se empieza por el cruce de B2 Y B4'

etc. Para empezar, pues, hay dos posibilidades: o cruzauna pareja, o cruzan dos mujeres.

AIB¡A2B2A3BaA4B4L I

A1A2AsB.3A)34I L B1B2

En el siguiente paso sólo se puede llegar a una sítua-cíón .nueva: AIA2B'2AaBaA4B4L I BI' Continuando así, ysólo dibujando las situaciones nuevas que van apareciendo,llegamos al siguiente diagrama:

70<1>°7"<1>

"70<1>0,/

7

'1'

7"<1>'7

'<1>'/

7'<1>'7

"<1>.'('

Un diagrama de este tipo se llama un árbol. En generalun árbol es una gráfica que no tiene ciclos, es decir, cir-cuitos cerrados. La técnica para hacerlos es considerar to-das las posibles transformaciones a partir de un vértice,pero sólo dibujar los que dan lugar a situaciones nuevas.Por ejemplo, a partir de AIA2AaA4B41 BIB, BsL hay seistransformaciones posibles: que regrese B, sola, lo cual nos

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da un nuevo punto; que regresen B o B 1> lo cual nos dauna situación igual a la primera (quedan dos mujeressolas del otro lado del río), por lo cual basta considerarsólo a ésta; otras tres transformaciones posibles son queregresen B 2 Y B;j, que regresen B 1 Y B Y que regresen B 1 YB2• La primera de estas tres ya está dibujada, las otrasdos no nos dan nada nuevo y ya no las dibujamos. (

¿Qué conclusión podemos sacar? Al terminar el árbolhemos dibujado todas las posibilidades. De los dos últimospuntos ya no se puede sacar nada nuevo. Y en nuestroárbol no aparece la posición a la que queríamos llegar.Luego, el problema no tiene solución.

Lo que hemos hecho es explorar todas 'las posibilidadessistemáticamente, aprovechando la simetría del problemay utilizando una notación adecuada para simplificarnosel trabajo.

Otra ventaja es que si quisiéramos estudiar ahora elproblema con cinco parejas, nos basta agregar la parejaA5B5 y volver a comenzar a dibujar el árbol (varios pasosya los haríamos con mucha facilidad). Y' si quisiéramosestudiar el problema con cualquier número de parejasmayor que 3, podríamos aprovechar la experiencia adqui-rida y utilizar el siguiente lenguaje (donde n denota alnúmero de parejas).

A1BIA2B2AsBa' .. AJ.Bn

Los puntos suspenslvos, que son otro elemento del lenguajesimbólico que se utiliza mucho; nos sirven para representarla idea de que entreB a y An hay un número no determina-do de parejas, las cuales no representamos, pero que sabe-mos cómo están acomodadas, por el orden natural que nossugieren las tres primeras y la última.

En el folleto Teoría de Gráficas veremos cómo resol-ver este problema de otra forma: por el método deductivo,que nos permite demostrar que un cierto problema notiene solución, entendiendo las razones de fondo que im-piden que la solución exista.

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Lo que hemos visto aquí es cómo se enriquece un len-guaje simbólico al tratar de abordar nuevos problemas.Vimos en particular la introducción de índices. En casitodos los lenguajes matemáticos se utilizan, además de lossímbolos simples, símbolos con índices. Estos índices pue-den ser muy diferentes, según la naturaleza del problemaque se· quiera resolver:' "prima" (a'), "bípríma" o "dobleprima" (a"), subíndices (al'a2,a3, ... ), supraíndices (al,a", aS, ... ), Índices a la izquierda ea), Índices doblesea 11 a12 ••. ), etc., y cualquier combinación de éstos (porejemplo:'3a;'2 ). En general, los Índices tienen en principioel mismo propósito, que es el que hemos visto aquí alhacer que los símbolos nos recuerden las relaciones entrelos elementos, para simplificar los cálculos (y el desarrollode la teoría ).

Ejercieio 10. ¿Podríamos utilizar el mismo símbolo pararepresentar al perro y al maíz en el lenguaje simbólicodel ejercicio 8?Ejercicio n.· Se le complicaron las cosas al viejo. Ahoratiene, además de 3 pertenencias originales y el lobo, untigre que se quiere comer al lobo (pero que no come perroni gallina). Lo único que lo salva es que ya consiguióuna lancha en la que puede transportar dos pertenencias.¿Cómo puede llevar sus 5 pertenencias al otro lado delrío? (Estudia este problema con sus dos variantes: ellobo come gallina, o el lobo no come gallina. Utiliza unlenguaje que te ayude a resolverlo.)Ejercicio 12. Dibuja la gráfica del problema de los caní-bales y los misioneros. Inventa otras variantes del problemay resuélvelos con la gráfica o con un árbol.Ejercicio 13. Dibuja un árbol del problema de los espososcelosos con 2, 3, 4 Y 5 parejas.

Dibuja la gráfica del problema con 2 parejas. ¿Quieresdibujar la gráfica completa del problema con 3 parejas?Ejercicio 14. Utiliza la siguiente notación para represen-tar las posiciones del problema de los esposos celosos:2-3-L indica que de este lado del río hav 2 hombres, 3mujeres y la lancha. 0-4 indica que de este lado del ríohay O hombres, 4 mujeres yno hay lancha. Escribe todas

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las posiciones permitidas con 2, 3 y 4 parejas. Verifica queno haya ambigüedad en la notación, en el sentido de queuna expresión de este lenguaje nos dice cómo están dis-tribuidas las parejas si se trata una posición permitida. Lagráfica para el problema con dos parejas quedaría así:

H 24L

•().(}-L 0-( •2·22+L

2-0 (-(-L ()-I-L

Dibuja la gráfica .correspondiente para 3 y 4 parejas.

Ejercicio 15. En un plano coordenada dibuja los puntoscuyas coordenadas cerresponden a posiciones permitidasen el problema de los esposos celosos, según la notacióndel ejercicio 14. Por ejemplo, para 3 parejas la posición3-1 está permitida, luego dibujamos el punto (3, 1); laposición 1-2 no está permitida, porque de este lado hay .un hombre solo con dos mujeres y una de ellas no es suesposa; luego no dibujamos el punto (I, 2).

t ':~' 1.0 dibujamos._ dibujamos

Haz este dibujo para 2, 3 y 4 parejas. ¿Puedes adivinarcómo será el de S? ¿Qué simetría tiene esta representa-ción gráfica de las posiciones posibles?

4.3 Paréntesis

Los paréntesis se utilizan para agrupar símbolos. Cuan-

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do agrupamos una serie de símbolos entre paréntesis que-remos indicar que toda esa expresión la debemos tratarcomo un solo símbolo. En los lenguajes que hemos uti-lizado hasta ahora esto no ha sido necesario, pero es algomuy importante en el lenguaje de la aritmética y en eldel álgebra. Por ejemplo la expresión

2X(S+4)

nos representa el producto de dos números: el primero es2 y el segundo es S + 4. Podemos escribir entonces

2X(S+4)=18

En cambio la expresión

(2 X S) + 4

nos está indicando la 'suma de dos números: el primeroes 2 X S y el segundo es 4, y podemos escribir

(2 X S) + 4 = 14

Si escribiéramos

2 X 5 + 4

no sabríamos, en principio, cuál de las dos expresionesestamos representando. Se acostumbra, sin embargo, uti-lizar una convención para no tener que utilizar paréntesisen ambos casos. La convención que todo el mundo utilizaes que en la expresión anterior se debe dar la preferenciaa la multiplicación. Es decir, que

2 X S + 4 = (2 X S) + 4

De todas maneras se necesitan paréntesis para escribirla otra, pues si no se confundiría con ésta.

El uso de paréntesis es especialmente necesario para lasreglas de substitución. Esta regla nos dice que si tenemos

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dos expresiones iguales, podemos substituir una por otraen cualquier otra expresión. Por ejemplo, como

S + 4 = 9

podemos substituir 9 por S + 4 en la expresión

8 + S + 4 - 2 = IS

para obtener

8 + 9 - 2 = IS

Pero si hiciéramos la substitución directamente en

2 X S + 4 = 14

obtendríamos

2 X 9 = 14

lo cual no puede estar bien. El error consistió en que alver "S + 4" nos apresuramos a sustituirlo por "9". Estono hubiera pasado si la expresión original fuera

(2 X S) + 4 = 14

También en la expresión

IS - 9 = 6

podríamos estar tentados de borrar el 9 y escribir S + 4,pero esto nos daría

IS - S + 4 = 6

lo cual es falso.Lo que hay que hacer es substituir 9 por (S + 4) para

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indicar que la expresión 5 + 4 la debemos considerarcomo un solo número:

.15-(5+4)=6

No podemos aquí entrar en detalle en las reglas parautilizar paréntesis. Nos limitaremos a sugerir que cada vezque se quiera substituir un símbolo o una expresión porotra expresión, se substituya esta expresión entre parén-tesis, para evitar confusiones. En la próxima sección vere-mos otros ejemplos del uso de paréntesis.

Muchas veces conviene diseñar un lenguaje de maneraque no haya necesidad de utilizar paréntesis, y esto sepodría hacer incluso con el álgebra. Pero el lenguaje al-gebraico que todo el mundo utiliza necesita los parénte-sis y es necesario familiarizarse con su uso.

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5. LOS LENGUAJES HUMANOS Y LA LOGICA

Los lenguajes humanos también nos sirven para cons-truir modelos. Una biografía es también un modelo dela vida de una persona y también es una abstracción,pues es siempre imposible escribir en un libro, o en mu-chos libros, todo lo que le sucedió desde que nació hastaque murió, y no sólo porque no lo sepamos. Un libro dehistoria, (o una noticia del ,periódico) es siempre unaabstracción de un hecho real, en la cual se olvidan muchasde las cosas que sucedieron. El historiador, o el periodista,deberá escoger lo que él considera esencial de la situaciónpara escribirlo, y su trabajo será mejor o peor según sepacaptar las cosas esenciales de una época histórica o de unsuceso, o se limite a escribir páginas y páginas sobre de-talles sin importancia.

Pero los lenguajes humanos, que se han ido desarro-llando a través de los siglos, son muy poco precisos. Estasituación, que a veces es una cualidad (por ejemplo, enel lenguaje poético), es en otras ocasiones una gran des-ventaja. Impide, entre otras cosas, que se pueda traducirautomáticamente de un idioma a otro. Esto es algo quesólo puede hacer una máquina en forma muy tosca y co-metiendo errores. Para poder traducir bien se necesita deuna persona que conozca bien ambos idiomas, y que com-prenda, bien la situación real que se está describiendo,para poder preservar el sentido íntegro de un escrito.Muchas veces incluso esto es imposible, porque los doslenguajes se pueden referir a realidades muy diferentes,y un lector que no conozca la realidad del otro país nopodrá apreciar las sutilezas del lenguaje.

Para los fines de la ciencia, sobre todo en sus etapasmás, desarrolladas, es necesario precisar el lenguaje, de

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manera que se sepa claramente lo que significa cada pa-labra y cada proposición de un discurso científico. Esnecesario, por lo tanto, desarrollar un lenguaje especialque, aunque utilice las palabras usuales del idioma, lasuse en una forma más precisa. Además, los lenguajes cien-tíficos utilizan palabras nuevas, inventadas especialmentepara sus fines.

Podemos ver que aún las palabras más simples se usancon ambigüedad en el lenguaje humano. Tomemos porejemplo la conjunción "o" y veamos su uso en varias ex-presiones:

i) Voy a sacar 8 o 9 en matemáticas.ii) Esta carta llegó el jueves o el viernes.iii) Está rota la bomba.o está tapado el carburador.iv) Si viene con su mamá o con su tía, no la vol-

vemos a invitar.

En todos estos ejemplos la "o" juega el papel 'de conjun-ción (o, como se suele decir en matemáticas, de conecuva ).Es decir, está conectando dos expresiones que en algunoscasos, por brevedad, están mezcladas. Para analizar susignificado es conveniente separadas. Por ejemplo:

i') Voy a sacar 8 en matemáticas o voy a sacar 9 enmatemáticas.

Analizando estas expresiones vemos que el conectivo "o"se está usando de dos maneras distintas. En los ejemplosi) y ii) decimos que' la "o" es exclusiva, porque la ex-presión nos dice que es cierta una cosa o la otra, pero noambas. Puede ser que la carta haya llegado el jueves ypuede ser que la carta haya llegado el viernes, pero no pue-de haber llegado el jueves y el viernes. En los ejemplosíii ) y iv) la "o" es inclusiva, pues puede ser cierta unacosa o la otra o ambas. Al notar una falla en el automóvil,decimos que pueden pasar una de dos cosas: está rota labomba o está tapado el carburador, pero también puedeser que pasen ambas cosas. Si. la muchacha viene con su

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mamá y con su tía, con mayor razón no la volvemos ainvitar.

En estos casos podemos entender cómo se .está usandola palabra "o", porque entendemos bien cuál es la situacióngeneral que las expresiones están describiendo. Pero enuna situación que no conocemos bien necesitamos saberqué. es lo que nos están diciendo cuando aparece la pa-labra "o". , I

En el lenguaje de la ciencia se utiliza la "o" en el sen-tido inclusivo. Esta es una convención a la que se ha lle-gado para evitar ambigüedades y porque su uso es másfrecuente y más conveniente que el de la "o" exclusiva.Así pues, una palabra que en el lenguaje común y. co-rriente puede tener muchos significados, en el lenguajecientífico se le fija uno solo, preciso. Así, la expresión"café o té" que aparece al final del menú, se debe escribiren el lenguaje científico "café o té, pero no ambos". Deotra forma, un cliente matemático podría pedir que le tra-jeran café y té.

Hablando de eso, el otro día encontramos en el res-taurant La Guelaguetza, cercano a la Ciudad Universi-taria, la siguiente descripción de un platillo:

"Cecina adobada con ensalada Q papas y frijoles."¿Qué es lo que daban a escoger? Aparte de que enten-

díamos que la "o" se estaba utilizando en sentido exclu-sivo y que "con" significaba realmente "y", quedabanvarias posibilidades:

1a. posibilidad: Las opciones son:

2a. posibilidad: Las opciones son:

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Cecina adobaday ensalada

Cecina adobaday papas y frijoles

Cecina adobaday ensalada y frijoles

Cecina adobaday papas y frijoles

, ~ecina adobada3 a. posibilidad: Las opciones son: Y ensalada , \

Papas y frijoles

La tercera posibilidad quedó excluida, porque otro datodel menú (a saber, el precio) indicaba claramente que nopodía ser el de un plato de papas y frijoles. Pero de entrelos dos primeros, ¿cuál era? Ya vimos que la "o" es unaconectiva, pero aquí ¿qué está conectando? En el primercaso conectaría "ensalada" con "papas y frijoles", y habríaque escoger entre uno y otro. En el segundo caso conéc-taría "ensalada" con "papas" y en el tercero conectaríatodo lo que está antes con todo lo que está después deella. La misma ambigüedad la tendríamos con el conec-tivo "y".

Para escribir esto con precisión y ver qué es lo que estáconectando cada conectivo, necesitaríamos usar parénte-sis. La primera posibilidad quedaría adecuadamente re-presen tada así:

Cecina adobada y (ensalada o (papas y frijoles))La segunda así:

Cecina adobada y (ensalada o papas) y frijoles.y la tercera así:

(Cecina adobada y ensalada) o (papas y frijoles)Buscando las diferentes formas de agrupar las expre-

siones, vemos que hay otra:( (Cecina adobada y ensalada) o papas) y frijoles

~

cecina adobada ydonde las opciones son: ensalada y frijoles

Papas y frijoles

(Que es un poco mejor que la tercera).

Al no poder decidir de cuál se trataba, hubo que re-currir al experimento. La correcta era la segunda. Es de-cir, daban tres cosas: la primera, cecina adobada (síem-

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pre ): la segunda, que podía ser ensalada o podía ser papas(pero no ambas); y la tercera, frijoles (siempre). La se-gunda forma de agrupar las expresiones, que consistía enconsiderar "ensalada o papas" como una unidad, por locual la pusimos entre paréntesis, era la que expresabacorrectamente las intenciones del restaurant.

Hemos visto aquí cómo es necesario dar mayor preci-sión a las palabras del lenguaje, así como a la forma decombinarlas, para poder entender el significado de unaexpresión, sobre todo cuando las cosas se complican (y enmatemáticas se llegan a complicar bastante).

El estudio de las proposiciones, de la forma como secombinan mediante los conectivos y de las reglas paratransformarlas (es decir, de cómo se pueden deducir unasproposiciones a partir de otras), es el dominio de la LógicaMatemática, la cual es muy útil en todas las ciencias. LaLógica Matemática tiene un lenguaje simbólico propio (o,más bien, varios) que representa un grado mayor de abs-tracción que el lenguaje humano común y corriente. (Ycomo toda abstracción, tiene sus ventajas y desventajas,por lo que se debe utilizar o' no, según el caso: se perde-ría mucho si transcribiéramos un poema al lenguaje de laLógica Matemática.)

Ejercicio 16. Escribe en una o más hojas de papel lo quehiciste ayer. ¿Escribiste todo lo que hiciste ayer? ¿En quésentido lo que escribiste es una abstracción de lo quehiciste ayer? Trata de escribir todo lo que hiciste ayer.Trata también de describir todo lo que hay en tu cuarto.Escribe 'entonces lo que consideres esencial de ambas si-tuaciones.Ejercicio 17. Estudia las proposiciones que se demuestran(o que se deja como ejercicio demostrar) en el folletoTeoría de las Gráficas. Analiza qué conectivos aparecenen ellas y en qué sentido se utilizan. Haz lo mismo conlas expresiones que aparecen en un libro o en un perió-dico.

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6. EL METO DO CIENTIFICO y LAS MATEMATICAS

Las distintas ciencias y ramas del conocimiento surgen,en sus orígenes, de las necesidades del hombre en su luchacon la naturaleza, de la necesidad que tiene de transfor-mar al mundo que lo rodea para adecuado a su modo devida. Para enfrentarse a esta lucha cuenta con sus capa-cidades físicas y mentales, y con sus instintos y mecanismosde supervivencia, que representan la experiencia acumu-lada de todos los seres que lo antecedieron en la evoluciónde las especies, experiencia que se fue filtrando y con-centrando a través del proceso de la selección natural.Cuenta también con la experiencia acumulada por la es-pecie humana, que es transmitida de generación en gene-ración y que llamamos la cultura del hombre. Pero estacultura no se va simplemente acumulando, sino que sufrenumerosas transformaciones, en las cuales aparecen formassuperiores de cultura que se integran a partir de las in-feriores; aparecen nuevas formas en función de nuevasnecesidades y lo nuevo está desplazando constantementea lo viejo. Es un proceso análogo al de la selección natural,en el cual las formas culturales heredadas se enfrentana las necesidades prácticas del hombre: las que no fun-cionan son desechadas, y las que sirven, se conservan yse perfeccionan. Dentro de este complicadísimo proceso,los métodos de la ciencia constituyen una forma superiorde atacar los problemas prácticos del hombre, son el re-sultado de la transformación de los métodos más primi-tivos y se encuentran en constante superación.

Las distintas ciencias y ramas del conocimiento comien-zan generalmente por una etapa intuitiva durante la cualel pensamiento y el lenguaje se utilizan para formar imá-genes vagas, conceptos imprecisos y analogías más o menos

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superficiales de los procesos que se busca comprender. Esla etapa en la cual no se conocen aún los elementos esen-ciales de una situación. Es una etapa de búsqueda, es elproceso de construcción de una abstracción adecuada delproblema, con la que se pueda empezar a trabajar. La va-guedad de las imágenes y la imprecisión de los lenguajeshumanos parecen estar adaptados a la flexibilidad que serequiere para explorar en direcciones muy diversas, parano caer en construcciones teóricas prematuras que no re-flejen adecuadamente la realidad.

A medida que se van precisando los conceptos y sevan haciendo resaltar los elementos fundamentales de la si-tuación, mediante la exploración conceptual ligada a laexperimentación, el lenguaje se va también precisando.Se llega a la etapa de los lenguajes especializados de lasciencias. Se crean nuevas palabras para designar concep-tos y relaciones, más o menos abstractas, y se llega a mo-dificar el significado de muchas palabras existentes eincluso a alterar ciertas formas gramaticales. En ocasionesse suele complementar éstas con la introducción de algunossímbolos especiales. Estos lenguajes pueden llegar a teneruna gran precisión, sin salirse de la estructura básica dellenguaje común.

Al haber desglosado los elementos esenciales se puedeempezar a construir modelos. Estos consisten generalmenteen una simulación de la situación real en condiciones mássencillas y favorables, en lo que podríamos llamar en ge-neral "condiciones de laboratorio". Esto permite desarro-llar una observación y experimentación más racionales ysistemáticas, que a su vez permiten desarrollar nuevosconceptos y relaciones y precisar los antiguos. Permitetambién empezar a descubrir las relaciones entre las dis-tintas ciencias, y a intercambiar conceptos y relaciones en-tre una ciencia y otra.

Finalmente puede llegarse a una abstracción mayor, enla cual se olvida la interpretación concreta de los concep-tos, símbolos y relaciones, para fijarse en su estructura.Es la etapa en la cual se pueden encontrar modelos sim-bólicos más o menos operativos y en la cual se puededesarrollar un lenguaje simbólico propio. La comparación

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de estas estructuras y lenguajes de ciencias que estudianfenómenos aparentemente distintos, permite encontraranalogías profundas y sugerir nuevos métodos, ideas y pun-tos de vista. Todo esto da lugar a nuevas formas de ex-perimentación, y el proceso continúa.

La matemática aparece generalmente en las etapas avan-zadas de este proceso. Sin que podamos definir exacta-mente lo que, son las matemáticas, se puede observar .quese ocupan del estudio y desarrollo de los modelos, lengua-jes y teorías más abstractos y generales. Sus métodos yresultados se desprenden generalmente de una rama par-ticular del conocimiento, pero sucede frecuentemente que.éstos se aplican y adaptan con mayor o menor modifica-ción a otros problemas y ciencias. Y por esta razón 'sedesprenden en ocasiones de todas las ciencias particularespara desarrollarse en forma abstracta y adelantarse a lasnecesidades de ellas. Las ciencias particulares, en su de-sarrollo, encuentran frecuentemente que las matemáticasque van necesitando se ecuentran ya hechas. Pero estedesarrollo abstracto de las matemáticas puede llegar a unestancamiento cuando ya ha sacado todo el jugo posiblea las estructuras originales que las motivaron (lo cualpuede llevar en ocasiones muchísimo tiempo) y necesitaregresar a las fuentes originales en busca de nuevos ele-mentos y relaciones sobre las cuales trabajar.

Un aspecto fundamental del método científico que nohemos tratado es el de la experimentación. En sus formasmás directas, su estudio corresponde a las ciencias expe-rimen tales, pero no .a las matemáticas, aunque existenmétodos matemáticos que se utilizan para el diseño de ex-perimentos.En el problema del viejo y el río, y en otrosque hemos analizado, el planteamiento del problema yasupone un trabajo anterior que implica la experiencia, laobservación y la experimentaeión.Por experiencia sabemosque los perros se comen a las gallinas, que las gallinascomen maíz, que las lanchas flotan y que éstas se despla-zan cuando remamos. Por observación, o, mediante unexperimento adecuado, es que podemos llegar a la con-clusión de que la lancha no soporta más de un cierto peso,o no tiene capacidad para acomodar al viejo con dos de

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Sus pertenencias. La experimentación, de un tipo o deotro, aparece en todo el desarrollo del método científico.Todo modelo o teoría requiere de una confrontación fre-cuente con los problemas reales, o con algún modelo me-nos abstracto, para verificar si son los adecuados y paraque constantemente se renueven o mejoren. Incluso eltrabajo directo con un modeló muy abstracto, como sonlos modelos simbólicos, representa un cierto tipo de expe-rimentación a través del cual verificamos o refutamosnuestras hipótesis y conjeturas, y ese trabajo nos permitellegar posteriormente a encontrar la demostración lógicade un resultado.

A causa de este complicado panorama que presenta elmétodo científico, es muy frecuente que se cometan erro-res. Una de las fuentes más frecuentes de errores es lafalta de comprensión de la relación entre el modelo (ola teoría) y la realidad. A veces se confunden las dos cosas,con el resultado de que se supone que un modelo o unateoría refleja perfectamente la realidad. Entonces las con-clusiones que se sacan a través de ellos son consideradascomo verdades absolutas. El error opuesto se comete cuan-do, al descubrir con sorpresa que las ciencias no propor-cionan verdades eternas y absolutas, se cae en una descon-fianza también absoluta de toda ciencia o de toda teoría,y se abandona el método científico de resolver los proble-mas, o se le limita al estrecho marco de la observacióndirecta. Otro error frecuente consiste en considerar que larealidad es la que es "imperfecta", y despreciada, paraquedarse sólo con los modelos o teorías que sí cumplen conese ideal de perfección, por lo menos en apariencia. Unaforma que adopta este error es la de considerar las teoríasy los lenguajes matemáticos como algo caído del cielo,olvidándose que todos han tenido sus orígenes más o me-nos lejanos en problemas prácticos reales.

Otra fuente de errores surge del desconocimiento deldesarrollo que sigue el método científico y de las etapasque recorre este desarrollo. Un lenguaje, humano o sim-bólico, va ligado a un grado de desarrollo de nuestro co-nocimiento. El lenguaje en sí nos permite dar saltosgigantescos, pero el desarrollo del conocimiento en exten-

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sión o en profundidad, obliga constantemente a crear nue-vos lenguajes y a alterar nuestra idea de lo que es unlenguaje. Cuando el hombre se ata a un lenguaje, limitasu capacidad creativa, cierra sus posibilidades de ampliary profundizar sus conocimientos. Este error se cometeuna y otra vez en todos los campos de la actividad huma-na: en las ciencias, en las artes, en la filosofía e inclusoen las actividades cotidianas. También aquí se da el errorcontrario de querer innovar nada más porque sí.

Es común también el error de querer forzar el desarrollode una ciencia, queriendo ser demasiado preciso en losconceptos antes de que éstos se hayan aclarado y madu-"rado lo suficiente. O queriendo imponer una maternatiza-ción a una rama del conocimiento que todavía no hadescubierto cuáles son los elementos esenciales de los pro-blemas que intenta resolver. O, también, tratando de uti-

.lizar a la fuerza alguna rama conocida de las matemáticasque ha demostrado ser muy útil en otra ciencia, pero queno necesariamente es la más adecuada para la que se estádesarrollando.

y finalmente, a veces se pretende fijar de una vez ypara siempre, a manera de receta, las condiciones quecaracterizan el método científico. No pretendemos haberagotado aquí de ninguna manera ni todas las caracterís-ticas ni todos los métodos posibles. Después de todo, loque hemos presentado aquí es una abstracción del métodocientífico y sólo nos hemos fijado en algunos elementosque consideramos importantes y nos hemos olvidado deotros, también muy importantes. Para conocer mejor elmétodo científico debemos avanzar más en nuestro cono-cimiento de la ciencia y adentrarnos en sus problemas.y ni aun haciendo un examen exhaustivo de toda laciencia conocida, podríamos definir y delimitar lo quees el método científico, pues con el avance de la ciencia sevan descubriendo nuevos métodos para enfrentarnos aproblemas nuevos, o a viejos problemas que aún perma-necen sin resolver.

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Problemas. Temas de investigación. Actividades

Los siguientes problemas .describen ciertos lenguajes,con sus símbolos, expresiones y reglas de transformación.Analízalos en este sentido, trata de describírlos en unlenguaje simbólico y de inventar problemas similares (mássencillos o más difíciles). Dibuja las gráficas correspon-dientes en caso de que esto sea factible.

Problema de los cerillos. Seis cerillas se ponen en fila enla forma siguiente:

• O, O, O Q:===!O 'O '

con un espacio vacío del tamaño de un cerillo. Los cerillassólo pueden avanzar en la dirección que señalan suscabezas. Pueden avanzar directamente un paso si tienenenfrente el espacio vacío:

r----~--"O r·....•••.••••••••••.-v: ..··, I ~I i t } . L J

o pueden saltar a un cerillo que venga en dirección con-traria (pero no más de uno):

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El problema consiste en pasar los cerillas de la izquierdaa la derecha, y los de la derecha a la izquierda. Es decir,llegar a la siguiente posición:

o 'O 'O ' I 01 01 O

Problema de la torre de Hanoi. El juego consiste en tres.palitos verticales colocados sobre una tabla, y de un ciertonúmero de discos de madera de distintos tamaños, per-forados y ensartados en el primero. de ellos, de maneraque vayan de mayor a menor. En la figura ilustramos elcaso de 6 discos. .

Una jugada consiste en pasar un disco de un palito aotro, de tal manera que no quede un disco mayor encimade uno más pequeño:

60

~~~

•.-1t- .•3,4

I 5 II 6 I ~ r3"1t-,

El problema consiste en pasar todos los discos al segundopalito. (Según una leyenda, cuando se resuelva este pro-blema con 64 discos se acabará el mundo.)

El juego del "impasible". Ocho cuadritos numerados del1 al 8 se colocan formando, junto con un espacio vacío,un cuadrado. Cualquier cuadrito se puede recorrer alespacio vacío si está adyacente a él:

.1 5 3

~

~~

6 2 ~~r/.

8 4 7

351

2••• 6

8 4 7

61

1 2 8 I 7 I 6

~13

1 I 2

4 5

7 8

(b) (d)(a)

¿Se puede pasar de la posición (a) a la (b)? ¿De la(a) a la (c)? ¿De la (d) a la (c)?

Temas de investigación. Analiza un libro científico enrelación a la forma que utiliza el lenguaje natural (¿usapalabras desconocidas para tí?, ¿utiliza palabras conocidasde una forma que no es la usual?, ¿puedes entender loque significan las expresiones que utiliza?'); en relación conlos lenguajes simbólicos que utiliza y en relación con sugrado de abstracción (¿se refiere a experimentos o a ob-servaciones que puedes comprender con mayor o menorfacilidad?, ¿desarrolla una teoría con conceptos más omenos abstractos>, ¿utiliza alguna rama de las matemá-ticas?). Trata de encontrar alguna relación entre el con-

- tenido del libro y algún problema práctico (ver tambiénel ejercicio 2).

Analiza algunas novelas, cuentos o poemas. ¿Aparecenpalabras que desconoces?, ¿utilizan el lenguaje en unaforma distin ta de la que se usa normalmen te?, ¿crees queel lenguaje y el estilo que utilizan está diseñado paracaptar algún aspecto especial de la realidad?

Analiza algún texto histórico o ,una noticia del perió-. dico. ¿En qué sentido representan una abstracción de unasituación real?, ¿consideras que el autor captó los aspectosesenciales de la situación? (Ver también el ejercicio 16.)

Estudia los sistemas de numeración de las culturas an-tiguas, en cuanto a los símbolos utilizados, la manera deconstruir expresiones y la forma de operar con ellos.

Repasa tu libro de álgebra, interpretándola como un

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lenguaje simbólico en el sentido de los que estudiamosaquí.

Estudia los lenguajes simbólicos de los conjuntos y dela Lógica Matemática.

Actividades. Organiza competencias de espías y contraes-pías, consistentes en cifrar y descifrar mensajes relativosa un problema conocido, como el del viejo y el río.

Cualquier comentario, sugerencia, ejemplo, etc., sobreel contenido de este folleto y temas relacionados, serábienvenido y tomado en cuenta para una futura edición.Por favor escribe a:

"Lenguajes Simbólicos"Instituto de Matemáticas,

Torre de Ciencias, 60. piso.Ciudad Universitaria,

México 20, D. F.

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Lecturas que se recomiendan

J. Babini. Historia Sucinta de las Matemáticas. Colección Austral.Ed. Espasa-Calpe, Argentina.D. Bergamini. Matemáticas. Colección Científica de Life en Es-pañol.J. Ferrater Mora y H. Leblanc. Lógica Matemática. Ed. Fondode Cultura Económica.Johnson, Glenn y García. Explorando las Matemáticas. Ed.McGraw-Hill.E. Kasner y J. R. Newman. Matemáticas e Imaginación. CECSA.M. Lara. Antologías de Matemáticas I y 1I. Lecturas Universita-rias 7 y 8. UNAM.J. R. Newman. El Mundo de las Matemáticas. Ed. Grijalbo.E. Northrop. Paradojas Matemáticas. Ed. UTEHA.O. Ore. Teoría y Aplicaciones de las Gráficas. Ed. Norma (Cali,Colombia).G. Polya. Cómo Plantear y Resolver Problemas. Ed Trillas.M. Willerding. Conceptos Matemáticos, un Enfoque Histórico.CECSA.G. Zubieta. Manual de Lógica para Estudiantes de Matemáticas.Ed. Trillas.

Este libro se terminó de imprimir eldía 15 de agosto de 1973 en los ta-lleres de Litoarte, S. de R. L. La tipo-grafía. composición y supervisión es-tuvo a cargo de Diseño y Compo-sición Litográfica, S. A. BoulevardM. Avila Camacho Núm. 40-316Naucalpan de Juárez, Edo. de Mé-xico.