Lenguajes

Prof.Lic.Teresa Fernández

LENGUAJES


SÍMBOLO:

La idea de símbolo es un concepto primario y por tanto indefinible (como el

concepto de punto o recta en Geometría). Diremos que es cualquier tipo de

carácter escrito.

Ejemplos:

a,*, 2, α, ta, son 5 símbolos.

ALFABETO o VOCABULARIO

Un alfabeto es un conjunto finito de símbolos. Lo nombramos con la letra V

Ejemplos:

V1={ z ,ʎ , b , a,c,d}

V2={1 ,0, 2 }

V3={da , ca , ba , la }

V4={a}


PALABRA o HILERA

Dado un alfabeto V una palabra sobre dicho alfabeto es la yuxtaposición

finita de símbolos del alfabeto. Representamos una palabra genérica con la

letra griega ω

Ejemplos:

zaza, zzzzzzz, baz, cada son palabras de V1

1010101,12121, 00021, son hileras formadas por V2

cada, bacada, dada, pertenecen al V3

a,aa,aaaa,aaaaa son palabras de V4

calo no es hilera formada por ninguno de los vocabularios anteriores


LONGITUD DE UNA PALABRA.

Número de símbolos de la hilera. Se escribe |ω |=long w

Ejemplos:

“Camisa” tiene longitud 6

“Cada” tiene longitud 4 si la consideramos en V 1, pero tiene longitud 2 si la

consideramos en el vocabulario V3

PALABRA VACÍA

Por convenio se acepta que sobre cualquier alfabeto existe una palabra que

llamamos palabra vacía, cuya longitud es 0 y que denotamos por λ .

λ no es un espacio en blanco, es sólo un concepto.

• La palabra vacía pertenece a todos los lenguajes universales de todos los

alfabetos posibles.


UNIVERSO DE UN ALFABETO

El conjunto de todas las palabras sobre un alfabeto V , incluida la palabra

vacía, recibe el nombre de universo del alfabeto y se representa por V*

Si no contiene a la palabra vacía será V+

Es decir:

LENGUAJE.

• Dado un alfabeto V, un lenguaje sobre V , L, es un conjunto de palabras sobre

dicho alfabeto, es decir un subconjunto de V* .

Es decir L V*

En particular el conjunto de todas las palabras de V* es un lenguaje.

*V

V


LENGUAJE VACÍO

El conjunto vacío Ǿ es un lenguaje, que por propiedad está incluido en todos los

lenguajes. Su cardinal es 0

LENGUAJE NULO

Es el conjunto {λ} = L cuya única palabra es la palabra vacía .

Su cardinal es 1

Todo lo anterior es válido para cualquier alfabeto V


Operaciones con Palabras

• CONCATENACIÓN:

¨Si x e y son palabras, la concatenación, x.y es una palabra formada por los

símbolos de x seguidos por los símbolos de y.

Ejemplo:

Sea V = {0,1} alfabeto binario, sean v, w e y palabras de V*

Sea v=0111

Sea w=1110

Sea y=vw léase y = v contatenado con w, por lo que resulta y = 01111110


• INVERSIÓN

Sea ω una palabra sobre cierto alfabeto V. Llamamos inversa (o reflejada) de la palabra ω,

y la representamos por wR a la palabra obtenida al escribir los símbolos que

constituyen la palabra ω en orden inverso.

Ejemplo:

Sea w = abc entonces wR = cba

POTENCIACIÓN:

Si concatenamos n veces una cadena x, es decir xxxxxx.... x n veces,obtendremos x.n

Ejemplos:

si concatenamos 2 veces la cadena x, obtendremos x².

si concatenamos 3 veces la cadena x, obtendremos x³.

Ejemplo

V={9,2,%,&}

w= 9&%2

w3=9&%29&%29&%2


PROPIEDADES DE LA CONCATENACIÓN DE PALABRAS.

i) No es conmutativa, en general no es lo mismo uv que vu.

ii) Es asociativa, es decir cualesquiera que sean las palabras u, v y w sobre el

mismo

alfabeto, se tiene que (uv)w = u(vw).

Esta propiedad nos permite concatenar cualquier número finito de palabras sin

tener que poner los paréntesis. Escribiremos uvw.

iii) |uv|=|u|+|v| es decir la longitud de la palabra formada por la concatenación de

dos

palabras, es la suma de las longitudes de cada una de ellas.

iv) La palabra vacía es el elemento neutro de la concatenación. En efecto

uλ=λu =u.


• PROPIEDADES DE LA INVERSIÓN Y LA POTENCIACIÓN

i) La palabra inversa de la concatenación de dos palabras es la concatenación de

las palabras inversas en orden contrario

Es decir:

(w.x)R=xR.wR

ii) long w = long wR

es decir, la longitud de una palabra y su inversa coinciden siempre.

iii) long wn=n. long w

iv) Si la palabra es un palíndromo: wR=w

Ejemplo:

w= neuquen

wR= neuquen


Operaciones con Lenguajes

• CONCATENACIÓN:

Dados dos lenguajes L1 y L2, su concatenación,

L1 . L2 contendrá todas las palabras que se puedan formar por la

concatenación de una Palabra de L1 y otra de L2.

Ejemplo: Dados L1 = { nana, napa, lana} y

L2 = { ʎ , nana, napa, pana, palabra, papa, pala}

L1 . L2 = { nana, napa, lana, nananana, napanana, ...........}


POTENCIACIÓN:

Corresponde a la concatenación i veces del lenguaje en él mismo;

L = L . L . L ..... L i veces

Ejemplo: Dado L1 = { 0, 1} entonces

L² = { 00, 01, 10, 11 }

INVERSIÓN

está formada por la aplicación de la inversión a cada una de las palabras del

lenguaje; L R = { x R tal que x ε L }

Ejemplo: Dado L = { 30, 001 , 00, 10 }, entonces

L R = { 03, 100, 00, 01 }


• UNIÓN

Dados dos lenguajes L1 y L2, su unión L1 U L2 contendrá todas las palabras que

pertenezcan a cualquiera de los dos lenguajes,

L1 U L2 = { x tal que x ε L1 ó x ε L2 }

Ejemplo: Dados L1 = { corre ,lento, nene} y L2 = { ʎ, corre,pana, pala}

L1 U L2 = { ʎ, corre,lento,nene, pana,pala}

• INTERSECCIÓN

Dados dos lenguajes L1 y L2, su intersección L1 ∩ L2 contendrá todas las palabras que

pertenezcan a los dos lenguajes;

L1 ∩ L2 = { x tal que x ε L1 y x ε L2 }

Ejemplo: Dados L1 = { corre ,lento, nene} y L2 = { ʎ, corre,lento,nene, pana,pala}

• L1 ∩ L2 = { corre }

•


DIFERENCIA ( RESTA)

Si L1 y L2 son lenguajes L1 - L2, contendrá todas las palabras que pertenezcan a

L1 y no pertenezcan a L2 ,

L1 - L2 = { x tal que x L1 y x L2 }

Ejemplo: Dados L1 = { corre ,lento, nene} y

• L2 = { ʎ, corre,pana,pala}

• L1 - L2 = { lento, nene}

• L2 - L1 = { ʎ , pana,pala}


CLAUSURA DE KLEENE

Sea V un alfabeto, sea N el conjunto de los números naturales, sea n

ε N U {0} y sea L un lenguaje de V* entonces:

L* = Lº U L¹ U L² U L³ U....U L es la clausura de Kleene del

lenguaje L.

CLAUSURA POSITIVA

Sea V un alfabeto, sea N el conjunto de los números naturales, sea n ε N y

sea L un lenguaje de V* entonces:

L = L¹ U L² U L³ U....U L es la clausura de positiva del lenguaje L.

*

0

iL Li

1

iL Li


OBSERVACIONES:

Si bien un alfabeto V es un conjunto finito, V* es siempre un conjunto infinito

(enumerable).

En el caso más simple, V contiene solo un símbolo, por ejemplo:

V= {a} y V*= {λ,a,aa,aaa,aaaa,aaaaa,...}

Hay que distinguir entre los siguientes objetos, que son todos diferentes entre sí:

ϕ: lenguaje vacío

λ hilera vacía

{ϕ} conjunto formado por el lenguaje vacío

{λ}: lenguaje nulo

Y las siguientes potencias:

. w0= λ V0={λ} L0={λ}

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