Legge del raffreddamento di Newton

• L’obiettivo di questo esperimento era lo studio della temperatura di un oggetto che si raffredda partendo da una temperatura significativamente superiore alla temperatura ambiente, in funzione del tempo.

• Con un apposito strumento effettuiamo la misura e raccogliamo in una tabella la misura della temperatura in gradi centigradi e il tempo a cui questa misura si riferisce in secondi.

• Trasferiamo i dati così raccolti in un file EXCEL e registriamo anche la temperatura ambiente in una delle caselle del file.

• Rappresentiamo in un grafico l’andamento della temperatura in funzione del tempo.

time (s) temperature (°C)

0 80,71 80,22 79,33 78,64 77,75 76,86 75,97 75,18 74,39 73,5

10 72,711 71,912 71,213 70,214 69,415 68,816 68,117 67,418 66,719 66,020 65,221 64,722 63,923 63,3

raffreddamento

0,010,020,030,040,0

50,060,070,080,090,0

0 20 40 60 80 100 120

tempo (s)

tem

per

atu

ra (

°C)

qualche considerazione sul grafico:

• ha un aspetto ragionevole?

• fino a quale valore scenderà la temperatura?

• quale funzione matematica può rappresentare l’evoluzione temporale della temperatura?

• c’e’ bisogno di trattare i dati in qualche modo?

• La discesa della temperatura sembra seguire un andamento esponenziale, ma:– la funzione esponenziale negativa ha 0 come limite, mentre il limite dei

nostri dati è la temperatura dell’ambiente circostante (in generale diversa da 0).

• Excel non è in grado di aggiungere un “offset” alla funzione esponenziale.

• L’”offset” da sottrarre ai dati è la temperatura ambiente.

• Nella colonna C calcoliamo la differenza di temperatura Tamb tra il

corpo in esame e l’ambiente e riportiamola in un grafico.• Se, per t ∞, la temperatura del corpo tende alla temperatura

ambiente, ci possiamo aspettare che, per t ∞, Tamb tenda a 0.

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0 20 40 60 80 100 120

tempo (s)

dif

fere

nza

di t

em

pe

ratu

ra (

°C)

Possiamo ipotizzare che, se avessimo continuato a prendere misure, la differenzadi temperatura sarebbe arrivata a 0.E’ possibile verificare l’andamento esponenziale secondo una legge del tipo:

Y = A e –kt

e determinare anche i valori di A e di k che consentono di rappresentare meglio i dati.

y = 61,531e-0,0142x

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0 20 40 60 80 100 120

tempo (s)

dif

fere

nza

di t

em

pe

ratu

ra (

°C)

• Questa funzione esponenziale sembra rappresentare bene i nostri dati. •Che significato fisico ha la costante A= 61,531 ?

per x=0 (cioe’ all’istante iniziale) y = A A rappresenta la differenza di temperatura tra corpo e ambiente all’istante iniziale• E la costante k = 0,0142 ?

k e’ un indice della rapidita’ di diminuzione della temperatura (cooling rate, s-1)

• Quali sono le loro unità di misura?

Per valutare se l’adattamento e’ buono, possiamo utilizzare un piccolo truccomatematico.

Linearizzazione del problema:

come si puo’ trasformare la dipendenza esponenziale in una dipendenza lineare?

funzione logaritmo = funzione inversa della funzione esponenziale

cioè ln(ex) = x

quindi se Y = A e –kt ln(Y) = ln A – kt

linearizzazione del problema :

• calcoliamo il logaritmo della differenza di temperatura e mettiamolo nella colonna D.

• rappresentiamo i dati in un grafico in funzione del tempo.

• controlliamo l’adattamento ai dati di una funzione lineare, cioè di una retta.

• quale significato hanno le costanti trovate?

• hanno il valore che ci aspettavamo?

y = -0,0142x + 4,1195

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 20 40 60 80 100 120

Da un punto di vista qualitativo possiamo dire che la velocità

con cui il corpo si raffredda, diminuisce con il passare del

tempo.

Possiamo dire qualcosa di più quantitativo?

Esiste una dipendenza dalla differenza di temperatura?

• costruiamo il grafico della velocità di diminuzione della temperatura in funzione della differenza di temperatura

• in colonna E calcoliamo la variabile T/t dove T è la temperatura del corpo e t è il tempo.

• riportiamola in un grafico in funzione di Tamb

-1

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0

differenza di temperatura tra corpo e ambiente(°C)

velo

cità

di

raff

red

dam

ento

(°

C/s

)

• Come ci si aspettava, la velocità di diminuzione della temperatura del corpo è più alta quando è maggiore la differenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente.

• Consideriamo una curva di tendenza lineare per trovare il migliore adattamento ai punti. Impostiamo l’intercetta = 0.(Perché ?)

y = -0,0144x

-1

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0

differenza di temperatura tra corpo e ambiente (°C)

velo

cità

di

raff

red

dam

ento

(°

C/s

)

• Che significato ha la costante -0,0144 ?• Quale è la sua dimensione?

• Possiamo scrivere l’equazione appena trovata come:

dTcorpo/dt = -k (Tcorpo – To)

dove k = 0,0144 s-1

cioè la velocità di raffreddamento è proporzionale alladifferenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente

(legge del raffreddamento di Newton)