Legame tra la fattorizzazione degli interi e la geometria

Di Cristiano Armellini (cristiano.armellini@alice.it)

1) Caso del rettangolo

Si consideri un rettangolo di lati a, b (con a,b interi). Il rettangolo avrà area A = ab, e perimetro P =2(a+b)

Si consideri l’equazione �� � �� � � � 0, � � �, � � � �, � � , �. Avremo che

�� ��2� � � � 0

Dove � � �, 2� � �� � �

Semplificando 2�� � �� � 2� � 0 quindi � � ��√�������

da cui deriva che � � 4√�. Facendo variare P

negli interi positivi troviamo prima o poi il valore esatto per cui x = a, b sono interi da cui la fattorizzazione

di A = ab

2) Caso del rombo

Come secondo caso consideriamo un rombo di lato l e diagonali D, d.

Sappiamo che per trovare la lunghezza di uno dei 4 lati del rombo in funzione delle diagonali

dobbiamo considerare �� � ����� � ��

��� ovvero �� � � � 4��. Però l’area del rombo è � � ��

�� ! �

"�. Dalle due equazioni �� � � � 4�� e � � ���

si deduce una equazione biquadratica in D o in d con

parametro # � �� : � � 4�� � � 4�� � 0, � $2�� � 2√�� � ��, l > A l non necessariamente intero (es

l^2 = 72.5). Così troviamo la fattorizzazione di A = Nd o di A = KD

a

b

D

d