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LECTURE NOTE
Modern Control System R. C. Dorf
제어공학I
제3장 상태변수모델
(STATE VARIABLE MODELS)
담당교수 : 김 상희
전자공학부
1
제 3 장 상태변수모델(STATE VARIABLE MODELS) 시간영역에서의 해석 : n 차 미분방정식을 n 개의 1 차 미분방정식으로 변환 => 동적방정식(dynamic equation) = 상태방정식 + 출력방정식 3.1 서론(Introduction) 1. 2 장 : 전달함수와 Laplace 변환을 이용한 주파수영역에서의 해석 => 선형, 시불변 시스템에만 적용 가능. 3 장 : 시스템의 내부상태를 표현하는 상태변수를 이용하는 시간영역
해석방법 => 비선형, 시변, 다변수 시스템 해석에 유용하고, 컴퓨터 이용이 용이 2. 시간영역에서의 시스템 해석 1) 과도응답 : 상승시간(rise time), 정정시간(settling time), overshoot 등. 2) 정상상태응답 : steady-state error(정상오차), ... 3.2 동적시스템의 상태변수(The State Variables of a Dynamic System) 1. 상태변수의 정의 상태변수는 시스템의 현재 상태와 입력 값이 주어지고 동특성을 묘사하는 방정식이 주어지면 시스템의 미래응답을 정확히 묘사할 수 있다. 그림 3.1, 3.2
상태변수 , 입력변수 , 출력변수 , 상태변수 초기 상태 )(tX )(tU )(tY )( 0tX
[ ])(,),(),()( 21 txtxtxtX nL=
2. 상태변수해석법의 장점 1) 선형 및 비선형 시스템에 적용 가능 2) 시스템의 내부 상태를 해석 3) 상태변수들은 물리시스템의 동적 특성(dynamic behavior)을 묘사.
2
3. 예제. 예 1) 그림 3-3 의 스프링-질량-댐퍼시스템
)()()()(2
2
tutKydt
tdybdt
tydM =++ - (1)
1) 상태변수 정의; dt
tdytxtytx )()(),()( 21 ==
→ )()()()(;)()(12
22
1 tutKxtbxdt
tdxMtxdt
tdx=++= ;
2) 상태방정식(state equation)
)()(2
1 txdt
tdx=
)(1)()()(21
2 tuM
txMbtx
MK
dttdx
+−−=
예 2) 그림 3-4 의 RLC 회로
1) 상태변수선정 )()(),()(),()( 021 tvtytitxtvtx Lc ===
2) KCL 적용; , 여기서 )()()( tititu CL +=dt
tdvCti CC
)()( =
→ )()()( tutidt
tdvC LC =+ - (6)
KVL 적용; )()()(;)()()( tRidt
tdiLtvtvtvtv LL
CRLC +=+=
→ )()()( tvtRidt
tdiL CLL +−= - (7)
3) 상태방정식 )(1)(1)(2
1 tuC
txCdt
tdx+−=
)()(1)(21
2 txLRtx
Ldttdx
−=
4) 출력방정식 ; )()()( 20 tRxtvty ==
3
4. 상태변수의 선정은 unique 하지 않다. => 상태변수를 다르게 선정하면 다른 동적방정식. 3.3 상태미분방정식(The State Differential Equation)
1. n 차 미방 => 1 차 미방, 여기서 dt
tdxx )(=&
mmnn ububxaxaxax 111112121111 ++++++= LL&
mmnn ububxaxaxax 212122221212 ++++++= LL& …
mnmnnnnnnn ububxaxaxax ++++++= LL& 112211 => 행렬-벡터 표현 : 식 3-14.
)()()( tButAXtX +=& 2. 선형 시불변 시스템의 동적방정식(dynamical equation) 상태방정식 )()()( tButAxtx +=&
출력방정식 )()()( tDutCxty +=
3. 예제 예 1) 그림 3-3 의 spring-mass-damper system;
[ ])(10
)()(10
)()(
2
1
2
1 tuMtx
tx
Mb
MK
txtx
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡&
&
또는 간단히 )(10
)(10
)( tuM
txMb
MKtx
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=&
예 2) 그림 3-4 의 RLC 회로에서 2/1,1,3 === CLR 인 경우;
[ )(0
1
)()(
1
10
)()(
2
1
2
1 tuCtxtx
LR
L
Ctxtx
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡&
& ] ; [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)()(
0)(2
1
txtx
Rty
; [ ])(02
)()(
3120
)()(
2
1
2
1 tutxtx
txtx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡&
& [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)()(
30)(2
1
txtx
ty
또는 간단히 ; )(02
)(3120
)( tutxtx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=& [ ] )(30)( txty =
4
3. 상태천이행렬(State Transition Matrix) : )(tΦ 1) 정의 0)(),()()( =+= tutButAxtx& (1) 선형동차방정식의 해.
Given )()( tAxdt
tdx= , then )()( tA
dttd
Φ=Φ -(*)
(2) )0()()( xttx Φ=
2) 를 구하는 방법 )(tΦ
(1) eq.(*)의 양변을 L.T. => => )()0()( sAXxssX =− )0()()( 1 xAsIsX −−= [ ] )0()()( 11 xAsILtx −− −= ])[()( 11 −− −=Φ∴ AsILt (2) 를 eq.(*)의 해로 가정 Atettx =Φ= )()(
AtAt
Aedt
de=
여기서 LL +++++==Φ kAt Atk
AtAtIet )(!
1)(!2
1)( 2
3) 상태천이행렬의 특성 (1) 시스템의 자유응답으로 오직 초기조건에 의해 여기되는 응답 (2) 행렬 에만 의존 A 4) 상태천이행렬의 성질 (1) I=Φ )0( (2) : 상태천이과정의 양방향성 )()(1 tt −Φ=Φ−
(3) )()()( 020112 tttttt −Φ=−Φ−Φ : 상태천이과정의 연속성
(4) )()( ktt k Φ=Φ 4. 상태천이방정식(State Transition Equation) 1) 정의 : 선형비동차방정식의 해. 2) 해법 - 상태방정식을 라플라스 변환 ; )()()0()( sBUsAXxssX +=− )()0()(][ sBUxsXAsI +=− 여기서, 가 존재한다면 1][ −− AsI )(][)0(][)( 11 sBUAsIxAsIsX −− −+−= - 역라플라스변환하면 시간응답은
=> ∫∫ −Φ+Φ=+= − tt tAAt dButxtdBuexetx00
)( )()()0()()()0()( ττττττ
∫ +−Φ+Φ=+=t
tDudButCxtCtDutCxty0
)()()()0()()()()( τττ
5
3.4 신호흐름선도 상태모델(Signal-Flow Graph State Models) 1. 신호흐름선도 상태모델에서 전달함수 유도
예) 그림 3-4 의 RLC 회로에서 출력전압 )()(0 tRitv L=
KCL 적용; )(1)(1)( tuC
tiCdt
tdvL
C +=
KVL 적용; )(1)(1)()()()( 00 tvL
tvLdt
tditvdt
tdiLtv CLL
C −=→+=
Let )()(),()( 21 txtitxtv LC ==
상태방정식 )(1)(1)( 21 tuC
txC
tx +−=&
)()(1)( 212 txLRtx
Ltx −=&
출력방정식 )()( 20 tRxtv =
1) 동적방정식에서 신호흐름선도 유도 : 그림 3-5.
2) 그림 3-5 에 Mason 의 이득공식을 적용하여 전달함수 유도
LCs
LRsLCR
LCsLsRLCs
R
sUsV
111)()(
22
20
++=
++=
=> 일반적으로 쉽지 않다. 2. 전달함수에서 신호흐름선도 상태모델 유도 1) 위상변수표준형(Phase Variable Canonical Form)으로의 변환 = 직접분해(Direct Decomposition) 2) 입력피드포워드형(Input Feedforward Form)으로의 변환 3. 위상변수표준형으로의 변환.
6
인수형을 갖지 않는 일반적인 n 차 시스템의 전달함수에서 상태흐름선도 유도.
011
1
011
1
)()()(
asasasbsbsbs
sUsYsG n
nn
mm
m
+++++++
== −−
−−
L
L
여기서 이고, 계수 는 실수(real number) mn ≥ ba, 1) 분자, 분모에 을 곱; ns−
nnn
nnmnm
mn
sasasasbsbsbssG −−−−
−
−−−+−−−
−−
++++++++
=0
)1(1
11
0)1(
1)1(
1)(
1)(
L
L (3-34)
2) Mason 의 이득공식 ∆
∆==∑
kkkP
sUsYsG)()()( 에서 모든 궤환루프가 서로
접하고 있고 모든 전향경로가 궤환루프와 접촉한다고 가정하면
factorsloopfeedbacktheofsum
factorspathforwardofSumL
PsG N
q q
k k
−−
=−
=∑∑
=11
)(1
(3-36)
3) 식(3-34)와 (3-36)을 비교하면 식(3-34)의 분모의 계수는 궤환 이득이고, 분자의 계수는 전향경로이득 예 1) 4th-order transfer function;
40
31
22
13
40
012
23
34
0
1)()()( −−−−
−
++++=
++++==
sasasasasb
asasasasb
sUsYsG
가상변수 ) 를 도입하면 (sX
)()1()(
)()(
40
31
22
13
40
sXsasasasasXsb
sUsY
−−−−
−
++++=
)()( 40 sXsbsY −=
)()1()( 40
31
22
13 sXsasasasasU −−−− ++++=
)()()()()()( 40
31
22
13 sXsasXsasXsasXsasUsX −−−− −−−−=
상태변수를 다시 정리하면
)(),(),(),(),( 41
42
33
24
1 sXxsXsxsXsxsXsxsXsx ===== −−−− &
)()()()()()( 102132434 sxasxasxasxasUsx −−−−=& )()( 10 sxbsy =
7
1) 그림 3-7 의 상태흐름선도 유도.
2) 동적방정식 유도 ⇒ 위상변수표준형(Phase Variable Canonical Form)
BuAxx +=& , Cxy =
)(
1000
100001000010
4
3
2
1
32104
3
2
1
tu
xxxx
aaaaxxxx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
&
&
&
&
, [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
0 000)(
xxxx
bty
예 2)
40
31
22
13
40
31
22
13
012
23
34
012
23
3
1)()()( −−−−
−−−−
+++++++
=++++
+++==
sasasasasbsbsbsb
asasasasbsbsbsb
sUsYsG
가상변수 ) 를 도입하면 (sX
)()1()()(
)()(
40
31
22
13
40
31
22
13
sXsasasasasXsbsbsbsb
sUsY
−−−−
−−−−
+++++++
=
)()()()()( 40
11
22
13 sXsbsXsbsXsbsXsbsY −−−− +++=
)()()()()()( 40
31
22
13 sXsasXsasXsasXsasUsX −−−− −−−−=
상태변수를 다시 정리하면
)(),(),(),(),( 41
42
33
24
1 sXxsXsxsXsxsXsxsXsx ===== −−−− &
102132434 )()( xaxaxaxasUtx −−−−=&
10213243)( xbxbxbxbty +++= 1) 그림 3-8 의 상태흐름선도 유도.
8
2) 동적방정식 유도 : 식(3-42), 식(3-43)
)(
1000
100001000010
4
3
2
1
32104
3
2
1
tu
xxxx
aaaaxxxx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
&
&
&
&
; [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
3210)(
xxxx
bbbbty
4. 입력피드포워드형으로의 변환 : Fig. 3.10
40
31
22
13
40
31
22
13
012
23
34
012
23
3
1)()()( −−−−
−−−−
+++++++
=++++
+++==
sasasasasbsbsbsb
asasasasbsbsbsb
sUsYsG
)()()()()( 40
31
22
13
40
31
22
13 sUsbsbsbsbsYsasasasasY −−−−−−−− +++++++−=
1) 상태흐름선도 유도 : )()( 1 txty = 로 정의하고 유도(그림 3-10)
2) 상태방정식을 식(3-44)와 같이 정의 ubxxaxubxxax 2312232131 , ++−=++−= && ubxaxubxxax 010414113 , +−=++−= && 출력방정식 정의 1xy = 3) 상태방정식 : 식(3-45)
)(
000100010001
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
tu
bbbb
xxxx
aaaa
dtdx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
5. 예제 3.1 : 두 개의 상태변수 모델 그림 3-11 로 주어진 단위루프 제어시스템에서
1) 폐루프전달함수
9
)()61681(
)()682(6168
682)()()( 321
321
23
2
sXssssXsss
sssss
sUsYsT −−−
−−−
+++++
=+++
++==
)(6)(8)(2)(),()(6)(16)(8)( 321321 sXssXssXssYsUsXssXssXssX −−−−−− ++=+−−−=
2) 위상변수표준형의 유도 : 그림 3-12
상태방정식 )(100
8166100010
tuXX⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=&
출력방정식 [ ] )(286)( tXty =
3) 입력피드포워드형의 유도 : 그림 3-13
상태방정식 )(682
0061016018
tuXX⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=&
출력방정식 [ ] )(001)( tXty =
6. 1) 두 모델은 dual(쌍대) 관계로 선형변환(linear transform)을 통하여 변환. 2) 신호흐름선도 상태모델은 전달함수의 아날로그 컴퓨터 시뮬레이션 3.5 다른 형태의 신호흐름선도 상태모델 1. 물리적 변수 신호흐름선도 상태모델 =종속분해(Cascade Decomposition) 분자와 분모를 인수분해하여 부분분수로 전개한 후에 적용. 1) 신호흐름선도의 유도
10
)()(
)()(
)()(
)3)(2)(5(6)1(5
)()(
sIsY
sUsI
sRsU
ssss
sRsY
⋅⋅=+++
⋅+= ;종속분해
i) )()51()()55(
)5()1(5
)()(
1
1
sXssXs
ss
sRsU
−
−
++
=++
=
)(5)(5)( 1 sXssXsU −+=
)()(5)(
)(5)()(1
1
sRsXssXsXssXsR+−=→
+=−
−
로 변환 31 )( xsXs →−
ii) )()21(
)(2
1)()(
1
1
sXssXs
ssUsI
−
−
+=
+=
)()( 1 sXssI −= )()(2)( 1 sUsXssX +−= −
21 )( xsXs →− 로 변환
iii) )()31(
)(63
6)()(
1
1
sXssXs
ssIsY
−
−
+=
+=
))
(6)( 1 sXssY −= ()(3)( 1 sIsXssX +−= −
11 )( xsXs →− 로 변환
iv) i) ii) iii)의 신호흐름선도를 을 직렬연결
2) 동적방정식의 유도 : 식(3-51), 식(3-52) 211 63 xxx +−=&
rxxx 5202 322 +−−=&
rxx +−= 33 5&
11
)()( 1 txty =
2. 대각형 또는 표준형(Canonical Form) = 병렬분해(Parallel Decomposition) 분자와 분모를 인수분해하여 적용하며, 다중근이 존재하지 않을 때 사용. 1) 신호흐름선도의 유도 : 그림 3-16.
3
302
105
20)3)(2)(5(
)1(30)()(
++
+−
++
−=
++++
=ssssss
ssRsY
i) 5
20)()(
+−
=ssR
sY
ii) 2
10)()(
+−
=ssR
sY
iii) 3
30)()(
+=
ssRsY
iv) 병렬연결
2) 동적방정식의 유도 : 식(3-54)
12
[ ]XtytrXX 301020)(),(111
300020005
−−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=&
3. Jordan 표준형(Jordan Canonical Form) 대각형의 특수한 형태로 다중근이 존재하는 경우에 사용.
360
260
)2(30
)3()2()1(30
)()(
22 +−
++
++−
=++
+=
ssssss
sRsY
[ ]XtytrXX 606030)(),(110
300020012
−−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=&
예제 3.3 : 도립단진자 제어(Inverted Pendulum Control) 1. 설계목적 : 도립단진자를 수직으로 유지 2. 선형화를 위한 가정 : 이며, mM >> 회전각 θ 는 작다고 가정.->선형화
3. 1) 평형상태: 0)(,0)( ==dt
tdt θθ
2) 상태변수: )(),( tytθ
4. 1) 회전축에서 토크의 합
수평 : Hllymlydtdm =−+=+ )sin()sin( 2
2
2
θθθθ &&&&&
수직 : mgVmlldtdm −=−−= )cossin()cos( 2
2
2
θθθθθ &&&
13
θθθθθ cossin0cossin 2 ymlmlmglHlVl &&&& −−==−⇒2) Cart Eq 0)()( =−+=−++ tumlyMtuykHyM θ&&&&&&&
5. 1) 수평방향으로 작용하는 힘 : 0)( =−+ tumlyM θ&&&&
2) 축에 작용하는 Torque : 02 =−+ θθ gmlmlyml &&&&
3) )()( 4321 θθ &&yyxxxx =
0)(42 =−+ tuxmlxM && --(1) 0342 =−+ gxxlx && --(2)
(2)식에서 을 (1)식에 대입하면 234 xgxxl && −=
0)(232 =−−+ tuxmmgxxM && mM >> 이므로
)(32 tumgxxM =+& --(3)
(2)식에서 를 (1)식에 대입 432 xlgxx && −=
0)()( 443 =−+− tuxmlxlgxM && mM >> 이므로
0)(34 =+− tuMgxxMl& --(4)
)(1,),(1, 34433221 tuMl
xlgxxxtu
Mx
Mmgxxx −==+−== &&&&
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
Ml
MtX
lg
Mmg
tX1
0
10
)(
0001000
0000010
)(&
3.6 상태방정식으로부터 전달함수를 구하는 방법 (The Time Response and the State Transition Matrix) 1. Given SISO system )()()( tutt BAxx +=& )()()( tutty DCx += 초기조건을 0 으로 하고 라플라스 변환 )()()( sUsss BAXX +=
)()()()()()()()( 1 sUssUsssUss BΦBAIXBXAI =−=⇒=−⇒ −
14
)())(()()()()( sUssYsUssY DBCΦDCX +=⇒+=
1) 전달함수 DBAICDBCΦ +−=+== −1)()()()()( ss
sUsYsG
여기서, 이면 0=D BAsICBssUsYsG 1)()(
)()()( −−=== CΦ
2) 특성방정식 0011
1 =++++=− −− asasass n
nn LAI
2. 예제 3.4) RLC 회로의 전달함수 page 125 eq. 3.18, 3.19 참조
동적방정식 ; )(0
1)(1
10)( tuCtX
LR
L
CtX⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=&
[ ] )(0)( tXRty =
resolvent matrix [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=−
)(1
1
LRs
L
Cs
AsI
상태천이행렬 [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −+
∆=−=Φ −
sL
CLRs
sAsIs 1
1)(
)(1)( 1
여기서, LC
sLRss 1)( 2 ++=∆
∴ 전달함수 [ ] [ ]⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −+
∆=−= −
0
1
1
1)(
)(10)( 1
Cs
L
CLRs
sRBAsICsG
LCs
LRsLCR
sLCR
1)( 2 ++=
∆= --- (3-32)
15
3.7 시간응답과 상태천이행렬(Time response and the state transition matrix) 1. 일반적인 선형 시불변 시스템의 동적방정식(dynamical equation) )()()( tutt BAXX +=&
)()()( tutty DCX +=
1) 상태천이방정식
∫∫ −+=−+=t ttt
deedttt0
)(
0)()0()()()0()()( τττττ τ BUXBUΦXΦX AA
즉, 초기조건 와 , 그리고 입력)0(X )(tΦ )(τU 를 알면 의 시간응답을 구할 수 있다.
)(tX
2) 상태천이행렬 }]{[!
)( 11
0
−−∞
=
−=== ∑ AIAΦ A sLktet
k
kkt
1][)()0()()( −−=←= AIΦXΦX ssss 예) 2 차계 시스템인 경우 )0()()0()()( 2121111 xsxssX φφ += )0()()0()()( 2221212 xsxssX φφ += 이므로 )}({)( 1 sLt ΦΦ −=
)0()()()()(
)(;)0()()(2221
1211 XXXΦX ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
tttt
tttφφφφ
즉, )0()()0()()( 2121111 xtxttx φφ += )0()()0()()( 2221212 xtxttx φφ +=
2. 예제 3.5) 상태천이행렬의 계산
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=3120
A
, )2)(1(232)3()(,)3(1
2][ 2 ++=++=++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
=− ssssssss
ss ∆AI
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=−= −
ss
sss
12)3(
)(1][)( 1
∆AIΦ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−−−−
==⇒−−−−
−−−−−
tttt
tttt
eeeeeeee
sLt 22
221
322
)}({)( ΦΦ
1)0()0( 21 == xx 일 때의 시간응답 는 )(),( 21 txtx
⇒ 시간응답은 그림 3-22 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
t
t
ee
txtx
2
2
2
1
11
)()(
Φ(t)
16
3. 상태흐름선도에서 상태천이행렬의 계산 초기조건을 고려한 RLC 회로의 상태흐름선도 : 그림 3-20 및 3.21
)(11 sφ 는 과의 관계; )0()( 11 xsX ↔)(
]/)0([)(1)( 111 s
sxssX∆⋅∆⋅
= 로 부터
여기서 11
21 31)(,231)( −−− +=∆++=∆ sssss
)2)(1(
)3()231(
)31()0()()( 21
11
1
111 ++
+=
+++
== −−
−−
sss
ssss
xsXsφ
)(12 sφ 는 과의 관계; )0()( 21 xsX ↔)(
]/)0([)2()( 21
1 ssxssX
∆⋅−
=−
로 부터
)2)(1(
2)231(
2)0()()( 21
2
2
112 ++
−=
++−
== −−
−
sssss
xsXsφ
)(21 sφ 는 과의 관계; )0()( 12 xsX ↔)(
]/)0([)( 11
2 ssxssX
∆⋅
=−
로 부터
)2)(1(
1)231()0(
)()( 21
2
1
221 ++
=++
== −−
−
sssss
xsXsφ
)(22 sφ 는 )0()( 22 xsX ↔ 과의 관계; )(
]/)0([1)( 22 s
sxsX∆
⋅= 로 부터
)2)(1()231()0(
)()( 21
1
2
222 ++
=++
== −−
−
sss
sss
xsXsφ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++−
+++
=
)2)(1()2)(1(1
)2)(1(2
)2)(1()3(
)(
sss
ss
sssss
sΦ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−−−−
==⇒−−−−
−−−−−
tttt
tttt
eeeeeeee
sLt 22
221
322
)}({)( ΦΦ
1)0()0( 21 == xx 일 때의 시간응답 는 )(),( 21 txtx
17
⇒ 시간응답은 그림 3-22 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
t
t
ee
ttxtx
2
2
2
1
11
)()()(
Φ
3.9 설계 예: Printer belt drive system 1. 일반적인 컴퓨터용 프린터는 인쇄장치를 수평으로 이동시키기 위한 벨트 전동 장치 사용 2. 종류 : ink-jet 방식, print ball 방식, thermal 전사방식, ... 3. 그림 3-24 : 프린터 벨트 전동장치 시스템. 1) 광센서는 인쇄장치의 위치를 측정하는 데 사용 2) 벨트 장력은 벨트의 스프링 유연성을 조정. 4. 설계목적
1) 외란 의 영향을 최소로 하는 벨트 스프링 상수 의 결정 dT
2) 전동기, 벨트 도르래 및 제어기의 적당한 변수 선정. 5. 설계과정 1) 적절한 벨트 구동시스템의 모델 결정 2) 선정된 모델의 매개변수 결정 3) 상태변수의 선정 및 신호흐름선도 작성 4) 전달함수의 결정과 스프링 상수를 제외한 다른 변수들을 선정 5) 실제상황에서 스프링 상수를 변화시켰을 때의 효과(영향) 고찰 (1) 그림 3-24 : 프린터 벨트 전동장치 모델 (2) 변수선정 : 벨트의 스프링 상수; k 도르래(Pully)의 반경; r 모터 축의 각변위; θ
오른쪽 도르래의 각변위; pθ
18
인쇄장치의 질량; m 인쇄장치의 위치; )(ty (3) 센서의 출력전압; )()( 11 tyktv =
제어기의 출력전압; )]()([)( 131
22 tvkdt
tdvktv +−=
여기서, 즉 속도궤환(velocity feedback)이라 가정(그림 3-25) 0,1.0 32 == kk
(4) 표 3-2 : 인쇄장치의 변수들
(5) 시스템의 운동방정식; )()( trty pθ=
장력 ))()(())()(()(1 tytrktrtrktT p −=−= θθθ
장력 ))()(()(2 trtyktT θ−= 질량 에서의 순 장력은 m
))()((2))()(())()(()()()( 2
2
21 tyyrktrtyktytrkdt
tydmtTtT p −=−−−==− θθθ
- 상태변수 정의; ))()(()(1 tytrtx −= θ
dt
tdytx )()(2 =
dt
tdtx )()(3θ
=
=> )()()()()( 231 txtrxdt
tdydt
tdrtx −=−=θ
&
)(2)()( 12
2
2 txmk
dttydtx ==&
(6) 계자제어 DC 모터의 운동방정식(그림 2-17 참조);
19
- 이라 가정하면 계자전류는 0=L )(1)( 2 tvR
ti =
- 모터의 토크 방정식 )()()()()( 2 tTtTtvR
KtiKtT dLm
mm +===
- 벨트구동(또는 pulley shaft 구동)토크는
))()(()()()( 212
2
tTtTrdt
tdbdt
tdJtTL −++=θθ
=> ))()(()()(1)()( 212
2
3 tTtTJr
dttd
JbtT
Jdttdtx L −−−==
θθ&
J
tTtTtxJkrtx
Jb dm ))()(()(2)( 13
−+−−=
여기서 )()()(),()( 2212122 txkkdt
tdykktvtvR
KtT mm −=−==
=> )(1)()()(2)( 3221
13 tTJ
txJbtx
JRkkKtx
Jkrtx d
m ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=&
∴ 상태방정식; )(1
00
)(
2
00210
)(
21
tT
J
tX
Jb
JkkK
Jkr
mk
rtX d
m ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=&
(7) 그림 3-26 : 프린터 벨트 전동장치의 흐름선도 모델
(8) 전달함수; 214321
2
1
)(1)()(
LLLLLL
sJr
sTsX
d ++++−
−=
−
여기서 mJR
skkkrKLJ
skrLsmkLs
JbL m
321
4
22
32
21
12,2,2,
−−−− −=−=−=−=
20
=> ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=
JmRkkkrK
Jmkbs
Jkr
mks
Jbs
sJr
sTsX
md 212
23
1
2222)()(
- 표 3-2 의 변수값을 대입하면,
∴)15.025.0(10005.1425
15)()(
223
1
kkkssss
sTsX
d ++++−
=
(9) 외란이 인가될 때 상태변수 )()(1 tytrx −= θ 이 낮은 값으로 빨리 감소하도록 스프링상수 와 이득 의 선정 k 2k
- 계단외란(step disturbance)을 sasTd /)( = 로 가정;
)15.025.0(10005.1425
15)(2
231 kkksssasX
++++−
=
- 최종치 정리를 이용하여 의 정상값을 구하면 )(1 tx
0)(lim)(lim 101 ==→∞→
ssXtxst
- 실제 스프링상수 의 범위는 k 401 ≤≤ k 이므로, 로
가정하면,
1.0,20 2 == kk
)93.23444.2)(56.22(15
53002902515)( 2231 +++
−=
+++−
=sss
asss
asX
- 부분분수 전개; 221
)28.15()22.1()56.22()(
+++
++
=s
CBss
Aa
sX
여기서 4381.0,0218.0,0218.0 −==−= CBA A 와 B 가 C 에 비하여 상당히 작으므로 근사화하면
221
)28.15()22.1(4381.0)(++
−≅
sasX
- 역변환하면 teatx t 28.15sin0287.0)( 22.11 −−≅
- 그림 3-27 : 계단외란에 대한 의 시간응답 => 의 최대크기가 외란의 0.025 이하이므로 설계목적 달성 )(1 tx
21
3.11 Matlab 을 이용한 상태변수모델 해석 1. Matlab function; TF2SS, SS2TF, lsim, expm, ...
2. state equation model ⇌ transfer function model
)()()( tButAXtX +=&
)()()( tDutCXty +=
여기서 )상태벡터, ; 단일입력, ; 단일출력 1();( ×ntX )(tu )(ty 시스템행렬, )(; nnA × )(; mnB × 입력행렬 출력행렬, )(; npC × )(; mpD × 피드포워드행렬 단, 단일입출력 시스템에서 1== mp
- 전달함수 01
11
011
1
)()()(
asasasbsbsbsb
sRsYsT n
nn
mm
mm
++++++++
== −−
−−
L
L
예) 3 차 전달함수를 상태공간 표현법으로 변환
;
6168682
)()()( =sT 23
2
+++++
=sss
sssRsY
=> Matlab script and Results(Fig3.29)
태천이행렬, 상태의 시간응답(출력) 계산
dBu0
)()]exp[)0)exp()( τττ
) 를 계산하는 Matlab 함수; expm()
RLC 회로31 ⎥
⎦⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣ −
3. 상
상태천이방정식 −+=t
tAXAttX (( ∫ 상태천이행렬 Φ( Atet =
예) 그림 3.14 의 ; )(2
)(20
)( tutXtX⎤⎡
+⎤⎡ −
=& 0
[ ] )(01)( tXty = 초기조건은 0)(,1)0()0( 21 === tuxx
ript and Results (Fig 3.31 ig3.32, Fig3.33) => Matlab sc , F
22
.12 순차적 설계 예 : Disk Drive Read System
. 사양 : 고급 디스크는 5000[track/cm]이고, 트랙 간격은
3 1 ][1 mµ 2. 휨판 설치대를 포함한 디스크 구동시스템의 상태변수 모 델을 유도
판을
어변수는 헤드의 위치 로 정확을 요구
3-34 : 스프링 휨판을 가지는 두 개의 질량시스템 모델
1) 그림 2-65 의 헤드 설치대는 빠른 이동을 위하여 경량의 팔과 휨요구 2) 제 3. 그림
4. 표 3-3 : 두 개의 질량 모델의 매개변수
그림 의 간략화 모델로부터; )()()(12
2 yd5. 3-34(b) tudt
ydybdt
tM =+
전달함수 )20(
40)410.0025.0(
1)(
1)()(sY
1 +=
+=
+=
ssssbMsssU
6. 그림 3-35 : 강체 스프링을 가지는 헤드 판독기의 전달함수
)1000)(20(
500)()( ==sYsG )( ++ ssssV
23
7. 두 개의 질량시스템에 대한 상태변수 모델.
Mass )())()(()()(: 12
2
11 tutytqkdt
tdqbdt
tqdMM =−++
0))()(()()(: 22
2
22 =−++ tqtykdt
tdybdt
tydMM Mass
dttdytx
dttdqtxtytxtqtx )()(;)()();()();()( 4 상태변수1) 정의; 321 = ===
;
, ⎢⎢⎡
−−−
0/100
,
/0//0//1000
100
1
2222
1111 MB
MbMkMMbMkM
A
L )를 무시하고
)()()( tButAXtX +=& 2) 동적방정식
)()( tCXty =
여기서⎢−
=/k
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
0
⎣ k
3) 인덕턴스( = 0 , )()( tvKtu m= , 스프링상수를 으로
가정
∴
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
−−−−
=
05000
,
2.82005.2050050010000100
BA
3-36 : 두 개의 질량모델에 대해 일 때의 계단입력에 대한 응답
10=k
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦⎣ 0000,000,20
8. 그림
24