Lecture lagrange[1]

(2008) กลศาสตร์�เบื้��องต�น ฟิ�ส� .กส� มข

Dr.Teepanis Chachiyo

กฏของ Hamilton และ Lagrange’s Equationsกฏของ Hamilton และ Lagrange’s Equations

1 - บทนำ �ที่��ผ่�านมา เร์าได้�ศ�กษาถึ�งกฏของน�วต#น ซึ่��งสามาร์ถึน%ามาใช้�ในการ์ ที่%านายการ์เคล��อนที่�� ของว#ตถึ*ต�างๆ ในกร์ณี�ที่��ผ่-�ส#งเกตอย-�น��ง (หร์�อม�ความเร์/วคงที่��) จะได้�ว�า

m

Fa NET

กล�าวค�อ ความเร์�งของว#ตถึ*ใด้ๆ ข��นอย-�ก#บื้แร์งล#พที่�และมวลน#�นเอง ยกต#วอย�างเช้�น กล�องกร์ะด้าษที่��เล��อนลงมาตามพ��นลาด้ ด้#งจะเห/นในภาพที่�� (1.1)

gm

N kf

NETF

สมการ์ (1.1)

ภาพที่�� (1.1) ในขณีะที่��ว#ตถึ*ก%าล#งเล��อนลงมา ก/ย�อมม�ความเร์�ง ในที่�ศขนานก#บื้พ��นลาด้ หร์�ออ�กน#ยหน��ง

kfgmN

NETF

แบื้บื้ฝึ6กห#ด้ ถึ�ากล�องเร์��มเคล��อนที่��ด้�วยความเร์/วต�นเป็8นศ-นย� และส#มป็ร์ะส�ที่ธิ์�:ของแร์งเส�ยด้ที่านจลย�เป็8น จงที่%านายต%าแหน�งของกล�อง ณี เวลาใด้ๆ

k



gm

N kf

NETF

cosmgsinmg

x

y

2

2

1)( attx

cosmgN เน��องจากว#ตถึ*ไม�ม�การ์เคล��อนที่��ตามแนวแกน y

cosmgNf

โด้ยธิ์ร์ร์มช้าต�ของแร์งเส�ยด้ที่านน#�น แป็ร์ผ่#นตร์งก#บื้แร์ง N

cossin

cossinFNET

mg

mgmg

ด้#งน#�น แร์งล#พที่�ที่��กร์ะที่%าก#บื้ว#ตถึ*ค�อ

cossinm

Fa NET

g

ตามกฏของน�วต#น จะได้�ว�า

ต%าแหน�งของกล�อง ณี เวลาใด้ๆ ก/ค�อ 2cossin

2

1)( tgtx



ตามต#วอย�างข�างต�น จะเห/นว�า กลศาสตร์�ของน�วต#นน#�นม�ห#วใจส%าค#ญ ก/ค�อการ์หา แร์งล#พที่�ที่��กร์ะที่%าก#บื้ว#ตถึ*ใด้ๆ แต�ในบื้างกร์ณี� การ์ค%านวนหาแร์งล#พที่� อาจจะกร์ะที่%าได้�ล%าบื้าก ด้#งจะเห/นในภาพที่�� (1.2)

gm

1N

2N

ภาพที่�� (1.2) แสด้งการ์เคล��อนที่��ของกล�องในร์างที่��เป็8นเส�นโค�ง เน��องจากต#วกล�องม�จ*ด้ส#มผ่#สก#บื้ร์างอย-� 2 จ*ด้ แร์งที่��ต#วร์างกร์ะที่%าก#บื้กล�องจ�งม�ความซึ่#บื้ซึ่�อน อ�กที่#�งต#วร์างที่��โค�ง ที่%าให�ที่�ศที่างของแร์ง และ เป็ล��ยนแป็ลงไป็ตามต%าแหน�งของกล�อง

1N

2N

gm

1N

2N

เม��อการ์ค%านวนหาแร์งล#พที่�เป็8นไป็ด้�วยความล%าบื้าก กฏของน�วต#นตามสมการ์ที่�� (1.1) ในบื้างคร์#�งอาจไม�สามาร์ถึน%ามาศ�กษาการ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ในร์ะบื้บื้น#�นๆได้�

เม��อการ์ค%านวนหาแร์งล#พที่�เป็8นไป็ด้�วยความล%าบื้าก กฏของน�วต#นตามสมการ์ที่�� (1.1) ในบื้างคร์#�งอาจไม�สามาร์ถึน%ามาศ�กษาการ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ในร์ะบื้บื้น#�นๆได้�



กฏของ Hamilton เป็8นอ�กม*มมองหน��งที่��สามาร์ถึใช้�ในการ์ที่%านาย การ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ* ได้�คล�ายๆก#บื้กฏของน�วต#น ซึ่��งที่#�ง 2 ที่ฤษฏ�น�� ม�ป็ร์ะว#ต�ความเป็8นมา ยาวนานไม�แพ�ก#น

อย�างไร์ก/ตาม กฏของ Hamilton น#�น นอกจากจะน%ามาใช้�ในแง�ของกลศาสตร์� กล�าวค�อ ว�าด้�วยการ์เคล��อนที่��ของอน*ภาค แล�วน#�น กฏของ Hamilton ย#งสามาร์ถึน%ามาป็ร์ะย*กต�ใช้�ในการ์ศ�กษาสาขาอ��นๆของฟิ�ส�กส� ยกต#วอย�างเช้�น Optics สนามแม�เหล/กไฟิฟิ>า ที่ฤษฏ�ส#มพ#ธิ์ภาพที่#�วไป็ quantum electrodynamics และอ��นๆ

Newton

ร์�เร์��ม Variational Calculus

1686

Johann and Jacob Bernoulli16

96

Euler1744

ขยายขอบื้เขต

Legendre1786

Lagrange1788

Hamilton1833

Jacobi1837

ต�อยอด้Marion Thornton, “Classical dynamics of particles and systems.” 4th edition.ภาพบื้*คคลส%าค#ญจาก Wikipedia



2 – Hamilton Principleเพ��อที่��จะหากฏเกณีฑ์�ที่างฟิ�ส�กส�ที่��สามาร์ถึอธิ์�บื้ายป็ร์ากฏการ์ณี�ต�างๆ ของธิ์ร์ร์มช้าต�น#�น เร์��มมาต#�งแต�อด้�ต น#กว�ที่ยาศาสตร์�ม�แนวความค�ด้เก��ยวก#บื้ Minimum Principle กล�าวค�อ การ์เคล��อนไหวของสร์ร์พส��งน#�น เก�ด้จากการ์ที่��ธิ์ร์ร์มช้าต�พยามที่��จะที่%าให�ป็ร์�มาณีในที่างฟิ�ส�กส� ม�ค�าต%�าที่��ส*ด้ (หร์�อส-งที่��ส*ด้) ยกต#วอย�างเช้�น

(1) ล-กบื้อล พยามจะอย-�ในสถึานะที่��ม�พล�งง�นำ ต่ำ ��ท��สุ�ด

(2) น#กธิ์*ร์ก�จวางแผ่นการ์ตลาด้เพ��อให�ได้� ก �ไร สุ�งท��สุ�ด

(3) น#กเร์�ยนเด้�นจากต�กคณีะบื้ด้� ไป็ย#งต�กฟิ�ส�กส� โด้ยเล�อกระยะท�งที่�� สุ��นำท��สุ�ด



2.1 – ก�รเคล��อนำท��ของแสุง ต่ำ�มแนำวค!ดของ Alexander มห�ร�ชพร์ะองค�ที่ร์งส#งเกตว�า ม*มสะที่�อนของแสงน#�น จะเที่�าก#บื้ม*มตกที่บื้ ซึ่��งป็ร์ากฏการ์ณี�ด้#งกล�าวน�� สามาร์ถึอธิ์�บื้ายโด้ยหล#กการ์ที่��ว�า การ์ที่��แสงเด้�นที่างจาก A ไป็ B โด้ยผ่�านกร์ะจกน#�น ม#นจะเล�อกเสุ$นำท�งที่��สุ��นำท��สุ�ดเสมอ

A

B

C

d

y

x

C

C

การ์บื้�าน (1.1a) ก%าหนด้ให�กร์ะจกวางในแนวแกน y ด้#งภาพ สมม*ต�ว�าแสงเร์��มเด้�นที่างออกจากจ*ด้ A กร์ะที่บื้ก#บื้กร์ะจกที่��จ*ด้ C และพ* �งมาย#งจ*ด้ B ตามล%าด้#บื้ จงพ�ส-จน�ว�า ร์ะยะที่างที่#�งหมด้ที่��แสงจะต�องเด้�นที่างน#�น ม�ค�าเป็8น 2

BC22

CA2 )()(S yydyyd

การ์บื้�าน (1.1b) จงพ�ส-จน�ว�า ร์ะยะที่าง S จะม�ค�าน�อยที่��ส*ด้ ก/ต�อเม��อ

2BA

C

yyy

กล�าวค�อ แสงจะตกกร์ะที่บื้ที่��

คร์��งที่างร์ะหว�าง A และ B ซึ่��งเป็8นเหต*ให�ม*มตกกร์ะที่บื้ และม*มสะที่�อนม�ค�าเที่�าก#นตามแนวค�ด้ของ Alexander แสงเล�อกที่��จะเด้�นตามเส�นที่างด้#งกล�าวน�� ก/

เพร์าะเป็8นร์ะยะที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้น#�นเองตามแนวค�ด้ของ Alexander แสงเล�อกที่��จะเด้�นตามเส�นที่างด้#งกล�าวน�� ก/เพร์าะเป็8นร์ะยะที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้น#�นเอง



A

B2

1

2.1 – ก�รเคล��อนำท��ของแสุง ต่ำ�มแนำวค!ดของ Fermatอย�างไร์ก/ตาม หล#กการ์ของ Alexander น#�น ไม�สามาร์ถึอธิ์�บื้ายการ์ห#กเหของแสงได้� ด้#งจะเห/นในภาพ ถึ�งแม�ว�า เส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้จากจ*ด้ A ไป็ย#ง B น#�น ก/ค�อเส�นตร์งส�แด้ง

แต�ในความเป็8นจร์�งตามธิ์ร์ร์มช้าต�แล�ว แสงจะม�การ์ห#กเหเม��อม#นเด้�นที่างผ่�านร์อยต�อของว#สด้*ต�างช้น�ด้ก#น กล�าวค�อ แสงจะเด้�นที่างตามเส�นที่างส�เข�ยวน#�นเองFermat ม�แนวความค�ด้ที่��แตกต�างออกไป็ จาก Alexander กล�าว

ค�อ Fermat ค�ด้ว�าแสงจะเล�อกเด้�นที่างจากจ*ด้ A ไป็ย#งจ*ด้ B โด้ยเล�อกเสุ$นำท�งที่��ใช$เวล�นำ$อยท��สุ�ด

Fermat ม�แนวความค�ด้ที่��แตกต�างออกไป็ จาก Alexander กล�าวค�อ Fermat ค�ด้ว�าแสงจะเล�อกเด้�นที่างจากจ*ด้ A ไป็ย#งจ*ด้ B โด้ยเล�อกเสุ$นำท�งที่��ใช$เวล�นำ$อยท��สุ�ด

2n

1n

การ์บื้�าน (1.2) ถึ�าสมม*ต�ว�า ด้#ช้น�ห#กเหของแสงในต#วกลางที่#�งสองม�ค�าเป็8น n1 และ n2 ด้#งที่��เห/นในภาพ จงใช้�หล#กการ์ของ Fermat พ�ส-จน�ให�เห/นจร์�งว�า

ซึ่��งสมการ์ข�างต�นน�� เป็8น สมการ์การ์ห#กเหของแสงตามกฏของ Snell น#�นเอง

2211 sinsin nn



C (xC,0)

B (xB,yB)

A (xA,yA)

2

11n

2n

ความเร์/วของแสงในต#วกลางเที่�าก#บื้

11 n

cv

ร์ะยะที่าง AC เที่�าก#บื้ 22ACA yxx

ก%าหนด้ให�แสงเด้�นที่างผ่�านจ*ด้ ACB โด้ยสมม*ต�ว�าเร์าย#งไม�ที่ร์าบื้แน�ช้#ด้ว�า จ*ด้ C ค�อต%าแหน�งใด้ก#นแน� จ�งให�เป็8นต#วแป็ร์ที่��เป็ล��ยนค�าได้�

ด้#งน#�น เวลาที่��แสงใช้�ในการ์เด้�นที่างในร์ะยะ AC เที่�าก#บื้

221ACA yxx

c

n

ในร์ะยะ CB เที่�าก#บื้

222BBC yxx

c

n

222221T BBCACA yxxc

nyxx

c

nซึ่��งร์วมเป็8นเวลา

ที่#�งหมด้จะเห/นว�าเวลาที่��แสงเด้�นที่างน#�น ข��นอย-�ก#บื้ค�า xc ซึ่��งตามหล#กของ Fermat แล�ว แสงจะเล�อกเด้�นที่างโด้ยใช้�เวลาน�อยที่��ส*ด้ กล�าวค�อ

Cx

T0



22

2

22

1

Cx

T0

BBC

BC

ACA

CA

yxxc

xxn

yxxc

xxn

C (xC,0)

B (xB,yB)

A (xA,yA)

2

11n

2n

22

2

22

1

BBC

BC

ACA

CA

yxx

xxn

yxx

xxn

จะได้�ว�า

2211 sinsin nn กฏการ์ห#กเหแสง Snell

21

1n 2nเม��อ และ ค�อ ด้#ช้น�การ์ห#กเหของแสงในต#วกลาง ค�อ ม*มตกกร์ะที่บื้ ค�อ ม*มสะที่�อน



2.1 – ก�รเคล��อนำท��ของว�ต่ำถุ� ต่ำ�มแนำวค!ดของ Hamiltonในการ์ศ�กษาการ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ใด้ๆน#�น Hamilton ต�พ�มพ�ผ่ลงาน 2 ฉบื้#บื้ในป็A 1834 และ 1835 ซึ่��งต�อมาภายหล#งเป็8นพ��นฐานของที่ฤษฏ�ในที่างกลศาสตร์�อ�กหลายสาขา โด้ยม�ใจความว�าการ์ที่��ว#ตถึ*จะเคล��อนที่��จากจ*ด้ A ไป็ย#งจ*ด้ B น#�น ม#นจะเล�อกเส�นที่างที่�� ม�ค�าน�อยที่��ส*ด้

2

1

)dt x,xL( ii

t

t

อ#นจะได้�ขยายความด้#งต�อไป็น��

1) เม��อว#ตถึ*ม�การ์เคล��อนที่�� ก/ย�อมจะม� พ�ก#ด้ และความเร์/ว ที่��เป็ล��ยนแป็ลงตามเวลา

ix ix

2) ในขณีะที่��เคล��อนไหว ว#ตถึ*ม�พล#งงานจลย� ซึ่��งข��นอย-�ก#บื้ความเร์/ว)x(TT i

3) ถึ�าว#ตถึ*อย-�ที่�ามกลางสนาม เช้�น สนามโน�มถึ�วงของโลก สนามไฟิฟิ>า ม#นก/ย�อมม�พล#งงานศ#กย�

ixUU

4) ให�ค%าน�ยามของผ่ลต�างร์ะหว�างพล#งงานจลย�และพล#งงานศ#กย�เป็8น ii xU)x(TL

5) ถึ�งแม�ว�าการ์เคล��อนที่��จาก A ณี เวลา t1 ไป็ย#ง B ณี เวลา t2 จะเป็8นไป็ได้�หลายเส�นที่าง เส�นที่างที่��แที่�จร์�งน#�นจะม�ค�า น�อยที่��ส*ด้เสมอ

2

1

)dt x,xL( ii

t

t

A

BmgyU

2

2

1T mv

ยกต่ำ�วอย'�ง



0 2 4 6 8 10

100

X-Axis

Y-A

xis

T

0

22 mgy(t)ym2

1xm

2

1dt

2tg2

150ty(t)

tx(t)

0y(t)

tx(t)

2Ttt)30(T

2Tt30ty(t)

tx(t)

t)T

2π(sin40y(t)

tx(t)

ต่ำ�วอย'�ง การ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ในสนามแร์งโน�มถึ�วง บื้นพ��นผ่�วโลก

A B

mgy(t)U(y)

ym2

1xm

2

1)y,xT( 22

พล#งงานจลย�พล#งงานศ#กย� -

4162 Js5 Js

1584 Js

-2995 Js



2.2 – คณิ!ต่ำศ�สุต่ำร*เก��ยวก�บ Euler’s Equation

2

1

α

α

qq,fdαJ สมม*ต�ว�าเร์าม�ค�าของ J ซึ่��งอย-�ในร์-ป็ของ Integral

โด้ยที่�� เป็8นฟิCงช้#นส�ใด้ๆ

qq,f dα

dqqαq q

ถึ�าเร์าต�องการ์จะหา ที่��ที่%าให� J ม�ค�าต%�าที่��ส*ด้ จะท �อย'�งไร?

qq,f

Euler ค�นพบื้ว�ธิ์�เป็8นคร์#�งแร์กเม��อป็A 1774 โด้ยกล�าวว�า ที่��ที่%าให� J ม�ค�าต%�าที่��ส*ด้น#�น เป็8นค%าตอบื้ของ สมการ์

qq,f

0q

f

dα

d-

q

f



ต่ำ�วอย'�ง จงหาเส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ โด้ยใช้�สมการ์ของ Eulery

x

A (x1,y1)

y(x) 1) ก%าหนด้ให� y(x) เป็8นสมการ์ของเส�นที่างที่��เช้��อมร์ะหว�าง จ*ด้ A และ จ*ด้ B2) ด้#งน#�น ร์ะยะที่างที่#�งหมด้ในการ์เคล��อนที่��เที่�าก#บื้

2

1

x

x

2y1dxS

3) เม��อเป็ร์�ยบื้เที่�ยบื้ก#บื้สมการ์ของ Euler จะได้�ว�า

2y1)yy,(f

4) จ�งสร์�างสมการ์ของ Euler ได้�ด้#งน��

0

y1

y

dx

d

0y

y1

dx

d

y

y1

2

22

ค�าคงที่��

2y1

y

B (x2,y2)



(ค�าคงที่�� ใด้ๆ)

2y1

y

2

2

2222

22

2

1y

yy

y1

y

ค�าคงที่�� หร์�ออ�กน#ยหน��ง

dx

dyy Cmxy(x)

เส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ ค�อเส�นตร์ง

เส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ ค�อเส�นตร์ง

การ์บื้�าน (1.3) จงหาเส�นที่างที่��ส# �นที่��ส*ด้ ร์ะหว�างจ*ด้สองจ*ด้ ในสามม�ต�



2.2 – คณิ!ต่ำศ�สุต่ำร*เก��ยวก�บ Euler’s Equation แบบม�เง��อนำไขในบื้างคร์#�ง การ์ที่��จะหาจ*ด้ส-งส*ง หร์�อต%�าส*ด้ของฟิCงช้#นส� ก/ม�สมการ์ของเง��อนไข เข�ามาเก��ยวข�อง

ข�อจ%าก#ด้ : ความยาวร์อบื้ร์-ป็ 2 เมตร์ฟิCงช้#นส�ที่��ต�องการ์ Optimize : พ��นที่��

ยกต#วอย�าง ม�เช้�อกยาว 2 เมตร์ จะขด้ให�เป็8นวงร์-ป็ที่ร์งใด้ จ�งจะได้�พ��นที่��ส-งที่��ส*ด้

0) วาด้ร์-ป็ให�สวยงาม และ เล�อกพ�ก#ด้ที่��เหมาะสม

(r,)

Polar Coordinate

r=r()

(x,y)

Cartesian

y=y(x)

r

ในกร์ณี�ของร์-ป็ที่ร์งข�างต�น 2,0



2) สร์�างสมการ์เง��อนไข

2) ก%าหนด้ให�สมการ์เง��อนไข (Constraint Equations)

กร์ณี�ต#วอย�างกร์ณี�ต#วอย�าง

กร์ณี�ใด้ๆ ในภาษาแบื้บื้ Euler-Lagrange

กร์ณี�ใด้ๆ ในภาษาแบื้บื้ Euler-Lagrange

LdrS

drdS

2

0

)(

)(

Ldr

2

0

)(0 Ldr

2

0

)(0 )(0 qg )(0 qg

1) ก%าหนด้ส��งที่��ต�องการ์ Optimize drdA 2)(

2

1

2

0

2)(2

1drA

2

0

2)(2

1drA

2

1

α

α

dαqq,fJ 2

1

α

α

dαqq,fJ

Lagrange เผ่ยแพร์�ว�ธิ์�การ์แก�เม��อป็A 1788 (44 ป็Aหล#งจากสมการ์ของ Euler ในข�างต�น)

0g(q)

0q

g

q

f

dα

d-

q

f

3) สร์�างร์ะบื้บื้ของ Lagrange undetermined multiplier และแก�สมการ์

เร์�ยกว�า Lagrange undetermined multiplier ซึ่��งเป็8นค�าคงที่��

2

2

1f r

Ldrqg

d

drrq

rq

2

0

)()(



2g

g

02

1f

2

1f

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

r

d

drr

Lr

rdr

Lrdrr

rrr

rrrr

4) ตร์ะเตร์�ยมความพร์�อมของเที่อมต�างๆ

0g(q)

0q

g

q

f

dα

d-

q

f

0

020d

d

2

0

Lrd

r

5) จากน#�นอ�างถึ�งสมการ์ของ Lagrange Undetermined Multiplier Equation

แล�วสร์�างสมการ์ของร์ะบื้บื้ที่��ก%าล#งศ�กษาอย-�

6) ล*ย! (โด้ยใช้�ที่#กษะที่างคณี�ตศาสตร์�)



2r

Lrd

2

0

2

2

0

4

2

L

Ld

2)(

24 2

Lr

Lr

ซึ่��งเป็8นสมการ์ของวงกลม ที่��ม�ร์#ศม�เที่�าก#บื้ จ�งจะเป็8นร์-ป็ที่��ม�พ��นที่��มากที่��ส*ด้

2

L

0

020d

d

2

0

Lrd

r

จากสมการ์ Euler-Lagrange

ลด้ร์-ป็ให�ง�ายข��น

Ld

2

0

2

Equ(1)

Equ(2)

แที่นค�าของ ในสมการ์ที่�� (1) เข�าไป็ในสมการ์ที่�� (2)

r

แที่นค�าของ ค�อเข�าไป็ในสมการ์ที่�� (1)



2.3 – ต่ำ�วอย'�ง Classic แบบสุ�กล: CatenaryCatenary ม�ร์ากศ#พที่�มาจากค%าภาษาลาต�นว�า “Catena” ซึ่��งแป็ลว�า โซึ่� ม�ที่��มาจากการ์ศ�กษาล#กษณีะความโค�งของโซึ่� ที่��ป็ลายที่#�งสองข�างข�งอย-�ในร์ะด้#บื้เด้�ยวก#น

Galileo claims (ข��เด้า) ว�าโซึ่�จะห�อยเป็8นร์-ป็ Parabolaป็A1969 - Jungius พ�ส-จน�ให�เห/นจร์�งว�าไม�ใช้� Parabola แต�ที่ว�าร์-ป็ที่ร์งจร์�งจะเป็8นอย�างไร์น#�น ไม�ที่ร์าบื้ป็A1971 - Robert Hook ป็ร์ะกาศอย�างเป็8นที่างการ์ว�าต�อร์าช้วงศ�อ#งกฤษว�า สามาร์ถึออกแบื้บื้ร์-ป็ที่ร์งของโด้ม ที่��ม�ความแข/งแร์งที่��ส*ด้ แต�ไม�บื้อกว�ธิ์�การ์ที่%า (ป็ล�อยให�งง)ป็A 1691 - Jacob Bernoulli ถึ�าล-กศ�ษย�ต#วเองให�แก�โจที่ย�ข�อน�� - Leibneiz, Huygens, และ Johann Bernoulli แก�สมการ์ร์-ป็ที่ร์งของโซึ่�ได้�ส%าเหร์/จ



เกล/ด้ความร์- � แผ่นผ่#งคร์อบื้คร์#วของ ตร์ะก-ล Bernoulli



2) สร์�างสมการ์เง��อนไข

LdxyS

dxydSa

a

2

2

1

1

1) ก%าหนด้ส��งที่��ต�องการ์ Optimize dxygydU 21 x

y(+a,0)

(-a,0)

y(x) ค�ออะไร์?

a

a

dxygyU 21

Ldxya

a

210

ข�อสอบื้ Final จงพ�ส-จน�ว�า ล#กษณีะของเส�นโค�ง อย-�ในร์-ป็ของ Hyperbolic Cosine กล�าวค�อ

//

2)cosh()( xx eexxy ว�ธิ์�การ์ที่%าด้#งจะได้�ขยายความ ด้#งต�อไป็น��



ล#กษณีะความโค�งแบื้บื้ Catenary เป็8นความโค�งของโด้มที่��ให�ความแข/งแร์งส-งที่��ส*ด้

ข�อสอบื้ Final ร์วมกล*�ม กล*�มละไม�เก�น 6 คน สร์�าง The Arc of Catenary ความส-งอย�างน�อย 1 เมตร์ ที่%าจากกร์ะด้าษแข/ง งบื้ป็ร์ะมาณีเบื้�กได้�

The Gateway ณิ เม�อง St.Louis

สุะพ�นำ แบบ Catenary



2.4 – สุมก�รก�รเคล��อนำท��ของ Lagrangeตามหล#กการ์ของ Hamilton ว#ตถึ*จะเคล��อนที่��ตามเส�นที่างที่��ที่%าให� ม�ค�าน�อยที่��ส*ด้

โด้ยที่�� ก/ค�อผ่ลต�างของพล#งงานศ#กย�และพล#งงานจลย� หร์�อ

ค%าถึามก/ค�อว�า แล�วเส�นที่างที่��ว�าน�� จะหาได้�อย�างไร์?

2

1

)dt q,qL( ii

t

t

)q,qL( ii )U(q-)qT()q,qL( iiii

ค%าตอบื้ค�อ เร์าสามาร์ถึใช้�หล#กการ์ของ Euler มาแก�หาจ*ด้ต%�าส*ด้ได้�ด้#งต�อไป็น��

0q

λq

L

dt

d-

q

L

iii

g

ซึ่��ง ค�อสมการ์ข�อจ%าก#ด้ (equations of constraint) ที่��แสด้งถึ�งความส#มพ#นธิ์�ร์ะหว�าพ�ก#ด้ต�างๆ ที่��เข�ยนให�อย*�ในร์-ป็มาตร์ฐาน

0)q( i g

)q( ig

สมการ์น��เร์�ยกว�า Lagrange Equation



2crz

r θ

ต่ำ�วอย'�ง พ�จาร์ณีาร์ะบื้บื้ที่��ม�พ�ก#ด้แบื้บื้ที่ร์งกร์ะบื้อก ถึ�าเร์างอลวด้เป็8นที่ร์งพาร์าโบื้ล�า ที่��ม�สมการ์

2crz

จากน#�นน%าล-กป็Cด้มวล m ไป็เส�ยบื้ไว�ที่��ข�างได้ข�างหน��ง เส�นลวด้จะต�องหม*นด้�วยความเร์/วเช้�งม*มเที่�าได้� ล-ด้ป็Cด้จ�งจะไม�หล�นลงพ��น แต�อย-�น��งก#บื้ที่��?

ω

ω 222222 rr4cωrrm

2

1T

2mgcrU

2222222 mgcrrr4cωrrm2

1L

z

mgcr2rr4crωmLr

222

rr4crmLr

22

2222 rr8crr4crmLr

dt

d

2ω2gc

ว�ธิ์�ที่%าแบื้บื้ที่�� 1 ต#วแป็ร์อ�สร์ะค�อ r



ว�ธิ์�ที่%าแบื้บื้ที่�� 2 ต#วแป็ร์อ�สร์ะค�อ r และ z + สมการ์ข�อจ%าก#ด้ 2222 zωrrm

2

1T

mgzU

2crz

mgzzωrrm2

1L 2222

2crz0g

0r

λr

L

dt

d-

r

L

g

0z

gλ

z

L

dt

d-

z

L

0crz 2

02cr)λ(rmmrω2

0λzmmg-

0crz 2

------- Equation (1)------- Equation (2)

2ω2gc



2.4 – คว�มหม�ยของ จากสมการ์ของ Lagrange ในร์ะบื้บื้แบื้บื้ม�ข�อจ%าก#ด้

0q

λq

L

dt

d-

q

L

iii

g

เร์าสามาร์ถึที่��จะต�ความได้�ว�า ก/ค�อ Force of Constrain น#�นเอง iq

λg

Force of Constrain แป็ลว�าแร์ง ที่��ม�ผ่ลที่%าให�ว#ตถึ* เคล��อนที่��ตามข�อจ%าก#ด้น#�นๆต#วอย�าง การ์เคล��อนที่��ของว#ตถึ*ตามแนวร์าบื้ ก%าหนด้ให�ต#วแป็ร์อ�สร์ะเป็8น {x,y}

จะได้�ว�า mgq

λi

g



ต#วอย�าง ว#ตถึ*ที่��เคล��อนที่��บื้นที่ร์งกลม จงหาม*ม ที่��ว#ตถึ*เร์��มเคล��อนที่��ออกจากพ��นผ่�ว

ar 0 0θmamgasinθ

0λmgcosθθma2

2

สร์�างสมการ์การ์เคล��อนที่��ได้�ด้#งน��

θsina

gθ

a

gcosθ

a

g

2

θ 2

2)-mg(3cosθλ

2)-mg(3cosθr

λ gด้#งน#�น แร์งในแนวร์#ศม�

ค�อ)

3

2arccos(θ0 ซึ่��งเที่�าก#บื้ศ-นย�เม��อ



2.5 – ใช$ กฏของ Hamilton เพ��อ derive หล�กก�รต่ำ'�งๆ ในำท�งฟิ.สุ!กสุ*

Derive กฏของน�วต#น

Derive กฏการ์อน*ล#กษ�พล#งงาน

Derive กฏการ์อน*ล#กษ�โมเมนต#ม



2.5 – Generalized Coordinates



2.5 – สุมก�รก�รเคล��อนำท�� ในำร�ปแบบของ Hamiltonian



ต#วอย�าง

การ์บื้�าน (3.1)

Lecture lagrange[1]

Education

Transcript of Lecture lagrange[1]