Lecture 4 - Kasetsart Universityfin.bus.ku.ac.th/131539 Quantitative Applications in... ·...

6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 1

Lecture 4Lecture 4คณิตศาสตรการเงินคณิตศาสตรการเงิน ((Mathematics of Finance)Mathematics of Finance)


ดอกเบีย้ทบตน (compound interest)� ฝากเงินตนจํานวน S โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบสามัญ (simple interest) ที่อัตรา r ตอป เงินจํานวนนี้จะกลายเปน S(1+rn) เมื่อผานไป n ป � ฝากเงินตนจํานวน S โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบตน (compound interest) ที่อัตรา r ตอป เงินจํานวนนี้จะกลายเปน S(1+r)n เมื่อผานไป n ป

� ถาจํานวนครั้งของการทบตนตอป = m� เงินจํานวน S จะกลายเปน S(1+r/m)mn เมื่อผานไป n ป


ตัวอยาง� เงินฝากออมทรัพยจํานวน $500 กลายเปน

$588.38 ภายในสามป ถาธนาคารคิดทบตนดอกเบี้ยใหทุกๆครึ่งป จงหาอัตราดอกเบี้ยตอปที่ธนาคารกําหนดไว (nominal annual rate)� มีการทบตน 2 × 3 = 6 ครั้ง

055.00275.01500

38.588

2

500

38.588

21

500

38.588

21

38.5882

1500

6

6

6

6

≈⇒≈−=

=+

=

+

=

+

rr

r

r

r


ตัวอยาง� นานกี่ปเงินฝากออมทรัพยจํานวน $600 จึงจะเพิ่มเปน $900 ถาอัตราดอกเบี้ยที่ธนาคารกําหนดไวคอื 6% ตอป ทบตนทุกๆสามเดือน

� อัตราดอกเบี้ยตอครั้ง (ตอสามเดือน) = .06/4 = .015

( )

( )

( )

8.6015.1ln4

5.1ln

5.1ln015.1ln4

5.1ln015.1ln

5.1015.1

015.1600900

4

4

4

≈=

=

=

=

=

n

n

n

n

n


อัตราดอกเบี้ยที่แทจริงตอป (EffectiveAnnual Rate)� ถาจํานวนครั้งของการทบตนตอป = m

� EAR = (1+APR/m)m - 1� APR = Annual Percentage Rage� หลังจากผานไป n ป เงินตนจํานวน S จะกลายเปน

S(1+EAR)n ในบัญชีเงินฝากออมทรัพยที่มีการคิดดอกเบี้ยแบบทบตน� ตัวอยาง:

� เงินตนจํานวน $12,000 จะกลายเปน $24,947.14 หลังจากผานไป 15 ป ถา EAR = 5% ตอป( ) 14.947,24$05.1000,12

15≈=S


เปรียบเทียบอัตราดอกเบี้ย� นักลงทุนตองเลือกระหวางฝากเงินในธนาคารที่ใหอัตราดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกวัน กับฝากเงินกับอีกธนาคารที่ใหอัตราดอกเบี้ย 6.125% ตอป ทบตนทุกสามเดือน

%27.614

06125.01

%18.61365

06.01

4

365

≈−

+=

≈−

+=

EAR

EAR


มูลคาปจจุบัน (present value)� ถาเงินตน P กลายเปนเงินจํานวน S ในปที่ n โดยเงินจํานวน P นี้ถูกฝากในบัญชีออมทรัพยทีใ่หดอกเบี้ย r% ตอป ทบตนทุกๆ ป แลว

� P = S(1+r)-n = มูลคาปจจุบันของ S� ถามีการทบตน m ครั้งตอปแลว

� P = S(1+r/m)-mn

� ตัวอยาง: หามูลคาปจจุบันของเงิน $1,000 ในอีก 3 ปตอจากนี้ ถาอัตราดอกเบี้ย = 9% ทบตนทุกเดือน� อัตราดอกเบี้ยตอครั้ง = 9%/12 =.0075

( ) 15.764$0075.1100036

≈=−

P


ความเทาเทียมกันกัน� เงินกู $3,000 บาท ผูกูสามารถเลือกวาจะชําระแบบงวดเดียว 6 ปหลังจากนี้ หรือชําระแบบสามงวด

� $500 ตอนนี้� $1,500 สามปหลังจากนี้� x หาปหลังจากนี้� จงหา x ถาอัตราดอกเบี้ยคือ 6% ตอป ทบตนทุกป


เปรียบเทียบการลงทุน� ลงทุน $5,000 ในธุรกิจ โดยเงินจํานวนนี้จะกลายเปน $6,300 ในอีกหาปขางหนา� ฝากเงิน $5,000 ในบัญชีออมทรัพยที่ใหอัตราดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกๆครึ่งป

�� !!!


มูลคาปจจุบันสุทธิ (net present value)

� NPV � = ผลรวมของมูลคาปจจุบันของกระแสเงินสด - เงินลงทุน

� ตัวอยาง� ลงทุน $200,000 ในธุรกิจที่ใหกระแสเงินสด ณ ปลายปที่ 2 3 และ 5 ดังแสดงในตาราง จงหา NPV ถาอัตราดอกเบี้ยคือ 7% ตอป ทบตนทุกป

Year Cash Flow

2 $10,000

3 8000

5 6000

( ) ( )

( )

31.457$

000,2007.16000

07.1800007.1000,10NPV

5

32

−≈

−+

+=

−

−−


ดอกเบี้ยทบตนตอเนื่อง (interest compounded continuously)� เงินจํานวน S จะกลายเปน S(1+r/m)mn เมื่อผานไป

n ป ถาจํานวนครั้งของการทบตนตอป = m� ทบตนตอเนื่อง � m = infinity� เงินตนจํานวน S จะกลายเปน Sern เมื่อผานไป n ป

� ตัวอยาง� เงินจํานวน $100 ในบัญชีออมทรัพยทีใ่หดอกเบี้ย 5% ตอป ทบตนตอเนื่อง จะกลายเปน

� $100e(.05)(1) = $105.13 เมื่อเวลาผานไปหนึ่งป� $100e(.05)(5) = $128.40 เมื่อเวลาผานไปหาป


ดอกเบี้ยทบตนตอเนื่อง (interest compounded continuously)� EAR = eAPR - 1 ถามีการทบตนตอเนื่อง� P = Se-rn = มูลคาปจจุบันของ S หลังจากผานไป n ป ถามีการทบตนตอเนื่อง� ตัวอยาง: กองทุนหนึ่งถูกตั้งตนดวยเงินจํานวนหนึ่ง โดยที่เงินจํานวนนี้จะกลายเปน $25,000 ในอีก 20 ปขางหนา สมมติอัตราดอกเบี้ยที่จายใหกับกองทุนนี้คือ 7% ตอป ทบตนแบบตอเนื่อง จงหาเงินจํานวนนี้

( )( )

6165$000,25

000,25

4.1

2007.0

≈=

==

−

−−

e

eSePrn

เงินรายงวด (annuity)� เงินรายงวดคือกลุมของกระแสเงินสดที่มีจํานวนเงินและชวงระยะหางของการเกิดเทาๆกัน� เงินรายงวดแบบสามัญ (ordinary or deferred

annuity)� กระแสเงินสดเกิดตอนสิ้นงวด (หรือปลายป)

� เงินรายงวดแบบสง (annuity due)� กระแสเงินสดเกิดตอนตนงวด (หรือตนป)


เงินรายงวด (annuity)


เงินรายงวด (annuity)� มูลคาปจจุบันของเงินรายงวด (แบบสามัญ) (A) คือ ผลรวมของมูลคาปจจุบันของเงินทุกงวด

� R = จํานวนเงินแตละงวด� r = อัตราดอกเบี้ยทบตนตองวด� n = จํานวนงวด


( ) ( ) ( )

rn

n

n

Rar

rRA

rRrRrRA

|

21

)1(1

1...11

=

+−=⇒

++++++=

−

−−−

ตัวอยาง� หามูลคาปจจุบันของเงินเดือนของพนักงานบริษัทคนหนึ่ง ซึ่งรับเดือนละ $100 เปนเวลา 3 ปครึ่ง ถาอัตราดอกเบี้ยทบตน = 6% ตอป ทบตนทุกๆเดือน

� R = 100, r = 0.06/12 = 0.005, n = (3.5)(12) = 42� จาก Appendix B


( ) 83.3779$798300.37100100005.042

__ =≈=⇒ aA

798300.37005.042

__ =a

ตัวอยาง� สมมติวากูเงินธนาคารมา $10,000 บาท กําหนดชําระภายในสี่ป โดยธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกป จงหาวาตองชําระเงินแตละปคืนธนาคารเปนจํานวนเทาไร

� A= $10,000, n = 4, r = 0.06


91.2885$465106.3

000,10000,10

000,10

06.04

06.04

____

__

=≈==

=

aa

AR

Ra

rn

มูลคาอนาคตของเงินรายงวด (future value of an annuity)� ถาอัตราดอกเบี้ยทบตนตองวด = r เงินงวดๆละ R จํานวน n งวด จะกลายเปน


( )rn

n

Rsr

rRS __

11=

−+⋅=

ตัวอยาง� ถาเงินจํานวน $50 ถูกฝากเขาบัญชีออมทรัพยทุกๆ

3 เดือน หลังจากนี้เปนเวลา 3 ป บัญชีนี้ใหอัตราดอกเบี้ย 6% ตอป ทบตนทุกๆ 3 เดือน� จงหาวาเงินในบัญชีนี้จะเปนเทาไรตอนปดบัญชี� จํานวนดอกเบี้ยทบตนที่ไดมาทั้งหมด

R=50, n=4(3)=12, r=0.06/4=0.015


( ) 06.652$041211.135050015.012

__ ≈≈= sS

( ) 06.52$501206.652 Interest Compund =−=

กองทุนจม (sinking fund)� กองทุนจม คือ การระดมทุนเพื่อวัตถุประสงคใดวัตถุประสงคหนึ่งในอนาคต เชน ไถถอนหนี้ โดยที่การฝากเงินในกองทุนมักจะทําแบบเปนงวด� ตัวอยาง: โรงงานแหงหนึ่งจะเปลี่ยนเครื่องจักรทุกๆ

8 ป โรงงานตั้งกองทุนจมขึ้นมาเพื่อใชในการเปลี่ยนเครื่องจักรตัวหนึ่ง (ราคาซื้อใหม = $7,000) ที่เหลือมูลคา = $700 ตอนถูกเปลี่ยน จงหาวาโรงงานจะตองฝากเงินในกองทุนทุกๆ ไตรมาสเปนจํานวนเงินเทาไร ถาธนาคารใหดอกเบี้ย 8% ตอป6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 20

กองทุนจม (sinking fund)� n = 4(8) = 32, r = 0.08/4 = 0.02, S = 7000 –

700 = 6300


45.142$6300

6300

02.032

02.032

________

____

≈==

=

ss

SR

Rs

rn

การจายหนี้ (loan amortization)


ตัวอยาง� นักลงทุนรายหนึ่งกูเงินมา $170,000 ที่อัตราดอกเบี้ย 7.5% ตอป ทบตนทุกๆเดือน โดยจะจายคืนทุกเดือนเปนเวลา 20 ป จงหา

� เงินที่ตองจายในแตละเดือน� จํานวนของดอกเบี้ยที่ตองเสียทั้งหมด� เงินตนคงเหลือหลังจากหาป� เขียนตารางการจายหนี้ของสองงวดแรก


ตัวอยาง� เงินสงรายเดือน

� ดอกเบี้ยที่ตองจายทั้งหมด� เงินตนคงเหลือ


( )51.1369$

00625.01

00625.0000,170

240≈

−=

−R

( ) 40.682,158$000,17051.1369240 =−

( )74.733,147$

00625.0

00625.0151.1369

180

≈

−−

ตัวอยาง� ตารางการจายหนี้

� เดือนแรก� ดอกเบี้ยที่ตองสง = 170000x.00625 = 1062.5� ชําระเงินตน = 1369.51 – 1062.5 = 307.01� หนี้คงเหลือ = 170,000 – 307.01 = 169693

� เดือนสอง� ดอกเบี้ยที่ตองสง = 169693x.00625� ชําระเงินตน = 1369.51 - 169693x.00625� หนี้คงเหลือ = 169693 - (1369.51 -

169693x.00625)


เงินรายงวดแบบสง� Adue = Aordinary (1+r) =

� Why?� Sdue = Sordinary (1+r) =

� Why?� ตัวอยาง

� จงหามูลคาอนาคตของบัญชีเงินฝากประจําที่ผูฝากตองฝาก $555 ทุกๆตนไตรมาสจากนี้จนกระทั่ง 18 ป ถาอัตราดอกเบี้ยคือ 14% ตอปทบตนทุกๆไตรมาส


+

− rn

aR __

1

1

−

+

1__

1 rn

sR

Ordinary Perpetuity� นิยาม

� เงินรายงวดที่เกิดขึ้นติดตอกันไปตลอดไมมีวันสิ้นสุด (n = ∞)


r

R

r

rRA =

+−=

−∞)1(1

( )∞=

−+⋅=

∞

r

rRS

11

Perpetuity due� Adue = Aordinary (1+r)

� = A(1+r)/r if n = ∞� Sdue = Sordinary (1+r)

� = ∞(1+r) = ∞ if


จํานวนงวดใน 1 ป ≠ จํานวนการทบตนใน 1 ป� แกโดยการหาอัตราดอกเบี้ยที่แทจริง (Effective

Rate) ในแตละครั้งของการทบตน (อัตราแทจริงตองวด)� re = (1+r/m)j -1� m = จํานวนการทบตนตอป� j = จํานวนการทบตนตองวด


จํานวนงวดใน 1 ป ≠ จํานวนการทบตนใน 1 ป� ตัวอยาง:

� ฝากเงิน $50 ทุกๆครึ่งปไปอีก 2 ปในบัญชีออมทรัพยที่ใหดอกเบี้ย 4% ตอป ทบตนทุกๆไตรมาสจงหามูลคาปจจุบันของเงินรายงวดประเภทนี้� ฝากเงิน $100 ทุกๆเดือนเริ่มหลังจากนี้ไปอีก 8 ป ถาอัตราดอกเบี้ยคือ 12% ตอปทบตนทุกๆสองเดือนจงหามูลคาปจจุบันของเงินรายงวดนี้


เงินงวดเลื่อนจาย (deferred annuity)� การลงทุนชนิดหนึ่งมีผลตอบแทนให $400 ทุกๆเดือนไปอีก 24 เดือน หลังจากนั้นจะไมใหผลตอบแทนใดๆไปอีก 12 เดือน จากนั้นจะใหผลตอบแทน $550 ตอเดือนไปอีก 1 ปและสุดทายจะใหผลตอบแทน $1,300 ตอเดือนไปอีก 2 ป จงหามูลคาปจจุบันของการลงทุนชนิดนี้ถาอัตราคิดลดคือ 12% ตอปทบตนทุกๆเดือน


6/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 326/14/2011 Nattawoot Koowattanatianchai 32

4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 32


�� Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email: Email: �� [email protected]@[email protected]@[email protected]@[email protected]@ku.ac.th

�� Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:Homepage:�� http://http://http://http://http://http://http://http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmfin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmfin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmfin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmfin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmfin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmfin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htmfin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

�� Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: Mobile: �� 087087087087087087087087-------- 53935255393525539352553935255393525539352553935255393525

�� Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office: Office: �� ชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้นชั้น 9 9 9 9 9 9 9 9 ตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจตึกใหมคณะบรหิารธรุกิจ

Lecture 4 - Kasetsart Universityfin.bus.ku.ac.th/131539 Quantitative Applications in... ·...

Documents

Transcript of Lecture 4 - Kasetsart Universityfin.bus.ku.ac.th/131539 Quantitative Applications in... ·...