Le Yes de Newton

7/24/2019 Le Yes de Newton

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Leyes de Newton

Primera ley del movimiento

Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento uniforme a menos que sobre l acte una

fuerza.

Significados:

Si vemos un objeto acelerndose, retardndose o cambiando la direccin de su movimiento,debemos pensar que sobre l est actuando una fuerza; As tenemos un criterio para reconocercualitativamentela presencia de una fuerza no equilibrada.

Sin embargo, esta ley no nos ayuda a descubrir la magnitud de la fuerza o su origen. Solo estimplicada la definicin de fuerza como la causa del cambio de velocidad.

Otras definiciones:Principio de inercia

Existen ciertos sistemas de referencia, con respecto a los cuales el movimiento de un objeto, libre

de cualquier fuerza externa, se mueve en lnea recta con velocidad constante (incluida la veloci-

dad cero).

Toda partcula contina en su estado de reposo o de movimiento uniforme segn una rectahasta que deje de hacerlo.

Otra versin:

Toda partcula contina en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme, salvo queocurra otra cosa.Sir Arthur Eddington

En los siguientes versos est contenida la primera ley:

El suplicio de TntaloNinguno ha amado como yo!Deb haber muerto, y vivo;pero vivo con una vida misteriosa y raraque no alcanzo a comprender.Lanzad un cuerpo al espacio,y en virtud de la inercia seguir avanzando,

avanzando, si no hay una fuerzaque le detenga en su ruta sin fin.As es mi vida ahora. Sigo viviendo,pero esta existencia es como la continuacinde un impulso potente que recib cuando am.

Amado Nervo


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La inercia

Tambin surgen otros puntos de la primera ley del movimiento:

Es un hecho que es necesaria la accin de una fuerza neta para cambiar el estado demovimiento de un cuerpo; en otras palabras diramos que los cuerpos materiales son

reacios a cualquier cambio, a esto le llamamos su inercia. Aceptaremos simplemente que los cuerpos materiales estn caracterizados no solo por

su volumen, composicin qumica, etc., sino tambin por su inercia. Finalmente, se dice que la primera ley tiene poco significado cuantitativo, ya que no da

ninguna idea de cmo debe medirse una fuerza; sin embargo esto no es enteramentecorrecto, ya que de hecho describe el significado de fuerza cero.

Segunda ley del movimiento

Hasta ahora solo hemos establecido:

Una nocin de fuerza puramente cualitativa

Incidentalmente aquella propiedad de los cuerpos que llamamos inercia.

Es preciso determinar cuantitativamente, tanto la fuerza como la inercia.

No basta con decir simplemente que un cuerpo tiene una gran inercia porque cualitativamentese necesita una gran fuerza para cambiar su estado de movimiento.

Newton formul su segundo principio as:

La fuerza que acta sobre un cuerpo es igual a la variacin de su cantidad de movimiento, en

donde esta magnitud se define como el producto de la masa por la velocidad.

sta es una generalizacin que surge de manera natural de la observacin de los choques: unacolisin sbita produce un cambio finito de movimiento en un periodo de tiempo corto.

Sin embargo, para las fuerzas que actan de manera continua, como la gravedad, es ms conve-niente definir la fuerza de un modo distinto: se introduce el concepto galileano de aceleracin,es decir, la razn de cambio de la velocidad.

La fuerza resultante que acta sobre un cuerpo material, es directamente proporcional y en lamisma direccin que la aceleracin del cuerpo.

Esta versin de la segunda ley formalizada por el matemtico suizo Leonard Euler en 1750, es

la que finalmente se adopt en fsica.

Lo que establece esta ley es lo siguiente:

Si la presencia de una fuerza resultante se manifiesta cualitativamente por las variaciones queproduce en la velocidad (segn la primera ley), definimos esta fuerza precisamente como pro-porcional a la rapidez con que vara la velocidad del cuerpo.Si representamos por Fa la fuerza resultante que acta sobre un cuerpo dado y por asu acele-racin, podemos escribir:


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(para un cuerpo determinado)o sea,

= constante para un cuerpo determinado (1)

Esta constante la podemos identificar como la medida de la inercia de un cuerpo, pues, eviden-temente, si la razn de Fa aes grande, es justamente lo que esperamos que ocurra en cuerposde gran masa, a los que asignamos, intuitivamente, una inercia mucho mayor que a los cuerpospequeos.

La constante de la ecuacin (1)la representamos por la letra my le daremos el nombre de masa.Entonces, podremos escribir la segunda ley del movimiento en la forma:

= ; o = (2)

La ecuacin (2)nos permite, en principio, asignar valores numricos a una fuerza midiendo la

aceleracin que produce a un cuerpo de masa conocida, o, a la inversa, obtener valores num-ricos para la masa a partir de la aceleracin y de la fuerza.

Pero el crculo vicioso es evidente; desgraciadamente, encontramos que la inercia y la fuerza,los dos conceptos que intentamos establecer cuantitativamente y de un modo riguroso, son in-terdependientes.

Para determinar uno de ellos debemos conocer antes el otro. Cmo se resolvi esta dificultad,lo veremos ms adelante.

Tercera ley del movimientoLa primera ley de Newton defini, cualitativamente, el concepto de fuerza, y la segunda ley nosproporciona una definicin cuantitativa de la fuerza e introduce el concepto de masa. A sta,Newton aadi la tercera ley del movimiento, que completa la caracterizacin general del con-cepto de fuerza, explicando, en esencia, que toda fuerza que pueda existir tiene su imagen ge-mela. En palabras de Newton:

A cada accin, se le opone siempre una reaccin igual: o bien, las acciones mutuas de dos cuerpos,unos sobre otros, son siempre iguales y dirigidas hacia las partes contrarias

Esta afirmacin es ms bien desconcertante:

Un cuerpo, por s mismo, no puede nunca ejercer ni experimentar ninguna fuerza. Las fuerzassurgen solamente como resultado de las interacciones, y durante la interaccin de dos cuerpos,uno de ellos impulsa o es impulsado por el otro, tanto como es impulsado o impulsa.Podemos llamar a una de las fuerzas la accin y a la otra reaccin, pero el orden de etique-tarlas es totalmente arbitrario. No es que una de las fuerzas aparezca primeramente y cause laotra; ambas son causa simultnea una de otra, en pocas palabras: las fuerzas nacen gemelas.

Para poner de manifiesto todos estos puntos, podramos enunciar la tercera ley del movimientode Newton as:


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Siempre que dos cuerpos A y B interaccionan de tal modo que el cuerpo A experimenta una fuerza

(por contacto, por interaccin gravitatoria o por cualquier otra causa), el cuerpo B experimenta,

simultneamente, una fuerza de igual magnitud y direccin opuesta.

Ahora regresemos a la dificultad de la interdependencia de las definiciones de masa y fuerza.Las diferentes pocas han visto la dificultad inherente al concepto de masa como lo enunci

Newton en los Principia, pero haban preferido evitarla hasta hace relativamente poco tiempo,digamos hasta la fecha de aparicin de la famosa obra de Ernst Mach (1838-1916), The Scienceof Mechanics, publicada por primera vez en 1883.

En la mayora de los textos novecentistas de mecnica se repite, casi sin ninguna variacin sig-nificativa, que la masa es la cantidad de materia contenida en un cuerpo o que masa es, enbuenas cuentas, el cuerpo mismo o la materia de que est compuesto.

Enunciar tales proposiciones as podra considerarse hoy por hoy como un exceso, si no fuerapor la circunstancia de que an suelen aparecer en textos actuales.

Antes definimos la masa como inercia; cuando se la acompaa con la discusin de un experi-mento concreto, esta definicin tiene por lo menos el mrito de proporcionar una nocin cuali-tativa. Pero la definicin de una cantidad fsica no tiene ningn valor si no describe un procedi-miento que permita medir esa cantidad.

Volviendo a la ecuacin (2), se ve la posibilidad de definir la masa, representada por el smbolom, en trminos de fuerza y aceleracin.

Sin embargo, hacer esto implica que la fuerza ya ha sido definida independientemente, lo queno es as de ninguna manera. De todos modos, consideremos por un momento la posibilidad dedefinir satisfactoriamente la idea de fuerza al margen de la segunda ley de Newton. Tal veznuestro primer pensamiento se refiera a barras, cuerdas, resortes, pesos, tirones, empujones,etc.

Cmo podemos saber qu fuerza acta sobre una partcula dada?

Se impone la siguiente idea:

Apliquemos un tiro o un empuje a la partcula en consideracin hasta que su aceleracin sereduzca a cero. El tiro o el empuje que cumple esta funcin ser entonces igual en magnitud y

de direccin opuesta a la fuerza original que acta sobre la partcula.

Esto, sin embargo, no hace otra cosa ms que desplazar el problema al de medir un tiro o unempuje. Un tiro o un empuje se aplica siempre a travs de un medio material y todo intento demedicin deber hacerse en trminos de las propiedades observadas de tales medios. Ya quelos medios difieren considerablemente unos de otros, ste no es, en modo alguno, un estadosatisfactorio de cosas.


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Queremos una definicin que sea independiente de las propiedades de tales medios. Pensemosen usar la gravedad. Es decir, podramos equilibrar todo tiro o empuje mediante el peso de al-gn objeto y expresar as, finalmente toda fuerza en trminos de peso. Pero de nuevo surgenproblemas, ya que los pesos varan de un punto a otro de la Tierra de una manera nada sencilla.

Tal vez ya se ha dicho lo suficiente para dejar claro que la interpretacin habitual de la segundaley de Newton carece de base lgica y slida, y que deja pendientes muchas dudas. Nos corres-ponde proporcionar algunas bases tericas pertinentes que puedan reemplazar a las leyes deNewton, y que conduzcan a los resultados que Newton y sus sucesores trataron de derivar apartir de dichas leyes.

Consideremos el concepto de masa. Existen muchas definiciones perfectamente lgicas, segnel punto de vista en que nos coloquemos. Por ejemplo:

Podramos decir que la masa de un cuerpo puede determinarse mediante una balanza.Esto equivale esencialmente a la definicin de masa en trminos de peso, elegiramos un ciertocuerpo como masa patrn y compararamos todos los dems con l, equilibrndolos con frac-

ciones conocidas o mltiplos del patrn. Sin embargo, sta no es una definicin satisfactoria. Nocontiene la idea cualitativa primordial de la masa, a saber, la idea de inercia; ms importantean, tiene la desventaja de hacer aparecer a la masa como una funcin de las propiedades de laTierra.

La definicin en tela de juicio depende del postulado de que la masa es directamente propor-cional al peso. Pero, claro est, que peso envuelve la idea de fuerza. Equivale, por lo tanto, adefinir masa en trminos de fuerza. Esto nos hace retroceder a la situacin de tener que dar unadefinicin de fuerza independientemente de la masa y de la segunda ley de Newton. El dilemaes evidente.

Procedamos entonces con el mayor cuidado posible.Supongamos dos cuerpos, 1 y 2, que se hallan bastante alejados de todos los otros cuerpos deluniverso; de tal manera que podemos considerar que realmente estn aislados. Es necesariosuponer que los cuerpos se influyen mutuamente y esta accin provoca que los dos cuerpos seaceleran. Como ilustracin concreta imaginemos dos pequeos cuerpos unidos entre s me-diante un resorte. Designemos por a1la aceleracin de 1 y por a2la aceleracin de 2.

Laexperienciaindica que en todos los casos en que dos cuerpos actan uno sobre otro:

a) En todo instante, las aceleraciones del cuerpo 1 y del cuerpo 2 tienen la direccin de larecta que une los dos cuerpos y sentidos mutuamente opuestos, no importando quemecanismo los acelera.

b)

En todo instante, el cociente de los mdulos tiene siempre el mismo valor,cualquiera que fuese el mecanismo de interaccin. Este valor depende exclusivamente delos dos cuerpos que interactan.


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El valor del cociente de los mdulos de las aceleraciones, que es totalmente independiente delmecanismo de interaccin y que representa una cualidad inherente de los cuerpos 1 y 2, lollamaremosmasa inercialdel cuerpo 2 en unidades del cuerpo 1 y lo representamos por el smbolo,

= = (3)

estas aceleraciones varan de caso en caso y en funcin del tiempo. Lo esencial y notable es que elcociente de sus mdulos se mantiene constante para los dos cuerpos. Esta constante quecaracteriza al par de cuerpos, es el resultado experimental ms importante de toda la mecnica.

Si ahora tomamos un tercer, cuarto,..., n-simo cuerpo y los ponemos en interaccin mutua con elcuerpo 1, tendremos; cualquiera que sea el mecanismo de interaccin,

= ,

= , ,

= ,

obteniendo as las masas inerciales de esos cuerpos en unidades del cuerpo 1.En el intento de dar una interpretacin a la constante m21tomamos otra partcula 3 y la dejamosinteractuar primero con 1 y luego con 2. Obtenemos relaciones anlogas con (3), a saber:

= ,

=

Es perfectamente concebible que las constantes m21, m31, m32 sean independientes. Sinembargo, los experimentos indican que ste sera un mal supuesto, como vemos enseguida.

c) Si ahora ponemos al cuerpo 3 en interaccin con el 2, observamos experimentalmente que:

= =

(4)

La ltima igualdad es un resultado nuevo que no se puede deducir de los anteriores.

Si por decreto adoptamos de una vez por todas al cuerpo 1 como unidad de masa inercialpodemos suprimir el ndice 1 y llamar al cociente,

= (5)

masa inercial del cuerpo (entendindose que es en unidades del cuerpo 1). Obsrvese que asdefinida, el valor de la masa de un cuerpo es el nmero que mide cuantas veces ms aceleracintiene el cuerpo unidad cuando es puesto en interaccin con el cuerpo dado. Ese nmero dependerpor lo tanto del cuerpo unidad.

En resumen, las experiencias anteriores permiten introducir una magnitud fsica llamada masainercial, que representa el hecho fsico de que el cociente de las aceleraciones de dos cuerpos eninteraccin mutua cualquiera es siempre el mismo, dependiendo solo de los dos cuerpos. El valornumrico de esa magnitud est dado por el valor numrico de ese cociente cuando uno de los doscuerpos es el convenido como unidad.


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El concepto de fuerzaDados dos cuerpos que interactan y, el hecho de que las aceleraciones sean de sentido opuestoy de que para sus mdulos valga / = / , puede expresarse vectorialmente en la igualdad,

= (6)

Esta expresin nos permite introducir un ente que sea representativo de lo que intuitivamenteentendemos por intensidad de una interaccin.

En otras palabras, nos proponemos encontrar un ente que sea representativo, desde el punto devista fsico del proceso de interaccin en s. Hasta ahora solo tenemos un ente representativo delos cuerpos interactuantes, que es la masa inercial. A primera vista podra tomarse directamentela aceleracin como intensidad de interaccin, puesto que parece natural calificar unainteraccin como tanto ms fuerte, cuanto mayor aceleracin se produzca en las masasinteractuantes. Pero esto no sirve desde el punto de vista cuantitativo, puesto que en general, lasaceleraciones de los cuerpos interactuantes sern diferentes entre s y no sabramos cul de las

dos elegir como ente representativo.

Pero precisamente gracias a la relacin (6)encontramos un ente expresado por o , queconteniendo a la aceleracin, es el mismo (excepto el sentido) para las dos masas interactuantes.

Este ente nos permite por lo tanto representar en forma cuantitativa unvoca lo que entendemospor intensidad de la interaccin en cuestin. Llamaremos a ese ente = , fuerza sobre elcuerpo ; = ser la fuerza sobre el cuerpo en su interaccin con el cuerpo . Esimportante recordar que el concepto de fuerza nos representa fsicamente la intensidad de lainteraccin estando determinado por el proceso de interaccin en s.

Segn (6)tenemos: = (7)

Vemos que cuando dos cuerpos ejercen acciones mutuas entre s, la fuerza que acta sobre uno deellos es igual y de sentido contrario a la fuerza que acta sobre el otro. O ms concisamente comoexpresamos antes: las fuerzas nacen mellizas. La fuerza es por lo tanto una cantidad vectorial,tal como lo es la aceleracin. De inmediato se ve que sta es la formulacin matemtica de latercera ley de Newton, que surge pues como una consecuencia lgica de nuestros supuestos pre-vios y de las definiciones de masa y fuerza. Un poco ms adelante discutiremos en mayor detalleel significado de la tercera ley.

Por el momento, no obstante, vale la pena subrayar la importancia de la definicin de fuerzapropuesta aqu: introduce una ecuacin prctica que se puede usar en el estudio de todos losproblemas mecnicos. Para cualquier partcula de masa m, podemos escribir = en la

forma de una ecuacin vectorial diferencial de segundo orden

= (8)

donde debe ser considerada ahora como la fuerza resultanteque acta sobre la partcula, esdecir, la suma vectorial de todas las fuerzas individuales. Este ltimo paso constituye, sin duda,un supuesto adicional que se justificar por su xito en la prctica. Expresa nuestra sensacinde que cada fuerza acta independientemente de las otras. Esto no es necesariamente verda-dero, pero funciona satisfactoriamente en muchos casos que se presentan en la mecnica. Es un


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ejemplo de un principio general llamadoprincipio de superposicin. Este principio est funda-mentalmente sustentado en las observaciones experimentales, explcitamente, para el caso delas masas inerciales y las fuerzas lo expresamos as:

Un cuerpo compuesto por varios cuerpos puntuales unidos rgidamente entre s, se comportacomo un solo cuerpo de masa,

= + + + (9)

Si un cuerpo puntual est sujeto simultneamente a varias interacciones con distintos cuerpos,cada una de intensidades , , , la aceleracin del cuerpo ser igual a la que le imprimirauna sola interaccin, de intensidad,

= + + + (10)

La suma vectorial es la resultante de las fuerzas actuantes.La accin simultnea de varios procesos de interaccin puede dar un efecto total nulo. La condicinpara ello es:

= + + + = 0 (11)

Esta es la condicin de equilibrio para un cuerpo puntual. En ese caso, el cuerpo se mantendr conmovimiento uniforme rectilneo, o permanecer en reposo, segn las condiciones iniciales.

La adicin vectorial de las intensidades de interaccin permite determinar la fuerza de unainteraccin desconocida, oponindole una fuerza de una interaccin conocida hasta lograr elequilibrio. Cada vez que observamos que un cuerpo est acelerado, ste necesariamente debe estaren interaccin con otro u otros cuerpos. Cuando en cambio, un cuerpo se mueve con movimientorectilneo uniforme estar libre de interacciones o sujeto a varias interacciones cuya accinresultante se anula.

La ecuacin (8)se llama ecuacin del movimiento de la partcula, y dice que el producto demasa y aceleracin, conocido comnmente por reaccin cintica, es igual a la fuerza. La sustitu-cin de en (8)por una funcin particular, da una ecuacin diferencial, o ms bien un conjuntode tres ecuaciones escalares en trminos de las tres componentes de a lo largo de los ejesrectangulares. Si estas ecuaciones son solubles, se pueden encontrar la posicin y la velocidadde la partcula en cualquier instante, respecto del sistema de referencia dado (sujetas, porcierto, a la existencia de ciertas condiciones iniciales).

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