Le théorème de Ptolémée par Genbauffe Catherine. La figure Posons: |AB| = a |BC| = b |CD| = c...
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Le théorème de PtoléméeLe théorème de Ptolémée
par Genbauffe Catherinepar Genbauffe Catherine
La figure
• Posons:
|AB| = a
|BC| = b
|CD| = c
|DA| = d
|AC| = p
|BD| = q
Enoncé n°1
• Le produit des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés :
• pq = ac + bd
Démonstration
• On a donc p = |AC| et
q = |BD|
q = |BE| + |ED|
• On remarque que les triangles ABC et AED sont semblables
• On a donc :
|AB|/|AE| = |AC|/|AD| = |BC|/|ED|
• En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient : a/|AE| = p/q = b/|ED|
• On remarque également que les triangles ABE et ACD sont semblables.
• On a donc: |AB|/|AC| = |AE|/|AD| = |BE|/|CD|
• En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient :
a/p = |AE|/d = |BE|/c
• Pour les premiers triangles semblables, prenons l’égalité: p/d = b/|ED|
• Pour les seconds, choisissons l’égalité : a/p = |BE|/c
• Si on applique la propriété disant que le produit des extrêmes égale celui des moyens, on a : ac = p.|BE| et bd = p.|ED|
• Et donc si on additionne ces deux égalités, on obtient: ac + bd = p (|BE| + |ED|) = pq
Enoncé n°2
• Le rapport des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal au rapport des sommes des produits des longueurs des côtés issus des extrémités de ces diagonales:
• p/q = (ad+bc)/(ab+cd)
Démonstration: 1ère partie
• Avant tout, prouvons que le produit des longueurs de deux côtés d’un triangle est égal au produit du diamètre du cercle circonscrit par la hauteur correspondant au 3ème côtés: |AB|.|AC| = |AE|.|AD|
|AB|/|AE| = |AD|/|AC| |AB|/|AD| = |AE|/|AC|• Transformons l’égalité donnée dans
l’énoncé. • Donc |AB|.|AC| = |AE|.|AD| devient alors
bc = 2Rh (R étant le rayon)• Si on multiplie les deux membres par a, on
a : abc = 2R.a.h = 2R.2S• Et donc, abc = 4.R.S • Grâce à cette égalité nous allons
maintenant pouvoir prouver que: p/q = (ad+bc)/(ab+cd)
Démonstration: 2ème partie
• L’égalité précédente nous permet de déterminer l’aire de triangle: S= abc/4R
• Déterminons l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale p:
• Le triangle ABC et le triangle ADC
• Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R
• On peut dire que l’aire du triangle ABC = abp/4R
• Et que l’aire du triangle ADC = dcp/4R
• L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R
• Déterminons, à présent, l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale q:
• Le triangle ABD et le triangle BCD
• Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R
• On peut dire que l’aire du triangle ABD = adq/4R
• Et que l’aire du triangle BCD = bcq/4R
• L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R
• On sait donc que:
- L’aire du quadrilatère ABCD vaut:
abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R
- L’aire du quadrilatère ABCD vaut:
abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R
• On peut donc égaler les deux résultats précédents
p.(ab+dc)/4R = q.(ad+bc)/4R
• Et donc en simplifiant et en divisant, on obtient:
p/q = (ad + bc)/(ab + cd)