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Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’
CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles
CM3 Prendre du recul calculer une primitive et intégrer une fonction
CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle
MathSV : chapitre 6
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Equations différentielles
• Introduction à la modélisation
• Définitions et généralités
• Méthodes de résolution
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Croissance de la population chinoise
Etape 1
Démographie en Chine 1,28 milliards d’habitants en 2001
Une politique de contrôle des naissances
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La démarche de modélisation
1. partir d’une problématique qui concerne le monde du vivant
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Croissance de la population chinoise
Etape 2
Les conséquences d’une politique démographique :
le nombre d’habitant en 2005 ? En 2010 ?
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La démarche de modélisation
2. identifier le phénomène à étudier, préciser le problème qui se pose
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Croissance de la population chinoise
Etape 3
Modélisation de la variation au court du temps de la taille de la population chinoise : N(t)
Un problème de démographie (dynamique de population)
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La démarche de modélisation
3. traduire le problème en langage mathématique/informatique/statistique
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Données : Naissances, morts, migrations (négligées) :
On prévoit que les taux de natalité et mortalité dans la période 2001-2005 seront stables :
Le taux de natalité est de 13‰ en 2001, le taux de mortalité est de 3‰.
Modèle : une équation différentielle
Etape 4
Quels sont les processus qui provoquent cette variation ?
Croissance de la population chinoise
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La démarche de modélisation
4. faire l’inventaire des modèles connus et des données utiles
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Etape 5
“Modèle exponentiel en temps continu”
r = taux d’accroissement absolu (constant = indépendant de N)
Mortalité AccroissementNatalité
dN taN t bN t rN t
dt
r a b
Croissance de la population chinoise
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La démarche de modélisation
5. sélectionner un modèle et recueillir les données puis proposer une réponse
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Résoudre le problème
K = N(t=0) = 1,28 milliards d’habitant en 2001r = (13-3)/1000 = 0,01N(t=4) = 1,33 milliards d’habitants en Chine en 2005.
rdtN
dNrN
dt
dN
Cstertrdt
CsteNN
dN)ln(
)exp()()ln( rtKtNCstertN Solution :
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La démarche de modélisation
6. validation, protocoles expérimentaux, généralisations...
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Exemple en pharmaco-cinétique
Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, sa concentration dans le sang est instantannément maximale, puis elle décroît… comment ?
f(t)=?
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Exemple en pharmaco-cinétique
A partir d’un instant t, “la diminution de cette concentration est proportionnelle à la concentration à l’instant t” :
)()( tftf
Solution : )exp()( 0 tftf
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Définitions, généralités
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Définition
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x
et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.
Equation différentielle d’ordre n :
0),...,,,,( )( nyyyyxF
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Définition
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x
et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.
Equation différentielle d’ordre 1 :
0),,( yyxF
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Exemple et notation
xyy
Dérivée première :
Dérivée nième :
dx
dyy
n
nn
dx
ydy )(
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Lexique général
• Résoudre (intégrer)
Ndt
dN05,0
tKetN 05.0)(
MathSV : chapitre 6, section 7.1
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Lexique général
• Solution générale
• Condition initiale
• Solution particulière
1010)0( KN
tetN 05,010)(
Ndt
dN05,0
tKetN 05.0)(
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Lexique général
• Courbe intégrale
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Équations Différentielles d’ordre 1
1. À variables séparables
2. Homogènes
3. Linéairessans second membreavec second membreà coefficients constants
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E. D. 1 à variables séparablesOn peut se ramener à
“une intégrale sur y = une intégrale sur x”
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2 2y xx
yKy
y
xy
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Evolution de la population chinoise
la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population
Mortalité AccroissementNatalité
dN taN t bN t rN t
dt
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Evolution du poids d’un organisme
mentralentissecroissance
pkpdt
dp 2
MathSV : chapitre 6, section 7.2.1
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E. D. 1 homogène
On peut se ramener à une équation à variables séparablespar un changement de variable u = y/x
dx
duxu
dx
dy
xuy
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xCxy
xCu
Cstexu
ln2
ln2
ln2
2
xy
xyy
22
x
yu
x
dxuduuf
u
u
dx
dy
xy
xyy
)(
1222
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E. D. 1 linéaires
y f x y g x De la forme :
Linéaire en y
Second membre
1er ordre
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E. D. 1 linéaires
y f x y g x
•ED linéaire d’ordre 1 sans second membre SSM
•ED linéaire d’ordre 1 avec second membreASM
•ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant
0)( xg
0)( xg
Cstexf )(
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Méthodes de résolution des ED linéaires du 1er ordre
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E. D. d’ordre 1 linéaire SSM
Une ED linéaire Sans Second Membre est
une ED à variables séparables
à solution de forme exponentielle
dxxfy
dyyxf
dx
dyyxfy )()(0)(
)()(ln xFKeyCstexFy
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Selon les cas :
– Rechercher une solution particulière yp
– Méthode de variation de la constante
y f x y g x
E. D. d’ordre 1 linéaire ASM
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Avec recherche d’une solution particulière
2 1y xy x
1. Résoudre l’ED sans second membre :
2exp0
2
1
xKyxyy
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Avec recherche d’une solution particulière
2 1y xy x
2. Trouver une solution particulière :
baxy p De la forme
0
1
b
aPar identification, on obtient
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Avec recherche d’une solution particulière
2 1y xy x
3. La solution générale est : la solution de l’ED SSM + la solution particulière
xx
Kyyy p
2exp
2
1
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Avec recherche d’une solution particulière
La solution de l’ED SSM + Une solution particulière
est la solution générale
y f x y g x
pxF
p yKeyyy )(1
F est la primitive de f
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1. Résoudre l’ED sans second membre :
Kxyx
yy 10
Méthode de variation de la constante
2xx
yy
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2. Faire varier la constante :
De la forme
Par identification, on obtient
Méthode de variation de la constante
xxKy )(
2xx
yy
Cx
xKxxK 2
)()(2
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Méthode de variation de la constante
y f x y g x
)()( xFexKy
On cherche une solution générale de la forme
F est la primitive de f
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ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant
)(xgayy
y f x y g x avec f ( x ) = Cste = a
- Si g ( x ) est un polynôme de degré n
alors on cherche une solution particulière yp = an xn + an-1 xn-1 +… + a1x + a0 (un polynôme de degré n)
- Si g ( x ) = eax P ( x ) alors on pose yp = eax z
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ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant
)(xgayy
y f x y g x avec f ( x ) = Cste = a
- sinon : la méthode de variation de la constante