Le equazioni di primo grado. Problema Cerchiamo di determinare un numero che aggiunto al suo triplo...
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Le equazioni di primo grado
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Problema
Cerchiamo di determinare un numero che aggiunto al suo triplo dia 20.
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Dal linguaggio naturale a quello matematico
Come tradurre il nostro problema in termini matematici?Decidiamo di indicare con x il numero da determinare, ecco che il testo del problema può essere scritto così:
x+3x=20
Sommiamo i termini simili4x=20
A questo punto è facile rispondere che il numero cercato è 5.
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verifichiamo
Tanto è vero che se calcoliamo
5+3*5
il risultato è proprio 20!
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Le equazioni
Le equazioni non sono altro che
frasi in linguaggio matematico che possono essere vere per determinati valori e false per altri.
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Riferendoci al problema appena visto diremo che l’equazione
x+3x=20
risulta VERA se al posto di x sostituiamo 5,
mentre diventa FALSA se al posto di x sostituiamo un altro numero.
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Problema
Cerchiamo ora un numero che addizionato al suo triplo dia
esattamente il suo quadruplo.
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Soluzione problema 2
Traducendo il testo in linguaggio matematico:
x+3x=4x
e perciò:
4x=4x.
Ma ciò significa che la soluzione di questo problema potrebbe essere qualsiasi numero!
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Terminologia
x+3x
INCOGNITA
20
secondo membro
primo membro
Il numero 5, che era il risultato del nostro problema, è detto soluzione.
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Grado di un’equazione
Si chiama
grado di un’equazione
il massimo esponente con cui compare l’incognita.
3x+24=12 è di primo grado
3x2+24=12 è di secondo grado
3x5+24=12 è di quinto grado
3x7+24=12 è di settimo grado
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Equazioni equivalenti
Due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti.
Ad esempio
2x=10 che ha per soluzione 5
è equivalente a
3x=15 che pure ha per soluzione 5.
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Risoluzione di un’equazione di primo grado
Dobbiamo risolvere
x+12=30
Proviamo a pensare all’equazione come ad una bilancia in perfetto equilibrio: se vogliamo mantenere l’equilibrio tutto ciò che viene fatto sul primo piatto deve farsi tale e quale nel secondo.
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x+12 =30-12 -12
x=18Abbiamo applicato quello che viene
chiamato primo principio delle equazioni.
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Abbiamo applicato quello che viene chiamato secondo principio delle equazioni.
3x = 303 3
x=10
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Equazioni impossibili
Se un’equazione non ammette soluzione si chiama impossibile.
4x=4x+1 non ha soluzione: è impossibilex2=-2 non ha soluzione: è impossibile
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Equazioni indeterminate
Un’equazione che ha infinite soluzioni si dice indeterminata.
4x=4x ha infinite soluzioni: è indeterminata2x=x+x ha infinite soluzioni: è indeterminata
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FINE
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Primo principio di equivalenza
Se si somma o si sottrae lo stesso valore da ambo i membri di
un’equazione si ottiene un’equazione equivalente.
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Secondo principio di equivalenza
Se si moltiplicano o si dividono per lo stesso valore ambo i membri
di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente.
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Incognita
Incognita viene chiamata la lettera che rappresenta il numero da
determinare.
In genere viene indicata con le ultime lettere dell’alfabeto
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Soluzione
Soluzione
di un’equazione è quel numero che sostituito all’incognita rende vera l’equazione.