Le besoin d'une gestion des risques chez les banques … · Nous présenterons dans ce mémoire les...
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1 Introduction Le besoin d'une gestion des risques chez les banques a fortement augmenté au cours des dernières années. L'une des raisons principales est la complexité croissante des instruments financiers, comme les produits dérivés - par exemple, les contrats à terme et les options et les désastres financiers qui ont provoqué la faillite de certains groupes financiers. La commission bancaire impose le calcul de la Value at Risk qui permet d’avoir une indicateur synthétique du risque et sert au calcul des fonds propres. La notion de VaR a été introduite pour mesurer le risque de marché, des méthodes opérationnelles d’estimation de celle-ci ont été mises au point, par la banque américaine JP Morgan, au début des années 1990. Le principe consiste à résumer le risque affectant un portefeuille en une mesure unique et directement interprétable. Plus précisément, la VaR essaie de quantifier, dans un intervalle de confiance spécifié (généralement 95% ou 99%), la perte potentielle que peut subir une position isolée donnée, un portefeuille, ou la banque dans son ensemble, sur une courte période de temps (typiquement un, deux, cinq ou dix jours ouvrés) dans des conditions de marché dites « normales ». Cette notion hérite de celle de « probabilité de ruine » utilisée depuis plus de 100 ans par les compagnies d’assurances et les actuaires pour le calcul des primes et les réserves de solvabilité. Nous présenterons dans ce mémoire les méthodes de calculs de la VaR .Aussi afin de valider le modèle de VaR des études à posteriori de Back Testing (P&L réel observé) et Stress Testing ont été menée. Puis dans une dernière partie , nous nous intéresserons à un autre projet sur lequel j’ai travaillé la valorisation d’un portefeuille en Market to market constitué d’options sur futures européennes et américaines et le calcul des sensibilités.
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Introduction
Le besoin d'une gestion des risques chez les banques a fortement augmenté au cours des dernières
années. L'une des raisons principales est la complexité croissante des instruments financiers, comme
les produits dérivés - par exemple, les contrats à terme et les options et les désastres financiers qui
ont provoqué la faillite de certains groupes financiers. La commission bancaire impose le calcul de la
Value at Risk qui permet d’avoir une indicateur synthétique du risque et sert au calcul des fonds
propres.
La notion de VaR a été introduite pour mesurer le risque de marché, des méthodes opérationnelles
d’estimation de celle-ci ont été mises au point, par la banque américaine JP Morgan, au début des
années 1990.
Le principe consiste à résumer le risque affectant un portefeuille en une mesure unique et
directement interprétable. Plus précisément, la VaR essaie de quantifier, dans un intervalle de
confiance spécifié (généralement 95% ou 99%), la perte potentielle que peut subir une position
isolée donnée, un portefeuille, ou la banque dans son ensemble, sur une courte période de temps
(typiquement un, deux, cinq ou dix jours ouvrés) dans des conditions de marché dites « normales ».
Cette notion hérite de celle de « probabilité de ruine » utilisée depuis plus de 100 ans par les
compagnies d’assurances et les actuaires pour le calcul des primes et les réserves de solvabilité.
Nous présenterons dans ce mémoire les méthodes de calculs de la VaR .Aussi afin de valider le
modèle de VaR des études à posteriori de Back Testing (P&L réel observé) et Stress Testing ont été
menée.
Puis dans une dernière partie , nous nous intéresserons à un autre projet sur lequel j’ai travaillé la
valorisation d’un portefeuille en Market to market constitué d’options sur futures européennes et
américaines et le calcul des sensibilités.
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I. Présentation Groupe HSBC--------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
1. Le Groupe HSBC-CCF ___________________________________________________ 4
2. HSBC – CCF : Une union réussie : __________________________________________ 5
3. Le CCF aujourd’hui : une organisation favorisant le progrès. ___________________ 7
4. La cellule Contrôle des résultas et risques : VPC : _____________________________ 9a) Présentation.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9b) Organigramme. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------10
II. MESURE ET CONTROLE DES RISQUES DE MARCHE ----------------------------------------------------10
1. Notions et Généralités____________________________________________________ 10a) Définition et typologie des risques------------------------------------------------------------------------------------10b) La notion de Facteur de risque-----------------------------------------------------------------------------------------12c) L’horizon de risque ------------------------------------------------------------------------------------------------------12
2. Le cadre réglementaire___________________________________________________ 12a) La nécessité d’un contrôle---------------------------------------------------------------b) Les acteurs de la réglementation --------------------------------------------------------------------------------------14
3. La réglementation des risques _____________________________________________ 14
4. Les fonds propres allouables ______________________________________________ 14
5. Le modèle interne d’HSBC _______________________________________________ 16a) Présentation de Profil----------------------------------------------------------------------------------------------------16b) Analyse du risque par les sensibilités---------------------------------------------------------------------------------17
La Value at Risk, comme mesure du risque_______________________________________ 18a) 3.1 Définition -------------------------------------------------------------------------------------------------------------19b) 3.2 La Value at Risk historique : --------------------------------------------------------------------------------------21c) Utilisation des rentabilités pour le calcul de la VaR ---------------------------------------------------------------22d) La Value at Risk paramétrique (VaR gaussienne)------------------------------------------------------------------22e) 3.5 La VaR Monte Carlo------------------------------------------------------------------------------------------------23
Le comportement des facteurs de risque _________________________________________ 24
L’évolution de la composition du portefeuille _____________________________________ 25
Avantages et limites de la VaR _________________________________________________ 25Etudes complémentaires ___________________________________ a) Le backtesting ------------------------------------------------------------------------------------------------------------30b) Exigences légales --------------------------------------------------------------------------------------------------------31c) Mise en place au sein d’HSBC ----------------------------------------------------------------------------------------31d) Intérêt ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------33
Stress Testing _______________________________________________________________ 34a) Les exigences réglementaires ------------------------------------------------------------------------------------------34b) Méthodes ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------35
III. Présentation des produits de taux --------------------------------------------------------------------------------------43
Zero-Coupon________________________________________________________________ 44
Les taux forward et les caplets _________________________________________________ 44
Nous nous basons sur les conventions de la zone Euro où les paiements fixes n'interviennent quetous les ans, alors que les paiements variables interviennent tous les 6 mois.____________ 46
Définition et caractéristiques des swaps de taux standards__________________________ 453.1 Réplication d’un emprunt à taux fixe -------------------------------------------------------------------------------------79
3
3.2 Anticipation d’une baisse des taux----------------------------------------------------------------------------------------803.3 Présentation de la méthode zéro - coupon -------------------------------------------------------------------------------46
Le Forward Rate Agreement (FRA)_____________________________________________ 47Les swaps à maturité constante (CMS) _______________________ Erreur! Signet non défini.
Les options et produits structurés de taux ________________________________________ 48
Les principales options et produits structurés de taux ______________________________ 49a) Les options d’annulation------------------------------------------------------------------------------------------------49b) Les options conditionnelles à coupon indexé sur des taux fixes -------------------------------------------------50
Les options conditionnelles à coupon indexé sur des taux variables Erreur! Signet non défini.IV. Valorisation Portefeuille D’options ------------------------------------------------------------------------------------52
Valorisation des activités en Marked-to- market __________________________________ 52
Formule du P&L ____________________________________________________________ 53
Problématique_______________________________________________________________ 54
Rappel sur le modèle de Black _________________________________________________ 55
Volatilité Implicite - Calcul ____________________________________________________ 57a) Algorithme de Newton-Raphson --------------------------------------------------------------------------------------85b) Méthode de dichotomie -------------------------------------------------------------------------------------------------86
Options américaines- Pricing __________________________________________________ 61Méthode de Monte-Carlo avec exercice optimal ----------------------------------------------------------------------------61Intérêt-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------61a) Présentation théorique--------------------------------------------------------------------------------------------------62
Notations : __________________________________________________________________ 62
6.2.2 Caractérisation de la stratégie d’exercice optimal : ____________________________ 63b) Principe de la méthode de Longstaff et Schwartz :-----------------------------------------------------------------63
c) Algorithme : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------64d) Résultats : -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------70
Explication des résultats par les variables taux, fixing et temps ______________________ 70V. Bibliographie ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------76VI. Annexes -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------77
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I. Présentation Groupe HSBC
1. Le Groupe HSBC-CCF
Créée en 1894 par des banquiers suisses et des industriels parisiens, la Banque Suisse et Française
s’installe à Paris. Elle prend la suite des affaires de la succursale de la Banque Fédérale SA, dont le
siège est à Zurich. La volonté du Président fondateur Benjamin Rossier est de créer une banque à mi-
chemin de l’activité commerciale et financière. La banque se développe rapidement et sa présence
est active dans toutes les grandes opérations d’innovation qui marqueront le début du siècle.
Les premières agences et succursales sont créées à Paris et en province juste avant la guerre
mondiale. A la même époque, la banque amorce sa croissance externe en rachetant plusieurs
établissements en province, notamment à Lyon, Nice, Mulhouse, Bordeaux …
En 1917, la banque devient le Crédit Commercial de France à la suite de sa fusion avec la Caisse de
Crédit de Nice et la banque Aynard à Lyon.
La réussite du CCF s’explique par des liens de confiance et de fidélité qu’il a su établir, dès ses
origines, avec des industriels parmi les plus innovateurs de l’époque : Usines du Rhône (aujourd’hui
Aventis), Hotchkiss (Thomson), Kuhlmann (Péchiney), CGE.
En 1922, le CCF installe son siège sur les Champs-Élysées dans les locaux de l’ancien Elysées
Palace Hôtel. Là encore, c’est une action innovatrice, le quartier des affaires étant traditionnellement
celui de la Bourse. Sous l’impulsion de Jacques Merlin, Président du Conseil d’Administration de
1961 à 1976, la banque développe fortement son réseau et en sept ans, le CCF passe de 70 à 250
guichets.
En 1967, a lieu la création du département international et du CCF Suisse SA. En 1975, le CCF est la
première banque à mettre en place l’actionnariat des salariés. En 1982, le CCF est nationalisé.
Michel Pébereau (auj Président Directeur Général de la banque BNP Paribas) entre au CCF comme
Directeur Général. ″Vidéo compte″, premier service de consultation des comptes à domicile par
Minitel, est lancé.
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L’histoire du CCF est ainsi jalonnée d’innovations telles que :
le premier serveur français de consultation de comptes à domicile, par Minitel en 1983,
le lancement de la première opération sur le marché international d’un milliard d’Eurofrancs
français, pour le compte de la CGE en 1986,
le lancement du 1er service accueil multimédia (Minitel, téléphone, télé accueil et fax) en 1992.
En 1987, le CCF est privatisé. En 1994, le CCF fête son centenaire. A partir de cette date, le CCF a
toujours enregistré une progression de ses résultats.
En 2000, le CCF accepte l’offre publique d’achat de HSBC, et fait maintenant partie d’un des plus
grands groupes bancaires et financiers dans le monde.
En mars 2004, Charles-Henri Filippi succède à Charles de Croisset à la présidence du CCF.
2. HSBC – CCF : Une union réussie :
Issu de la création en 1865 de la Hong Kong and Shangaï Banking Corporation Limited à Hong
Kong, le Groupe HSBC a connu une croissance basée principalement jusqu'aux années cinquante sur
l'ouverture d'agences à l'enseigne de la banque avant qu'il ne commence à créer ou à acquérir des
filiales.
HSBC, dont le siège social est à Londres, est aujourd’hui un des plus grands groupes bancaires et
financiers dans le monde, le troisième groupe bancaire au monde par la capitalisation boursière. Le
réseau international de HSBC regroupe plus de 8 000 bureaux et 200 000 collaborateurs dans 76
pays et territoires dans la région Asie - Pacifique, en Europe, en Amériques, au Moyen-Orient et en
Afrique.
Cotées sur les Bourses à Londres, HongKong et New York (sous la forme d’ADR), les actions de
HSBC sont détenues par 175 000 actionnaires dans quelques 100 pays.
Grâce à un réseau global utilisant les technologies les plus avancées et notamment une capacité
Internet en forte croissance, HSBC offre une gamme complète de services financiers aux
particuliers, aux entreprises et aux institutions : Banque commerciale de particuliers et d’entreprises,
Banque d’Investissement, Banque Privée, financement du commerce international, gestion de
trésorerie, activités de marché, assurance, crédit à la consommation et à l’équipement, gestion de
fonds de pension et de fonds d’investissements, services fiduciaires, services titres.
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Le 1er avril 2000, le CCF accepte l’offre d’achat de HSBC, une offre publique d'achat avec une
alternative d'échange portant sur toutes les actions en circulation du CCF. Dans son offre, HSBC
propose pour chaque action du CCF, un prix en numéraire de 150 €, ou dans l'alternative d'échange,
13 actions HSBC, représentant 160 € sur la base du cours de clôture de HSBC le 31 mars 2000.
Appliquée à l'ensemble des actions existantes du CCF, l’offre en numéraire représente un montant
global de 11 milliards d’€.
Le 31 mai 2000, la Commission Européenne autorise l'acquisition du CCF par HSBC Holdings. Le
même jour, le CECEI (Comité des Etablissements de Crédit et des Entreprises d'Investissement)
donne aussi son autorisation.
Le 24 Juillet, un communiqué de presse annonce le succès de l’offre. Le 28 juillet, l’action HSBC
fait son entrée à la bourse de Paris.
Pour HSBC, cette opération représente une opportunité unique d’acquérir une banque française bien
gérée et en forte croissance, de façon amicale et recommandée et d’établir ainsi une base importante
dans la Zone Euro. Le CCF deviendra l’un des cinq principaux pôles du groupe HSBC aux côtés du
Royaume-Uni, de Hongkong et du reste de la Chine, du Brésil et des Etats-Unis.
Pour le CCF, le rapprochement envisagé lui permettra de bénéficier d’un actionnariat stable et
puissant assurant à la fois sa pérennité et le renforcement de ses capacités de développement.
Dans le cadre d’une complémentarité géographique exceptionnelle, le CCF deviendra, à partir de
Paris, la plate-forme principale de développement dans la Zone Euro du troisième groupe bancaire
mondial, offrant de ce fait à l’ensemble de ses métiers et de ses équipes de très fortes perspectives de
croissance.
Le CCF restera une entreprise disposant d’une autonomie de gestion dans le cadre des règles du
Groupe et conservera la même Direction et, par conséquent, gardera ses centres de décision à Paris.
Les équipes qui ont assuré son développement ces dernières années sont maintenues et participeront
complètement à la vie du nouveau Groupe.
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3. Le CCF aujourd’hui : une organisation favorisant le progrès.
Le Crédit Commercial de France (CCF) est une banque privée de taille moyenne par son bilan et la
dimension de son réseau. Ses activités principales sont la banque de dépôt, orientée vers la clientèle
moyenne et haute gamme et la banque d’investissement, intervenant pour le compte d’entreprises
clientes ou pour son propre compte sur les principaux marchés. Parmi les banques françaises, il se
distingue par la qualité de ses notes établies par les instituts de rating Moody’s et Standards & Poors
et la rentabilité sur l’utilisation des Fonds Propres.
Le CCF fait partie des banques françaises les plus dynamiques. Au 31 décembre 2005, le résultat
annuel faisait apparaître un Produit Net Bancaire de 2 489 millions d’euros en progression de 10.4%
par rapport au 31 décembre 2004. Ces résultats confirment la solidité du bilan et la gestion
rigoureuse des risques.
En intégrant le groupe HSBC, le CCF devient la plate-forme de développement sur la zone Euro du
3ème groupe mondial de services financiers et bancaires.
Le CCF bénéficie désormais d’un réseau mondial très développé, surtout en Asie qui compte pour le
plus important importateur en France, d’une forte complémentarité des activités et d’un suivi
mondial homogène des grands clients.
Le groupe sino-britannique apporte de plus une culture anglo-saxonne très rigoureuse et formaliste
se traduisant par des règles de gestion par métier édictées dans les FIM1 et des rapports fréquents et
précis.
Aujourd’hui, l’effectif du groupe CCF s’élève à 14 000 salariés dont 6300 pour le siège
social.
Le groupe dispose d’un réseau national de 774 agences au total dont 218 sont réparties sous
l’enseigne CCF et 556 sous les enseignes des dix banques régionales.
1 FIM Functional Instructions Manuel : ensemble de principes déontologiques et de limites qui s’appliquent à l’ensembledu Groupe HSBC.
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Ses créneaux privilégiés portent sur des activités à forte valeur ajoutée, ce qui fait que le CCF se
développe sur cinq grandes activités complémentaires :
Les principaux métiers du CCF sont :
La Banque de Réseau et Distribution : Activités traditionnelles de banque de réseau avec plus de
770 agences en France et Offre de sociétés financières spécialisées. orientée vers la clientèle haut de
gamme
La Banque de Grande Clientèle : Conseils de haut niveau destinés aux grands clients,
institutionnels et entreprises...
La Banque de Gestion d’actifs et Assurances : Elaboration de produits répondant aux besoins des
investisseurs.
La Banque Privée : Conseils et services personnalisés aux personnes privées.
Les Fonctions supports regroupent toutes les ressources logistiques.
Enfin, l’organisation des différentes directions d’HSBC est matricielle et non pas pyramidale, afin de
favoriser la réactivité des équipes
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La cellule Contrôle des résultas et risques : VPC :
a) Présentation.
Au sein de la salle des Marchés de Taux et de Change, l’équipe « Vanilla Product & Risk» a
en charge le contrôle des résultats des opérations de marchés ainsi que le contrôle des risques de
marché.
Le travail des contrôleurs se découpe en plusieurs activités :
• L’analyse des P&L (Profit and Loss) des activités de marchés,
• Suivi et reporting des risques et limites opérationnelles,
• Le contrôle et validation des paramètres de marché (courbe des taux, volatilité, smile,
corrélation, spreads etc.),
• Détermination de la VaR Historique et analyse,
• L’élaboration et développement de nouveaux contrôles afin d’intégrer les nouveaux produits
financiers crées pour répondre à la demande de la clientèle du groupe et les nouvelles
exigences de marché.
Les contrôleurs vérifient et valident la valorisation des books (portefeuilles) portant sur des
produits dérivés de taux (obligations, futures, options sur futures, swaps de taux, des caps & floors,
des swaptions ) pour le pôle « Vanilla Product Control».
Afin de conserver une indépendance hiérarchique les contrôleurs sont rattachés au département
Finance – Comptabilité de la banque d’investissement, direction appelée « Grande clientèle ».
De part la diversité de ses missions, l’équipe VPC, composée d’un senior spécialisé et d’une
quinzaine de juniors, travaille en collaboration avec le Front, le Middle et le Back Office, la DRM
(Direction des Risques de Marché) et le service Informatique. Cette équipe doit s’adapter en
permanence à l’évolution des marchés, à la sophistication des systèmes et à la création de produits
complexes.
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Banque de Grande Clientèle
Virginie HEDOUX Product Control Activities
Christophe ROUX Security Pricing - Residual Risk
Monitoring
Christine LEROY Daily Profit&Loss
Structured Debt Control
DRC Résultats et contrôle des activités du
DMTC
Comptabilité Contrôle de GestionContrôle des Activités de Marchés
Direction Finance
b) Organigramme.
II. MESURE ET CONTROLE DES RISQUES DE MARCHE
1. Notions et Généralités
a) Définition et typologie des risques
Tout investissement est soumis à un ou plusieurs risques rendant incertaine l’espérance de
gain. Risque et rentabilité sont fortement corrélés : un projet dit « risqué » aura une meilleure
rémunération : la prime sera le supplément de rentabilité par rapport à un investissement sans risque.
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La négligence de ce facteur peut engendré de lourdes pertes et même des faillites (exemples
des événements récents à la BARINGS). Ainsi, il est donc impératif de bien identifier les risques
encourus de chaque projet.
La liste des risques auxquels les opérateurs de marché sont soumis est impressionnante et
souvent plus variée qu’on ne pourrait l’imaginer de prime abord. Voici les principaux que l’on peut
relever :
• Le risque de signature (ou de contrepartie) : c’est le risque qu’encourt le souscripteur lorsque
l’émetteur de l’obligation fait défaut. Ce risque n’existe pas pour les émissions garanties par
l’Etat et il est pratiquement négligeable pour les émetteurs de bonne qualité. Comme la qualité de
la signature de l’Etat est la plus élevée, elle est considérée comme une référence en terme de
prix. Ainsi, plus la qualité du signataire est bonne, plus le prix de l’obligation sera élevé. On
parle de risque de contrepartie pour les opérations effectuées sur les marchés de gré à gré.
• Le risque de liquidité : c’est sans doute le risque le plus difficile à identifier. Il se traduit par la
possibilité que le marché concerné devienne atone et que l’opérateur de marché ne trouve plus de
prix pour déboucler sa position. En d’autres termes, il correspond à la difficulté potentielle à
réaliser rapidement un actif.
• Le risque opérationnel : il pourrait subvenir tout simplement d’un accident matériel empêchant
l’opérateur de gérer une position ou une défaillance dû à une erreur humaine.
• Le risque de marché : il correspond au risque de perte qu’une position de taux, change, action ou
de matières premières peut entraîner dans l’hypothèse d’un scénario d’évolution défavorable des
paramètres de marché. Il se décompose en deux catégories :
� le risque de taux : influence des fluctuations de prix à court ou moyen terme sur
des positions obligataires ou sur des produits dérivés. Dans le cas de positions
obligataires, la rentabilité est dénuée de ce risque dans le cas où l’investisseur ne
se soucierait pas de la valeur de son placement avant l’échéance de ses titres, et
dans l’hypothèse assez limitative d’un réinvestissement des coupons au même
taux que celui de l’obligation.
� le risque de change : les opérateurs de marché ont l’habitude de se garantir contre
le risque de taux en achetant des contrats futurs, et en particulier du futur
notionnel (sur le MATIF). Or ce dernier contrat est libellé en euro, et s’il est
employé pour couvrir des positions en autres devises, le portefeuille se trouve
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exposé au risque de change. Il court le risque d’une dépréciation de sa monnaie
par rapport à l’euro s’il est en position acheteuse de devises, et d’appréciation
dans le cas inverse.
b) La notion de Facteur de risque
Une fois les risques de marché identifiés, on décompose ceux-ci dans la plus petite unité de
risque possible. L’évolution du risque alors est imprévisible au sens strict. On parlera de particule
élémentaire (pouvant être assimilée à une variable aléatoire).
Les facteurs de risque sont ensuite classés par critère (qualitatif ou quantitatif, observable ou
non, récurrent ou ponctuel). L’ensemble des facteurs ainsi définis regroupera toute l’information
disponible. Ensuite, il convient de sélectionner les facteurs ayant une influence significative.
c) L’horizon de risque
Le temps n’est pas un facteur de risque (car il n’est pas en lui-même imprévisible) mais la
source de ces facteurs. Un portefeuille est sensible au temps par les instruments (coupon couru,
dividende, date d’échéance…) et par les modifications du portefeuille au gré des transactions.
L’horizon de risque sera donc l’instant futur où l’on se place pour calculer les sensibilités aux
différents risques. Il implique de figer le portefeuille jusqu’à l’horizon du risque choisi. Celui-ci doit
donc être bien adapté à l’activité concernée.
2. Le cadre réglementaire
Nicolas Leeson, trader surdoué mais dépassé par ses responsabilités, employé dans une succursale
de Singapour, engagea des sommes importantes en spéculation sur l'indice Nikkei (position
facilitée par le fait qu'il était à la fois responsable du back-office et du trading). Il pariait sur la
hausse de la Bourse japonaise en vendant à terme des contrats sur l'indice Nikkei 225. Mais le
séisme de Kobe en 1995 provoqua une chute brutale du Nikkei et ses pertes atteignirent 6
milliards de francs. Il avait calculé qu'il pouvait éviter le pire en contrôlant l'indice Nikkei par des
achats massifs, cela pour l'empêcher de chuter.
Une telle situation est en partie la conséquence d'un management trop confiant qui, bien que
constatant des bénéfices anormalement importants en pareille situation, ne se douta jamais que
Leeson prenait des positions très risquées.
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En réaction, l’ensemble des instituions financières ont développé des équipes en charge de contrôler
et limiter les risques pris par les traders. De là a émergée l’idée d’estimer la perte engendrée par
des scénarios catastrophes : la ‘‘Value at Risk’’.
A l’évidence, le contrôle des risques de marché s’impose. Mais la vigilance est peut-être
davantage nécessaire en dehors des périodes de crise, lorsque le calme ou l’euphorie atténuent les
réflexes de prudence.
La mise en place d’un contrôle des risques de marché efficace est nécessaire pour trois raisons :
- L’importance croissante des marchés dans les économies se traduit, d’une part par l’extension
géographique des marchés financiers, et d’autre part par la complexité toujours croissante des
instruments financiers utilisés.
- Le développement des activités de marché, chez les intermédiaires financiers notamment, rend
nécessaire l’analyse des risques induits par les mouvements de prix pour trois types de raisons :
anticiper les pertes potentielles engendrées par les positions prises, limiter les expositions et
surtout prévoir les réserves en capital permettant d’encaisser ces chocs.
- La réglementation, devenue en ce domaine internationale, impose aux banques (et à divers
intermédiaires) à la fois des normes de contrôle interne et des déclarations régulières sur les
risques encourus.
Face aux faillites retentissantes de ces dernières années, les autorités réglementaires se sont
efforcées de faire appliquer certaines normes en matière de contrôle des risques bancaires. Ces
normes visent à préserver les clients et les actionnaires et à garantir la crédibilité du système
bancaire international. Elles s’expriment comme une exigence, pour la banque, d’un montant
minimal de fonds propres réglementaires destinés à la couverture des risques de marché.
En 1988, l’accord sur les fonds propres marque le début d’une gestion des risques plus
structurée. En effet, l’apparition du ratio COOKE (exigences minimales du capital pour couvrir le
risque de crédit) a permis de définir un cadre réglementaire à ce montant de fonds propres. Ensuite,
l’accord de Bâle puis la Directive Européenne d’Adéquation de fonds propres (CAD) ont établi un
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cadre dans lequel les banques ont pu développer leur propre modèle de contrôle des risques de
marché (appelé « modèle interne »).
a) Les acteurs de la réglementation
On distingue les régulateurs supranationaux et les autorités nationales de tutelles :
- les régulateurs supranationaux : ce sont la Commission Européenne et la Banque des
Règlements Internationaux (BRI). La première émet des directives et s’adresse à tous les
établissements financiers de l’Union Européenne. La seconde s’adresse aux établissements de
stature internationale en émettant des recommandations. Ces organismes ont pour but de gérer et
d’harmoniser les règles de la concurrence internationale à tous les établissements quelles que
soient leurs particularités.
- les autorités nationales de tutelle : elles supervisent la profession bancaire pour le compte des
autorités monétaires ou gouvernementales de chaque pays. Ainsi, en France, la Commission
Bancaire (sous tutelle de la Banque De France) veille au bon respect des recommandations
émises par le Comité de Bâle.
3. La réglementation des risques
On distingue des contraintes qualitatives (règlement relatif au contrôle interne défini au niveaunational) et des contraintes quantitatives (règlement concernant les exigences de fonds propres définiau niveau international).
En ce qui concerne le domaine qualitatif, la réglementation française en la matière impose parexemple des normes de système d’information et de surveillance des établissements, d’implicationdes organes décisionnels au sein de chaque entité (Conseil d’Administration par exemple),d’identification des risques inhérents à telle ou telle activité et de mise en place de systèmes delimites adéquats.
Dans le domaine quantitatif, la CAD a d’abord défini un ratio de couverture des risques demarché, puis elle fut suivie par le comité de Bâle qui publia (en 1993 et 1995) l’accord àl’amendement sur les fonds propres visant à intégrer les risques de marché.
4. Les fonds propres allouables
Le principe de la couverture des risques de marché est très simple : les fonds propres allouables
doivent au moins couvrir les exigences réglementaires.
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Pour établir un ratio entre les fonds propres et les exigences pour risques de marché, il faut définir
les fonds propres susceptibles d’être retenus au titre de la couverture des risques de marché. On les
classifie en trois catégories (selon le degré d’exigibilité) : les fonds propres de base, les fonds
propres complémentaires et les fonds propres surcomplémentaires.
Le calcul des exigences de fonds propres peut se faire par une méthode forfaitaire (la BRI et la
Commission Européenne proposent chacune une méthode forfaitaire).
Les autorités nationales de tutelle autorisent également les institutions financières à développer leurs
propres modèles de contrôle des risques de marché, à la condition que ces modèles satisfassent à
certains critères :
des critères quantitatifs sur le calcul de la Value at Risk : les facteurs de risque à prendre en compte
sont ceux dont la variation va affecter la valorisation des portefeuilles considérés, la durée de
détention des positions doit être de 10 jours, enfin la mesure par modèle interne doit représenter au
moins 99% des risques,
des critères qualitatifs : existence d’une unité indépendante de contrôle des risques par rapport aux
activités des marchés, unicité du modèle de mesure des risques (modèle identique pour le suivi
quotidien des risques et pour la mesure des fonds propres), et simulation régulière de situation de
crise (scénario de stress).
L’allocation de fonds propres doit alors couvrir la perte potentielle définie comme étant le maximum
entre :
la perte potentielle du jour (en terme de Value at Risk) calculée sur les positions de la veille avec le
modèle interne.
la moyenne des pertes potentielles des 60 derniers jours, multipliée par un facteur dépendant au
moins égal à 3. Ce facteur est un facteur de « prudence » qui rectifie l’approximation faite sur
l’hypothèse de normalité de la loi des actifs financiers.
Ce n’est que lorsque tous ces critères sont vérifiés que l’autorité de tutelle donne à la banque
l’autorisation de déclarer les exigences de fonds propres réglementaires à partir de son modèle
interne.
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HSBC est depuis longtemps conscient des nombreux avantages inhérents au développement d’un
modèle interne. L’usage d’un modèle interne non seulement induit une plus grande souplesse dans le
contrôle des risques mais permet également de mieux « coller » aux spécificités du portefeuille de
positions de marché.
Nous allons donc maintenant présenter le modèle développé par HSBC qui répond évidemment à
toutes les exigences énumérées ci-dessus, ainsi qu’à certains critères d’ordre opérationnel.
5. Le modèle interne d’HSBC
a) Présentation de ProfilProfil, le modèle interne du HSBC, a été mis en place par la Direction des Risques de Marché
(DRM) en collaboration avec Algorithmics, une société canadienne de progiciels financiers. Une foismis en place, ce modèle a été validé par la Commission Bancaire.
� Objectifs : Profil doit assurer le contrôle opérationnel et mesurer les consommations en capital autitre des différentes activité d’HSBC entrant dans le cadre du portefeuille de négociation. Lesmesures sur l’ensemble des sites HSBC sont donc nécessairement homogènes. Le contrôleopérationnel dont est chargé R²D² doit suivre les activités de négociation (trading). Il s’agit en fait des’assurer que le portefeuille est correctement représenté et d’effectuer des analyses et des contrôlesde limites (sur la base de mesures).
� Architecture : Le projet Profil regroupe le modèle interne d’HSBC, appelé RMS (RiskManagement System) ainsi que toutes ses interfaces. Ces interfaces doivent extraire des différentssystèmes informatiques de gestion les informations relatives aux instruments traités (interfaceProfint). Profil est d’autre part alimenté quotidiennement par une photo des paramètres de marché(change, taux...) qui proviennent de sources externes (Reuters, Bloomberg) ou internes. Le RMS,développé par Algorithmics, est composé de 3 progiciels :- un moteur de calcul, RiskWatch, qui possède différentes fonctions.- la RiskWareHouse, qui est « l’entrepôt » de stockage des données du RMS. Elle regroupedifférentes fonctionnalités : le chargement du système, le stockage, la consultation et la maintenance,l’extraction sélective de la base de données, le stockage des résultats de simulation.- HistoRisk qui gère les historiques et génère les scénarios.
Les mesures effectuées par le moteur de calcul RiskWatch sont fondées sur des simulationsnumériques. Le principe de simulation numérique est le suivant :
• sélection des portefeuilles auxquels la simulation va être appliquée,• sélection des jeux de scénarios,
• sélection des niveaux d’analyse (par produit, par devise...) et des options de simulation,
17
• revalorisation de chaque position sous chaque scénario et agrégation des résultats selon lesniveaux d’analyse sélectionnés.
Les variations des données de marchés mises en œuvre différent suivant les facteurs de risque.Ainsi pour le risque de taux, un scénario additif d’un point de base à la baisse (− 001%. ) est utilisésur le point de la courbe étudié. La courbe est déformée linéairement entre le point concerné et lesdeux points qui l’encadrent.
b) Analyse du risque par les sensibilitésPremière étape du contrôle des risques, l’analyse par les sensibilités renseigne sur l’exposition
du portefeuille, d’un instrument à la variation d’un facteur de risque. L’identification descaractéristiques des produits et des variables de marché est essentielle : le portefeuille est doncdécomposé par type et par risque.
� Les instruments :La mesure du risque attaché à un actif financier est étroitement liée au modèle d’évaluation de
l’instrument. Le risque représente en effet la perte potentielle de valeur d’un produit suite à unevariation du marché. Nous présenterons dans cette partie, la méthode de valorisation classiqueutilisée pour les produits de taux. La technique générale de valorisation consiste à modéliser unproduit de marché suivant sa chronique des flux futurs, conditionnels ou non. Le prix du produit estalors égal à la somme actualisée des flux futurs, cash-flows, qui lui sont associés (notion demartingale) . La valeur actualisée d’un flux futur, vu comme un dépôt/emprunt est la valeurconstatée par le marché, c’est à dire sa valeur présente en cas de placement dès aujourd’hui de cettesomme, compte tenu des effets de capitalisation des intérêts. Nous obtenons la formule devalorisation suivante :
frCFVAN
)1( +=
VAN : valeur actuelle nette du fluxCF : valeur du cash-flow futurr : taux de replacement actuel du fluxf : fraction d’années restante du flux
Les méthodes de valorisation communes à tous les produits se basent sur l'hypothèse d'une absenced'opportunité d'arbitrage de taux. Ce phénomène est dû à la spéculation des market-makers surl'anticipation de l'offre et de la demande et permet d'assurer que la valeur estimée d'un produit est lamême pour tous.� Les sensibilités :
La sensibilité mesure l’influence d’un facteur de risque sur le portefeuille, plus simplement lavariation relative de sa valeur. Le cas le plus simple et aussi le plus fréquent est celui où la valeur demarché s'écrit comme une fonction mathématique connue. Pour des instruments dont l’unique
18
facteur de risque est la courbe des taux de marché, nous avons la relation suivante : Développementde Taylor à l’ordre , en pratique on va jusqu’à l’ordre 2
dP = ∂∂∂ ∂
∂∂ ∂
∂∂ ∂
∂∂P
rr P
rr
nnPrn
rn Pt
t+ + + +12!
1²²
² ...!
Dans l’idée d’établir un profil de risque « du jour au lendemain », nous pouvons négliger l’impactdu temps, qui est une composante purement aléatoire. Nous pouvons alors écrire la formule suivante,base de l’ensemble des calculs effectués sur le risque de taux :∂PP
= D r D rn
D n rn( ) ( ) ² ...!
( )1 12!
2 1∂ ∂ ∂+ + +
où D(i) représente la duration d’ordre i. Cet indicateur, la duration, est très utilisé sur les marchésfinanciers pour mesurer le risque des chroniques de flux. Il détermine la période à partir de laquellele produit est complètement amorti du point de vue des risques, ce qui se traduit par le fait qu’unehausse des taux d'intérêt entraîne un gain sur le refinancement des intérêts égal à la perte de valeur.
Le calcul de la dérivée première permet de cerner correctement la sensibilité du portefeuille pourde petites variations de taux. Cela suppose pratiquement que la convexité de la courbe des taux estfaible du moins par rapport à sa pente au point de mesure.Les principaux indicateurs de sensibilité utilisés sur les marchés sont :
SP
Pr
= 1 ∂∂
(sensibilité relative) S Pr
= ∂∂
(sensibilité absolue)
Elle exprime de combien varie le prix relatif de l’obligation quand le taux de
rendement varie de façon infinitésimale, par exemple de 0.1%.Une position financière
dont la sensibilité est négative sera gagnante en cas de baisse des taux d'intérêt et sera
exposée à une hausse des taux d'intérêt. Pour les chroniques de flux, un opérateur de
marché qui est en attente d’un flux payeur aura une sensibilité négative. Celui-ci possède
une créance que nous pouvons comparer à un stock de papiers ; nous utiliserons la
terminologie de position long (acheteur) pour décrire sa position de risque. Inversement,
une position short(vendeur) désignera une position exposée à la baisse des taux
d'intérêts.
La Value at Risk, comme mesure du risqueLa Value at Risk (VaR) mesure le risque de marché. Associée à un portefeuille donné, elle
représente le montant de perte qui a une probabilité 1% d’être dépassée (VaR avec un intervalle de
confiance à 99% imposé par la réglementation).
19
a) DéfinitionDans des conditions normales de fluctuation des marchés, la VaR est donc une estimation de la perte
potentielle maximale (exprimée dans une unité monétaire, ici l’euro) résultant de la détention d’une
position sur une période donnée (ici, on utilise une hypothèse de détention de 10 jours), avec un
niveau de confiance choisi (en général 95% ou 99%). La VaR
détermine l’effet global des facteurs de risques (mouvements des taux d’intérêt et de change,
déformation de la courbe des rendements et des contrats dérivés sur ces actifs)
sur les profits et pertes de l’établissement financier.
L’originalité de la méthode de la Var est de ne pas se limiter à une mesure du risque en termes
d’écart type (ex : la volatilité a augmenté de 2%) ou en termes de variation relative (ex : la sensibilité
est de 4,2) mais de produire une mesure absolue d’une perte potentielle, avec une probabilité fixée et
pour un horizon donné.
Le risque de marché d’une position vient des incertitudes sur sa valeur de marché future. Pour le
calcul de la VaR, il s’agit d’estimer la distribution de probabilité des variations futures de sa valeur
de marché sur la période de détention. Deux méthode d’estimation sont utilisées à la HSBC : la VaR
historique et la VaR paramétrique.
On appelle VaR en t, à l’horizon h, au seuil de confiance α, la perte de valeur entre t et t + h qui aune probabilité 1-α d’être dépassée.VaR est le 1-α quantile de la distribution de tht XX −+
Propriétés de la VaR :
1. La VaR est positivement homogène : XX VaRVaR λλ =
2. La VaR est invariante par translation : aVaRVaR XaX −=+
3. La VaR est monotone : X YX Y VaR VaR≤ � ≤La VaR n’est pas sous-additive en général car il existe un couple (X,Y) d’instruments financiers tels
que : YXYX VaRVaRVaR ++ �
20
Autre mesure de risque pour éviter le risque systémique
La VaR s’est imposé comme outil priviligié de mesure de risque parmi les institutions financières
mais n’est pas une mesure cohérente du risque au sens mathématique. Il existe une mesure cohérente
du risque l’Expected Shortfall (ES)
ES= 1
0
1 ( )XF p dpα
α−−
� (Espérance des pertes dépassant la VaR)
Il y a quelques années encore le fait que la VaR n’avait pas la proprièté de sous-addivité n’était
qu’une question purement académique pour les professionnels sans conséquence pour le domaine
pratique. Aujourd’hui un nombre important de banque a pris ce problème au sérieu et demande une
alternative cohérente à la VaR, d’où le développement de modèle de mesure spectral de risque.
Chaque portefeuille étant différent et composé d’instruments spécifiques , les risques qui constituent
le portefeuille devraient être détéctés par des mesures spectrales de risques différentes. L’existence
de l’utilisation d’un unique modèle de risque tel que la VaR (le benchmark en matière de mesure de
risque) pour tous les établissements financiers a été souvent critiqué et peut être une source du
dévollepement du risque systémique. Les investisseurs prenant leurs decisions d’investissement à
partir du même modèle de risque, ils réagissent en même de temps lorsqu’ils anticipent des crises
financières. Ceci a pour effet de produire des frictions sur les marchés et d’amplifier les crises. Il ne
fait aucune doute , si toutes les banques pouvaient avoir une méthode de mesure de risque différente
alors le lien entre gestion des risques et risque systémique disparaîtra.
21
b) La Value at Risk historique :
Dans cette méthode, la distribution future des résultats est assimilée à celle observée sur une
période historique de même durée. Seul un historique des cours est donc nécessaire pour cette
méthode. Pour calculer la VaR d’un portefeuille composé de plusieurs instruments, il faut identifier
les différents facteurs de risque affectant chaque instrument, récupérer les historiques de chaque
facteur et générer des valeurs simulées. Pour chaque historique, appelé scénario, il faut ensuite
calculer la valeur de marché (Mark to Market) de chaque instrument, on obtient alors la valeur de
marché du portefeuille en additionnant les valeurs de marché des instruments qui le composent. Pour
chaque historique, on calcule la perte (ou le profit) obtenu, appelé P & L (Profit & Loss). Ces P&L
sont rangés par ordre croissant Cette méthode n’impose aucune hypothsèse sur la loi de distributuion
de pertes du portefeuille.
Cette méthode relativement simple, présente cependant un risque de mesure lié au choix de
l’échantillon. Si celui-ci est trop court, on s’expose à un risque d’estimation, lié à la variance de
l’estimateur. Si au contraire, il est trop long, les caractéristiques de la distribution des facteurs
peuvent changer, ce qui induit un risque sur l’estimation du quantile.
Méthode :
1) Calculer la valeur actuelle du portefeuille
2) Recueillir les variations historiques des facteurs de marché sur un échantillon de périodes
passées de longueur H (2 ans d’historique à la HSBC)
3) Calculer une distribution statistique des variations futures du portefeuille en supposant que
les variations historiques des facteurs de marché précédentes se produisent à partir des
valeurs actuelles, en les rangeant par ordre croissant.
4) Calculer la VaR en fonction du niveau de confiance et du nombre de données historiques
utilisées. Par exemple, si l’on a 500 données hisotriques et que le niveau de confiance est
de 95%, la VaR est la 26ème valeur de la liste (le (1-α)-quantile de la distribution est la
VaR).
22
c) Utilisation des rentabilités pour le calcul de la VaRRentabilité arithmétique du portefeuille sur [t ,t+h] est alors définie par :
( )t
thtat X
XXhR −= +
( ) 1
1
−���
����
�= +
h
t
htat X
Xhr (Annualisée)
Rentabilité du facteur i entre t et t+h
( )ti
tihtiit X
XXhR
,
,, −= +
Rentabilité du portefeuille entre t et t+h
( ) ( )�=
+ =−
=k
iitit
t
thtt hR
XXXhR
1λ
d) La Value at Risk paramétrique (VaR gaussienne)Cette méthode s’appuie sur une idée différente : à partir de la loi des variations de l’actif, on
estime les paramètres à partir d’un échantillon historique, puis on calcule la VaR (exprimée par unquantile).Deux hypothèses sont nécessaires :
1. Les rendements des facteurs de risque ont une distribution multi - normale et centrée.
2. La variation du prix du portefeuille est linéaire avec les rendements des facteurs de risque.
Cette hypothèse de normalité de distribution des taux de rentabilité de court terme n’est en généralepas satisfaisante en ce qui concerne les marchés financiers mais elle permet une plus grande facilitéde calculLes facteurs de risque des différents actifs doivent être connus car ils se reflètent dans le portefeuille.Par exemple, considérons le risque des taux d’intérêt. Ce risque est dû à un mouvement relatif dansla structure à terme des taux d’intérêt.
On a supposé : Les rendements suivent une loi normale
( ) ( )2, hht NhR σµ≈Matrice de variance –covariance : { }kji ,...,1, ∈∀
23
λλσ �= /2h Variance du portefeuille
Alors
( ) αα σσµ qXqXVaR hthht ≈+−= ,Pour un portefeuille , connaissant sa valeur de marché et sa ma matrice de variance - covariance, il
est possible de déterminer la valeur la plus défavorable qui n’aura que 1- α % d’être dépassé
L’inconvénient de cette méthode réside sur le fait que l’on suppose que la distribution des pertes
observées suit une loi normale, or les observations empiriques montrent que ce n’est pas le cas. Cette
méthode ne prend donc pas en compte les queues de distribution.
e) 3.5 La VaR Monte Carlo
La VaR Monte Carlo est basée sur la simulation des facteurs de marché dont on se donne une loi de
distribution à priori. La méthode de Monte-Carlo génère de manière aléatoire des comportements de
prix qui suivent des lois de probabilités connues.
Nous pouvons alors valoriser le portefeuille avec les facteurs simulés. Si nous utilisons N
simulations, nous pouvons alors déterminer N variations simulées du portefeuille, que nous
assimilons à N pertes potentielles. Il suffit ensuite de calculer le quantile correspondant comme pour
la méthode de VaR historique. La simulation de plusieurs échantillons successifs permet d’obtenir
un intervalle de confiance pour la VaR .
Les deux méthodes sont donc très semblables. La seule différence est que la méthode historique
utilise des facteurs passés alors que l’autre utilise des facteurs simulés. Une autre différence
concerne la taille N de l’échantillon pour le calcul du quantile, qui n’est pas contraint dans la
méthode Monte Carlo.
))((1
11 1
hjh
k
ii
K
jRR
kµµ −−
−= ���
= =
24
Il faut cependant noter que cette méthode nécessite un ordinateur très performant car elle demande
beaucoup de temps de calcul. De plus, elle demande un effort important de modélisation puisqu’elle
détermine entièrement les trajectoires des facteurs de marché utilisés pour le calcul de la VaR.
Le comportement des facteurs de risque
L’apport essentiel de la VAR, par rapport à une approche classique par les sensibilités, réside dans la
prise en compte du comportement conjoint des facteurs de risque (ce sont les variations de prix de
marché). On considère qu’il existe une corrélation entre les différents types de risques et les
marchés.
L’hypothèse la plus contraignante sur ce point est celle de la normalité supposée des variations de
P&L qui sont mises à mal par certains mouvements extrêmes des marchés. C’est pourquoi on
complète la vision de distribution normale de la VAR par le calcul de ces cas extrêmes, via la mise
en œuvre de stress tests ou de stress scénarios que nous aborderons plus loin dans cette analyse.
Ce choix repose sur des arguments de facilité d’utilisation (calcul de la variance et simulation de
nombres aléatoires).1.645= Quantile à 5% d’une loi normale centrée réduite
2.326= Quantile à 1% d’une loi normale centrée réduite
La loi normale est telle que 5% des observations se situent à 1,645 écart-type à gauche de l’espérance. Si l’on
note )(RE le gain espéré en millions et σ son écart-type, on a : ] 1,645 )([ - %)5( σ−= REVaR . Toujours
sous l’hypothèse de normalité, la VaR à 1% est donnée par : ] 2,326 )([ - %)1( σ−= REVaR . Notons Tσ
l’écart-type sur T jours, l’hypothèse de normalité i.i.d (les résultats de chaque jour sont indépendants)
implique que : 1 σσ ×= TT et )( )( 1RETRE T ×= .
Soit un portefeuille de 10 millions d’euros avec une espérance de rentabilité de 5% (soit un gain de 0,5
million) et un écart-type des rentabilités de 10% (soit un écart-type des variations de capital de 1 million
d’euros). On a alors 145,1 (5%) =VaR million et 826,1 (1%) =VaR million.
25
L’évolution de la composition du portefeuille
L’hypothèse fondamentale généralement faite est celle de la stabilité des positions jusqu’à l’horizon
de détention. Cette hypothèse peut sembler extrêmement forte dans le cadre d’un portefeuille de
négociation, toutefois, elle l’est plus ou moins selon les activités. Par exemple, si elle peut paraître
aberrante pour le change au comptant, elle l’est beaucoup moins pour l’obligataire, le monétaire ou
les swaps pour lesquels les positions ne sont pas toujours substantiellement modifiées d’un jour à
l’autre.
La Value at Risk calculée quotidiennement :La Value at Risk historique est calculable pour tous les types de produits. Elle présente néanmoins
un inconvénient majeur qui est la lenteur des calculs. La VaR paramétrique est donc utilisée dès que
possible, c’est-à-dire dès que l’hypothèse de linéarité de la variation du prix du portefeuille avec les
rendements des facteurs de prix (hypothèse 2) est vérifiée. C’est le cas des produits linéaires (swaps,
emprunts / dépôts,…) par opposition aux produits non linéaires (de type Options).
Avantages et limites de la VaR
Les avantages de la VaR sont les suivants:• Mesure normalisée des risques de marché
• S’intègre dans un cadre conceptuel et réglementaire précis
• Permet la prise en compte naturelle des effets de compensation
Les Limites :• Les hypothèse de loi normale sont contredites par la réalité. En effet, les « petites » et surtout les
« grandes » variations sont bien plus fréquentes que ce qui est prévu par la loi normale. Cette loi
n’est manifestement pas adaptée, puisqu’elle sous-estime considérablement les événements
extrêmes qui pourtant sont les évènements qui ont le plus d’importance dans un calcul de VaR
(d’où nécessité de compléter le dispositif par des calculs de stress scénarios)
• Comme tous les modèle prévisionnels , c’est l’utilisation de données passées pour prévoirl’avenir
• Ces trois méthodes sont des méthodes « statistiques ». Elles nécessitent des historiques de
données de marché difficiles à constituer selon l’activité. Des erreurs dans les historiques
peuvent avoir des conséquences plus ou moins importantes
26
HISTORIQUE DE VAR 1% ET 99% DU PERIMETRE “ DERIVES – VANILLES’’
Chaque jour une VaR 10 jours est calculée pour les quantiles 1% et 99% en utilisant une distribution
historique de 500 jours tel que :
Périmètre : Portefeuilles ‘‘Dérivés – Vanilles’’
Distribution Historique : 500 dates les plus récentes
Produits : Swaps, Futures, Obligations
Horizon temporelle : 10 jours
Comme développé ci-dessus, les prix des Futures et des Obligations font l’objet de cotation sur un
marché réglementé. L’historique de ces produits est donc composé des variations sur 10 jours des
cotations. Pour les swaps qui sont valorisés en Mark-to-Model, l’historique est composé des taux
publiés à chacune de ces dates qui permettront leur valorisation.
A titre d’exemple, les 500 scénarios sur la position des portefeuilles du 29 septembre 2006 de
l’activité ‘‘Dérivés – Vanilles’’ ont généré les valeurs suivantes :
Distribution Historique
-15 000 000
-10 000 000
-5 000 000
0
5 000 000
10 000 000
15 000 000
20 000 000
25 000 000
21-Aug-04 18-Jan-05 17-Jun-05 14-Nov-05 13-Apr-06
27
Ainsi, une distribution de probabilité des variations de valeur de l’activité est construite:
Distribution Historique
-20 000 000
-15 000 000
-10 000 000
-5 000 000
0
5 000 000
10 000 000
15 000 000
20 000 000
25 000 000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Scénarios
Vale
ur
La 5éme variation la plus défavorable définit le premier centile, soit VaR (10 ; 99%). Sous l’hypothèse que les 500 jours passés fournissent
un bon estimateur des variations futures, cette cinquième variation la plus défavorable est bien l’estimateur de la VaR à 10 jours au seuil de
99%. Au 29 septembre 2006, la VaR était de -11 402 223 EUR. De la même façon, on a
VaR (10 ; 1%)=15, 559, 456.
VaR (10 ;99%)
VaR (10 ;1%)
29
Le graphique ci-dessous représente l’historique de la VaR (10 ; 1%) et VaR (10 ; 99%) sur l’activité Vanille entre le 21 mars 2006 (date de
début de mon stage) et le 19 septembre 2006 :
VaR 10 jours 1% et 99%
(15 000 000)
(10 000 000)
(5 000 000)
-
5 000 000
10 000 000
15 000 000
21/03
/06
21/04/06
21/05/06
21/06
/06
21/07/06
21/08
/06
VaR(10; 99%) VaR(10; 1%)
Par définition, la VaR (10 ;99%) représente un montant de pertes qui ne devrait être dépassé que 4 fois par an.
30
Après avoir présenté le modèle de VaR HSBC, confrontons cette VaR au vrai scénario de la journée
écoulée par la méthode du Back Testing
Nous avons vu dans la partie deux le modèle interne qui est composé de la VaR. Cependant pour
valider le modèle, la commission bancaire exige que la banque fasse des études complémentaires.
Nous verrons dans une première section le backtesting, car en effet, une fois le modèle mis en place,
il faut nous assurer que les risques calculés sont en adéquation avec les risques réels de la banque .
Dans une seconde section, nous étudierons les stress scénarios qui ont pour objectifs d’évaluer le 1%
de risque.
a) Le backtesting
Le backtesting consiste à conduire des tests à posteriori du ou des modèles utilisés pour le calcul de
la VaR, afin de valider empiriquement les chiffres produits. On confronte Var publiée
quotidiennement avec le P&L quotidien retraité des éléments dits « non-VAR ».
Ces tests peuvent alors mettre en évidence que des hypothèses très simplificatrices et à priori non
conformes à la réalité des marchés, ne sont pas forcément incompatibles avec les conclusions
proposées par les modèles.
Il s’agit en l’occurrence des éléments de résultats suivants :
Provisions
Provisions pour illiquidité
Courtages
Deals du jour
Réescompte
Effet Theta (le thêta tient compte également de l'amortissement de la valeur de l'option qui n'
apparaît pas forcement dans le réescompte)
Financement
Others
Provisions data Market
31
Commissions
Frais Dépositaires
Sales Credit
Deal Payment
En résumé, on ne conserve dans le résultat que la partie « effets de marché » (taux, vol, spread). Ce
contrôle est réglementé et permet de gérer efficacement l'allocation en fonds propres. Si le back
testing révèle de trop nombreux dépassements, la commission bancaire pourrait retirer son agrément
quand à l'utilisation du modèle pour le calcul des exigences.
b) Exigences légales
Art 95-02 :Les établissements doivent effectuer des contrôles ex-post visant à s’assurer que le degré de
couverture observé correspond au niveau de confiance de 99%.
La périodicité du contrôle ex-post et de l’analyse de l’exception (lorsque la perte dépasse le risque
calculé par le modèle) est au moins trimestrielle. A cet effet les établissement doivent utiliser les
données des 250 derniers jours ouvrables.
HSBC a cependant choisi d’utiliser les données des 262 derniers jours ouvrés (ce choix correspond
au nombre moyen de jours ouvrés – 250 jours – sur chaque place de cotation, auquel on ajoute 12
jours afin d’appliquer le principe d’un calcul quotidien de VaR – y compris les jours fériés – à
l’exception du 1er janvier). Le back testing s’applique sur les positions nettes consolidées de la
banque. L’établissement peut cependant choisir de pratiquer un back testing sur des niveaux plus
détaillés d’organisation ou de regroupement d’opérations, de manière à valider le modèle de calcul
des risques sur ces niveaux.
c) Mise en place au sein d’HSBCL’objet du backtesting est donc de vérifier que le résultat réel ne dépasse la VaR calculée qu’avec
la fréquence correspondant à la probabilité choisie. Par exemple, pour un niveau de probabilité de
99%, la perte réelle ne doit pas être supérieure à la VaR plus de trois fois dans l’année (261 jours
ouvrés). Si la VaR est dépassée plus souvent par le P&L quotidien, il faut alors se poser la question
de la pertinence du modèle utilisé. Si elle survient beaucoup moins souvent, on se posera la question
de savoir si le risque n’est pas surestimé.
32
Le back testing doit être réalisé par rapport aux P&L nettoyés et/ou par rapport aux P&L théoriques.
La Commission Bancaire recommande que ces deux approches, qui apportent des indications en
partie complémentaires, soient mises en œuvre conjointement.
Le P&L nettoyé est calculé de la manière suivante :
Supposons que l’on veuille connaître le P&L engendré par la variation des taux entre 1−J et J
sur les positions 1−J , il faudra calculer le BT du jour 1−J tel que :
i. RiskWatch valorise la position de 1−J avec les courbes de 1−J à la date 1−J :11−−
JJX
ii. RiskWatch valorise la position de 1−J avec les courbes de J à la date 1−J :.JJX 1−
iii. RiskWatch obtient alors le BT de la date 1−J en faisant :1111−−−− −= J
JJJ
RWJ XXBT
Avec X : la position 1−JEn exposant : la courbe
En indice : la date de valorisation
L’effet taux entre le jour 1−J et J est alors parfaitement isolé et quantifié par le RWJBT 1− .
Un P&L nettoyé est un P&L hors courtages mais incluant l’impact des nouvelles opérations du jour. Un P&L
théorique est un P&L nettoyé hors nouvelles opérations.
Dans le premier cas, l’estimation de la VaR ne tient pas compte de toutes les transactions entre la date de
calcul de la VaR et l’horizon de celle-ci (la composition du portefeuille est supposée constante). Ce dispositif
est plus simple à mettre en place que celui de comparaison avec les P&L théoriques.
Dans le second cas, on compare les P&L réalisés sans réajustement de la position pendant l’horizon
de détention à la VaR.
33
Exceptions / Clean or Real P/L Exceptions / Theoretical P/LDate Daily P/L
(MtM)VaR 1 DAY
(99%)Date Daily P/L
(MtM)VaR 1 DAY
(99%)-712 745 -585 845 -712 745 -585 845-898 815 -877 525 -898 815 -877 525
-1 533 299 -1 267 252 -1 439 299 -1 267 252-159 128 -153 137 -159 128 -153 137
d) Intérêt
C’est à partir du résultat du backtesting que les autorités de tutelle déterminent le « facteur plus ».
Ce dernier s’ajoute au facteur multiplicatif de 3 ou 4 (selon la prise en compte des risques
spécifiques) pour le calcul de l’exigence de fonds propres. Le « facteur plus » rehausse l’exigence en
fonds propres des banques dont le modèle est susceptible de sous-estimer la VaR.
Ces contrôles à posteriori permettent de vérifier la validité statistique du modèle interne.
La Commission bancaire exige en théorie un an de backtesting pour valider un modèle de VaR. Dans
certains cas, elle peut accepter une période de six mois. Les autorités de tutelle définissent trois
zones de validation du modèle :
- De 0 à 4 dépassements par an, le modèle est validé et les fonds propres nécessaires pour couvrir
les risques de marché seront égaux au montant de la VaR multiplié par trois.
DAILY P/L (MtM) / VaR 99 1 DAY 99%
-3 000 000.0
-2 000 000.0
-1 000 000.0
0.0
1 000 000.0
2 000 000.0
3 000 000.0(EUR)
Theoretical P/L 1% Real / Clean MtM
34
- De 5 à 9 dépassements par an, il faut augmenter le coefficient de sécurité pour obtenir les fonds
propres réglementaires (compris entre trois et quatre).
- Plus de 9 dépassements, le processus de VaR et le modèle utilisé doivent être revus. Les fonds
propres réglementaires ne peuvent pas être calculés à partir de ce modèle.
Stress Testing
Le modèle interne impose une Simulation régulière de situation de crise (scénario de stress) par la
VaR. En effet, la mesure de VaR tente de mesurer une perte potentielle dans un contexte normal de
marché (hors crise financière). Elle traduit mal le risque de perte en cas de variation extrême des
facteurs. Les simulations de stress sont donc un complément indispensable aux mesures de VaR.
On a établi une série de scénario de stress simulant l’évolution du portefeuille. Il existe des
indicateurs à partir desquels une institution financière peut anticiper des périodes de troubles. Il peut
s’agir d’évènements réguliers (élections politiques majeurs, publication de chiffres économiques,
réunion de banques centrales,…) ou irréguliers (dérapage économique d’un pays et ses
conséquences). Le programme de simulation est mis en place à intervalle régulier : à la HSBC, les
scénarios de stress sont calculés hebdomadairement (généralement le jeudi).
Riskwatch (RW) calcule une fois par semaine le P&L en devise en fonction de 48 scenarii de stress.
Les scenarii portent sur des chocs de la courbe EUR et de la courbe USD.
VPC recalcule les montants et valide les calculs RiskWatch si l’écart est faible en valeur ou en
pourcentage.
a) Les exigences réglementaires
Art 95-02 :
1- Les établissements bancaires qui utilisent leurs modèles internes
pour satisfaire leur exigences en fonds propres pour les risques de marché doivent se doter
d’un programme de simulations de crise à la fois rigoureux et complet. Ces simulations qui
permettent d’identifier les évènements susceptibles d’avoir une forte incidence doivent être
adaptées au niveau d’activité et de risque des établissements.
35
2- Pour les établissements ayant une activité significative de
marché, les simulations de crise doivent satisfaire aux principes suivants :
a- Elles doivent couvrir toute la gamme des facteurs pouvant donner lieu à des
profits ou pertes exceptionnels ou rendre très difficile la maîtrise des risques. Ces
facteurs comprennent des évènements à probabilité réduite pour tous les grands
types de risque, notamment les diverses composantes des risques de marché et de
crédit. Les scénarios de crises doivent révéler l’ impact de ces événements sur les
positions ayant des caractéristiques de prix à la fois linéaires et non linéaires dans
le cas des options et instruments à comportements similaires
b- Elles doivent revêtir un caractère quantitatif et qualitatif, de manière à évaluer les
conséquences des perturbations importantes des marchés et à identifier des
situations plausibles susceptibles d’entraîner de grandes pertes potentielles. En
outre, l’établissement doit dresser l’inventaire des mesures à prendre pour réduire
ses risques et préserver ses fonds propres
c- Un premier type de scénario consiste à tester le portefeuille courant dans les
situations passées de perturbations majeures, en tenant compte des fortes
variations de prix et de la vive réduction de la liquidité associées à ces
évènements. Un deuxième type de scénario évalue la sensibilité des positions de
marché aux modifications des hypothèses de volatilité et corrélations, ce qui
nécessite une mesure des marges de fluctuations de ces valeurs dans le passé et un
calcul sur la base des chiffres extrêmes
d- Des scénarios doivent notamment comprendre les situations que l’établissement
identifie comme étant les plus défavorables sur la base des caractéristiques de son
portefeuille. Il communique à la Commission bancaire une description de la
méthodologie utilisée pour identifier les scénarios et mesurer leur impact
3- Outre les simulations réalisées par les établissements eux-mêmes,
la Commission Bancaire peut leur demander d’évaluer l’impact des scénarios qu’elle a
définis, et de lui communiquer l’ensembles des conclusions.
b) MéthodesIl existe deux méthodes de calcul de stress, une méthode historique et une méthode hypothétique.
36
Méthode historique(cf annexe 1)
Ce type d’approche est demandée explicitement par la Commission Bancaire. On se concentre sur
l’évolution des facteurs de risque sur une période donnée et on en déduit les pires périodes de crises.
C’est évidemment dans le choix de ces pires périodes que va résider la qualités des scénarios.
L’avantage de cette méthode repose donc dans sa bonne crédibilité puisqu’on se base sur des faits
qui se sont déjà produits.
Il existe des Stress Testing historiques qui utilisent les chocs d’une période passée précise. Ici, il
conviendra d’identifier ces périodes pendant lesquelles les variations ont été très importantes et
d’impacter les positions actuelles de ces chocs. Les périodes retenues sont souvent des crises
importantes (crises asiatiques de 1998, Krach boursier de 1987,crise LCTM…). Cela permet de
recalculer une série de P&L et de les associer aux P&L calculés grâce à la méthode de la VaR.
L’avantage de cette technique est que la méthode est « transparente » et crédible puisque ces chocs
extrêmes sont tirés d’évènements qui se sont réellement produits. Cependant, cette méthode ne tient
pas compte des variations extrêmes potentielles qui n’ont pas de liens particuliers avec le passé. Un
autre inconvénient est de pouvoir impacter les produits qui n’existaient pas lors de ces périodes ou
d’utiliser des facteurs de risques qui ont changé significativement de comportement depuis cette
période.
Méthode hypothétique
Contrairement à la méthode historique, cette méthode ne s’appuie pas sur des faits passés, mais sur
des événements inattendus. Néanmoins, pour être efficace, ce type d’approche doit être crédible. On
pourra donc envisager :
�d’utiliser plusieurs degrés de gravité dans les scénarios de crise
�de créer régulièrement de nouveaux scénarios adaptés aux changements politiques et
économiques
Les différents stress sont :
37
����des translations positives ou négatives
� translation positive
On choc positivement les taux sur l’ensemble des maturités par un même nombre
� translation négative
On choc négativement les taux sur l’ensemble des maturités par un même nombre
�des rotations (aplatissement ou pentification de la courbe)
� aplatissement
Afin d’aplatir la courbe de taux, on choc positivement les maturités courtes et négativement les
longues.
� pentification
38
Pour pentifier une courbe des taux, on fera le contraire, on choc négativement les taux court et
positivement les taux longs
� Flatening Rally
Sur la partie moyen terme baisse moyenne, et importante baisse sur la partie long terme
Ou bien rien sur le court terme, faible sur le moyen terme et moyen sur le long terme
(in bp) 1 day 3 months 2years 5 ans 10 years 15 years 50 yearsFlat_rally_EUR
0 0 0 -1 -5 -7 -10
� Flattening (sell-off):
Importante hausse pour la partie court terme , moyenne pour le moyen terme ,nul pour le
long terme, ou bien moyen puis faible et inchangé sur le long terme.
(in bp) 1 day 3 months 2years 5 ans 10 years 15 years 50 yearsFlat_sellof_E
UR1 2 9 9 5 3 0
Exemple : Activé Compte Propre de la société –Senio Management TradingComposition du portefeuille en obligations (devise : EURO , 224M€ de nominal, positions longues),en future LT(devise : EURO,-440M€ de nominal, positions courtes en couverture des obligations) eten future LT (devise : Dollar,30M€ de nominal positions longues).
Tableau des sensibilités par produits par maturité par deviseCurrency Product Dir 1M 3M 6M 9M 1Y 2Y 3Y 5Y 7Y 10Y 15Y 30Y 50Y
EUR BTP -263 0 -0.1 -0.1 -0.2 0.2 -0.1 -0.2 -0.3 -16.8 -80.6 -33.7 -129.8 -1.6EUR Futures LT 183.5 -2.1 -7.4 0 0.6 0.4 38.6 5.1 40.7 42.7 64.8 0 0 0USD Futures LT -59.6 0 2 0 -0.1 0.1 0 0 -1.7 -33.8 -1.5 -22.7 -1.8 0
39
Comparaison de la VaR 1 jour et de la VaR 10 jours
PROBLEME AVEC LA REGLE DE LA RACINE
Pour calculer la VaR 1 jour, HSBC divise la VaR 10 jours par 10 . Cette règle de calcul est
remise en cause par de nombreux Mathématiciens. David Blake, Andrew Cairn et Kevin Dowd
(Professeurs de l’université de Sheffield en Angleterre) développent cette théorie dans l’article
‘‘Extrapolation de la VaR par la méthode de la racine carré 2’’. Cet article démontre
mathématiquement que la règle de la racine carrée donne des estimations douteuses de la VaR. Je
cite : « Malheureusement, cette règle est fortement incertaine, et donne souvent des estimations
fausses.» (confère Annexe 2).
PROBLEME DE LA DISTRIBUTION HISTORIQUE
Pour calculer la VaR 1 jour, HSBC divise la VaR 10 jours par 10 supposant que la distribution
des résultats des portefeuilles ‘‘Dérivés – Vanilles’’ est normale, indépendante et centrée. Or, la
distribution des résultats du modèle de VaR HSBC est historique. Même si diviser la VaR 10 jours
par 10 donne un ordre de grandeur de la VaR 1 jour, il est inexacte d’effectuer ce calcul pour
obtenir une VaR 1 jour. Dans un souci de justesse, plusieurs tests sur l’indépendance et la normalité
de la distribution des résultats ont été réalisés.
Les tests reposent sur la distribution des résultats engendrées par les 500 scénarios pour le calcul de
la VaR 10 jours. Testons successivement l’indépendance (a) et la normalité (b) de l’échantillon
(vecteur de taille 500) :
a. Test d’indépendance : Run Test
� On test
0H : Hypothèse selon laquelle la distribution est indépendante
Contre 1H : Hypothèse alternative 0H
2 ‘‘ Extrapolating VaR by the Square-Root Rule” - Disponible sur Internet à l’adresse suivante :http://www.fenews.com/fen17/var.html#1
40
On définit la statistique suivante :
sinon)(
01 ,,
,titi
ti
RERsiX
>
���
=
Le nombre de Runs N est ensuite déterminé en comptant le nombre de suites de 0 et de 1.
� Variable de décision
Z = T( )
( )����
�
�
����
�
�
−−−
−−
)1(31)(1(2
12
ππππ
ππTN
~ ( )1;0N
Où, T représente le nombre de rentabilités logarithmiques journalières
π= 21
(hypothèse de symétrie)
� Décision
Pour un seuil α = 5 %, la région critique de ce test s’écrit 96.1�Z (Test bilatéral).
Ce qui signifie que si 96.1�Z , on refuse H0.
� Application
DistributionE(Ri) 1 758 091
Nbre de 1(n) 241Nbre de 0(m) 259
Nbre de Run (R) 80
Z (15)Décision Rejet
On refuse 0H : la distribution n’est pas indépendante.
41
b. Test de normalité (Jarque-Berra)
� On test
0H : Hypothèse selon laquelle les rentabilités logarithmiques journalières sont normales
Contre 1H : son hypothèse alternative.
Le principe de ce test repose sur le calcul des coefficients d’asymétrie (skewness) et d’aplatissement
(kurtosis) d’une distribution tel que :
- Skewness est la mesure d’asymétrie d’une distribution autour de la moyenne, moment
centré d’ordre 3 3^
1
1 ( )n
i
Yi YSn σ=
−= � .
Pour une loi normale le skewness théorique ( )���
�
���
���
�
� ΥΕ−ΥΕ3
σ est nul.
- Kurtosis est la mesure d’aplatissement d’une distribution, moment centré d’ordre 4
K=4
^1
1 ( )n
j
Yj Yn σ=
−� .
Pour une loi normale le kurtosis théorique ( )���
�
���
���
�
� ΥΕ−ΥΕ4
σ est 3.
� Variable de décision
La statistique utilisée est :
JB = 2 21( ( 3) )6 4
n m S K− + − où m est le nombre de coefficients estimés.
Sous H0, JB suit une loi du Khi-2, à 2 degrés de liberté, avec à 2 (2) 5.99Khiχ − = 5%.
� Application
297430516.0=S et 574149.2=K .
On obtient 99.5)2(349287.7 =>= XJB pour un seuil de 5%.
42
On refuse l’hypothèse 0H : la distribution n’est pas indépendante.
La distribution des résultats historiques est ni indépendante, ni normale. On ne peut donc pas
appliquer la règle de la racine pour interpoler la VaR.
COMPARAISON DE LA VAR 1 JOUR ET DE VAR (10)/ √10
Dans un souci d’améliorer le modèle de VaR, HSBC souhaite publier une ‘‘vraie’’ VaR 1 jour,
calculée à partir de variations quotidiennes des résultats. Ci-dessous, la comparaison entre la vraie
VaR 1 jour et la VaR 1 jour obtenu à partir de la VaR 10 jour pour la journée du 29 septembre 2006:
-8000000
-6000000
-4000000
-2000000
0
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
12000000
01/09/05
01/10/05
01/11/05
01/12/05
01/01/06
01/02/06
01/03/06
01/04/06
01/05/06
01/06/06
01/07/06
01/08/06
VaR(10 jours)/racine(10)VaR(1 jour)
Remarquons que la 10/)10( joursVaR est plus lisse que la VaR 1 jour. En effet, la
10/)10( joursVaR est calculée à partir de variations sur 10 jours impliquant une perte
d’information (notamment des scénarios les plus risqués). Ainsi, les tests réalisés comparant la
10/)10( joursVaR et la VaR(1 jour) ont conclue que la VaR 10 jours sous estime les
risques de marché.
43
Ainsi, les distributions de la 10/)10( joursVaR et de la VaR (1 jour) sont construites à
partir des vecteurs de P&L :
VaR (10 jours)/racine(10) Vs VaR(1)
-8 000 000
-6 000 000
-4 000 000
-2 000 000
0
2 000 000
4 000 000
6 000 000
8 000 000
10 000 000
12 000 000
0 100 200 300 400 500 600
VaR(10 jours)/Racine(10)VaR(1 jour)
La VaR 1 jour est supérieure à la VaR (10 jours)/racine(10). La VaR 1 jours est de -5, 621, 420EUR alors que la VaR(10jours)/racine(10) est de -3,605,699 . Une étude en interne, étendue àtous les activités de la salle des marchés (confère Annexe 3) montre que la VaR 1 jour obtenue àpartir de la VaR 10 jours sous-estime la VaR. Ainsi, les trois dépassements positifs constatés(confère deuxième partie de ce rapport) sont dus au fait que la VaR est sous estimée et donc qu’ilne s’agit pas de réels dépassements
III. Présentation des produits de taux
L’objectif de cette partie est de calculer une VaR sur le périmètre “Dérivés – Vanilles’’. Pour
cela, il est indispensable de délimiter le périmètre de calcul et de présenter les produits.
44
Zero-Coupon
[ ] TtTtRTtB −+=
),(11),( en discret
en continu
Où :
- B(t, T) : prix de marché à la date t <=T d’une obligation zéro coupon délivrant 1 euro à la date T. On
appelle aussi B(t,T), le discount factor en t pour la maturité T.
R(t,T) : taux de rendement en t de l’obligation zéro coupon délivrant 1 euro enT. C’est aussi le taux zéro coupon en 0
de maturité
On considère un ensemble de date {T 0 ; T1 ; …; T 1−N }
Par défaut, la date T 0 correspondra à la date d'aujourd'hui : T 0 = 0 .
Précisons les notations utilisées :
iδ : T 1+i - T i pour i >0
B i (t) : Zéro-coupon de maturité T i
F i (t) : Taux Libor Forward pour la période [T 1+i ; T i ] :
iσ Volatilité du i -ème taux forward F i
Sp,q(t) : taux swap pour un swap commençant à la date Tp et finissant à Tq
qp,σ (t) : Volatilité du taux swap Sp,q
Les taux forward et les caplets
F i (t) est le taux d'intérêt valable pour la période [T i ; T 1+i ] exprimé avec une composition
linéaire sur iδ , évalué en t. On peut donc l'exprimer en fonction de la courbe des taux
aujourd'hui.
)()(
1 tBtB
i
i
+
= 1 + iδ )(tFi
)(tFi =iδ
1 ()(
)(
1 tBtB
i
i
+
-1)
)(),( tTreTtB −−=
45
Le "Cap&Floor" : Ce produit Dérivé de Taux verse un coupon variable indexé sur un taux
variable si ce taux, prédéfini lors de la mise en place du contrat, dépasse (ou se trouve en
dessous) d’un certain niveau de taux.
Ce contrat permet de garantir un taux à l’acquéreur de ce contrat. Ainsi lorsqu’un investisseur
veut se couvrir contre une hausse trop importante des taux, il peut souscrire un "Digital
Note" avec comme prix d’exercice un taux plafond. Ce contrat est alors également "Cap".
Pour se couvrir contre une hausse des taux, le marché a mis en place des instruments optionnels :
les caps. Le cap peut-être vu comme l'analogue d'un call sur le marché des taux, il permet de se
couvrir sur une période donnée contre une hausse des taux.
Son pay-off est égal à :
Cap p (0) = N�−
=
++ −
1
11 ))(()0(
p
iiii StriketFB δ
où N est le notionnel et p est la date de fin du cap
Le cap est un portefeuille actualisé de caplets. Les acteurs du marché s'accordent tous pour coter
les caps en volatilités. En effet, en faisant l'hypothèse que les taux forward suivent une
dynamique lognormale, le marché utilise la formule de Black généralisée pour donner une
volatilité à un prix et vice-versa.
Définition et caractéristiques des swaps de taux standards
Un swap de taux est une opération dans laquelle deux contreparties s’engagent à échanger, durant
une période et à une fréquence prédéfinie, des taux pour un nominal également prédéfini.
Cet échange de cash flows revient conceptuellement pour chaque partie à la mise en place d’un
emprunt (à taux fixe ou flottant) et d’un prêt (à taux fixe ou flottant).
Les principales caractéristiques définies lors d’un contrat de swap entre deux parties sont :
Le montant du nominal ;
Les taux échangés ainsi que leurs caractéristiques (fixe ou flottant, les références, etc…) ;
L’échéancier des échanges ;
La date de maturité du contrat.
46
La jambe fixe est égal à :
Fixe )(, tqp =�
−
=+
2
12, )(2)(
pq
iipqp tBtS δ
Nous nous basons sur les conventions de la zone Euro où les paiements fixes n'interviennentque tous les ans, alors que les paiements variables interviennent tous les 6 mois.
La jambe variable est égale à :
Variable )(, tqp = �+=
−−
q
piiii tFtB
111 )()( δ = )1
)()()((
1
1 −�+=
−q
pi i
Ii tB
tBtB
= )()(1
1 tBtB i
q
pii −�
+=−
=B )()( tBt qp −
Le taux swap est le taux qui égalise les deux jambes :
Fixe )(, tqp = Variable )(, tqp
S
�
−
=+
−=
2
12
p,
)(2
)()(B)( pq
iip
qqp
tB
tBtt
δ
Pricing des swaps "classiques"
Il existe plusieurs méthodes d’évaluation des swaps "classiques" : la méthode obligataire, la
méthode "zéro -coupon", la méthode du coût de remplacement et la méthode de la détermination
des taux variables.
La méthode utilisée dans la valorisation des swaps "classiques" au sein du CCF-HSBC est la
méthode "zéro -coupon".
3.3 Présentation de la méthode zéro - coupon
47
Cette méthode consiste pour un swap à prendre l’ensemble de ses flux, positifs ou négatifs, et à
les actualiser aux taux "zéro -coupon" (en fonction des échéances de chacun des flux) afin
d’obtenir la valeur présente de ce swap.
La jambe variable est égale à :
�=
−=n
iiiii tTBTTFNVariable
11 360/*),0(*),,0(*
C’est la somme actualisée de tous les flux variables, les flux variables sont remplacés par les flux
terme- terme et ensuite on actualise.
La jambe fixe est égale à :
�=
×××=N
iii tTBrNFixe
1360/'),0( , r est le taux fixe du swap (taux de swap)
C’est la somme actualisée de chaque flux fixe.
La valeur présente P de ce swap est donc égale à :
La valeur du swap s’obtient en prenant la différence des valeurs de la jambe fixe et de la jambe
variable. On a fait l’hypothèse qu’on recevait la jambe fixe et payait la jambe variable.
�=
=n
iii FTBP
1).,0(
��==
− ×××−×××=N
jjj
n
iiiii tTBrNtTBTTFN
111 360/'),0(360/),0(),,0(
où : Fi est le ième flux
ti est le nombre d’années ou la fraction d’années du flux Fi
n est le nombre de flux
Le Forward Rate Agreement (FRA)Le contrat de FRA est une opération sans échange de capital où la contrepartie acheteuse
(vendeuse) s’engage à recevoir (payer) la différence entre un taux flottant et un taux fixe
correspondant à une date future. Ce contrat ne donne lieu qu’échange d’un seul flux.
48
Par exemple, si deux contreparties s’engagent pour un FRA Euribor 3 mois départ dans 6 mois,
cet engagement débouchera sur l’échange d’un flux dans 6 mois. La valeur sera alors déterminée
et égale à la différence entre le taux 3 mois et le taux fixe prédéfini lors de la mise en place du
contrat.
L’avantage d’un FRA est donc qu’il permet de garantir, pour une entreprise, un taux futur dans
les conditions de marché actuelles.
Les options et produits structurés de taux
Définitions et caractéristiques
D’un point de vue général, une option est un contrat qui confère à son acquéreur le droit, mais
non l’obligation, d’acheter (ou de vendre) un actif financier à un prix déterminé et à une date
fixée ou pendant une période préalablement définie.
On peut inclure à cette gamme de produits, les produits Dérivés de Taux qui présentent des
structures conditionnelles : les produits structurés de taux.
D’une manière générale, les caractéristiques fondamentales d’une option sont :
• La détermination de l’instrument ou actif sous-jacent : dans le cas des produits Dérivés de
Taux, le sous-jacent est généralement un taux d’intérêt ou un swap de taux ;
• Le nominal de la transaction ;
• Le sens de la transaction : achat ou vente ;
• La catégorie d’option :
� Option d’achat ou "call" (droit autorisant l’achat de
l’instrument sous-jacent) ;
� Option de vente ou "put" (droit autorisant la vente de
l’instrument sous-jacent) ;
• Le type d’option : américain, européen ou bermudéen ;
• Le prix d’exercice : prix d’acquisition ou de vente de l’instrument sous-
jacent, déterminé et garanti par l’option ;
49
• La date de départ du contrat ;
• La durée de vie de l’option ;
• Le prix de l’option ou "prime".
On distingue les options américaines, des options européennes. La différence entre ces deux types
d’options réside dans la période où l’option peut être exercée.
Ainsi, les options américaines peuvent être exercées n’importe quel jour ouvré entre la date
d’acquisition et la date d’expiration tandis que les options européennes peuvent être exercées
qu’à l’échéance de l’option.
Entre ces deux types d’options, il existe les options bermudéennes. Ces options peuvent être
exercées à différentes dates prédéfinies lors de la mise en place du contrat.
Les principales options et produits structurés de taux
Voici les principales options et produits structurés de taux traités dans la salle .
On peut classer ces produits en trois catégories :
a. Les options d’annulation (swaption, options sur FRA, etc…) ;
• Les options conditionnelles à coupon indexé sur des taux fixes ;
• Les options conditionnelles à coupon indexé sur des taux variables.
a) Les options d’annulationDans le cadre des activités du HSBC, ce type d’option est utilisé par les traders pour couvrir des
positions "risquées" prises antérieurement.
Par exemple, si on considère la vente par un trader d’un produit Dérivé de Taux qui verse comme
coupon, chaque trois mois, sur une période de deux ans :
• Si le taux "Euribor 3 mois" > 2% alors :
� Prochain coupon = taux "Euribor 3 mois" – 2%
• Sinon : Prochain coupon = 0
(le fixing a lieu 3 mois avant le versement du coupon car le taux Euribor est un taux pré-
déterminé)
50
Alors le trader peut se couvrir en achetant une swaption permettant la mise en place, chaque trois
mois, d’un swap trois mois où il recevra le taux "Euribor 3 mois" contre le versement d’un taux
fixe à 2,15%. Ainsi le trader sera couvert contre une hausse des taux 3 mois supérieurs à 2,15%.
Ainsi pour chaque type de produits Dérivés de Taux traités par le HSBC, il est possible de mettre
en place une couverture contre des fluctuations brutales du marché. La principale option
d’annulation utilisée est la swaption..
b) Les options conditionnelles à coupon indexé sur des taux fixesCes options ont comme particularité d’avoir une structure conditionnelle et des coupons dont le
taux est fixé lors de la mise en place du contrat.
Les principaux produits traités sont :
• Le "Step-up Note" : Ce produit Dérivé de Taux verse un coupon fixe dont le
taux augmente à chaque date de versement d’un nouveau coupon.
• Le "Digital Note" : Ce produit Dérivé de Taux verse un coupon fixe lorsqu’un
taux de référence, prédéfini lors de la mise en place du contrat, dépasse un
certain niveau de taux. La condition de versement du coupon peut également
être que le taux de référence soit en dessous d’un certain niveau de taux.
Plus généralement, un investisseur peut souscrire un "Digital Note" garantissant le
versement d’un coupon quand la condition de versement du coupon n’est pas
remplie : taux garanti. La formule des coupons est alors :
%).1(%. YIXICoupon −+=
Condition :
I = 1 si r ≤ B
I = 0 sinon
r : taux de reference (exemple : 3 mois Euribor)
B : Barrière (exemple : 4%)
X : Taux versé si la condition est remplie (taux fixe, prédéfini
lors de la mise en place du contrat)
Y : taux garanti si la condition n’est pas remplie
51
• Le "Daily Range Accrual Note" : Ce produit Dérivé de Taux verse, à chaque
date de versement de coupon, un coupon fixe pour chaque jour durant lequel
un taux de référence, prédéfini lors de la mise en place du contrat, aura clôturé
à la fermeture des marchés entre un taux planché fixé et un taux plafond fixé.
Comme pour le "Digital Note", un taux minimum peut être garanti pour chaque
date de versement.
La formule des coupons est donc :
%%. YNnXCoupon +=
n : nombre de jours où le taux de référence (exemple : 3 mois Euribor) est compris entrele taux plancher et le taux plafond (corridor).
N : Nombre de jours sur une période
X : Taux fixe prédéfini lors de la mise en place du contrat
Y : taux minimum garanti à chaque date de versement de
coupon
Avantage : permet d’obtenir un coupon élevé, en vendant de la volatilité par le biais du cap
et des digitales incluses dans le payoff. De même, les digitales permettent de
toucher un coupon si les anticipations ont été partiellement correctes.
Désavantage : dans le cas d’une baisse des taux, l’option d’annulation sera exercée ; dans la
cas d’une hausse de taux, le détenteur percevra un coupon inférieur au niveau
du marché
• L’"Auto Extendable Note" : Ce produit Dérivé de Taux verse des coupons
fixes jusqu’à une date de maturité. L’originalité de ce produit est que le
nombre de coupons versés dépend d’un taux de référence. En effet, à la
maturité du contrat, un coupon est versé au taux prédéfini et la maturité du
contrat est mise à jour. Cette maturité s’accroît d’une période supplémentaire
si le taux de référence prédéfini est en dessous d’un taux plafond.
Une maturité maximum est également prédéfinie.
L’ensemble de ces produits peuvent être définis comme annulable ou "Callable", c’est-à-dire qu’à
certaines dates, les engagements pris au travers de ces contrats peuvent être tout simplement
stoppés et donc les versements de coupons futures annulés.
52
IV. Valorisation Portefeuille D’options
Valorisation des activités en Marked-to- market
La valeur en Marked-to-Market (MtM) est la valeur de liquidation sur un marché au jour même.
Le MtM est le terme consacré sur les marchés financiers pour désigner la valeur actualisée nette
(VAN) d’une opération. Le suivi de la valeur des portefeuilles indique la valeur dont disposerait
le Groupe s’il soldait sa position immédiatement.
Cette valeur actualise la somme des flux futurs diminuée de l’investissement initial, c'est-à-dire le
nominal échangé3. Chaque flux futur est actualisé avec les taux forward instantanés pour taux du
marché.
HSBC valorise au marché ses activités afin de répondre à l’obligation de publication de cette
valorisation dans les comptes consolidés de sa maison mère, selon les normes comptables UK
GAAP (Generally Accounting Accepted Principles).
La valeur en MtM comprend le latent et le portage. Les variations de latent et de portage sur un
jour forment le résultat quotidien.
Impact financier et comptable : la règle du Marked-to-Market est contraire au principe de
prudence, selon lequel seuls les bénéfices réalisés sont inscrits en compte de résultat, puisqu’elle
permet d’y enregistrer immédiatement les gains ou pertes latents comme s’il s’agissait
d’opérations dénouées.
A l’inverse, cette règle permet de mieux traduire la réalité économique et reflète l’adaptation à
l’évolution du marché. Elle s’appuie sur une interprétation du bénéfice « réalisé » plus large,
considérant que la banque peut à tout moment retourner ou solder sa position au prix côté sur le
marché et fixer ainsi définitivement son réalisé. Toutefois, un marché même s’il est liquide, peut
se révéler très volatile et la règle de la valeur de marché doit par conséquent être appliquée dans
des conditions strictes définies par des textes et avec précaution.
3 Les caps, floors et swaptions ne sont pas cotés sur le marché à l’aide d’un modèle de taux mais du modèle de Black(1976). L’attrait pour ce modèle tient à l’habitude que le marché a pris de traiter avec ce modèle, mais surtout à lafacilité de mise en place de la couverture pour le vendeur de l’option.
53
Formule du P&L
La formule du Profit and Loss est :
P&L = Profit + Latent + Carry + Fees + Trésorerie Fictive
• Profit
Le profit correspond au réalisé des opérations (achats –ventes, intérêts tombés).
Il est calculé à partir d’un prix moyen pondéré à l’achat (resp. vente) (PMP) c’est à dire une
moyenne des prix d’achat pondérés par la quantité achetée et recalculé à chaque nouvel achat
(une vente partielle ne modifie donc pas le PMP).
Profit = Nominal x (Prix vente – PMP)
• Latent
Dans un portefeuille dont le résultat est calculé en mark to market, le latent correspond à la
plus ou moins value effectuée en cas de transaction soldant la position au prix du marché.
Le calcul du latent se fait sur le même principe que le calcul du réalisé, en simulant une
transaction en sens inverse dont le prix est égal au prix de valorisation sur le marché, et la date de
valeur correspond à la date de résultat.
Il s’agit de la valeur de marché de la position en Marked to market (MTM) par rapport à l’achat .
Latent = Position x (MTM– PMP)
• Carry
Il s’agit du portage c’est à dire les intérêts rapportés par le titre en tenant compte du financement
de l’achat.
54
Carry = Réescompte – Financement
Avec Réescompte = Position x coupon x nombre jours / base
Financement = Montant net x moyenne Eonia sur la période x nombre jours / 360
Montant net = Nominal x prix pied de coupon + Nominal x coupon x nombre jours / base
• Fees
Il s’agit des frais de courtage.
Problématique
Il existe un décalage entre l’heure de capture des prix d’options sur futures (cours de
compensation) 21h00 et l’heure de capture des futures sous-jacents (cours 16h30).
Or le prix d’une option dépend de celui de son sous-jacent. Seul le delta varie entre 16h30 et
21h00, les autres facteurs sont négligeables sur ce petit intervalle de temps .Donc si les prix
des futures varient entre 16h30 et 21h, le prix utilisé pour le calcul de résultat d’options sur
futures sera faux.
Or vu la taille des contrats, une erreur de quelques centimes sur le prix de l’option aura un
impact significatif sur les résultats.
Il convient donc de déterminer le prix 16h30 des options sur futures.
Pour cela on part de l’hypothèse réaliste que la volatilité du future est constante entre 16h30
et 21h.
55
On procède alors en deux temps :
(1) On inverse la formule de Black pour les options sur futures à l’aide d’un algorithmed’itération : Newton-Rhapson., utilisant un développement de Taylor à l’ordre 1. Onobtient alors la volatilité implicite de l’option à 21h.
(2) La volatilité étant supposée constante entre 16h30 et 21h, on peut appliquer Black avecles données de 16h30 afin d’obtenir le prix de l’option à 16h30, on reprice les valos desoptions sur futures et on calcule ainsi un impact en valo du portefeuille représentant lemontant de la provision à passer
On utilise le modèle de Black (1976) pour pricer les options européennes sur futures :
On retient l’hypothèse de log -normalité des prix des contrats futures V pour l’évaluation de ces
produits.
Rappel sur le modèle de Black
Considérons une option européenne sur future de valeur V et définissons :
T : durée de vie l’option
F : Prix forward de V pour un contrat d’échéance T
F 0 : Valeur de F à la date 0
K : Prix d’exercice de l’option
B(t, T) : Prix en t d’un zéro -coupon de maturité T
V T : Valeur V en T
Prix de l’option 21h
Prix du future 21h
Volatilitéimplicite
Prix de l’option16h30
Prix du future 16h30
(1) (2)
56
σ : volatilité de V
r : Taux sans risque
Le modèle de Black nous permet de calculer le payoff espéré de l’option en supposant que :
1. V T suit une loi log -normale
2. L’espérance de V T est F 0 : E(V T )= F 0
Une caractéristique importante du modèle de Black est qu’il ne suppose pas que V ou F suivent
un mouvement brownien géométrique ; le modèle de Black s’applique lorsque quand les taux
d’intérêt sont constants ou déterministes.
Le payoff espéré est C 0 = B(0,T) E(h(V T )) +
avec
V T -K pour un callh(V T )= K- V T pour un put
Considérons un call son payoff est :
C 0 = B(0,T) E( Max(V T -K,0)) = B(0,T)(E (V T 1 KVT > ) - K E(1 KVT >
)) =F 0 N(d1 )- K N(d 2 )
avecN(x)=P(X≤x) est la fonction de répartition d’une loi N(0,1)
d1 =T
T/2-/K)Fln( 20
σσ
d 2 = d1 - Tσ
57
Volatilité Implicite - Calcul
Nous avons jusqu’à présent supposé que σ (volatilité implicite) était connu. Dans le modèle de
Black l’unique paramètre inobservable est la volatilité. Le modèle implique une volatilité
implicite qui dépend de la maturité et du strike (smile), elle est en générale toujours supérieure à
la volatilité historique du sous-jacent. Le niveau de volatilité implicite appréhende la volatilité,
telle qu’elle est perçue par les opérateurs, pour les semaines ou mois à venir. Le modèle peut
donc être calibré à partir d’un seul prix d’option car la fonction de prix Black est strictement
croissant en la volatilité.
Nous étudions maintenant sa détermination en inversant la formule de Black .
Les paramètres de volatilités sont estimés à partir des données de marché sur des options liquides.
On utilise un algorithme de minimisation : Newton Raphson (cf annexe 3) tel que :
Trouver σ tel que : f(σ )=P BS (σ )-P Marché =0P BS : Prime de l’option calculé par le modèle de Black
P Marché : Prime de l’option de marché
La solution I(P )marché de l’équation f(σ )=P BS (σ )-P Marché =0, où P Marché est le prix d’une option
européenne observé sur le marché s’appelle la volatilité implicite de cette option. Le modèle de
Black implique que la volatilité implicite de toutes les options sur le même sous jacent doit être la
même, et égale à la volatilité historique (écart- type des rendements annualisés) du sous-jacent .
Cependant, lorsqu’on calcule I à partir des prix de différentes options observées sur le marché, on
constate que
• La volatilité implicite est toujours supérieure à la volatilité du sous-jacent.
• Les volatilités implicites de différentes options sur le même sous-jacent dépendent de leur
strike et de leur maturité.
• Pour presque tous les strikes, la volatilité implicite décroît en fonction du strike (phénomène
de skew)
• Pour des très grands strikes on observe parfois une légère remontée de la volatilité implicite
(phénomène de smile)
58
La différence entre la volatilité implicite et la volatilité historique du sous jacent peut
s’expliquer par le fait que la couverture d’une option est plus chère en réalité que dans le
modèle de Black, à cause en particulier, des frais de transaction et de la nécessité de couvrir
les sources de risque non pris en compte par ce modèle ( i. e le risque de volatilité) . Le
phénomène de skew est du au fait que le modèle de Black sous-estime la probabilité d’un
krach boursier ou d’un grand mouvement de prix en général, les distributions ont des queues
épaisses. Le trader corrige cette probabilité en augmentant les volatilités implicites des
options loin de la monnaie. Finalement, le smile peut être expliqué par les primes de liquidité
qui sont plus élevées pour les options loin de la monnaie.
La volatilité implicite est très utilisée pour le calcul de ratios de couverture des options
européennes : les sensibilités- « Grecs » liés aux variations des facteurs de marchés.
• Le delta (cf annexe 3.)Changement du prix de l’option quand le prix du sous-jacent varie d’une unité (augmente de 1%
par exemple) Mathématiquement, le coefficient delta se définit comme la dérivée première du
prix de l’option par rapport au cours de l’actif sous-jacent.
59
Pour un call sur option sur futures
Formules Analytiques
sc∂∂=∆ = N(-d1)
Pou un put sur option sur futures
sp∂∂=∆ =-N(d1)
Numériquement :
∆= P BS (S+1bp)-P BS (S)
Le Delta peut être également interprété comme la probabilité d’exercice de l’option : une option
« à la monnaie », c’est-à-dire pour laquelle le prix d’exercice est égal au spot, (delta voisin de ½)
a environ une chance sur deux d’être exercée ; un call « très dans la monnaie », c’est-à-dire pour
lequel le prix d’exercice est très favorable par rapport au spot, a un delta qui tend vers +1 ; un call
« très en dehors de la monnaie », c’est-à-dire pour lequel le prix d’exercice est très défavorable
par rapport au spot, a un delta qui tend vers 0.
Pour annuler tout risque inhérent à l’évolution des cours du sous-jacent qu’ils ont en portefeuille,
les traders adoptent une stratégie « delta neutre » : la position est donc indépendante de
l’évolution des cours du sous-jacent en portefeuille.
• GammaChangement du delta de l’option quand le prix du sous-jacent augmente d’une unité
TsdNσ)100()1('
−=Γ
ou Numériquement :Γ = BS∆ (S+1bp)- BS∆ (S)
La variation du cours de l’actif vient progressivement modifier le delta global d’une position.
Pour le rétablir au niveau souhaité, l’opérateur doit procéder à des réajustements de son
portefeuille en générant de nouvelles opérations. Le coefficient gamma prend en considération
cet élément : gamma représente la sensibilité de delta par rapport à l’évolution du cours de
change, c’est aussi la sensibilité à l’ordre deux du prix de l’option par rapport au sous-jacent.
60
EffetGamma= veilleΓ *( 2( )jour veilleS S− *2500
• VégaChangement du prix de l’option quand la volatilité du sous-jacent augmente de 1%. Vega estdonc égal à la dérivée première du prix de l’option par rapport à la volatilité.
)1('**)100( dNTs−=νNumériquement :
)()( σσν BSBs PbpP −+=
• RhôChangement du prix de l’option quand le taux sans risque augmente de 1%.Dans la pratique et pour des options de courte durée de vie (comme c’est le cas pour le
portefeuille qui nous préoccupe), ce dernier indicateur demeure d’une moindre importance que
les autres, car le prix d’une option est très peu sensible aux variations du taux d’intérêt.
Pour un call sur option sur futuresRhô =-call*T
Pour un put sur option sur futuresRhô =-put*T
• ThêtaChangement du prix de l’option quand un jour s’écoule
Le temps affecte la valeur des options : plus la durée de vie de l’option est importante, plus la
prime a le temps d’augmenter. Thêta mesure la sensibilité de la prime à l’écoulement du temps :
c’est la dérivée première du prix de l’option par rapport au temps (thêta est égal à la variation de
la valeur de la prime pour un jour écoulé).
Pour un call sur option sur futures
=θ -(100 - s) * N’(d1) * σ * exp(-r * T) / (2 * T ) + r * exp(-r * T) * ((100 - s) *N(d1) - (100- K) * N(d2))
Pou un put sur option sur futures=θ -(100 - s) * N’(d1) * σ * exp(-r * T) / (2 * T ) + r * exp(-r * T) * ((100 - s) *N(-d1) - (100
- K) * N(-d2))
61
Tableau Calcul sensibilités –Vérification avec Bloomberg
Contrat Bloomberg Formule de Black Choc numériqueby 1%
Call EURIBOR Sept07 Vol Implicite 14.12% 14.04%S=96.18 Delta 0.59 0.5915 0.5913
K=96 Gamma 0.673 0.6770 0.6773Call=0.335 Vega 0.0159 0.015878 0.015926
Call_Black 0.33500217Call EURIBOR Dec06 Vol Implicite 8.71% 8.7237%
S=96.405 Delta 0.55 0.5492 0.5413K=96.375 Gamma 2 2.0029 2.0055
Call=0.0950 Vega 0.009 0.00897 0.009060
Call_Black 0.095079431Put EuroDollar Sept06 Vol Implicite 17.73% 0.1788
S=94.45 Delta -0.21 -0.214 -0.2142K=94.125 Gamma 0.763 0.763 0.7702Put=0.045 Vega 0.0064 0.00622 0.006336
Put_Black 0.045001883
Options américaines- Pricing
Vu la taille des contrat traitées, il n’est pas correct d’approximer une option américaine par une
option européenne de mêmes caractéristiques. C’est la raison pour laquelle nous allons présenter
une méthode d’approximation d’option américaine
Méthode de Monte-Carlo avec exercice optimal
IntérêtLe pricing des produits à exercice optimal se fait a priori par EDP, mais les EDP sont limitées par
le nombre de variables d’état que l’on peut utiliser, on préféra utiliser des méthodes de simulation
méthode de Monte Carlo). En pratique, nous sommes limités à 2 facteurs, ou éventuellement 3.
Pour comprendre l’idée intuitive qu’il y a derrière cette approche , rappelons qu’à chaque date
d’exercice celui qui possède l’option américaine compare le pay - off d’un exercice immédiat
avec le pay – off (espérance conditionnelle) futur , et exercer l’option si le pay - off est
supérieur.
62
La méthode présentée, l’algorithme de Longstaff et Schwartz, permet de pricer des produits à
exercice optimal.
Avantages de la méthode:
• Le nombre de facteurs que l’on peut utiliser avec Monte Carlo est quasi illimité, puisque le
temps de calcul est proportionnel au nombre de facteurs, alors que dans une EDP le temps de
calcul est une exponentielle du nombre de facteurs. En pratique, la non-limitation du nombre
de facteurs permet d’envisager l’implémentation de modèles plus riches. Rebonato,
notamment, a développé un modèle BGM à volatilité stochastique dans lequel la volatilité
elle-même est modélisée par quatre facteurs stochastiques. Sans aller jusque là, nous pouvons
envisager l’intégration de la volatilité stochastique dans nos modèles si la contrainte du
nombre de facteurs est supprimée. Longstaff et Schwartz utilisent cette méthode pour pricer
des swaptions bermuda dans un modèle à chaîne à vingt facteurs.
• La méthode de Longstaff et Schwartz est générique en ce sens qu’elle est indépendante du
modèle et du produit. En effet, il existe d’autres méthodes spécialisées pour les swaptions
bermuda, reposant par exemple sur une paramétrisation de la frontière d’exercice. Du fait de
la généricité, l’algorithme serait implémenté une fois pour toute, et supporterait l’ajout de
nouveaux produits.
Inconvénients éventuels :
• La méthode repose sur une approximation de la frontière d’exercice et la précision numérique
doit être évaluée.
a) Présentation théorique
Notations :
On considère un produit bermuda dont les dates d’exercices sont t1<…<tN. On note ( )kt,t,C ω le
cash flow de la date tk calculé à t sur la trajectoire ω en supposant que l’on suit une stratégie
optimale. Il est important de remarquer que pour une même date d’exercice tk les cash flows
( )kt,t,C ω et ( )kt,s,C ω calculés à deux dates distinctes peuvent différer.
63
6.2.2 Caractérisation de la stratégie d’exercice optimal :
On peut montrer que pour une trajectoire donnée ω le fait d’exercer l’option à la première date tk
où le gain que l’on retire de l’exercice est supérieur à la valeur de l’option résiduelle calculée à tkest une stratégie d’exercice optimale inconditionnelle.
En terme mathématique, on exerce à la première date tk telle que
)t,t,(CF)t,t,(Cds)s(rexpE)t(V kktjk
N
1kj
t
tQk k
j
k
ω<��
�
�
��
�
�ω
��
�
�
�−= � �
+=
où V(t) est la valeur de l’option à t
, Q la probabilité risque neutre et [ ]ktQ F.E est l’espérance selon la probabilité Q
conditionnellement à l’information disponible à la date tk. A la date tk évaluer la quantité
)t,t,(C kkω ne pose aucun problème puisque c’est le cash flow que l’on retire à tk si l’on exerce à
cette date. Par contre, les quantités )t,t,(C jkω doivent être calculées récursivement en partant de
la dernière date d’exercice.
b) Principe de la méthode de Longstaff et Schwartz :Pour chaque trajectoire du sous-jacent générée dans le cadre de la méthode de Monte-Carlo,
l’algorithme fournit une approximation de la stratégie optimale. Pour cela il faut projeter
l’espérance conditionnelle [ ]ktQ FE . sur une base de fonctions, des résultats mathématiques
justifiant l’existence d’une telle base, infinie, de fonctions. Les auteurs suggèrent la base des
polynômes de Laguerre : ( )Xnn
nX
n eXdXd
!ne)2/Xexp()X(L −−= . Dans notre projet on considère
un polynôme du second degré aX 2 + bX + c où a b et c sont estimés par la méthode des moindres
carrées ordinaires .Concrètement, on régresse le pay –off actualisé sur toute la trajectoire du sous
jacent au temps i fixé ; Y= aX 2 + bX + c
Nous trouvons par la méthode des moindres carrées
Avec β le vecteur des coefficients a, b, c
β =( YXXX '1' )−
Y Correspond au pay off actualiséX trajectoire du sous jacent simulé au temps i.
64
Une fois estimée les paramètre a, b et c nous pouvons calculer l’espérance conditionnelle
E(Y X) que l’on compare au pay - off actualisé, que l’on refait pour chaque date d’exercice.
Longstaff et Schwarz ont montré qu’il ne fallait prendre en compte pour la régression que les
trajectoires pour lesquelles les options sont à la monnaie. Cela permet de rendre l’algorithme
encore plus efficient et de gagner du temps en terme de calcul informatique.
c) Algorithme :On génère toutes les trajectoires du sous-jacent sous la probabilité risque neutre( on utilise le
modèle de Black-Scholes, cf. annexe 4. ) . On procède récursivement sur les dates d’exercice à
partir de la dernière pour déterminer les cash flows sur la trajectoire et si on exerce ou pas.
- à tN, conditionnellement au fait que l’option n’a pas été exercée à une date précédente, on
commence par déterminer si on exerce ou pas : l’option étant de type européen à cette date,
on exerce uniquement si on est dans la monnaie. On calcule ensuite les cash flows
( )NN t,t,C ω pour chaque trajectoire ω toujours conditionnellement au fait que l’option n’a
pas été exercée à un exercice précédent et connaissant maintenant notre décision d’exercice à
cette date. On a alors ( )NN t,t,C ω =0 si on n’exerce pas et ( )NN t,t,C ω =payoff si on exerce.
- à tN-1, conditionnellement au fait que l’option n’a pas été exercée à une date précédente, on
commence par déterminer si on exerce ou pas. Cependant on ne se pose cette question que
pour les trajectoires où l’option est dans la monnaie. On appelle alors X le vecteur des prix du
sous jacent à tN-1, chaque composante de X correspondant à une trajectoire sur laquelle
l’option est dans la monnaie. On appelle Y le vecteur des cash flows ( )NN t,t,C ω actualisée
du temps tN au temps tN-1 ; on prend les mêmes trajectoires que pour X. On suppose
[ ] ( )�=
α=M
1iii XLXYE et on calcule les iα par une méthode des moindres carrés (ici
ordinaire). On peut maintenant calculer avec cette approximation de l’espérance
conditionnelle la valeur de l’option résiduelle V(t) et la comparer avec le gain retiré de
l’exercice immédiat sur chaque trajectoire. On décide donc si l’exercice est optimal à tN-1 sur
chaque trajectoire conditionnellement au fait que l’option n’a pas été exercée précédemment.
Enfin on calcule les cash flows ( )1N1N t,t,C −−ω et on recalcule ( )N1N t,t,C −ω pour chaque
trajectoire ω et en tenant compte de la décision d’exercice calculée précédemment. Ainsi sur
65
une trajectoireω, au plus un cash flow ( )k1N t,t,C −ω est non nul car il ne peut y avoir qu’un
seul exercice par trajectoire, la date d’exercice optimale est la plus petite en accord avec la
caractérisation des stratégies optimales.
- à tN-2, on procède comme à tN-1. Il faut recalculer tous les iα , on ne peut pas prendrel’approximation calculée à l’étape précédente.
Présentation Méthode Lonstaff-Schwarz
Pour comprendre l’idée intuitive qu’il y a derrière cette approche , rappelons qu’à chaque date
d’exercice celui qui possède l’option américaine compare le pay - off d’un exercice immédiat
avec le pay – off (espérance conditionnelle) futur , et exercer l’option si le pay - off est
supérieur. La stratégie d’exercice optimal est entièrement déterminée par l’espérance
conditionnelle du pay – off futur . La clé de cette méthode est que l’espérance conditionnelle peut
être estimé connaissant toute l’information i. e simuler le sous-jacent et utiliser la méthode des
moindres carrées ordinaires. Concrètement , on régresse le pay –off actualisé sur toute la
trajectoire du sous jacent au temps i fixé ; Y= aX 2 + bX + c
Y Correspond au pay off actualiséX trajectoire du sous jacent simulé au temps i .
Une fois estimée les paramètre a , b et c nous pouvons calculer l’espérance conditionnelle
E(Y X) que l’on compare au pay – off actualisé, que l’on refait pour chaque date d’exercice.
Longstaff et Schwarz ont montré qu’il ne fallait prendre en compte pour la régression que les
trajectoires pour lesquelles les options sont à la monnaie. Cela permet de rendre l’algorithme
encore plus efficient et de gagner du temps en terme de calcul informatique .
Pour illustrer cet algorithme, prenons le cas d’un put américain :
A maturité (date finale d’exercice), la stratégie optimale est d’exercer l’option si elle est à la
monnaie. Avant la date finale la stratégie , la stratégie est de comparer la valeur d’ un exercice
immédiat avec la valeur des cash flows futurs si on continue de détenir l’option. Il s’agit donc
d’identifier l’espérance conditionnelle sachant toute l’information par une méthode de régression
linéaire.
Considérons un put américain qui ne paie pas de dividende. Le prix d’exercice K est 1.1 au temps
1.2 et 3 où 3 est la date de maturité de l’option. Le taux sans risque est de 6%. Pour simplifier,
66
nous présentons uniquement 8 trajectoires du prix du sous-jacent (en pratique on simule au moins
500 trajectoires).Les trajectoires sont simulées sous la probabilité risque neutre dans le tableau
suivant :Trajectoire du sous-jacent
Path t=0 t=1 t=2 t=31 1 1.09 1.08 1.342 1 1.16 1.26 1.543 1 1.22 1.07 1.034 1 0.93 0.97 0.925 1 1.11 1.56 1.526 1 0.76 0.77 0.907 1 0.92 0.84 1.018 1 0.88 1.22 1.34
Notre objectif est de maximiser la valeur de l’option le long de chaque trajectoire. L’algorithme
est récursif et nous devons avons construire différentes matrices.
Si on n’exerce pas l’option avant maturité le pay-off finale est :
Cash Flow à t=3Path t=1 t=2 t=3
1 - - 0.002 - - 0.003 - - 0.074 - - 0.185 - - 0.006 - - 0.207 - - 0.098 - - 0.00
Les cash-flows à maturité d’une option américaine sont identiques aux cash-flows d’une option
européenne .
Si le put est à la monnaie à t=2, le détenteur de l’option doit décider d’exercer l’option
immédiatement où continuer à détenir l’option jusqu'à maturité (t=3).A t=2 il y a seulement 5
trajectoires pour lesquelles l’option est à la monnaie . Soit X le prix sous-jacent pour ces 5
trajectoires à t=2 et Y correspondant aux cash flow actualisé reçu à t=3 si le put n’est pas exerce à
t=2. Nous considérons uniquement les options à la monnaie pour avoir une meilleur estimation de
l’espérance conditionnelle et permet à l’algorithme d’être efficient.
Voici les vecteurs X et Y :Regression à t=2
67
Path Y X1 0.0*0.94176 1.082 - -3 0.07*0.94176 1.074 0.18*0.94176 0.975 - -6 0.2*0.94176 0.777 0.09*0.94176 0.848 - -
Pour estimer à t=2 l’espérance conditionnelle si on continue à détenir l’option, on régresse Y sur
le polynôme de degré 2 :aX 2 + bX + c ( d’autres polynômes existent comme le polynôme de
Laguerre .
Nous trouvons par la méthode des moindres carrées
Avec β le vecteur des coefficients a ,b ,c
β =( YXXX '1' )−
a=-1.813 b= 2.983 et c=-1.07
L’espérance conditionnelle est : E(Y X)= -1.813X 2 + 2.983X –1.07
Ainsi nous comparons la valeur de l’option d’un exercice immédiat à t=2 (colonne 1) avec la
valeur si on continue à détenir l’option (colonne 2) :
Temps optimal d'exercie à t=2Path Immédiat Continuer
1 0.02 0.03692 - -3 0.03 0.04614 0.13 0.11765 - -6 0.33 0.1527 0.26 0.15658 - -
La valeur d’un exercice immédiat est égal à K-X=1.1-X pour les options à la monnaie , et les
valeurs de la colonnes 2 sont obtenues en remplaçant les valeurs de X dans l’espérance
conditionnelle. Cette comparaison implique qu’il est optimal d’exercer l’option à t=2 pour les
trajectoires 4,6 et 7. Ce qui nous conduit à construire le tableau suivant, dans lequel nous
montrons les cash-flow reçu à condition de ne pas avoir exercer l’option au temps t=2 :
68
Matrice Cash-Flow à t=2Path t=1 t=2 t=3
1 - 0 02 - 0 03 - 0 0.074 - 0.13 05 - 0 06 - 0.33 07 - 0.26 08 - 0 0
Lorsque l’option est exercée au temps t=2, le cash-flow à t=3 devient nul. Ceci parce que l’option
ne peut être exercée qu’une seule fois .
Procédant récursivement , nous examinons maintenant s’il faudrait exercer l’option au temps t=1.
A partir du tableau « trajectoire du sous-jacent », nous pouvons dire qu’il y a 5 cas où l’option
est à la monnaie au temps t=1. Encore une fois , nous effectuons les mêmes traitements pour ces
trajectoires. Soit Y le cash-flow actualisé (à noter qu’on utilise le cash-flow réel et non le cash-
flow conditionnel estimé en t=2). Les cash-flow en t=2 sont discountés en t=1. Ainsi , X
représente le vecteur des prix du sous-jacent où l’option est à la monnaie.
Les vecteurs X et Y sont représentés dans le tableau suivant :Régression à t=1
Path Y X1 0*0.94176 02 - 03 - 04 0.13*0.94176 0.135 - 06 0.33*0.94176 0.337 0.26*0.94176 0.268 0.0*0.94176 0
L’espérance conditionnelle est encore estimé en régressant Y sur une constant , X et X 2
On trouve a = 1.356 b=-3.335 et c=2.038
Ainsi l’espérance conditionnelle estimée est :
E(Y X)=1.356 X 2 -3.335X +2.038
Ainsi nous comparons la valeur de l’option d’un exercice immédiat à t=1 (colonne 1) avec la
valeur si on continue à détenir l’option (colonne 2) :
69
Temps Optimal d'exercice en t=1Path Immédiat Continuer
1 0.01 0.01392 - -3 - -4 0.17 0.10925 - -6 0.34 0.28667 0.18 0.11758 0.22 0.1533
En comparant les 2 colonnes, nous pouvons dire que l’exercie en t=1 est optimal pour les
trajectoires 4,6,7 et 8.
Après avoir identifier les différentes stratégies d’exercice en t=1,2 et 3, la dernière consiste à
créer un tableau de zéros et de un afin d’identifier le temps optimal d’exercice, où un correspond
à la date d’exercice de l’option.Date d'exercice optimal
Path t=1 t=2 t=31 0 0 02 0 0 03 0 0 14 1 0 05 0 0 06 1 0 07 1 0 08 1 0 0
D’après ce tableau nous pouvons maintenant déterminer les temps d’exercice de l’option (case où
il y a un 1).
Voici les cash-flows correspondants :Matrice des cash flow
Path t=1 t=2 t=31 0 0 02 0 0 03 0 0 0.074 0.17 0 05 0 0 06 0.34 0 07 0.18 0 08 0.22 0 0
Après avoir identifié les cash –flow le long de chaque trajectoire et à chaque date jusqu’à
maturité, nous pouvons maintenant déterminer la prime de l’option par une somme actualisée des
différents cash-flow( moyenne actualisée sur toutes les trajectoires).
70
Ainsi , par application de cette méthode nous trouvons en t=0 prime put =0.1144.
C’est presque 2 fois le prix de l’option européenne (0.0564), obtenu en actualisant tous les
cash-flow de t=3 en t=0 .
L’espérance conditionnelle sert à identifier notre décision d’exercice qui maximise la valeur de
l’option à chaque date pour chaque trajectoire.
d) Résultats :Les auteurs présentent des tests réalisés sur différents produits dont une swaption américaine dans
un modèle à 20 facteurs montrant ainsi l’efficacité de cette méthode sur un modèle à plusieurs
facteurs. Certains points de l’algorithme peuvent être adaptés plus précisément, notamment le
choix de la base de fonctions et la méthode de moindre carrés employée.
Explication des résultats par les variables taux, fixing et tempsLe résultat quotidien, de latent et de réescompte, se décompose en effets explicatifs de taux,
passage du temps, fixing et variation de stock. Ces effets sont calculés par la variation d’un des
paramètres de valorisation des opérations. Le paramètre est soit endogène, comme le taux fixe de
coupon par période, soit exogène, comme le taux d’actualisation du marché.TotalEffets = DealsJour + EffetTheta + EffetDelta + EffetGamma + EffetVega+ Effet Fixing
AvecEffetDelta= *( )*veille jour veilleS S i∆ −
EffetGamma=0.5* veilleΓ *( 2( )jour veilleS S− *i
EffetVega= *( )*veille jour veille iν σ σ−
EffetTheta= veilleθ *1*i
Où i est la taille du contrat
L’effet temps correspond à l’impact du passage d’une journée sur la valorisation des opérations.
Son impact est souvent négligeable. La valeur actualisée estimée est décrémentée de un jour. La
valeur de l’effet temps pour un deal sur produit Dérivé de Taux décroît au fur et à mesure que ce
71
deal se rapproche de l’échéance. Pour deux deals dont les caractéristiques sont équivalentes mais
dont les échéances sont différentes, la valeur temps aura une valeur plus importante pour le deal
dont la maturité est la plus éloignée.
A la date de maturité du deal, la valeur de l’effet temps devient nulle.
Si on schématise ces caractéristiques, on a donc :
Temps (jour)
Effe
t tem
ps
Deal 1
Deal 2
0La date de maturité du deal 1 est inférieure à celle du deal 2
Mathématiquement, le coefficient Thêta représente la dérivée première du prix du produit par
rapport au temps. L’effet temps est donc égal à :
tdttPdP ε+∂∂=
où : dP est la variation du prix d’un produit financier suite
à une petite variation du temps dt
dt est une petite variation du temps
tP∂∂ est appelé coefficient thêta
Si on utilise la formule générale de Black , pour déterminer la valeur d’un option, la valeur ducoefficient thêta est alors égale à :
Pour un call sur option sur futures
=θ -(100 - s) * N’(d1) * σ * exp(-r * T) / (2 * T ) + r * exp(-r * T) * ((100 - s) *N(d1) - (100- K) * N(d2))
Pou un put sur option sur futures=θ -(100 - s) * N’(d1) * σ * exp(-r * T) / (2 * T ) + r * exp(-r * T) * ((100 - s) *N(-d1) - (100
- K) * N(-d2))
où : St est le cours de l’actif à l’instant t
72
T est la durée de vie résiduelle du contrat
K est le prix d’exercice du contrat
σ est la volatilité de l’actif sous-jacent
r est le taux d’actualisation sur la période (t,T). Il est pris égal à 0
( ) ��
���
����
�
�+−+�
�
�
�
−=
2.ln.
.1 2
1σ
σrtT
KS
tTd t
( ) ��
���
����
�
�+−+�
�
�
�
−=−−=
2.ln.
.1.
2
12σ
σσ rtT
KS
tTtTdd t
Au vue de la complexité du calcul de l’effet temps et de la variété des produits Dérivés de Taux,
le CCF-HSBC utilise une méthode simple afin d’approximer la valeur de l’effet temps.
Puisque les divers taux officiels du CCF-HSBC utilisés dans le système de valorisation des
produits ne varient qu’une seule fois dans une journée ouvrée à 16h30 (heure de clôture officiel
au CCF-HSBC) et que l’heure de fixing (heure où les taux utilisés dans le calcul des différents
coupons indexés sur des taux variables sont déterminés pour les deals arrivant à date de fixing)
est fixée à 11h00 (heure de fixing officiel sur les marchés), le système utilise pour calculer l’effet
temps entre deux jours ouvrés J et J-1 la variation de valorisation entre la valorisation des deals à
7h00 jour ouvré J et la valorisation des deals à 21h00 jour ouvré précédent J-1.
Ainsi, en pratique :
- En date de J-1, le système de valorisation calcul le P&L des deals à
21h00 ;
- En date de J, le système de valorisation calcul le P&L des deals à 7h00.
� La variation de valorisation donne alors la valeur de l’effet temps.
Le fixing fige un taux estimé sur une période T. Par exemple, l’EURIBOR est un taux
prédéterminé. Fixé en début, le taux fixé s’appliquera sur toute la période considérée. Ainsi, pour
un Euribor 3 Mois, le montant d’intérêt à payer dans trois mois est connu. Le taux estimé grâce à
la courbe des taux est remplacé par la valeur du fixing (valeur donnée par le marché), La
différence de valorisation liée au fixing correspond à l’effet fixing.
Pour calculer cet effet, il faut connaître la valorisation des deals avant et juste après le fixing.
Nous avons vu précédemment que pour permettre le calcul de l’effet temps une valorisation des
deals est effectuée à 9h00 afin de déterminer les effets temps des différents deals. L’heure de
fixing est fixée à 11h00 (heure de fixing officiel). Ainsi, la valeur des différents taux à 11h00 sera
73
utilisée pour le calcul des coupons indexés sur des taux variables arrivant à date de fixing. Afin
de déterminer l’effet fixing, une valorisation est donc effectuée à 15h00 sur les différents deals.
Ainsi, en pratique :
- En date de J, le système de valorisation calcule le P&L des deals à 7h00 ;
- En date de J, le système de valorisation calcule le P&L des deals à 15h00.
La variation de valorisation donne alors la valeur de l’effet fixing.
L’effet taux( effet delta) est celui qui a le plus d’impact sur la valorisation journalière, il prenden compte la variation de courbe entre deux clôtures successives. Pour calculer l’impact, onutilise la sensibilité de l’ensemble des opérations. La sensibilité, décomposée par maturité et parindex, est multipliée par la variation du taux de l’index correspondant, décomposé lui-même parmaturité.
Mathématiquement, le coefficient delta pour les produits Dérivés de Taux représente la dérivée
première du prix du produit considéré par rapport au cours son taux support. L’effet taux est donc
égal à :
tdrrPdP ε+∂∂=
où : dP est la variation du prix d’un produit financier suite à une petite
variation du taux dr
dr est une petite variation du taux auquel est lié ce produit de taux
Le coefficient delta tP∂∂ est un concept fondamental en finance de marché. Dans le cas des
produits Dérivés de Taux, ce coefficient est également appelé sensibilité aux variations de taux et
il correspond donc à la variation du prix d’un produit pour une variation d’un point de base du
taux support du produit Dérivé de Taux considéré.
Ce coefficient est largement utilisé par les traders traitant des produits Dérivés de Taux pour
connaître leurs expositions aux variations des différents taux. Les traders utilisent donc ce
coefficient pour se couvrir partiellement ou totalement contre une variation brutale des différents
taux d’intérêt.
74
Au vue de la complexité du calcul de l’effet delta et de la variété des produits Dérivés de Taux, le
CCF-HSBC utilise une méthode simple afin d’approximer la valeur de l’effet taux.
Nous avons vu précédemment que pour permettre le calcul de l’effet fixing une valorisation des
deals est effectuée à 15h00 afin de déterminer les effets fixing des différents deals.
Puisque, au cours d’une journée de trading, le fixing est effectué à 11h00 et que l’effet temps est
calculé à partir de la variation de valorisation entre le jour ouvré précédemment à 21h00 et le jour
ouvré J à 9h00, les seuls paramètres majeurs qui peuvent influencer la variation de valorisation
entre 15h00 et la fin de journée sont les variations des différents paramètres de marché (taux,
volatilité, smile, etc…) : effet clôture.
En effet, la clôture au CCF-HSBC est effectuée à 16h30. La mise à jour des paramètres de
marché est donc réalisée sur les cours de 16h30.
Les principaux paramètres de marché qui ont une influence sur le Profit&Lost d’un deal portant
sur un produit Dérivé de Taux sont les taux. C’est pourquoi la différence entre la valorisation des
deals portant sur des produit Dérivé de Taux à 21h00 au jour ouvré J et la valorisation à 15h00 au
même jour ouvré J s’explique surtout par les variations de taux.
Conclusion
A travers ce stage j'ai pu constater à quel point la notion de risque était une préoccupation
quotidienne de la banque. Ainsi, les sommes investies dans les systèmes pour dépasser ce défi de
calcul précis du risque sont colossales.
La VAR a fortement contribué à la satisfaction des exigences légales en terme d’allocation des
fonds propres réglementaires tout en limitant le montant de ceux-ci par rapport aux calculs avec
des indicateurs traditionnels de risque.
75
La mise en place d’un modèle interne comporte donc des enjeux importants pour la banque car il
permet de mieux calculer les risques et donc diminuer l’allocation de fonds propres. Cela va donc
permettre à la banque d’avoir une meilleure rentabilité et d’être plus attractive pour les
investisseurs.
Nous avons pu voir que le modèle était basé sur la VaR, il est vrai que c’est un outil qui est très
séduisant car il est facile à conceptualiser et permet d’évaluer rapidement les risques encourus par
la banque. La Var permet de répondre à ces enjeux de Risk Management car c'est un véritable
outil de pilotage qui permet de déterminer les pertes potentielles d'une activité. Il peut donc être
utilisé pour ajuster les positions en fonction du risque toléré mais aussi pour comparer les ratios
risque/rentabilité de plusieurs activités. Mais la VaR n’est pas une mesure cohérente de risque,il y
a quelques années encore les professionnels des marchés financiers estimaient que la non sous
addivité de la VaR était un problème purement universitaire, aujourd’hui on se pose la question
d’établir une vraie mesure de risque tel que la CVaR ou l’Expected Shortfall. L’existence d’u n
unique modèle de risque pour tous les acteurs de marchés est critiqué et peut être une source de
risque systémique.
La commission bancaire demande de compléter ce modèle par un backtesting afin de le valider.
De plus, la banque se trouve dans l’obligation de mettre en place des stress testing qui permettent
d’évaluer les scénarios extrêmes car l’hypothèse de loi normale est souvent contredite par les
variations du marché.
76
V. Bibliographie
Cours « Gestion Globale des risques et Var » ,Alain BUTERY , Dess actuariat« Options , Futures , Other Derivatives » John HULL« Valuing American option by simulation , A simple least squares approch », Longstaff etScharwz
ACERBI, C (2002) Spectral Measures of Risk: a Coherent Representation of Subjective RiskAversion http://www.gloriamundi.org/var/wps.html
77
VI. Annexes
78
Annexe 1 . Scénario des stress testing(in bp) 1 day 3 months 2years 5 ans 10 years 15 years 50 years
Up_5bp_EUR 1 1 4 5 5 5 5Up_10bp_EUR 1 2 9 10 10 10 10Up_25bp_EUR 3 5 22 25 25 25 24Up_40bp_EUR 4 8 35 39 39 40 39Up_50bp_EUR 5 10 44 49 49 50 49Up_60bp_EUR 6 12 53 59 59 59 59Up_75bp_EUR 8 16 66 74 74 74 73Up_90bp_EUR 9 19 79 88 89 89 88Up_100bp_EUR 10 21 88 98 99 99 98Down_5bp_EUR -1 -1 -4 -5 -5 -5 -5Down_10bp_EUR -1 -2 -9 -10 -10 -10 -10Down_25bp_EUR -3 -5 -22 -25 -25 -25 -24Down_40bp_EUR -4 -8 -35 -39 -39 -40 -39Down_50bp_EUR -5 -10 -44 -49 -49 -50 -49Down_60bp_EUR -6 -12 -53 -59 -59 -59 -59Down_75bp_EUR -8 -16 -66 -74 -74 -74 -73Down_90bp_EUR -9 -19 -79 -88 -89 -89 -88Down_100bp_EUR -10 -21 -88 -98 -99 -99 -98Flat_rally_EUR 0 0 0 -1 -5 -7 -10Flat_sellof_EUR 1 2 9 9 5 3 0Steep_rally_EUR -1 -2 -9 -9 -5 -3 0Steep_sellof_EUR 0 0 0 1 5 7 10Up_5bp_USD 0 1 4 5 5 5 5Up_10bp_USD 1 2 9 10 10 10 10Up_25bp_USD 1 4 18 20 20 20 20Up_40bp_USD 1 8 35 39 39 40 39Up_50bp_USD 2 10 44 49 49 49 49Up_60bp_USD 2 13 53 59 59 59 59Up_75bp_USD 8 16 66 74 74 74 73Up_90bp_USD 9 19 80 89 89 89 88Up_100bp_USD 10 21 89 99 99 99 98Down_5bp_USD 0 -1 -4 -5 -5 -5 -5Down_10bp_USD -1 -2 -9 -10 -10 -10 -10Down_25bp_USD -1 -4 -18 -20 -20 -20 -20Down_40bp_USD -1 -8 -35 -39 -39 -40 -39Down_50bp_USD -2 -10 -44 -49 -49 -49 -49Down_60bp_USD -2 -13 -53 -59 -59 -59 -59Down_75bp_USD -8 -16 -66 -74 -74 -74 -73Down_90bp_USD -9 -19 -80 -89 -89 -89 -88Down_100bp_USD -10 -21 -89 -99 -99 -99 -98Flat_rally_USD 0 0 0 -1 -5 -7 -10Flat_sellof_USD 0 2 9 9 5 3 0Steep_rally_USD 0 -2 -9 -9 -5 -3 0Steep_sellof_USD 0 0 0 1 5 7 10Vol_up_100bp_EURVol_down_100bp_EUR 1% shockVol_up_100bp_USDVol_down_100bp_USD
79
Annexe
Les deux grands types de swaps de taux sont :
Les swaps de taux fixe contre taux flottant : Swap dans lequel une contrepartie emprunte (prête) à
taux fixe et prête (emprunte) à taux variable ;
Contrepartie A Contrepartie B
Intérêts fixes
Intérêts variables
Les swaps de taux flottant contre taux flottant ou "basis swap" : Swap dans lequel une
contrepartie emprunte (prête) à taux variable et prête (emprunte) à taux variable dans une
référence différente ;
Contrepartie A Contrepartie BIntérêts variables
Intérêts variables
Exemple d’utilisations des swaps par les entreprises
Les entreprises peuvent trouver de nombreuses applications des swaps, ce qui explique
l’explosion depuis une vingtaine d’années du nombre de swaps traités dans les salles de marché.
3.1 Réplication d’un emprunt à taux fixe
Pour une entreprise n’ayant pas de garantie financière suffisante, il peut lui être difficile d’obtenir
à taux fixe un prêt à moyen, long terme auprès d’une banque.
Dans ce cas de figure, cette société peut être amener à ne pouvoir obtenir qu’un prêt renouvelable
à court terme. Ce prêt a, comme inconvénient, pour cette entreprise qui a besoin d’un prêt à
moyen ou long terme, de l’exposer aux variations des taux. Afin de fixer le taux de ce prêt, elle
peut alors mettre en place un swap avec une autre banque qui lui versera à chaque échéance un
taux variable en contrepartie du versement d’un taux fixe. En résumé, cette opération revient à :
80
Taux variable
Banque A
SwapSociété A Banque B
Taux variable
Taux fixe
Ainsi, cette société aura fixé le niveau de taux de son emprunt.
3.2 Anticipation d’une baisse des taux
Au contraire de l’exemple précédent, si une entreprise a contracté un prêt à long terme à un taux
fixe prédéfini mais qu’elle anticipe une baisse des taux, elle peut être amenée mettre en place un
swap afin de transformer son emprunt à taux fixe en un emprunt à taux variable.
Cette société serait alors amenée à mettre en place un swap dans lequel elle recevrait un taux fixe,
lui permettant de financer sa dette, et paierait un taux flottant, lui permettant de profiter de la
baisse des taux anticipée.
Coupon
Investisseur
SwapSociété BanqueCoupon
Taux flottant
Par exemple, si on considère un swap ayant les caractéristiques suivantes :
Nominal : 10 millions d’euros ;
Date de départ : 04 Octobre 2004 ;
Maturité : 2 ans ;
Taux fixe reçu chaque année : 2,87% (base exact/360)
Taux variable payé chaque 6 mois : Euribor 6m mois (base exact/360)
Si, au moment du pricing de ce swap, les taux de marché sont les suivants :
81
Échéance Taux zéro-coupon Taux de marché6M 2.18483 2.166681Y 2.29475 2.385492Y 2.57865 2.99532
Le calcul des coupons est réalisé à partir de la formule suivante :
���
����
�
= 360____
_*.échéancdernierdepuisjoursnombre
marchetauxNomCoupon
Où le Nom. est le nominal du swap
Les flux futurs pour le swap, présenté précédemment, aux conditions de marché indiqués seront
alors égaux, au jour de pricing de ce swap, à :
6M 182 182 - (108 957,22) 1Y 183 365 287565,00 (120 559,60)
18M 183 547 - (135 164,33) 2Y 183 730 287565,00 (151 157,31)
Coupons flottantsÉchéance Nombre de jours entre les échéances
Nombre de jours dépuis le départ du swap Coupons fixes
Finalement le prix de ce swap est égal à la somme des flux actualisés à la date de pricing de ce
swap. Ce swap est donc égale à :
.
100257865.21
1136407.
10043399.21
1135164.
10029475.21
1167005
10016668.21
1108957 2360547
360182
��
���
� +×+
��
���
� +
×−
��
���
� +×+
��
���
� +
×−=���
����
����
����
�P
.54796=
Ainsi, la valeur de marché de ce swap est égale à 54 796€.
Annexe 2.
1. Utilisations Inverse Floater
Les titres Reverse Floater permettent aux investisseurs de se positionner sur l’ensemble de la
courbe des taux et de bénéficier d’une rémunération intéressante :
� en cas de baisse des taux longs. Le titre sera revendu quand l’investisseur estimera la
baisse des taux terminée. La plus-value sera d’autant plus importante que le levier sera
élevé.
82
� si les taux courts baissent ou restent bas pendant une assez longue période.
L’investisseur aura en effet touché un coupon élevé pendant toute la durée du portage.
Quand il estime probable une remontée des taux courts, il pourra revendre son titre à un
niveau sensiblement identique à son prix d’achat - si toutefois les taux longs n’ont pas
monté.
� Si les taux courts sont assez bas, mais que l’investisseur craint une remontée des
taux longs, il pourra acheter des titres Reverse Floater de maturité courte, et les porter
jusqu’à leur échéance.
2. Exemple
La courbe des taux est fortement croissante. Un investisseur ne croit pas à une remontée des taux
courts telle qu’elle est anticipée par le marché. Il prévoit également une stabilité des taux longs.
Il peut donc acheter des titres à taux fixe sur des maturités lointaines, et financer son achat par
des emprunts à taux variables ou en se refinançant à court terme. Il sera ainsi en “portage positif”,
c’est-à-dire que son titre aura un rendement supérieur au coût de financement.
L’achat d’un titre Reverse Floater permet d’augmenter son gain de portage. Comparons les effets
de l’achat d’un titre Reverse Floater et d’un titre à taux fixe émis au pair :
A t = 0, la courbe est croissante :
Euribor 3 mois = 4.677 %, swap 1 an = 4.615 %, swap 2 ans = 4.63 %, swap 5 ans = 4.94 %.
83
• L’investisseur peut acheter un titre à taux fixe ou un titre Reverse Floater :
Titre à taux fixe Titre Reverse Floater
Maturité : 5 ans 5 ans
Prix d’achat : 100.00% 100.00%
Coupon : 4.85% trimestriel
Bond Basis,
(1.2125% tous les
trois mois)
(9.56% - Euribor 3 mois)
en base Money Market
tous les trois mois
Conditions particulières : néant si Euribor 3 mois > 9.56%,
le coupon versé est nul.
Remboursement : 100% au bout de 5
ans
100% au bout de 5 ans
• Au bout d’un an, la courbe s’est translatée vers le bas de 0,50%. Les deux titres ont alors les
valeurs suivantes (après détachement du coupon) :
Titre à taux fixe Titre Reverse Floater
Coupons versés au cours de l’année 1
:
4.85% constant 4.9% , 5.02% , 5.15% ,
5.27%
Moyenne des coupons : 4.85 % 5.1 %
Prix de revente du titre : 102.07 % 104.11 %
Taux de rendement global sur l’année
1 en cas de revente :
6.82 % 9.61 %
� Sur ce tableau, on constate que la sensibilité du titre Reverse Floater est égale à un peu moins
du double de celle du titre à taux fixe : lors du mouvement de baisse des taux, le prix de
revente du Reverse Floater a monté de 4.11% par rapport au pair, soit deux fois plus que le
titre à taux fixe (2.07%).
84
� De plus, le titre Reverse Floater a servi des coupons importants au cours de la première année,
dus au niveau bas des taux courts. Ces deux facteurs lui permettent d’afficher une rentabilité
très élevée en cas de sortie anticipée.
• Encore un an plus tard, la courbe s’est aplatie, tous les taux sont à présent à 4.60 %, c’est-à-
dire qu’ils sont égaux au taux du swap 4 ans au bout de l’année 1. Les deux titres ont
maintenant les valeurs suivantes (après détachement du coupon) :
Titre à taux fixe Titre Reverse Floater
Coupons versés au cours de l’année 2
:
4.85% constant 5.56% constant
Moyenne des coupons sur les deux
premières années:
4.85% 4.96%
Prix de revente du titre : 102.36 % 103.42%
Taux de rendement global sur les deux
premières années en cas de revente :
5.54 % 6.86%
� Le prix du titre à taux fixe a légèrement monté, à cause de l’actualisation sur une durée plus
courte d’un coupon plus haut que le rendement, ce dernier restant identique.
� Par contre le prix du Reverse Floater a baissé, car la courbe des taux s’est aplatie. Son
rendement se rapproche alors de celui d’un titre à taux fixe.
3. Spécificités – variants
• Si la valeur théorique du coupon Reverse Floater est négative, le coupon effectivement versé
est nul. Cela est possible parce que l’achat d’un titre Reverse Floater comporte implicitement
l’achat d’un cap sur le taux variable, à un strike très en dehors de la monnaie.
85
• La sensibilité d’un titre Reverse Floater est approximativement égale à (n+1) fois la sensibilité
d’un titre à taux fixe émis au pair de même maturité. La sensibilité du Reverse Floater est
cependant toujours légèrement inférieure à cette valeur, car le cap implicite contenu dans le
titre Reverse Floater a une sensibilité opposée.
• Le prix d’un titre à taux fixe dépend essentiellement du niveau des taux à la maturité du titre.
Le prix d’un titre Reverse Floater dépend de toute la courbe des taux, car celle-ci permet de
déterminer les taux courts futurs anticipés, et donc les coupons futurs du Reverse Floater
Annexe3 .
Trouver σ tel que : f(σ )=P BS (σ )-P Marché =0Ceci peut être résolu pour (V T -Ke Marché Prime) <+−rT < V T oùP BS : Prime de l’option calculé par le modèle de Black
P Marché : Prime de l’option de marché
a) Algorithme de Newton-Raphson
On a P BS (σ ) =P BS ( 0σ ) + )()(
*)( 00 σσσσσ
∂∂
− BSP Développement de Taylor à l’ordre 1
≅ P BS ( 0σ ) + )(*)( 00 σσσ vega−
On égalise cette expression au prix de l’option observé sur le marché P Marché . On aboutit à une
meilleure approximation notée 1σ de la volatilité implicite.
1σ = 0σ - )(
P- )(P
0
Marché0BS
σσvega
Plus généralement :
1+nσ = nσ -)(
P- )(P MarchéBS
n
n
vega σσ
On commence par se fixer une valeur σ 0 ( =0.9).
Tant que f(σ ) >ε faire :
1+nσ = nσ -)() f(
'n
n
f σσ
= nσ -)(
P- )(P MarchéBS
n
n
vega σσ
86
En pratique, lorsque la prime de l’option de marché est très proche des bornes d’arbitrages, la
dérivé )( nBSP σσ∂∂
= )( nvega σ devient trop petite, ce qui peut conduire à des instabilités
numériques . Dans ce cas il est préférable d’utiliser la méthode de dichotomie (ou bissection)
b) Méthode de dichotomie
Supposons que nous voulions résoudre l’équation f (σ )=P BS (σ )-P Marché =0. Etant donné deux
points a et b tel f(a) et f(b) soient de signes opposés nous savons par le théorème des valeurs
intermédiaires que f doit avoir au moins un zéro dans l’intervalle [a, b] . Si l ‘on coupe
l’intervalle en deux avec c comme abscisse du point milieu c=(a + b)/2, deux situations peuvent
se présenter : soit
f(a)*f(c)<0, la racine se trouve alors sur l’intervalle [a, c], soit f(b)*f(c)<0 et la racine se trouve
alors sur l’intervalle [c, b]. Quoi qu’il en soit, nous disposons d’un intervalle plus petit [a )1( ,b ])1(
( c’est soit [a,c] soit [c,b]) sur lequel nous pouvons à nouveau opérer un découpage en deux. Au
bout de i bissections, l’intervalle courant a une largeur de i
ab2− et la racine est localisée sur
l’intervalle [a )(i ,b ])(i . Lorsque la précision est jugée suffisante, à l’étape n, la racine vaut
r )()( nn ba ≈≈ .
La méthode de dichotomie est moins efficace que la méthode de Newton mais est moins encline à
de mauvais comportements
Annexe 4 .
Modèle de Black-Scholes
Le modèle de Black- Scholes est un modèle (temps continu) à deux actifs, l’un sans risque S 0t et
l’autre risqué S t .
L’évolution de S 0t vérifie : d S 0
t =r S 0t dt Soit S 0
t = S 00 e rt = e rt car on pose S 0
0 =1et r
représente le taux d’intérêt.
On suppose aussi que l’évolution du cours de l’actif risqué est régie par l’équation différentielle
stochastique :
87
dS t = ttt dBSdtS σµ + où µ représente le drift et σ représente la volatilité ,
On suppose µ et σ constants et
tB est un mouvement brownien de moyenne nulle et d’ecart-type t.
dt est l’intervalle de temps
La solution de cette équation est : S t =StBtt
eσσµ +−
20
2
, il en résulte que S t suit une loi log-normale.
µ
