LCE Clase8
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4. Modulacin Angular
4.1. FM de Banda Angosta y Ancha
Para entender el concepto de variacin de frecuencia definiremos la
frecuencia instantnea. En la siguiente imagen se ilustra una seal
sinusoidal de frecuencia constante para t
-
Si en lugar de variaciones bruscas tuviramos variaciones
graduales como se ilustra a continuacin, se requerira de una
representacin sinusoidal generalizada.
4. Modulacin Angular
-
En sentido estricto la seal f(t) no puede expresarse por una seal
sinusoidal ordinaria, por lo que ser conveniente definir una forma
generalizada. Para una funcin sinusoidal ordinaria de frecuencia
fija,
Entonces, si consideramos el caso general
donde
Esta ltima es la frecuencia instantnea que vara con el tiempo. La
frecuencia instantnea establece la relacin que existe entre
frecuencia y fase. De otra forma,
4.1. FM de Banda angosta y ancha
0 tACostf c
dt
d
tt
ttf
c
c
COS
0
dt
d
dt
i
i
-
Las tcnicas de modulacin en donde se hace variar el ngulo de la
portadora con una seal modulante, se conoce como modulacin
angular.
Los dos mtodos de uso comn son:
Modulacin en frecuencia(FM). Modulacin en fase (MF o PM).
Si el ngulo vara linealmente con f(t), entonces:
Donde K es una constante, y la forma obtenida constituye la
modulacin en fase. La frecuencia instantnea de tal seal est
dada por:
En este tipo de modulacin la frecuencia instantnea vara
linealmente con la derivada de la seal modulante.
tKftt c 0
dt
dfK
dt
dci
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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Si lo que se tiene es una variacin directa en funcin de la seal
modulante, la modulacin es en frecuencia.
En tal caso:
Y:
De forma general las seales de FM y MF estn dadas por las
expresiones siguientes.
tKfci
dttfKtdttKfdtt cci
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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Las seales MF y FM son:
De lo anterior podemos concluir que:
En FM en cambio, el ngulo vara linealmente con la integral de la seal modulante.
En MF, el ngulo vara linealmente con la seal modulante.
MF y FM estn relacionadas, pues cualquier variacin de la fase de
una onda produce variacin de su frecuencia.
tKftAt
dttfKtAt
cMF
cFM
cos
cos
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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FM de Banda Angosta
La forma general de la seal FM est dada por:
tKfdt
dgK
dt
d
dttftg
AedttfKtAt
cci
tKgtj
cFMc
:es ainstantne frecuencia La
donde
cos
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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El trmino representa la desviacin de la frecuencia de la
portadora de su valor inicial esttico C, por tanto K controla dicha desviacin. Para valores pequeos, la desviacin de la frecuencia
es reducida y el espectro de la funcin FM tendr un ancho de
banda angosto.
Si K es tan pequea que entonces,
Portadora banda lateral
ttAKgtAt
ttAKgttAjKgtAjtAt
tjttjKgAetjKgAt
tjKge
ccFM
ccccFM
cc
tj
FM
tjKg
c
sincosRe
y
sincossincos
sincos11
iaconsecuencen y
1
tKf
1tKg
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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4.1. FM de Banda angosta y ancha
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De la misma manera, para la seal de MF la frecuencia instantnea
es:
Y en su forma exponencial:
Portadora banda lateral
ttAKftAt
ttAKfttAjKftAjtAt
tjttjKfAt
etjKfAAetKftAt
ccMF
ccccMF
ccMF
tjtKftj
cMFcc
sincosRe
y
sincossincos
sincos1
1cos
dt
dfK
dt
dci
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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4.1. FM de Banda angosta y ancha
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Cada seal tiene un trmino de portadora y las bandadas laterales
que estn centradas en torno a la frecuencia central. Si
Fj
G
Fj
dttftg
Gtg
Ftf
1
tantolopor
1
como
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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Y el espectro de frecuencia de la seal FM de banda angosta es:
Comparando el espectro de FM y AM se observa que en ambos
casos existe un trmino de portadora y una componente de banda
lateral.
Sin embargo, el espectro de la banda lateral en FM tiene una
diferencia de fase de /2 con respecto a la portadora. As una seal
FM de banda angosta ocupa el mismo ancho de banda que una
seal AM aunque son formas de onda diferentes.
cc
ccFM
GGjAK
A
2
cc
ccAM
aa
FFt
21
21F
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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FM de Banda Ancha
El ancho de banda de una seal FM est dado aproximadamente
por:
En donde m es el ancho de banda de f(t). Si
entonces el trmino representa la desviacin mxima
denotada por de la frecuencia portadora. En este caso el ancho
de banda ser
Para llegar a este resultado nos aproximamos a la seal mediante
una seal en forma escalonada como la de la siguiente figura
rps22max m
tfKW
tKfci
tKf
rps22 mW
4.1. FM de Banda angosta y ancha
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4.1. FM de Banda angosta y ancha
Aqu es posible
suponer que la seal
es constante en un
perodo de muestreo
de 1/2fm seg.
Obsrvese l cambio
de frecuencia
repentino en cada
instante de
muestreo. Tal pulso
se representa a la
izquierda
Y su espectro,
donde el pulso
ocupa la banda
Quedando en el
intervalo
mimi 2 hasta 2
2 hasta 2maxmax mkcmkc
tfKtfK
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4.1. FM de Banda angosta y ancha
El ancho de banda de la seal FM est dado por:
Para FM de banda ancha
Si la frecuencia de la portadora tiene una desviacin mxima de
, entonces la frecuencia de la seal de FM varia desde
mmk
mkcmkc
tfK
tfKtfKW
2242
22
max
maxmax
2
y
W
m
2
ser banda de ancho el por tanto
hasta cc
-
4.1. FM de Banda angosta y ancha
Verificaremos para el caso de una seal sinusoidal.
La cantidad se llama ndice de modulacin.
tsentjtKgtjFM
mcci
m
m
mm
m
mmcc AeAet
aK
taKtKf
tsena
tg
dttadttadttftg
ttatf
que modo talDe
esportadora la de desviacinmxima la
cos
como
coscos
0para cos
t
0
t
0
m
-
4.1. FM de Banda angosta y ancha
Por lo tanto:
El primer trmino exponencial es una funcin peridica (2/m) que
puede desarrollarse en serie de Fourier
cmfmfc jtsenjmtsenmjFM
f
mm
eAeAet
maK
como
dteeC
eCe
m
m
mmf
mmf
tjntsenjmmn
n
tjn
n
tsenjm
2
donde
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4.1. FM de Banda angosta y ancha
Esta ltima integral no se puede evaluar de forma cerrada , pero se
encuentra ya tabulada a travs de funciones de Bessel de primera
clase y de orden n. En la siguiente pgina se muestran grficas de
esta funcin:
dxedxeeC
dxdtxt
nxsenxmjjnxsenxjm
n
mm
f
m
m
f
2
1
2
1
haciendo
fnfnfnfn
tjn
n
fn
senxjm
mJmJmJmJ
emJe mf
y
que cumple se
adems donde en haciendo
-
4.1. FM de Banda angosta y ancha
n
mcfn
n
tjn
fn
tj
FM tntmJAemJAetmc cos
:por tanto
-
Utilizando las propiedades de las funciones de Bessel:
La seal modulante f(t) de frecuencia m da lugar a bandas laterales
como se ilustra a continuacin
4.1. FM de Banda angosta y ancha
....
3cos3cos
2cos2cos
coscoscos
3
2
10
ttmJ
ttmJ
ttmJtmJ
Atmcmcf
mcmcf
mcmcfcf
FM
,...3,2, mcmcmc
-
Por lo tanto, la seal de FM contiene un nmero infinito de
componentes y su ancho de banda es infinito. Sin embargo, en la
prctica las amplitudes de las componentes espectrales de
frecuencia superior son despreciables y la mayor parte de la
energa queda contenida en los componentes espectrales situaos
dentro de un ancho finito. Para
4.1. FM de Banda angosta y ancha
ivas.significatson 4y 3,2,
lesdespreciab amplitudes tienen ,...,,
2*
lesdespreciab amplitudes tienen ,...,,
ivas.significat magnitudes tienen y
1*
65
32
10
mcmcmcmcc
f
f
mJmJ
m
mJmJ
mJmJ
m
-
Por tanto, para FM de banda ancha:
4.1. FM de Banda angosta y ancha
m
mf
mm
f
mfm
f
W
mW
aKm
mW
nm
22
precisa ms forma de
22
como
22
es seal la de totalbanda de ancho ely
*
-
Esta regla constituye una buena aproximacin en el caso de FM de
banda ancha, para sistemas de banda angosta donde
Por eso, el ancho de banda requerido para la transmisin de una
seal FM es de aproximadamente el doble del requerido para una
AM. En la siguiente figura se ilustra el requerimiento de ancho de
banda en funcin del ndice de modulacin.
4.1. FM de Banda angosta y ancha
m
m
W
2
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4.1. FM de Banda angosta y ancha
Para mf>1 el ancho de banda W es de aproximadamente el doble
de la desviacin . La comisin federal de comunicaciones (FCC) ha fijado en 75KHz
el mximo valor de f, por tanto el ancho de banda requerido es de aproximadamente 150KHz.
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4.2. Modulacin por Multiplicidad de Frecuencias A continuacin ampliaremos el estudio previo en el que slo se
consideraba una seal modulante de una sola frecuencia al caso de
multiplicidad de frecuencias. Considrese
tsenjmtsenjmtjtsenmtsenmtjtjFM
c
ci
cci
eeAeAeAet
aKm
aKm
tsenmtsenmtt
tsena
tsena
Ktdtt
Kaa
tataKtKf
tatatf
cc 22112211
tantolopor
, donde
que modo talDe
es frecuencia la de desviacin mxima la
coscos
coscos
2
22
1
11
2211
2
2
21
1
1
21
2211
2211
-
4.2. Modulacin por Multiplicidad de Frecuencias
Utilizando series de Fourier y funciones de Bessel:
Cuando f(t) se compone de dos frecuencia, el espectro de FM
contiene las bandas laterales
tknmJmJAt
emJmJAt
emJemJAeeeAet
c
n k
knFM
tknj
n k
knFM
n
tjnm
n
n
tjnm
n
tjtsenjmtsenjmtj
FM
c
cc
2121
21
21
cos
21
212211
21 , nn cc
-
4.2. Modulacin por Multiplicidad de Frecuencias
Comparando con AM donde cada frecuencia nueva de la seal
modulante produce sus propias bandas laterales, en FM existen
trminos de modulacin cruzada y por eso se dice que AM es una
modulacin lineal en tanto que FM es una modulacin no lineal.
-
4.2. Modulacin por Multiplicidad de Frecuencias
-
4.3. Modulacin con Onda Rectangular
Consideraremos ahora el caso de FM en el que la seal modulante
f(t) es una onda rectangular.
En tal situacin la frecuencia instantnea de la seal de FM est
dada por:
La desviacin mxima de la frecuencia portadora en este caso es K
pues la amplitud mxima de f(t), es 1.
dttfKt
ttdttfKtdtt
tKf
cci
ci
donde
que modo talDe
-
4.3. Modulacin con Onda Rectangular
-
-n
scnFM
-n
tnj
n
-n
tjn
n
tjtjtj
FM
s
-n
tjn
n
tj
tjtjttjtj
FM
tnAt
eAeAeeAet
Tee
eAeAeAet
nTtt
Tt
Tt
T
Tt
Tt
t
scscc
s
cc
cos
2 donde
Fourier de serie Usando
que modo talDe
4
3
42
44
4.3. Modulacin con Onda Rectangular
Por lo tanto,
-
s
n
n
T
T
tjntj
n
nSanSa
dteeT
s
donde
21
22
1
Integrando
143
4
4.3. Modulacin con Onda Rectangular
En donde:
-
4.3. Modulacin con Onda Rectangular
-
4.4. Modulacin Lineal y No Lineal
Para un ndice de modulacin pequeo FM presenta un
comportamiento aproximadamente lineal. Por ejemplo para una
seal modulante con dos frecuencias la seal FM es:
Una definicin general de modulacin lineal implica que la seal
modulada es una funcin de la seal modulante de no ser as es
una modulacin no lineal.
En particular FM no lo es.
Para un ndice de modulacin pequeo se puede suponer que FM
es lineal, debido a que los trminos de modulacin cruzada resultan
despreciables.
tjFM cetsenjmtsenjmAt
tatatf
2211
2211
1
coscos
-
4.5. Generacin de Seales FM