latihan 3.2

TUGAS

MATA KULIAH : ANALISIS REAL PENGAJAR : Dr. Widowati, M.Si

Di Susun Oleh :

1. Restu Mustika Hadi ( 4101508004 )2. YB. Ardy Widyanto ( 4101508005 )3. Indah Setyowati ( 4101508006 )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCASARJANA UNNES

SEMARANG

Tugas Analisis Real Hal 1

Latihan 3.2.

9. Diberikan untuk n Є N. Tunjukkan bahwa ( yn ) dan ( konvergen.

Akan ditunjukkan (yn) konvergen dengan cara menunjukkan bahwa lim (yn) ada.

=

=

=

=

=

Karena maka (yn) konvergen ke 0.

Akan ditunjukkan konvergen dengan cara menunjukkan

ada.

=

=

=

=

=

=

Karena maka konvergen ke ½ .

14. Tunjukkan jika zn = (an + bn)1/n di mana 0<a<b maka lim(zn) = b.


Jawab :Dipunyai 0<a<b 0 < an < bn

0 + bn < an + bn < bn + bn

bn < an + bn < 2bn

(bn)1/n < (an + bn)1/n < (2bn)1/n

b < (an + bn)1/n < 21/nbKarena lim b = b = lim21/nb, maka berdasarkan Teorema Apit lim(an + bn)1/n = b.

15. Menggunakan teorema 3.2.11 untuk menentukan barisan, dimana a, b

memenuhi

0 < a < 1, b >1.

a. (an) b.

c. d.

Penyelesaian:

a. (an)

A.d.b barisan (an) konvergen.

Bukti:

Misal dipunyai (an), dimana (an) suatu barisan, (an) .

Sehingga,

lim = lim = lim (a) = a.

karena a < 1, maka barisan (an) konvergen ke 0.

b.

A.d.b. barisan konvergen.

Bukti:

Misal dipunyai , dimana suatu barisan, b > 1.

Karena


lim < 1, jika 1 < b < 2

maka lim = 0, artinya barisan konvergen ke 0.

c.


Bukti:

Karena lim , jika 1 < b < 2


d.


Bukti:

Karena lim


16. a. X := (xn) dengan , a, b Є R adalah contoh barisan yang

konvergen dan nilai dari , sebab


yang artinya X konvergen ke 0 dan

=

b. Barisan X:= (xn) dengan (xn) = an + b , a,b Є R merupakan contoh barisan

yang divergen dan , jelas bahwa xn= an + b barisan yang tak

terbatas sehingga (xn) divergen kemudian

.

17. Jika (Xn) barisan bilangan real positif sedemikian sehingga ,

dengan L > 1, tunjukkan bahwa Xn tidak terbatas dan karenanya tidak konvergen.

Bukti :Adb : (xn) tak terbatas.

Karena ada maka untuk sebarang ε > 0 terdapat K Є N sedemikian

sehingga untuk n > K berlaku atau dapat ditulis

L – ε < xn+1/xn < L + ε dari bentuk ini kita dapatkan 2 hal yaitu : 1. L < xn+1/xn dan karena 1 < L bisa ditulis 1 < xn+1/xn

Karena xn > 0 maka bentuk terakhir dapat ditulis xn < xn+1 yang berarti xn merupakan barisan yang monoton naik. 2. Karena L > 1 maka terdapat bilangan r sedemikian sehingga 1 < L < r dan

misalkan ε = r – L > 0 xn+1/xn < L + ε = L + r – L = r dan diperoleh 0 < xn+1 < xn.r < xn-1.r2 < .... < xk.rn-k+1 , n ≥ k Jika C = xk / rk, maka 0 < xn+1 < C. rn+1 , karena r > 1 maka lim rn+1 = ∞

yang berarti tidak ada batas atas dari xn+1 yang juga berarti tidak ada batas atas untuk xn.

Karena xn monoton naik dan tidak ada batas atas maka dikatakan xn tak terbatas.

18. Diskusikan kekonvergenan dari beberapa barisan berikut, di mana a, b memenuhi 0 < a < 1, b>1.


a). (n2an) b). ( )

c) ( ) d). ( )

Jawab: a). 0 < a < 1 maka an > an+1 n2an > n2an+1. Hal ini berarti n2an monoton turun

dan terbatas sehingga n2an konvergen. Kita akan menunjukkan ke mana n2an konvergen.

Misal : xn = (n2an).Maka : xn+1 = ((n+1)2an+1) = (n2 + 2n + 1)an+1

Sehingga:

= = =

Maka lim( ) = lim( ) = alim = a.1 = a

Karena a < 1, maka berdasarkan Teorema 3.2.11 maka lim xn = 0. Sehingga n2an konvergen ke 0.

b). Misal : xn =

Maka lim(xn) = lim( )

= e= e= e= e

Berarti xn = divergen.

c). Misal : xn =

Maka : xn+1 = =

Sehingga

=


= =

Lim = 0. Karena 0 < 1, maka berdasarkan teorema 3.2.11 lim xn = 0.

d). xn = xn =

xn+1 = = xn+1 =

Dengan teorema Binomial:

(n+1)n = nn + nn-1 + nn-2 + … + 1

Karena n > 0 berarti:(n+1)n > nn

Sehingga <

Artinya xn+1 < xn

Sehingga xn+1 < xn.

Berarti xn monoton turun dengan batas bawah 0, sehingga xn konvergen ke 0.

19. Dipunyai (xn) merupakan barisan anggota bilangan riil positif sedemikian

hingga lim = L < 1. tunjukkan bahwa terdapat r dengan 0 < r < 1

sedemikian hingga 0 < xn < rn untuk suatu . Gunakan pernyataan

tersebut untuk membuktikan lim (xn) = 0.

Penyelesaian:

(i) A.d.b. terdapat r dengan 0 < r < 1 sedemikian hingga 0 < xn < rn untuk

setiap .

Bukti:

Dipunyai (xn) sedemikian hingga lim = L < 1.

Karena (xn) barisan real positif, maka .

Menurut teorema Archimedes, jika maka terdapat

sedemikian hingga .


Menurut teorema Kepadatan Bilangan Real, jika , m dan

, maka terdapat bilangan rasional sedemikian hingga

.

Sehingga diperoleh, .

(ii) A.d.b. lim (xn) = 0

Bukti:

Karena (0) dan (rn) barisan real dan , untuk setiap , dan

lim (0) = lim (rn) = 0,

maka lim (xn) = lim (rn) = 0.

Jadi, lim (xn) = 0.

20. a) Berilah sebuah contoh barisan bilangan positif yang konvergen (xn) sedemikian sehingga bahwa lim(xn)1/n = 1.

Jawab:

a).Pilih xn = yang konvergen ke 0.

Maka xn1/n = ( )1/n = n-1/n.

Maka lim(xn)1/n = lim(n)-1/n = e = e = e

= e0

= 1. b). Pilih xn = n yang merupakan barisan divergen.

Maka xn1/n = n1/n

Maka lim(xn)1/n = lim(n)1/n = e = e = e = e0

= 1.


21. Dipunyai (xn) merupakan barisan konvergen dan (yn) sedemikian hingga

untuk setiap terdaoat M sedemikian hingga untuk suatu

. Apakah (yn) konvergen?

Penyelesaian:

Dipunyai (xn) barisan konvergen, dan (yn) sedemikian hingga, untuk setiap

terdapat M, sedemikian hingga , untuk semua .

A.d.b. (yn) konvergen.

Bukti:

*) Ambil sembarang .

Karena (xn) konvergen maka lim (xn) ada.

Misalkan lim (xn) = t, untuk suatu , maka terdapat sehingga

.

Sehingga diperoleh ……………………………………………

(i)

*) Pilih sedemikian hingga ,

sehingga ………...…………………………………………

(ii)

Dari (i) dan (ii) dijumlahkan diperoleh

Didapatkan .

Artinya lim . Jadi (xn - yn) konvergen.

Karena (xn) dan (xn - yn) konvergen, maka barisan (xn – (xn – yn)) = (yn)

konvergen.


latihan 3.2

Documents

Transcript of latihan 3.2