Laporan Praktikum Integrasi Numerik

Laporan Praktikum

Integrasi Numerik suatu Fungsi dengan Menggunakan Metode Simpson dan

TrapesiumDiajukan untuk Memenuhi Laporan Kegiatan Praktikum Fisika Komputasi

Disusun oleh :

Nama : Zohan Syah Fatomi

NIM : 14/362761/PA/15810

Hari, Tanggal Praktikum : Kamis, 14 April 2016

Asisten Praktikum : Hamid Hamadi

: Jinan Ahmad

: Muhammad Egi

LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASIDEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA2016

1. Pendahuluan1.1 Latar Belakang

Bagi fisikawan setiap peristiwa fisis di bumi ini dapat digambarkan sedemikian rupa dengan perumusan matematika. Misalnya mobil yang bergerak, dapat digambarkan dengan hubungan antara posisi, kecepatan dan percepatannya. Hubungan antara percepatan menuju kecepatan adalah sebuah anti turunan dimana dalam pendapatannya dapat menggunakan metode analisis. Namun pada suatu waktu metode analisis kurang bisa mencapai maksimal terlebih lagi jika fungsi yang dicari adalah masalah yang real kompleks dan non linear. Maka disitulah letak fungsi metode numerik dalam hal ini adalah integrasi numerik.

1.2 Tujuana. Menentukan nilai integrasi suatu fungsi dengan menggunakan metode

numerik : metode simpsonb. Menentukan nilai integrasi dengan fungsi menggunakan metode numerik:

metode trapesium

2. Dasar TeoriDalam Mencari nilai integrasi suatu fungsi secara numerik dapat menggunakan metode berikut ini :

2.1 Metode Simpson

Aturan Simpson adalah suatu aturan yang digunakan untuk menghitung luassuatu kurva polinom berderajat dua p2(x) atau berderajat tiga p3(x) denganpendekatan yaitu pendekatan menggunakan pastisi berbentuk parabola. DalamMetode Simpson ada dua jenis yaitu Metode Simpson 1 per 3 dan MetodeSimpson 3 per 8. Aturan Simpson 1 per 3 ini mempartisi kurva polinom berderajat dua p2(x) dengan 3 titik, 5 titik, 7 titik dan seterusnya sedemikian sehingga ruang partisiyang dibentuk berjumlah genap.

Persamaan Dasar Metode Simpson :

I=∫X 0

X n

f ( x )dx≈ h3[ f 0+4∑

i=1

N /2

f 2 i−1+2 ∑I=1

( N2 −1)

f 2 i+ f N ]

Dimana x0 dan xNmasing-masing adalah batas atas dan batas atas integral, f i≡f (x i ) ,N adalah cacah interval dan h adalah langkah ukuran atau lebar interval yang diberikan kaitan.

h=(x¿¿N−x¿¿0)/N ¿¿N harus bilangan genap.

2.2 Metode Trapesium

Suatu aturan integrasi dengan memakai kaidah seperti menghitung luas geometri pada trapezium.

Dengan perumusan sebagai berikut :

I ≈ (b−a ) f (a )+ f (b)2

Agar intregasi hasilnya semakin bagus maka kita bisa membaginnya dengan n.

∆ x=(b−a)/nx0=a , x1 , x2 , x3 ,…,xn=b

Maka hasilnya adalah jumlahan dari masing-masing integrasi trapezium/

I=∫a

x1

f ( x )dx+¿∫x 1

x 2

f ( x )dx+…+∫xn−1

xn

f ( x )dx¿

3. Metode Eksperimen3.1 Script Komputasi

Metode SimpsonPROGRAM integrasi IMPLICIT NONE REAL :: x0,xn, h, sum, x2il, x2i, integ

x0 = 0.0xn = 1.0n = 20

h = (xn –x0)/n

sum = fung(x0)+fung(xn)

DO i = 1, (n/2)X2i1 = x0 + (2*i-1)*hsum = sum + 4.0*fung(x2i1)write(*,*)sum

END DO

DO i = 1, ((n/2)-1) X2i = x0+2*i*hSum = sum + 2.0*fung(x2i)Write(*,*)sum

END DO

Integ = h * sum / 3.0WRITE(*,*)”Nilai integral numerik adalah”, integ

CONTAINSFUNCTION fung(x)

REAL :: fungREAL, INTENT(in) :: x

fung=3.0*xEND FUNCTION fung

END PROGRAM integrasi

Metode Trapesiumprogram TRAPESIUM

IMPLICIT NONE

REAL::x01, xn1, h1, sum, x2i1, integ1

INTEGER::n1,i

x01=0.0

xn1=2.0

n1=20

h1=(xn1-x01)/n1

sum= fung(x01)+fung(xn1)

DO i=1, (n1-1)

x2i1=x01 +i*h1

sum=sum + 2.0 *fung(x2i1)

write(*,*) sum

END DO

integ1= h1*sum/2.0

WRITE (*,*) "Nilai integrasi numerik trapeium atas adalah = ",integ1

CONTAINS

FUNCTION fung(x)

REAL :: fung

REAL, INTENT (in) :: x

fung=4.0/3.0 +1.0*x/3.0

END FUNCTION fung

END PROGRAM TRAPESIUM

3.2 Fungsi Yang Digunakan

No. f ( x ) n1. 3x 20

3 x 21. 3 x 40

3 x 412. x2+2x 20

−sin (sin ( x )) 203. 3 x 20

x2+2x 20. −sin (sin ( x )) 204. 2 x+3 y=10

x+ y=2y=−x+−4

20

No.3menggunakanmetodetrapeziumdanyanglainnyamenggunakanmetodeSimpson

3.3 Grafik1. f ( x )=x2+2 x

2. f ( x )=−sin (sin ( x ))

3. f ( x )=−x+−4 | 2 x+3 y=10 | x+ y=2

4. Hasil Eksperimen

Setelah dilakukan pembuatan listing program dan mengcompilenya sehingga didapatkan hasil berikut ini :

1. f ( x )=3 x ,n=20Hasil iterasi ke 1 adalah 3.5999999Hasil iterasi ke 2 adalah 5.4000001….….Hasil iterasi ke 19 adalah 84.599998Hasil iterasi ke 20 adalah 90.000000Hasil integrasi = 1.5000000




5. f ( x )=x2+2 x ,n=20Hasil iterasi ke 1 adalah 3.4100001Hasil iterasi ke 2 adalah 4.7000003….….Hasil iterasi ke 19 adalah 74.780006Hasil iterasi ke 20 adalah 80.000008Hasil integrasi = 1.3333335

6. f ( x )=−sin (sin ( x )), n=20Hasil iterasi ke 1 adalah 0.94545758Hasil iterasi ke 2 adalah 1.5409878….….Hasil iterasi ke 19 adalah 24.425089

Hasil iterasi ke 20 adalah 25.836370Hasil integrasi = 0.43060619




10. f ( x )=−x+−4 | 2 x+3 y=10 | x+ y=2 , n=20Hasil iterasi ke 1 adalah 6.0666666Hasil iterasi ke 2 adalah 8.8666668….….Hasil iterasi ke 19 adalah 62.733337Hasil iterasi ke 20 adalah 66.666672Hasil integrasi = 3.3333337

5. Pembahasan

Pada praktikum metode newton raphson yang menggunakan bahasa pemrograman fortran 90. Kode-kode yang digunakan bertujuan untuk membuat suatu iterasi/pengulangan agar mendapatkan nilai integrasi dari suatu fungsi.

Dipercobaan diatas kita membandingkan 2 hal : a. Nilai integrasi dari fungsi dengan metode simpsonb. Nilai integrasi dari fungsi dengan metode trapesium

Dengan perhitungan program diatas didapatkan hasil sebagai berikut :

No. f ( x ) n Hasil1. 3x 20 1.5000000

3 x 21 1.3628119. 3 x 40 1.5000000

3 x 41 1.42831652. x2+2x 20 1.3333335

−sin (sin ( x )) 20 0.430606193. 3 x 20 1.5000001

x2+2x 20 1.3337501. −sin (sin ( x )) 20 0.430472764. 2 x+3 y=10

x+ y=2y=−x+−4

20 3.3333337

Pada no. 3 Metode yang digunakan adalah metode trapezium, yang lainnyamenggunakanmetodesimpson

Jika kita lihat ada nilai-nilai yang tidak cocok pada hasil dari integrasi metode simpson untuk fungsi yang nilai n nya adalah ganjil. Seperti 1.3628119 dari f ( x )=3 x, ini dikarenakan pada nilai n digunakan sebagai batas perulangan iterasi dan pada prinsipnya metode simpson diharuskan untuk membagi dengan jumlah yang genap. Maka jika dipaksakan akan terjadi kesalahan dalam proses iterasi dan membuat nilai hasil integrasinya kacau.

Jika dibandingkan dengan metode trapezium, metode simpson lebih akurat dalam menghitung nilai integrasi suatu fungsi. Semakin banyak nilai n hasilnya semakin halus atau baik.

6. Kesimpulan1. Nilai n pada metode simpson harus genap

2. Dengan perhitungan program diatas didapatkan hasil sebagai berikut :

No. f ( x ) n Hasil1. 3x 20 1.5000000

3 x 21 1.3628119. 3 x 40 1.5000000

3 x 41 1.42831652. x2+2x 20 1.3333335

−sin (sin ( x )) 20 0.430606193. 3 x 20 1.5000001

x2+2x 20 1.3337501. −sin (sin ( x )) 20 0.430472764. 2 x+3 y=10

x+ y=2y=−x+−4

20 3.3333337

3. Pada prinsipnya metode simpson lebih bagus dari pada metode trapesium

7. Daftar Pustaka

1. Nurwantoro, Pekik . 2001. PetunjukPraktikumFisikaKomputasi, Universitas Gadjah Mada:Yogyakarta.

2. Nugroho, Fahrudin. 2014.PemrogramandanMetodeNumerik,UniversitasGadjah Mada:Yogyakarta.

3. Fujianto,2015.Newton-RaphsonTechniquediakses pada tanggal 29 April2016

8. Lembar Pengesahan

Yogyakarta, 20 April 2014

Asisten Praktikum Asisten Praktikum

Hamid Hamadi Jinan Ahmad

Asisten Praktikum Praktikan

Muhammad Egi Zohan Syah Fatomi

9. Lampiran

PROGRAM integrasi IMPLICIT NONE REAL :: x0,xn, h, sum, x2il, x2i, integ

x0 = 0.0xn = 1.0n = 20

h = (xn –x0)/n

sum = fung(x0)+fung(xn)

DO i = 1, (n/2)X2i1 = x0 + (2*i-1)*hsum = sum + 4.0*fung(x2i1)write(*,*)sum

END DO

DO i = 1, ((n/2)-1) X2i = x0+2*i*hSum = sum + 2.0*fung(x2i)Write(*,*)sum

END DO

Integ = h * sum / 3.0WRITE(*,*)”Nilai integral numerik adalah”, integ

CONTAINSFUNCTION fung(x)

REAL :: fungREAL, INTENT(in) :: x

fung=3.0*xEND FUNCTION fung

END PROGRAM integrasi

Laporan Praktikum Integrasi Numerik

Documents

Transcript of Laporan Praktikum Integrasi Numerik