Laboratorio metodos-numericos-unsch-01
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LABORATORIO01
METODOS NUMERICOS
Ingeniería Civil
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
Departamento académico de ingeniería de minas y civil
Laboratorio de Computación Numérica
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
CALCULO�NUMERICOCALCULO�NUMERICO
• Programación Digital• Ingeniería Civil
Sesión 01Sesión 01
CÁLCULO NUMÉRICO• MatLab• Hojas de Cálculo• Software “a medida”
CÁLCULO SIMBÓLICO• Derive• Maple• Mathcad• Mathematica
ESPECÍFICOS• Estadística: SPSS, Statgraphics, Minitab, ...• Álgebra: Winmat, Multimedia Álgebra, ...• Geometría: Cabri, Wingeom, Winplot, ...
Programas de Matemáticas
Objetivo de la práctica• Introducir el programa de cálculo científico Matlab
• Familiarización de los comandos para:• Representación y cálculo matricial• Generación de señales y su visualización• Creación de M-files• Almacenamiento de resultados de una sesión e ingreso de datos
en el espacio de trabajo• Usos típicos del MATLAB
• Cálculo numérico• Desarrollo de algoritmos• Modelado, simulación y desarrollo de prototipos• Análisis y visualización de datos• Construcción de gráficas• Desarrollo de aplicaciones en áreas científicas y tecnológicas
HOJAS DE CÁLCULOMétodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
• Los inventores de este programa informáticoutilizaron el término “Electronic Spreadsheet”que denomina una tabla de cifras electrónica.
• Como en otros productos informáticos, con eltiempo se prescinde del término “Electronic”.
• “Hoja de cálculo” es un neologísmo castellanopara traducir el término inglés “Spreadsheet”.
• No confundir las hojas de cálculo (Spreadsheet) consus programas de gestión (Electronic Spreadsheet)
Hojas de Cálculo
Hojas de cálculo
• Aparición de nuevos y sencillos entornos detrabajo como Windows.
• Paquetes integrados de software (Suite) queincluyen un procesador de texto, una hoja decálculo, un gestor de bases de datos yprogramas de diseño y presentación.• Lotus (IBM) ................................... Lotus 1-2-3• Borland(Inprise)->Novell->Corel .. Quattro Pro• Microsoft ....................................... Excel
Aspectos esenciales
Hojas de cálculo
Es un software. Maneja informaciones numéricas que pueden estar relacionadas
mediante fórmulas u operaciones matemáticas. La hoja de cálculo tiene la estructura de una matriz de celdas
( intersección de filas y columnas) que pueden contener un texto,un número o una fórmula
¿ Qué es una “Hoja de Cálculo” ?
“ Herramienta informática que viene a sustituir conjuntamente a ... muchas hojas de papel , un bolígrafo y una calculadora ”.
Capacidades de la Hoja de Cálculo
Hojas de cálculo
Realiza todo tipo de cálculos utilizando grupos de datos. Elimina errores potenciales asociados a las operaciones aritméticas. Recalcula automáticamente todos los resultados cuando se corrige
alguna cifra. Realiza todo tipo de operaciones con funciones matemáticas. Calcula toda clase de parámetros estadísticos asociados a los valor
es contenidos en la hoja. Genera gráficos de representación de datos. Intercambia información con otras hojas de cálculo, bases de datos
y procesadores de texto. Programa tareas repetitivas generando rutinas o macros.
Manejo del Excel
MATLABIntroducción
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Sitio Oficial• www.mathworks.com• Existe mucha información y material.
De que se trata• Es un conjunto de productos integrados para:
• análisis de datos• visualización• desarrollo de aplicaciones• simulación• diseño• generación de código
MatLab es un programa interactivo para el análisis, diseño,cálculo numérico y tratamiento de datos. Contiene muchasherramientas y utilidades que permiten además diversasfuncionalidades, como resolver problemas en matemáticaaplicada, física, química, ingeniería, finanzas y muchas otrasaplicaciones. Está basado en un sofisticado software dematrices para el análisis de sistemas de ecuaciones comointegrar en análisis numérico, cálculo matricial, procesode señal y visualización gráfica en un entorno completo, suelemento básico de trabajo son las matrices.
El nombre MATLAB proviene de la contracción de los términosMATrix LABoratory, fue inicialmente concebido para propor-cionar fácil acceso a las librerías LINPACK y EISPACK.
¿Qué es MatLab?
The MathWorks, Inc. - The Company
• Fundado en 1984, con fondos privados• Basado en Natick, Massachusetts• 475 empleados (150+ Diseñadores)• Crecimiento anual > 30%• Fundadores en estado activo:
Jack Little, Cleve Moler, y Steve Bangert• MATLAB es el software computacional para:
• Diseño de productos y desarrollo• Investigaciones en la industria y académicas• Educación técnica
• Más de 400,000 MATLAB usuarios a nivel mundial• Usado en más de 100 países
The MathWorks, Inc. - The CompanyMATLAB es un lenguaje de muy alto nivel diseñado paracómputo técnico. Integra en un mismo ambiente muyfácil de usar cálculos, visualización y programación.
En este ambiente los problemas y sus soluciones sepueden expresar en notación matemática fácil de entender.
Algunos de los usos más comunes de MATLAB son:
Cálculos matemáticos Desarrollo matemático Modelado y simulación Análisis de datos Obtención de gráficas Desarrollo de interfaces gráficas
The MathWorks, Inc. - The Company
MATLAB actualmente es un poderoso sistema de cálculode operaciones matemáticas y programación interactivoque integra un sistema de graficación.
El lenguaje de programación de MATLAB es máspoderoso que lenguajes como FORTRAN, C, VISUALBASIC o PASCAL.
Junto a MATLAB se ha desarrollado una colección deherramientas que programadas en MATLAB puedenrealizar un conjunto de actividades en ciertas áreas deingeniería, las ciencias, finanzas y economía, pormencionar algunas.
Introducción al MATLAB
• MATLAB = MATrix LABoratory• Es un entorno de computación que presenta facilidades
para cálculo matemático y visualización gráfica• Dispone de toolboxes especializados:
Control Systems, Neural Netword, Optimization, etc.
Algunas de estas herramientas son con enfoques asistemas de control, procesado de señales, procesado deimágenes, lógica difusa, redes neuronales, simulación,optimización, finanzas y economía, entre otras. Estasherramientas se conocen como TOOLBOXES y constituyen una parte importante del MATLAB quepermite resolver una clase particular de problemas.
Entorno de desarrollo integrado del MATLAB 7.0
¿Qué es Matlab? Matlab = Matrix Laboratory. Programa interactivo para realizar cálculos numéricos y
visualizaciones en el ordenador. Programa comercial de The Mathworks Inc (Natick, MA).
http://www.mathworks.com Creado en California por Jack Little and Cleve Moler en
1984, para realizar cálculo matricial en ordenadores sin necesidad de conocimientos de programación.
MATLAB es un ambiente de técnico-informático integrado.Sus capacidades incluyen:
• Computación matemática• Gráficos y visualización• Análisis de datos• Desarrollo de algoritmos• Simulación y modelamiento• Programación y desarrollo de aplicaciones
“Para los propósitos de los científicos e ingenieros, MATLAB tiene los más grandes rasgos y es el mejor programa desarrollado de su clase.” - IEEE Spectrum, Software Review, February 1997
The MathWorks Product Suite
Stateflow Coder
Toolboxes MATLAB Compiler
Blocksets Simulink RTW
Productos de MathWorks
Control
Control SystemRobust ControlMu-AnalysisNonlinear ControlQuantitative FbackLMI ControlModel Predictive
Simulation& Code generation
SIMULINKStateflowReal-Time WorkshopFixed Point BlocksetRTW Ada Extension
Signal Processing
Signal ProcessingDSP BlocksetWaveletsCommunications
Language
MATLABMATLAB Compiler
SystemIdentification
System IDFrequency-DomainSystem ID
General
OptimizationSpline Statistics Symbolic MathNAGDatabase
Applications
Image ProcessingMappingPower System Block SetFuzzy LogicFinancial ToolboxPartial Differential EqnsNeural Network
Partners
ADI (Beacon)dSPACE RTIVxWorks - Wind RiverSD/Fast - Symbolic DynamicsMaple V - Waterloo MapleSaber - AnalogyADAMS - MDIDADS - CADSITeamwork - CADRE
Clientes de MATLAB
Comercial - USAllied SignalBell HelicopterBoeingHarrisHoneywellLockheed/MartinNorthrop-GrummanPratt and WhitneyRaytheon Sys. Co.SikorskyTRW
InternacionalAerospatialeAirbus ConsortiumAleniaBritish AerospaceCASADERAIAIMatraSagemSpar AerospaceSNECMA
GobiernoAir Force (US and
others)Canadian Space
AgencyDoDEuropean Space
AgencyMinistry of DefenseNASA (all facilities)Navy (US and others)NSA
Application Areas
• Technical Computing– Mathematical computation, analysis, visualization, and algorithmdevelopment• Control Design– Model-Based Design for control systems, including simulation, rapidprototyping, and code generation for embedded systems• Signal Processing and Communications– Model-Based Design for signal processing and communication systems
including simulation, code generation, and verification• Image Processing– Image acquisition, analysis, visualization, and algorithm development• Test & Measurement– Hardware connectivity and data analysis for test and measurementapplications• Financial Modeling and Analysis– Financial modeling, analysis, and application deployment
Otros Toolboxes
Introducción al MATLAB• MATLAB = MATrix LABoratory• Es un entorno de computación que presenta facilidades para cálculo
matemático y visualización gráfica• Dispone de toolboxes especializados:
Control Systems, Neural Netword, Optimization, etc.
CommandHistory.swf
IntroducciónElementos básicos del escritorio de Matlab
CommandWindows
Current directory
CommandHistory
Requisitos de Matlab
• Plataformas donde corre Matlab– Sistema Operativo
Unix: Linux, solaris, HP-UXMacOSMS-Windows
– ArquitecturaRISC: Sparc, HP-PAPowerMac (G4, G5)Intel Pentium(III, IV, Xeon, M), AMD (Athlon, Opteron)
• Librerías especializadas en materias concretas. Incluyen:– Manuales tipo tutorial (User's Guide) [HTML, PDF]– Referencia de las funciones (Reference Guide) [HTML, PDF]– Programas de demo– Aplicaciones completas listas para utilizar
Toolboxes
• Matlab 5– Gráficos de calidad (2D, 3D)– PC: Corre bajo windows utilizando toda la memoria disponible
• Matlab 6– Entorno de desarrollo con interfaz Java.– Matrices 3D, estructuras, cell arrays
• Matlab 7– Mejoras en el interfaz y mejora de Simulink– Matlab compiler admite objetos– Cálculo con enteros
• Matlab R2007a• Matlab R2007b• Matlab R2008a• Matlab R2009a
Versiones de Matlab
MATLAB
Programación DigitalIngeniería Civil
Entorno de Desarrollo Integrado
Entorno de MATLAB
Ventana deComandos
Workspace
Historial de Comandos
Simulink
Directorio
Editor
MATLABDirectorio: donde MATLAB tienes almacenado tus algoritmos.
Workspace: Espacio donde permite observar las variables definidas en el comando o mediante un algoritmo.
Command Window: Espacio donde puede escribir comandos como: hacer calculos (suma, resta, etc), desarrollar graficas (figuras) llamar funciones de ayuda (help).
Command History: Espacio donde puede observar los comando hechos anteriormente. Ademas comandos se mantienen almacenados a traves del tiempo.
Directorio: donde MATLAB tienes almacenado tus algoritmos.
Edit: Editor donde escribes tus algoritmos
Help: (F1) Manual de Ayuda para utilizar todos los recursos que tiene MATLAB
Entorno de Desarrollo IntegradoElementos básicos del escritorio de Matlab
CommandWindows
Current directory
CommandHistory
Arraque de Matlab
– Windows• Inicio/Programas/Matlab 7.0.1/Matlab 7.0.1• icono de Matlab en el escritorio• comando: matlab• comando: matlab –r programa
- Unix• comando: matlab• En IIT comandos: matlab, matlab5, matlab6.1, matlab6.5,
matlab7.0, matlabR2007• Ejemplo útil: matlab6.5 -nodisplay
Entorno de desarrollo integrado del MATLAB
Entorno de desarrollo integrado del MATLAB
Entorno de desarrollo integrado del MATLAB
• Es un lenguaje de alto nivel
• Sistema abierto
• Posee extensiones (Toolboxes)
• Utiliza notación matemática standard
Integra en un único ambiente de software: rutinas de cálculo, visualización y programaciónPermite incorporar nuevas funciones para su uso en aplicaciones particularesColecciones de funciones para resolver problemas
específicos
Características de Matlab
EDITOR
>> edit Abre el editor de MATLAB
• El archivo se guarda (*.m)nombre.m
• Para correrlo tecla F5Barra de Menú Debug Run
• Para correrlo desde MATLAB>> nombre.m
IMPORTANTE:el directorio debe estar ubicado donde se encuentra el archivo (nombre.m)
SIMULINK>> simulinkSimulación
Botón para simular
Programación Básica
Editor: Hoja de trabajo donde podrás desarrollar algoritmos
Nueva hoja de trabajo
Open “files”
“Find”: Busqueda de algun “string”
Debugger and “Run”. Revisa el procedimiento
del algoritmo
RunDebug
Step (dentro de cada funcion)
Programación Básica: Lógica
clear all;
close all
clc;
warning off all
Instrucciones introductorias para cualquier algoritmos
Borra del comando y de workspace las variables generadas anteriormente
Eliminar todas las figuras generadas anteriormente
Eliminar todas las figuras generadas anteriormente
En el comando no aparecerá las adventencias que reclame MATLAB al correr el algoritmo
MATLAB Components
Visualization
IntroducciónElementos básicos del escritorio de Matlab
CommandWindows
Current directory
CommandHistory
Elementos básicos del escritorio de Matlab
CommandWindows
Current directory
CommandHistory
Elementos básicos del escritorio• Command Windows:
Donde se ejecutan todas las instrucciones y programas. Se escribe lainstrucción o el nombre del programa y se da a Enter.
• Command History: Muestra los últimos comandos ejecutados en Command Windows. Se puederecuperar el comando haciendo doble
• Current directory: Situarse en el directorio donde se va a trabajar
• Help (También se puede usar desde comand windows)
• Workspace: Para ver las variables que se están usando y sus dimensiones (si sonmatrices)
IntroducciónAlgunos comentarios sobre la ventana de comandos
• Se pueden recuperar instrucciones con las teclas ↓↑
• Se puede mover por la línea de comandos con las teclas → ←.Ir al comienzo de la línea con la tecla Inicio y al final con Fin. ConEsc se borra toda la línea.
• Se puede cortar la ejecución de un programa con Ctrl+C • help funcion
>> help tf da una descripción de la función y muestra ejemplos de cómousarla.
• help toolbox>> help control system da un listado de todas las funciones del toolbo
x especificado y una descripción breve de cada función del toolbox.
IntroducciónDebugger
Set/Clear breakingpoint: Coloca o borra un punto de ruptura en la línea en que está colocado el cursorClear all breakingpoints:: Borra todos los puntos de ruptura
Step: Avanza un paso en el programa
Step in: Avanza un paso en el programa y si en ese paso se llama a una función, entra en dicha función
Step out: Avanza un paso en el programa y si en ese paso se llama a una función, entra en dicha funciónContinue: Continua ejecutando hasta el siguiente punto de rupturaQuit debugging: Termina la ejecución del debugger
Introducción a la programación en MATLABVentana Descripción
Command Window Entrada de comandos a ser procesados por MATLAB
Command History Listado de los comandos utilizados con anterioridad
Launch Pad Listado de acceso a documentación, demos, etc.
Current Directory Guía para la administración de archivos y directorios
Help Guía para el acceso y visualización de documentación on-line
Workspace Guía que permite acceder a variables de MATLAB
Array Editor Guía que permite modificar el contenido de variables
Editor Debugger Editor de textos para archivos de MATLAB
Run MATLABFrom Start Menu
• Select Programs • Select MATLAB
MATLAB PromptTells that MATLAB is ready for your command
Al-Amer 2006 57
MATLAB Layout (Diseño)
Command window
CommandHistory window
Currentdirectory window
1 to 5 different windows can be selected to appear (View)
Al-Amer 2006 58
MATLAB shortcuts (Atajos)
HelpSIMULINKOpen filesNewfile
Al-Amer 2006 59
MATLAB como una calculadora
Command window
>> 39*4.4+5
ans =176.6000
Command window
The MATLAB command
The result.
MATLAB: Variables
• Nombre de las variables:
• Comienzan con una letra• Hasta 31 caracteres ( algunos usan19
o 21)• Pueden contener letras, dígitos o
subguión_• Es diferente las mayúsculas a las
minúsculas (“A” es distinto“a”)
MATLAB: Asignación
» A=2.3A =
2.3000 The MATLAB command
This is the result of the MATLAB statement
Variable names: Starts with a letter Up to 31 characters ( some use 19 or 21) May contain letters, digits and underscore_ Case sensitive (“A” is not the same as “a”)
» A=[2.3]A =
2.3000
The square braces [ ] are used to define matrices. We can use them for scalars too.
this creates a variable “A” and set its value to 2.3
» A=2.3
A =
2.3000
MATLAB: Asignación Escalar
X =2 3 7
» X=[2,3 7 ] Space or comma are used to separate elements in the same row
The square braces are used to define a matrix
MATLAB: Vector Fila
X =2 37
» X=[2;3 ; 7 ]
The square braces are used to define a matrix
semicolon are used to end a row.You can also use ENTER to end a row
MATLAB: Vector Columna
MATLAB: DeclaracionesMATLAB Statement Remarks
C=5.66 C is a scalar
C=[5.66] An alternative way
X=[3.5 6.3, 33] X is a 1X3 matrix with elements 3.5 , 6.3 and 33. Commas or space are used to separate the elements in a row
Y=[14 ]
Y is a 2X1 matrix whose elements are 1 and 4.
Y = [ 1 ; 4] Semicolon are used to indicate the end of the row.
A=1:5 Equivalent to A=[1 2 3 4 5]
1001
V
MATLAB Statement Remarks
V=[ 2 3 53 3 8]
C=[1:3:11] C=[1 4 7 10]
Z=4\8 Z=2
Y=eye(2)
W = zeros(2,3)
833532
V
000000
V
MATLAB: Declaraciones
roots(p) Find the roots of a polynomial whose coefficients are given in p
roots([1 4 2.1]) Find the roots of x2+4x+2.1=0
polyval(p,v) Evaluate the polynomial whose coefficients are given in p at x=v
MATLAB: Polinomios
Ejemplo: Matriz Mágica
A = 16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1
A=magic(4)sum(A) se obtienen las sumas de las columnassum(A') se obtienen las sumas de las filassum(diag(A)) se obtiene la suma de la diagonal principalsum(diag(rot90(A))) se obtiene la suma de la otra diagonal fliplr(A) ==> sum(diag(fliplr(A)))
Matemática simbólica en MATLAB• MATLAB cuenta con un toolbox de matemática
simbólica, que permite realizar operaciones de cálculosin el uso de valores numéricos
Cálculo Diferenciación, integración, limites, sumatorias, series de Taylor
Algebra lineal Inversas, determinantes, autovalores, formas canónicas de matrices simbólicas
Simplificación Métodos de simplificación de expresiones matemáticas
Solución de ecuaciones
Soluciones simbólicas y numéricas a ecuaciones algebraicas y diferenciales
Transformadas Fourier, Laplace, z-transform, y las correspondientes transformadas inversas
Matemática simbólica en MATLAB
• Primero es necesario declarar las variables simbólicas• >> syms x y
• Luego se puede realizar operaciones y construir las funciones, por ejemplo• >> f = x^2 + 3.4*y -20
• Derivada de f con respecto a x• >> diff(f,x)• ans =• 2*x
• Integral de f entre 0 y pi• >> int(f,0,pi)• ans =• 1/3*pi^3+17/5*y*pi-20*pi
Introducción a MATLAB• Línea de comandos: Es un conjunto de códigos MATLAB, s
eparados por coma (,) o punto y coma (;) que se ejecutan secuencialmente según aparecen en la línea una vez que se pulsa la tecla ENTER
• Ejemplo
>> X = 1 + 1, Y = 2 * 2; Z = sin(pi/2)X =
2Z =
1
• Una línea de comandos puede ser editada y modificada usando las teclas de desplazamiento ← ↑ → ↓
Introducción a MATLAB• Caracteres especiales: A algunos símbolos se ha asignado una f
unción particular para facilitar la escritura de instrucciones, los de uso más común son los siguientes:
[ ] - definir input de vectores y matrices
( )- asignar precedencia en operaciones aritméticas - referir elementos de matrices - pasar argumentos a funciones o subprogramas
= - asignar valores‘ - indica transposición de matrices
;- dentro de [ ] para separar líneas- separar comandos- suprimir impresión
% - indica comentario, el texto que le sigue es ignorado
: - para indicar iteraciones o generar vectores en secuencias
Introducción a MATLAB• Operadores: Ya que MATLAB está diseñado para trabajar con m
atrices, todos los operadores realizan operaciones con matrices, demodo que un escalar puede verse como una matriz 1 x 1 y un vector como una matriz de 1 x n ó de n x 1 según sea el caso
Operadores aritméticos
+ - Suma, A + B suma los elementos de A a los correspondientes de B. A y B deben tener el mismo tamaño. Un escalar se le puede sumar a una matriz de cualquier tamaño
-- Resta, A – B resta los elementos de A a los correspondientes de B. A y B deben tener el mismo tamaño. Un escalar se le puede restar a una matriz de cualquier tamaño
*-Multiplicación de matrices, C = A * B es el producto algebraico lineal de las matrices A y B. Para matrices, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Un escalar se puede multiplicar a una matriz de cualquier tamaño
Introducción a MATLAB
Operadores aritméticos
/ - B/A es lo mismo que B * A-1 ; A-1 es la matriz inversa de A, y debe ser n x n
\
- A\B, se conoce como división por la izquierda, si A es cuadrada, A\B es casi igual inv(A)*B, excepto por la forma de ser calculado. - Si B es un vector columna de n elementos y A es n x n, entonces X = A\B es la solución al sistema AX = B por el método de eliminación de Gauss
^
- Potencia de matrices. X^p es X elevado a la potencia de p, si p es un escalar. - Si p es un entero, la potencia se calcular elevando al cuadrado repetidas veces. Si el entero es negativo, se calcula primero la inversa de X- Si X y p son matrices, MATLAB arroja un error
' - A' es la transpuesta de A
Introducción a MATLAB
Operadores aritméticos de Arreglos de datos
.* - A .* B, es la multiplicación elemento por elemento de los arreglos A y B, los cuales deben tener el mismo tamaño
./ - A ./ B, es la matriz con elementos A(i,j) / B(i,j). A y B deben tener el mismo tamaño, al menos que uno sea un escalar
.\ - A .\ B, es la matriz con elementos B(i,j) / A(i,j). A y B deben tener el mismo tamaño, al menos que uno sea un escalar
.^- A .^B, es la matriz con elementos A(i,j) elevados a la potencia de B(i,j). A y B deben tener el mismo tamaño, al menos que uno sea un escalar
Ayudas y documentación
Ejemplo de consulta
Secciones de la ayuda
• Syntax• Description• Arguments• Examples• Algorithm• Limitations• See Also• References
Ayuda on-line
• Página oficial de soportehttp://www.mathworks.com/support/– Documentación– Soluciones a problemas ordenadas por categorías– Ejemplos de código– Noticias– Actualizaciones• Matlab Central– Newsgroups– File Exchange– Link Exchange• Soporte técnico personal por correo electrónico– Utilizar un código de licencia válido– Describir la plataforma– Acotar el problema
Aplicaciones a la IngenieríaMétodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
Ejemplo• Elaborar un program en MATLAB program para
calcular la raíz de la siguiente ecuación: 1)cos(2)( xxf
% program 1 performs four iterations of
% Newton’s Method
X=.7
for i=1:4
X=X – (2*cos(X)-1)/(-2*sin(X))
end
X =1.1111
X =1.0483
X =1.0472
X =1.0472
Result
Alternativa 1
Alternativa 2
Alternativa 3
>> rqrootsEnter quadratic coefficient a: 1Enter quadratic coefficient b: 5Enter quadratic coefficient c: 6Value of first quadratic root:-2Value of second quadratic root:-3>> rqrootsEnter quadratic coefficient a: 1Enter quadratic coefficient b: 4Enter quadratic coefficient c: 8Value of first quadratic root:-2.0000+ 2.0000iValue of second quadratic root:-2.0000- 2.0000i
Muchas Gracias