LAB5 DE PDS
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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
TRANSFORMADA
DISCRETA DE FURIER
LABORATORIO N5
ING. ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
PROFESOR:
GUSTAVO PAZ PURISACA
ALUMNA: CANCHARI LA ROSA SAYUMI 2015
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MARCO TEORICO:
El algoritmo para la FFT explota las propiedades de simetra de la exponencial compleja discreta en el tiempo para reducir el nmero de multiplicaciones. Para evaluar una transformada discreta de Fourier con N muestras el algoritmo de la FFT encuentra su eficiencia cuando N es una potencia de 2. Esta restriccin no afecta el uso prctico de la FFT ya que la longitud de h(n) puede ser incrementada a la siguiente potencia de 2 aumentando el nmero adecuado de ceros.
Debido a la naturaleza discreta del ndice de tiempo para seales de tiempo discreto, el escalamiento en tiempo y en frecuencia asume una forma diferente con respecto a la de tiempo continuo. Sea x(n) una seal con espectro X(w). Consideremos la transformada Y(w) de y(n).
1
Sustituyendo m=-n en la ecuacin 1 obtenemos que:
2
Esto es, aplicando la transformada de Fourier:
3
Aunque la ecuacin 3 es anloga al caso de tiempo continuo, la deferencias surgen cuando tratamos de escalar en tiempo y en frecuencia en lugar de invertir el eje de tiempo.
El resultado que puede ser paralelo a la ecuacin correspondiente al anlisis de tiempo continuo es el siguiente:
Si n es un mltiplo de k
Si n no es un mltiplo de k
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Sea k un entero positivo y definamos la seal.
Algoritmo Analtico de decimacin para la FFT.
Consideremos h(n) para n mayor que cero y menor que N-1, dividiremos la transformada discreta de Fourier en dos sumatorias: una para las muestras pares y otras para las muestras impares, de la siguiente manera.
Ambas sumatorias aparecen en la forma de un punto de N/2. Consideremos a hp(n) como la secuencia para las muestras pares y hi(n) como la secuencia para las muestra impares. De la misma forma tendremos que Hp(k) ser la FFT para las muestras pares y Hi(k) para las muestras impares. Considerando lo anterior tenemos que:
Esta tcnica es comnmente conocida como decimacin. En realidad la decimacin de las secuencias anteriores se puede continuar hasta llegar al punto en el que slo se pueda tener una sola muestra por sumatoria. Es necesario, como ya se haba mencionado anteriormente que el numero de muestras N se una potencia de 2, es claro que de lo contrario la tcnica anterior sera de poca utilidad. Para lograr siguientes decimaciones las dos sumatorias obtenidas de la primera decimacin sern ahora consideradas como expresiones originales de H(k) y sern por lo tanto sujetas a sus propias decimaciones a partir de sus muestras pares e impares.
La tcnica de decimacin en efecto reduce el nmero de clculos que debemos realizar para llegar a un resultado final al realizar una DFT, sin embargo esta reduccin es realmente significativa ciando el nmero de muestras N es muy grande.
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1) PROPIEDAD DE LINEALIDAD en la Transformada de Fourier
En etse caso la funcin generada ser [y1,y2]=linealidad(n) y para su
construccin habr que efectuar las siguientes operaciones:
*Crear una imagen aleatoria x1
*Crear otra imagen aleatoria x2
*Calcular los espectros de cada una
de ellas, denominados x1 e x2
*A partir de las dos imgenes
anteriores obtener una nueva imagen
x=ax1+bx2, siendo a y b los
valores de cada alumno quiera elegir. Para hacerlo de forma ms elegante
pueden generarse estos valores tambin de forma aleatoria pero
comprendido entre 0 y 8.
*Calcular el espectro X de la nueva imagen.
Como esta ser una de las salidas de la
funcin, deber renombrarse como valor y1.
*El espectro de la seal X se calculara
utilizando los espectros individuales, para ver
si se cumple la propiedad. Se har y2=aX1
+bX2
Est claro que si se cumple la propiedad de
linealidad de los espectros y1 y y2 debern
coincidir completamente.
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2) PROPIEDAD DEL DESPLAZAMIENTO en la Transformada de Furier
En este caso la funcin generada ser [y1,y2]=desplazamiento(n) y para su
construccin habr que efectuar
las siguientes operaciones:
*Generar una imagen aleatoria x1
de dimensiones nxn
*Colocarla dentro de otra matriz de mayor tamao que se habr generado
anteriormente toda completa de ceros, formando con ella la matriz x11.
*Calcular el espectro de esa imagen x11.
*Calcular el modulo del espectro y1.
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*Construir otra nueva imagen x12 colocando la matriz x1 dentro de la gran
matriz de ceros pero en otra posicin diferente a la del apartado b.
*Calcular el espectro de es una imagen x12.
*Calcular el modulo del espectro y2.
Se podr comprobar que los mdulos de ambas transformadas coinciden,
con lo que se confirma que se cumple la propiedad de que desplazando la
imagen el modulo del espectro no se modifica, pero si lo hace a travs de la
relacin conocida.
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3) PROPIEDAD DE SEPARABILIDAD en la Transformada de Fourier:
En este caso la funcin generada ser [y1,y2]=separabilidad y para su
construccin habr que efectuar las siguientes operaciones:
*Crear un vector columna aleatorio x1 de n elementos, lo que quiere decir
que solamente depende de la dimensin y.
*Calcular la transformada
X1.
*Crear un vector fila
aleatorio x2 de n
elementos, lo que quiere
decir que solo depende y.
*Calcular la transformada
X2.
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*Calcular la imagen x3 obtenida del
producto matricial de los dos vectores
anteriores f=f1*f2. El resultado ser una
matriz cuadrada de tamao nxn. Observar
que no es independiente el orden de
multiplicacin de matrices
*Calcular la transformada y1 de la imagen
x3.
Efectuar el producto matricial de las dos
transformadas x1 y x2 comprobando que
coincide con el valor anterior y2=X1*X2.
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4)PROPIEDAD DE LA
SIMETRIA CONJUGADA
en la Transformada de
Fourier
En este caso la funcin
generada ser
y=simetra(n) y para su construccin habr que efectuar las siguientes operaciones:
*Crear una imagen leatoria x1 de tamao nxn
*Calcular su Trabnsformada de Fourier X1, que ser la variable de salida
*Observar directamente sobre el espectro de la simetra.
*aplicar la funcin anterior para el caso de n=6 y para ese caos en concreto rellenar
la siguiente Tabla, de manera que en cada celda se inscribir el valor de la posicin
del elemento que es el
conjugado del valor que
se encuentra sobre la
Transformada en la
posicin inscrita.
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5) Comprobar PROPIEDAD DE LA ROTACION en la Transformada de Fourier
En Este caso la funcin generada ser
[y1,y2]=rotacin(n,a) y para su construccin
habr que efectuar las siguientes
operaciones:
*Crear una imagen aleatoria x1 de tamao
nxn
*Calcular su espectro y1.
*Crear una imagenx2 que sea una rotacin de
la imagen x1
Si a=1 rotacin de 901 ala derecha
Si a=2 rotacin 1801
Si a=3 rotacin de 901 ala izquierda
*calcular el espectro y2
*Comprobar las
relaciones entre los
espectros y1 e y2.
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6) PROPIEDAD DE ESCALADO en la Transformada de Fourier
En este caso la funcin generada ser [y1,y2]=escalado(n) que intenta
comprobar que un estiramiento en el espacio se traduce en una comprensin
en frecuencia. Para su construccin habr que efectuar las siguientes
operaciones:
*Crear una imagen aleatoria x1 de tamao
nxn.
*Calcular su espectro y1.
*a partr de x1 crear una imagen x2
construida de manera que se intercalen dos
ceros entre cada uno de los valores
originales, incrementando, por lo tanto, su
tamao por tres en cada una de las dos
dimensiones.
*calcular el espectro y2 de esta nueva
imagen x2
*Comprobar que el espectro se repite tres
veces. Para apreciar este detalle, es posible
que convenga tratar al mdulo de la
Transformada como si fuese una imagen y
visualizarla.
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7) PROPIEDAD DE RELLENADO CON CEROS en la transformada de Fourier
En este caso la funcin
generada ser
[y1,y2]=rellenado (n,n1)
que intenta comprobar con
su rellenado con ceros se
mantiene el mismo espectro, aunque con ms muestras que el de la imagen
sin rellenar. Para su construccin habr que efectuar las siguientes
operaciones:
*Crear una imagen aleatoria x1 de tamao nxn.
*Calcular su espectro y1.
*A partir de la imagen x1 de tamao nxn, construir otra imagen de tamao
mayor rellenado con ceros ala derecha y en la parte inferior, pasando a
tomar la nueva imagen de dimensin n1xn1.
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*calcular el espectro y2 de esta nueva seal
A partir de los espectros y1 e y2 razonar las relaciones entre ellos.
Comprobar las diferencias entre agrandar la imagen rellenado ceros al final
(tal como estn en este apartado), y agrandarla interpolando ceros como se
ha hecho en el punto anterior. Es importante comprobar que tanto en un
caso como en otro, hay informacin suficiente para poder recuperar las
misma imagen original a partir de los valores de los espectros, aunque sena
diferentes entre si. Razonar con detalle estos aspectos
8) TEOREMA D ELA CONVOLUCION
Este teorema establece que si se convolucionan dos imgenes, se obtiene
una nueva imagen que tiene un espectro que podra haber sido calculado
efectuando el producto de los dos espectros de las imgenes iniciales. Este
teorema encuentra especial aplicacin para calcular la salida de los circuitos
conociendo la entrada y la funcin de transferencia del circuito (o su
respuesta impulsiva), tal como se aprecia en la figura.
X[m,n]
X[k,l]
h[m,n]
H[m,n] Y[m,n]=x[m,n]*h[m,n]
Y[k,l]=X[k,l].H[k,l]
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En este caso, la funcin
generada ser [y1,y2]=
convolucin(n) y para su
construccin habr que
efectuar las siguientes
operaciones:
*Crear una imagen
aleatoriax1 de tamao nxn
*Crear una imagen aleatoriax2 de tamao nxn
*Calcular la imagen x3 como convolucin de las dos anteriores. El tamao ya
no ser nxn, sino que ser de tamao mayor, concretamente (2n+1)x(2n+1)
*calcular el espectro y1 de
la imagen x3
Calcular el espectro X1 de la
seal x1, pero rellenado
previamente con ceros para
que el tamao resultante
sea igual que el de la
convolucin anterior
*de la misma forma calcular
el espectro X2.
*Calcular el producto y2 de
los espectros de las dos
imgenes originales
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OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES:
Se logr el objetivo de Conocer la FFT de las funciones
establecida.
En esta prctica lo que se encontr fue que matlab es una
herramienta muy til para calcular la transformada de fourier.