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VELOCIDAD Y ACELERACION INSTANTANEAS

EN EL MOVIMIENTO RECTILINEO

I. OBJETIVOS:

determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a partir de la información de posición vs tiempo.

Determinar la aceleración instantánea a partir de la velocidad instantánea vs tiempo

II. FUNDAMENTO TEÓRICO:

DERIVADA:

En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

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La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

FUNCION POSICION: La posición de una partícula física se refiere a la localización en el espacio-tiempo de ésta.

En mecánica clásica, la posición de una partícula en el espacio es una magnitud vectorial utilizada para determinar su ubicación en un sistema coordenado de referencia. En relatividad general, la posición no es representable mediante un vector euclidiano ya que en el espacio-tiempo es curvo en esa teoría, por lo que la posición necesariamente debe representarse mediante un conjunto de coordenadas curvilíneas arbitrarias, que en general no pueden ser interpretadas como las componentes de un vector físico genuino. En mecánica cuántica la discusión de la posición de una partícula es aún más complicada debido a los efectos de no localidad relacionados con el problema de la medida de la mecánica cuántica.

Más en general, en un sistema físico o de otro tipo, se utiliza el término posición para referirse al estado físico o situación distinguible que exhibe el sistema. Así es común hablar de la posición del sistema en un diagrama que ilustre variables de estado del sistema

Posición de un punto P en un sistema de coordenadas cartesiano.

VELOCIDAD:

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se la representa por o

. Sus dimensiones son [L]/ [T]. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s.

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En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, al cual se le denomina celeridad o rapidez.

Definición de los vectores velocidad media e instantánea.

Velocidad media.

La velocidad media o velocidad promedio informa sobre la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) por el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:

Si consideramos la coordenada intrínseca, esto es la longitud recorrida sobre la trayectoria, la expresión anterior se escribe en la forma:

Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 1 metro en un lapso de 31,63 segundos, el módulo de su velocidad media es:

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Velocidad instantánea.

Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria, cuando el lapso de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria.

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector de posición respecto del tiempo:

donde es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria de cuerpo en cuestión y es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Velocidad relativa.

El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa. La velocidad relativa entre dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B serán iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como .

Dadas dos partículas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto observador son y , la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como y viene dada por:

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como y viene dada por:

De modo que las velocidades relativas y tienen el mismo módulo pero dirección contraria.

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ACELERACION:

La aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa de cambio de la velocidad de un móvil por unidad de tiempo. En otras palabras, cuánta rapidez adquiere un objeto durante el transcurso de su movimiento, según una cantidad definida de tiempo.

En el contexto de la mecánica vectorial newtoniana se representa normalmente por o .

Sus dimensiones son [Longitud]/[Tiempo]2. Su unidad en el sistema internacional es el m/s2.

Aceleración media e instantánea

Definición de la aceleración de una partícula en un movimiento cualquiera. Obsérvese que la aceleración no es tangente a la trayectoria.

Cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. En la Figura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δv, en el triángulo vectorial al pie de la Figura. Definimos la aceleración media de la partícula, en el intervalo de tiempo Δt, como el cociente:

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que es un vector paralelo a Δv y dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δt considerado. La aceleración instantánea la definiremos como el límite a que tiende el cociente incremental Δv/Δt cuando Δt→0; esto es, como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector de posición r respecto al tiempo, la aceleración es la derivada segunda de dicho vector de posición con respecto del tiempo:

De igual forma se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como:

Podemos obtener la velocidad a partir de la aceleración mediante integración:

Medición de la aceleración

La medida de la aceleración puede hacerse con un sistema de adquisición de datos y un simple acelerómetro. Los acelerómetros electrónicos son fabricados para medir la aceleración en una, dos o tres direcciones. Cuentan con dos elementos conductivos, separados por un material que varia su conductividad en función de las medidas, que a su vez serán relativas a la aceleración del conjunto.

Unidades

Las unidades de la aceleración son:

Sistema Internacional

1 m/s2

Sistema Cegesimal

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1 cm/s2 = 1 Gal

Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal

Componentes intrínsecas de la aceleración.

En tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas) mutuamente perpendiculares: una componente tangencial at (en la dirección de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal an (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).

Derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que el vector tangente cambia de dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria (esto es, no es constante) obtenemos

Siendo el vector tangente a la trayectoria en el mismo sentido que la velocidad y la velocidad angular. Resulta conveniente escribir la expresión anterior en la forma

Siendo

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el vector normal a la trayectoria, esto es dirigido hacia el centro de curvatura de la misma,

El radio de curvatura de la trayectoria, esto es el radio de la circunferencia oscilatriz a la trayectoria.

Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleración son:

Cada una de estas dos componentes de la aceleración tiene un significado físico bien definido. Cuando una partícula se mueve, su celeridad puede cambiar y este cambio lo mide la aceleración tangencial. Pero si la trayectoria es curva también cambia la dirección de la velocidad y este cambio lo mide la aceleración normal.

Si en el movimiento curvilíneo la celeridad es constante (v=CTE), la aceleración tangencial será nula, pero habrá una cierta aceleración normal, de modo que en un movimiento curvilíneo siempre habrá aceleración.

Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la aceleración normal se escribe como an = v2/R.

Si la trayectoria es rectilínea, entonces el radio de curvatura es infinito (ρ→∞) de modo que an=0 (no hay cambio en la dirección de la velocidad) y la aceleración tangencial at será nula o no según que la celeridad sea o no constante.

Los vectores que aparecen en las expresiones anteriores son los vectores del triedro de Frênet que aparece en la geometría diferencial de curvas del siguiente modo:

Es el vector tangente a la curva.

Es el vector normal a la curva.

Es el vector velocidad angular que es paralelo al vector normal a la curva.

III.PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y DATOS OBTENIDOS:

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Disponga del sistema riel/plano con un ángulo de inclinación de 10 a 20 grados sexagesimales.

Conecte la fuente del chispero a 220 V y, la salida de la fuente a la entrada del chispero.

Coloque el carrito en la parte superior del plano inclinado, sostenerlo de la parte del acrílico.

El primer estudiante colocara en “ON” el interruptor del chispero y un instante después el segundo estudiante que está sosteniendo el carrito lo soltara. Cuando el carrito llegue a la parte más baja del plano inclinado, inmediatamente el primer estudiante colocara en “OFF” el interruptor del chispero.

Sobre el papel bond queda marcado una serie de puntos designe un instante como t=0 y x=0 la posición del primer punto, cualquier otro punto quedara expresada por la distancia en cm al punto x=0.

t (ticks) X(t) cm t (ticks) X(t) cm01 01,6 18 27,002 02,5 19 29,003 03,3 20 31,804 04,3 21 33,905 05,4 22 36,106 06,5 23 38,507 07,7 24 41,408 09,3 25 43,909 10,5 26 46,410 11,9 27 48,911 13,5 28 52,012 15,4 29 54,913 17,0 30 57,614 18,9 31 60,515 20,7 32 63,916 23,0 33 67,117 25,0 34 70,0

IV. Cálculos

A. Gráfica de la función posición:

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B. Velocidad instantánea en t=8 TICKS:

t (ticks) Vm (t,4) t (ticks) Vm (t,4)01 1,10 18 1,7702 1,13 19 1,7903 1,20 20 1,8804 1,25 21 1,8905 1,30 22 1,9106 1,40 23 1,9507 1,60 24 2,0108 25 2,0409 1,20 26 2,0610 1,30 27 2,0811 1,40 28 2,1412 1,53 29 2,1713 1,54 30 2,2014 1,60 31 2,2315 1,63 32 2,2816 1,71 33 2,3117 1,74 34 2,33

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=8

V (t) = 0,926 + 0,086t

Para después del tick t=8

V (t) = 0,899 + 0,046t

La velocidad instantánea en el tick t=8 será:

V8 = 1,44 cm/ticks

V8 = 0,58 m/s

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C. Velocidad instantánea en t=12 TICKS:

t (ticks) Vm (t,12) t (ticks) Vm (t,12)01 1,25 18 1,9302 1,29 19 1,9403 1,34 20 2,0504 1,39 21 2,0605 1,43 22 2,0706 1,48 23 2,1007 1,54 24 2,1708 1,53 25 2,1909 1,63 26 2,2110 1,75 27 2,2311 1,90 28 2,2912 29 2,3213 1,60 30 2,3414 1,75 31 2,3715 1,77 32 2,4316 1,90 33 2,4617 1,92 34 2,48

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=12

V (t) = 0,945 + 0,081t

Para después del tick t=12

V (t) = 0,804 + 0,065t

La velocidad instantánea en el tick t=12 será:

V12 = 1,75 cm/ticks

V12 = 0,70 m/s

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D. Velocidad instantánea en t=16 TICKS:

t (ticks) Vm (t,16) t (ticks) Vm (t,16)01 1,43 18 2,0002 1,46 19 2,0003 1,52 20 2,2004 1,56 21 2,1805 1,60 22 2,1806 1,65 23 2,2107 1,70 24 2,3008 1,71 25 2,3209 1,79 26 2,3410 1,85 27 2,3511 1,90 28 2,4212 1,90 29 2,4513 2,00 30 2,4714 2,05 31 2,5015 2,30 32 2,5616 33 2,5917 2,00 34 2,61

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=16

V (t) = 1,000 + 0,080t

Para después del tick t=16

V (t) = 1,177 + 0,047t

La velocidad instantánea en el tick t=16 será:

V16 = 2,10 cm/ticks

V16 = 0,84 m/s

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E. Velocidad instantánea en t=20 TICKS:

t (ticks) Vm (t,20) t (ticks) Vm (t,20)01 1,59 18 2,4002 1,63 19 2,8003 1,68 2004 1,72 21 2,1005 1,76 22 2,1506 1,81 23 2,2307 1,85 24 2,4008 1,88 25 2,4209 1,94 26 2,4310 1,99 27 2,4411 2,03 28 2,5312 2,05 29 2,5713 2,11 30 2,5814 2,15 31 2,6115 2,22 32 2,6816 2,20 33 2,7217 2,27 34 2,73

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=20

V (t) = 0,525 + 0,110t

Para después del tick t=20

V (t) = 0,526 + 0,075t

La velocidad instantánea en el tick t=20 será:

V20 = 2,38 cm/ticks

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V20 = 0,95 m/s

F. Velocidad instantánea en t=24 TICKS:

t (ticks) Vm (t,24) t (ticks) Vm (t,24)01 1,73 18 2,4002 1,77 19 2,4803 1,81 20 2,4004 1,86 21 2,5005 1,89 22 2,6506 1,94 23 2,9007 1,98 2408 2,01 25 2,5009 2,06 26 2,5010 2,11 27 2,5011 2,15 28 2,6512 2,17 29 2,7013 2,22 30 2,7014 2,25 31 2,7315 2,30 32 2,8116 2,30 33 2,8617 2,34 34 2,86

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=24

V (t) = 0,731 + 0,089t

Para después del tick t=24

V (t) = 1,217 + 0,050t

La velocidad instantánea en el tick t=24 será:

V24 = 2, 65 cm/ticks

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V24 = 1,06 m/s

G.Velocidad instantánea en t=28 TICKS:

t (ticks) Vm (t,28) t (ticks) Vm (t,28)01 1,87 18 2,5002 1,90 19 2,5603 1,95 20 2,5304 1,99 21 2,5905 2,03 22 2,6506 2,07 23 2,7007 2,11 24 2,6508 2,14 25 2,7009 2,18 26 2,8010 2,23 27 3,1011 2,26 2812 2,29 29 2,9013 2,33 30 2,8014 2,36 31 2,8315 2,41 32 2,9816 2,42 33 3,0217 2,45 34 3,00

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=28

V (t) = 0,954 + 0,074t

Para después del tick t=28

V (t) = 1,756 + 0,037t

La velocidad instantánea en el tick t=28 será:

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V28 = 2, 90 cm/ticks

V28 = 1,16 m/s

H. Velocidad instantánea en t=32 TICKS:

t (ticks) Vm (t,32) t (ticks) Vm (t,32)01 2,01 18 2,6402 2,05 19 2,6803 2,09 20 2,6804 2,13 21 2,7305 2,17 22 2,7806 2,21 23 2,8207 2,25 24 2,8108 2,28 25 2,8609 2,32 26 2,9210 2,36 27 3,0011 2,40 28 2,9812 2,43 29 3,0013 2,47 30 3,1514 2,50 31 3,4015 2,54 3216 2,57 33 3,2017 2,59 34 3,05

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=32

V (t) = 0,738 + 0,082t

Para después del tick t=32

V (t) = 8,150 - 0,150t

La velocidad instantánea en el tick t=32 será:

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V32 = 3, 36 cm/ticks

V32 = 1,34 m/s

I. Aceleración instantánea en t=20 TICKS:

t (ticks) V(t) (cm/ticks) Am (t,20)8 1,44 0,08

12 1,75 0,0816 2,10 0,0720 2,3824 2,65 0,0728 2,90 0,0732 3,36 0,08

Teniendo en cuenta los datos obtenidos y aproximando por mínimos cuadrados obtenemos las rectas:

Para antes del tick t=20

a (t) = 0,12 - 0,0013t

Para después del tick t=20

a (t) = 0,04 + 0,0013t

La aceleración en el tick t=20 será:

a20 = 0,08 cm/ticks2

a20 = 1,28 m/s2

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También se puede describir la aceleración en el diagrama de x vs t2, del experimento se espera que la aceleración es constante y es teóricamente esta descrito por la siguiente función.

La aceleración es constante y su valor esta descrita por la pendiente de la función.Así tenemos la siguiente función:

Se obtiene que “a” es el valor de:

a=2,24 m/s2

V. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES:

Observaciones:

La aceleración resultante del carrito va en la trayectoria de este. Los puntos de abajo en la cinta de papel, nos muestran que la velocidad

en cada punto varía con el tiempo.

Conclusiones:

El valor de la aceleración instantánea, hallando las velocidades instantáneas y continuamente, hallando el promedio de las ecuaciones de la recta de las velocidades medias, no es el mismo valor de la aceleración instantánea hallado por la pendiente de la parábola, aunque tiende a tener el mismo valor.

Las pendientes de las velocidades medias, teóricamente deberían tener la misma pendiente, cosa que en la experimentación estas presentan pendientes casi similares mas no iguales (de tener pendientes iguales, nos demostraría que los valores tomados no presentan algún tipo de error).

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VI. BIBLIOGRAFÍA:

Douglas C. Giancoli – FISICA – 3º edición – 1994 – ED: Prentice Hall Hispanoamericana – Pág. 7-11, Pág. 316-317.

Resnick Halliday Walker – FUNDAMENTOS DE FISICA – 6º edición – 2002 – Vol. 1 – ED: CECSA – Pág. 2-8. Pág. 402-403.

Sears Zemansky – FISICA UNIVERSITARIA – 11º edición – 2004 – ED: Pearson Education – Pág. 5-13, Pág. 495-499.

Serway – FISICA – 3º edición – ED: Mc. Graw Hill – Pág. 9-13, Pág. 344-348

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