La théorie de la RELATIVITE DʼECHELLE et ses applications
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1
La théorie de la RELATIVITE D’ECHELLE!
et ses applications"
http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale!
Laurent Nottale!CNRS !
LUTH, Observatoire de Paris-Meudon"
8 Mars 2014. ENS Paris
2
Les échelles dans la nature Echelle de Planck10 cm-33
10 cm-28
10 cm-16
3 10 cm-13
4 10 cm-11
1 Angstrom
40 microns
1 m
6000 km700000 km1 millard km
1 parsec
10 1 0
10 2 0
10 3 0
10 4 0
10 5 0
10 6 0
1
grande unification
limite actuelle accélérateursunification électro-faible
longueur Compton électronrayon de Bohr
quarks
virus bactérieséchelle humaine
rayon Terrerayon SoleilSystème Solaire
distance aux étoilesrayon de notre Galaxie10 kpc
1 Mpc100 Mpc
amas de galaxiestrès grandes structuresEchelle Cosmologique10 cm28
atomes
• Plus de 60 décades des plus petites échelles concevables aux plus grandes
• D’un tiret au suivant: zoom par un facteur x10
• Seuls des rapports d’échelle ont un sens, jamais une échelle absolue
• Aucune prédiction théorique pour la plupart de ces échelles
• Enjeu pour une nouvelle physique ?
3
Abandon de l’hypothèse de différentiabilité de
l’espace-temps
Dépendance explicite des coordonnées en fonction des variables d’échelle
+ divergence
Généraliser la relativité du mouvement ?
Transformations de coordonnées non-différentiables Théorème
ESPACE-TEMPS FRACTAL
Compléter les lois de la physique par des lois d’échelle
Continuité + RELATIVITÉ D’ÉCHELLE
4
Origine
Orientation
Mouvement
Vitesse Accélération
Echelle
Résolution
Etat d’un système de coordonnées:
x
t
! x
! t
Angles
Position
5
RELATIVITÉ
COVARIANCE EQUIVALENCE
faible / forte
Action Géodésique
CONSERVATION Noether
PRINCIPES PREMIERS
6
Lois de!transformation!
d’échelle"
Références et pdf articles: http://www.luth.obspm.fr/~luthier/nottale/frdownlo.htm
7
Zooms discrets sur une courbe fractale
8
Courbe de von Koch F0
F1
F2
F3
F4
F∞
L0
L1 = L0 (p/q)
L2 = L0 (p/q)2
L3 = L0 (p/q)3
L4 = L0 (p/q)4
L∞ = L0 (p/q)∞
Générateur: p = 4 q = 3
Dimension fractale:
9
Courbe fractale D=3/2
10
Zoom continu sur une courbe fractale
Animation
11
Zoom sur « zig-zag » fractal (π/2)
12
Courbes de dimension fractale variable (dans l’espace)
13
Courbes de dimension variable en échelle: générateur dépendant du niveau, p constant, q variable
p = 4
p = 8
DF = {1.082, 1.161, 1.286, 1.5}
DF = {1.0526, 1.078, 1.128, 1.261, 1.440}
14
15
Surface fractale��� 2è niveau
16 Animation
17
18
Surface fractale: dépendance d’échelle
k=0
k=2
k=1
k=3
19
Métrique et courbure d’une surface fractale
Surface (espace fractal de dimension
topologique 2 )
Métrique (divergente)
20
Courbure gaussienne
Courbure gaussienne d’une surface fractale
21
Opérateur de dilatation, méthode de Gell-Mann-Levy:
Equation différentielle la plus simple possible:
Développement limité:
Solution: loi fractale de dimension constante + transition:
22
Loi invariante d’échelle avec transition fractal / non-fractal
Solution de l’équation différentielle d’échelle:
dL/d ln r = a +b L
23
Log[
|v +
η (2
D)1/
2 Exp
[(-ln
dt)/2
]|]
ln |dt|
Vitesse totale sur la géodésique (parties différentiable et fractale) en fonction de l’échelle
24
ln L
ln !
trans
itionfractal
ln !
trans
ition
fractal
delta
constant "scale-force"
variation of the scale dimension
scaleindependent
scaleindependent
variation of the length
(asymptotique)
Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’une ‘force d’échelle’
constante:
Dynamique d’échelle: force d’échelle constante
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ln L
ln !
trans
itionfractal
ln !
fractal
delta
harmonic oscillator scale-force
trans
ition
variation of the scale dimension
scaleindependent
scaleindependent
variation of the length
Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un potentiel d’oscillateur
harmonique (dans l’espace des échelles)
Dynamique d’échelle: oscillateur harmonique
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ln L
ln !
trans
ition
fractal
scaleindependent
ln !
trans
itionfractal
delta
variation of the scale dimension
"log-periodic"
scaleindependent
variation of the length
Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un comportement log-
périodique (invariance d’échelle discrète, exposant complexe) avec transition fractal / nonfractal.
Loi log-périodique (Petites fluctuations)
27
ln L
ln !
trans
itionfractal
ln !
trans
itionfractal
delta
special scale-relativity
Plan
ck s
cale scale
independentscaleindependent
Plan
ck s
cale
variation of the scale dimensionvariation of the length
Relativité d’échelle restreinte ���(échelle de longueur de Planck invariante sous les dilatations : lois de dilatation log-lorentziennes)
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Lois du mouvement"dans un espace fractal : "
"MECANIQUE QUANTIQUE"
29
Fractalité Irréversibilité
Infinité de géodésiques
Fluctuations fractales
Dédoublement (+,-)
Description fluide
Termes de 2è ordre dans eqs. différentielles
Nombres complexes
Dérivée covariante complexe
NON-DIFFERENTIABILITE
30
Voie vers Schrödinger (1): infinité de géodésiques
––> Approche « fluide »:
Différentiable Non-différentiable
31
Voie vers Schrödinger (2): ‘partie classique’ (différentiable) et ‘partie
fractale’ Loi d’échelle minimale (en fonction de la résolution spatiale):
Version différentielle (en fonction de la résolution temporelle):
Cas de la dimension fractale critique DF = 2:
32
Voie vers Schrödinger (3): ���non-différentiabilité ––> complexes
Définition ordinaire de la dérivée:
N’EXISTE PLUS (non-différentiabilité) ! ––> nouvelle définition:
Deux définitions au lieu d’une: on passe de l’une à l’autre par la réflexion dt <––> -dt
f(t,dt) = fonction fractale: fonction explicite de dt, variable d’échelle (« résolution »)
33
Opérateur de dérivation covariante
Equation fondamentale de la dynamique
Changement de variables (S = action complexe) et intégration
Equation de Schrödinger généralisée
RELATIVITE D’ECHELLE –>MECANIQUE QUANTIQUE
34
Newton
Schrödinger
Compton
35
Cinq représentations (formes des équations) (1) Eq. fondamentale de la dynamique/ Eq. des géodésiques
(2) Schrödinger
(3) Mécanique des fluides ( P= |ψ|2, V) continuité + Euler + potentiel quantique
(4) Bifluide couplé (U, V)
(5) Diffusion (v+, v-) Fokker-Planck + BFP
36
SOLUTIONS ���Visualisations, simulations
37
Simulation numérique de géodésique fractale: particule libre
R. Hermann J. Phys. A 1996
38
Expérience de fentes d’Young
39
Expérience de fentes d’Young: une fente
Simulation dépendante-d’échelle: transition quantique-classique
40
Expérience de fentes d’Young: 2 fentes
Simulation faible nombre de géodésiques. Comparaison à la prédiction quantique
Nom
bre
41
Oscillateur harmonique 3D isotrope
Exemples de géodésiques
simulation du processus dxk = vk+ dt + dξk
+
n=0 n=1
42
Potentiel d’oscillateur harmonique 3D isotrope
Premier niveau excité: simulation du processus dx = v+ dt + dξ+
Comparaison simulation - prédiction MQ: 10000 pts, 2 géodésiques
Den
sité
de p
roba
bilit
é
Coordonnée x
43
n=0 n=1
n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)
Solutions: potentiel d’oscillateur harmonique 3D
44
Simulation de géodésique
Potentiel képlerien GM/r Etat n = 3, l = m = n-1
45 n=3
Solutions: potentiel Képlerien
Polynômes de Laguerre généralisés
46
Applications en astrophysique:!!
- formation et évolution des structures gravitationnelles!
!- effets de « masse ? » manquante"
Auto-organisation et morphogenèse
47
t
t
t
t
t
t
Mouvement: changement d’échelle de temps"
48
Comparaison à la théorie standard de formation des structures"
Théorie standard minimale: Euler-Poisson + continuité + matière noire
Relativité d’échelle: φ = potentiel, ρ = m1 P
Q = « Potentiel noir » ?––> il manifeste la fractalité de même que le potentiel newtonien est une manifestation de la courbure.
49
Bilan d’énergie ––> solution géométrique au
problème dit de « masse manquante » ? "
Cas stationnaire:
Champ central symétrique:
Avec φc = Énergie centrifuge:
50
Système solaire :!systèmes interne et externe"
SI
J
S
U
N
P
m V T M Hun C H Hil
1
4
9
16
25
36
rank n101 2 3 4 5 6 7 8 9
√a (obs.) a (AU
)
7 49
1
2
3
4
5
6
SE
N
Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific)
Predictions (1992)
55 UA
0.043 UA/Msol 0.17 UA/Msol
70 UA
--> Exoplanètes
Kuiper belt
51
Système solaire: !masses des planètes"
IS
J S
UN
P
distance (A.U.)
Outer Solar System
10 20 30 40-3
-2
-1
0
1
2
3
distance (A.U.)
m
V E
M
C
H
Inner Solar System
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
1
Log(
plan
et m
ass /
ear
th m
ass)
Log(
plan
et m
ass/e
arth
mas
s)
Ref: Nottale, Schumacher & Gay 97
dens
ity
distance to Sun (astronomical units)5 10 15 20 25 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
n = 10
n = 21
n = 11
n = 31
n = 41 n = 51
Inne
r Sol
ar S
yste
m
Jupi
ter
Satu
rn
Uran
us
Nep
tune
Outer Solar System
Hierarchical model of Solar System formation
m V T M
52
Système solaire: Soleil, cycle solaire"
Si le Soleil avait gardé sa rotation initiale: τ serait alors la période képlerienne,
Mais, comme toutes les étoiles de type solaire, le Soleil a été soumis à une perte importante de moment angulaire depuis sa formation (cf. Schatzman & Praderie, The Stars, Springer)
Fonction d’onde:
Période fondamentale:
A la surface du Soleil:
(Pecker Schatzman)
Résultat: Période observée:11 ans Ref: LN, Proceedings of CASYS’03, AIP Conf. Proc., in press
(équateur)
53
Système solaire intramercuriel:!anneaux transitoires de poussières IR"
Observations: Peterson 67, MacQueen 68, Koutchmy 72, Lena et al. 74, Mizutani 84
216 km/s, n=2
144 km/s, 0.043 UA, n=3
51 Peg: exoplanètes
Base:
Ref: Da Rocha Nottale 03
54
Système Solaire externe : ceinture de Kuiper (SKBOs)"
2003 UB 313 (« Eris »)
Validation des pics de probabilité prédits (55, 70, 90, 110 AU, …)
Pluton + KBOs Données 2009
Proba: 2 x 10-4
Repliement sur période attendue
55
Sedna + SKBOs lointains"
2001
FP
185
Sedn
a 20
03 V
B 12
ndss=( a / 57 UA )1/2
SKBO
s
nex=7
Prédit,UA" (57)" 228" 513" 912" 1425" 2052"Observé" 57" 227" 509" 915"
Nom
bre Confirmation:
2 nouveaux objets en n=2, 1 nouvel objet en n=3
2002 GB 32: a=219 2000 CR 105: a=222 2001 FP 185: a=228 2003 VB 12: a=495 2000 OO 67: a=517 2006 SQ372: a=915
2006
SQ
372
56
Exoplanètes (données 2005)"
(P / M*)1/3
Proba: 10-4
57
Exoplanètes (données 2008, N=301)"
4
Prédit (1993), niveau fondamental, 0.043 UA/ Msol
Mer
cure
Venu
s
Terre
Mar
s
Cere
s
Hyg
eia
1! 3! 5! 7! 9!
Nom
bre
(P/M*)1/3
Proba = 10-7
58
Exoplanètes: analyse par spectre de puissance"
276 exoplanètes entre n = 0.7 et n = 8.7 (données 2008) Pic en k = 8 --> période Δn = 1, p = 16, Proba = 1.13 x 10-7 : > 5 σ !
Puiss
ance
59
Exoplanètes: données 2010"Catalogue Wright et Marcy: Exoplanet Orbit Database at exoplanets.org: 362 exoplanètes au 12-04-10.
Ajustement de la constante de couplage gravitationnelle: w0 = 149.3 km/s
Proba 2 x 10-6
(tenant compte de l’ajustement)
Repliage:
Spectre de puissance: 331 exoplanètes entre 0.6 et 8.6 -> pic prévu en k=8. Observé avec puissance p=12 Proba: e-p = 6 x 10-6
- 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4Deviation from expected peak
20
40
60
80
100
120
rebmuN
60
Systèmes extra-solaires:!PSR B1257+12"
25 2624 66 67 98 9997
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000 110Period (days)
days days days
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C
Refs: Nottale 96, 98, Da Rocha & Nottale 03
Données: Wolszczan 94, 00
Mpsr =1.4 ± 0.1 Msol --> w = (2.96 ± 0.07) x 144 km/s, i.e. 432 km/s = vitesse keplerienne en Rsol
Proba < 10-5 d’obtenir un tel accord par hasard
Prédiction d’autres orbites: P1=0.322 j, P2=1.958 j, P3=5.96 j
Résidus données Wolszczan 00: P = 2.2 j (2.7 σ)
61
Comparaison au système solaire interne"
m V T M
Distance à l’étoile, normalisée par sa masse (MPSR=1.5 Msol). Loi en n^2
62
Planètes autour du pulsar PSR1257+12"
A B C
Base: planète C : aC= 68, nC=8
Planète A: (aA)pred =27.5 <--> (aA)obs =27.503 ± 0.002
(nA)pred =5 <--> (nA)obs =5.00028 ± 0.00020
Planète B, prise en compte quasi-résonance B-C:
(aB)pred =52.474 <--> (aB)obs =52.4563 ± 0.0001
(nB)pred =7 <--> (nB)obs = 7.000– 0.0015 ± 0.00001
δnA/nA= 5 x 10-5 Amélioration d’un facteur 12 (/ 1996)
δnB/nB= 2 x 10-4 Amélioration d’un facteur 2
1 2 3 4 5 6 7 8
63
PSR 1257+12 : Prédiction excentricité"Runge-Lenz --> prédiction théorique e=k/n Mais on a vu que eB et eC varient beaucoup. Par contre, intégrale première eB
2 + K eC2 ?
Transition disque de planétésimaux --> planètes: Contraction : n --> f n (raccordement orbitales): se séparent pour f=6
(1/6)2 [ (1/7)2 + K (1/8)2 ] = 0.001017
(eB2 + K eC
2)obs = 0.001005(18)
A moins de 1 σ --> Nouvelle prédiction :
Kpred = 1.099 ± 0.065 mC/mB = 0.965 ± 0.058 (obs. 0.91 ± 0.10) (obs. 1.03 ± 0.10)
64
Etoiles:!nébuleuses « planétaires »"
Harmoniques sphériques: distribution angulaire de densité de probabilité
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Etoiles:!nébuleuses planétaires"
Morphologies prévues: angles de probabilité maximale
66
Etoiles:!nébuleuses planétaires"
Da Rocha 2000, Da Rocha & Nottale 2003
67
Etoiles:!éjection et accrétion"
SN 1987A, angle déprojeté : 41.2 ± 1.0 d° angle prédit (l=4, m=2): 40.89 d°
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Structures galactiques!systèmes d’étoiles, formation"
n=0 n=1
n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)
69
Structures galactiques :!étoiles doubles"
100 200 300 400 500 600 7000
20
40
60
80
100
120
140
v (km/s)
Num
ber
289.4 km/s
a/M = (289.4/V)2 Ajustement par polynôme de Laguerre (potentiel Keplerien)
<V>=289.4 ± 3.0= 2 x 144.7 km/s
Catalogue de binaires à éclipse de Brancewicz et Dvorak 80
Ref: Nottale & Schumacher 98, Da Rocha & Nottale 03
70
Structures galactiques :!mouvements propres près du centre
galactique"
72 144 216 288 360 432 504
Num
ber
5
10
15
20
Velocity (km/s)
Données: Eckart & Genzel 96. Ref.: Da Rocha & Nottale 03
71
Structures extra-galactiques:!courbes de rotation des spirales"
0 50 100 150 200 250 300 3500
20
40
60
80
100
120
Num
ber
Rotation Velocity (km/s)
144 km/s
967 spirales, catalogue de Persic & Salucci 95. Ref: Da Rocha & Nottale 03
Ajustement par polynôme d’Hermite (potentiel d’oscillateur, densité constante): Vitesse de pic = 142 ±2 km/s Preuve de la « matière » (énergie) manquante !
72
Structures extra-galactiques:!groupes, formation"
n=0 n=1
n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)
73
Structures extragalactiques:!paires de galaxies isolées"
0.2 0.4 0.6 0.8 10
2
4
6
8
10
exp (-v / 100)r
Num
ber
144 km/s 72 km/s 24 km/sGalaxy pairs
Tricottet & Nottale 2001, Da Rocha & Nottale 2003 Da Rocha thèse
74
Méthodes statistiques de déprojection."* Application à la déprojection de vz, x et y :
Les Nv galaxies situées à vitesse v vont se répartir uniformément entre 0 et v –> la distribution projetée est monotone non-croissante et les valeurs de N sont données par les différences de surface:
v1 v2 v3 v4 0 N4
N2
N3
N1
–> la distribution de probabilité de v (déprojetée) est obtenue à partir de la dérivée de la distribution de probabilité de la vitesse projetée vz : Idem pour x et y
75
Reprise 2013: P. Chamaraux + LN"
Vterre=30 km/s
Vexopl=150 km/s
Vbin*=290 km/s
Vsoleil=437 km/s
Modèle de formation / RE : • Equation de la dynamique + fractalité –> forme Schrödinger • Principe d’équivalence –>p/m = v quantifié • Solution : pics de proba pour vn = (2 π G M / P)1/3 = w0 / n
PAIRES DU CATALOGUE UGC (Nilson), Déprojetées -> universalité de structures dans l’espace des VITESSES !
76
Confirmation : déprojection des distances (paires de Nilson)"
Unité: r0 ≈ 5 kpc (niveau fondamental n = 1) Confirmation de structures prédite par RE: vn = w0 / n --> demi-grands axes : √an = √a0 n [3è loi de Kepler: v = (G M /a)1/2 ] Possible seulement si M1+M2=Mpaire ≈ cste (= 10^12 Msol)! --> compatible avec modèle de formation RE…
77
Structures extragalactiques:!amas de galaxies"
Radial velocity
N
5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 90000
2
4
6
8
10
12Coma
A 2634
N
Radial velocity
A576
78
Structures extra-galactiques:!superamas local"
0 20 40 60 80 100
5
10
15
20
Pow
er
Frequency
Radial Velocity (km/s)
36 km/s
432 km/s
30405065100200
2
4
6
radial velocity difference (km/s)50 100 150
1
3
5
Num
ber
Analyse des données de Guthrie-Napier 96 : Da Rocha & Nottale 03