Applications de la mécanique quantique : La Cryptographie Quantique
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LA THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS
Un demi-siècle du groupe de renormalisation
La renormalisation a constitué pour la théorie des champs une percée qui Ta rendue respectable, c'était à la fin des années 40. Depuis lors, les méthodes de la renormalisation, en particulier celles du
groupe de renormalisation, sont restées la pierre de touche des nouveaux développements théoriques. Dans cet article, réminent théoricien Dmitry Shirkov, auteur avec Nikolaï Bogolioubov de
plusieurs de ces avancées, raconte l'histoire du groupe de renormalisation.
La théorie quant ique des champs
(TQC) est le fondement du calcul dans
le micromonde. Elle combine essen
t iel lement la mécanique quant ique et
la relativité restreinte. Son ingrédient
physique pr incipal , le champ quan
t ique, réunit deux notions de base de
la physique classique (ou quant ique
non relativiste): les part icules et
les champs.
Par exemple, le champ électro
magnét ique quant ique, dans des
limites appropriées, peut se réduire à
des photons (ou quanta de lumière) de
type part icule, ou à une onde décrite
par un champ de Lorentz c lassique.
Cela est vrai également du champ
quant ique de Dirac.
La TQC, en tan t que théor ie des
champs quant iques en interact ion,
introduit un phénomène remarquable:
les particules virtuelles liées aux t ran
si t ions virtuelles de la mécanique
quant ique. Par exemple, un photon se
propageant dans le vide (le vide clas
s ique) subi t une transi t ion vir tuel le
en une paire é lec t ron-pos i ton .
Habi tuel lement, cette paire subi t
ensuite la t ransformat ion inverse,
l 'annihi lat ion en un photon. Cette
succession de deux transit ions donne
lieu au phénomène de polarisation du
vide (fig. l a ) . De ce fait l 'espace vide
de la TQC n'est pas le néant: il
est rempli de paires vir tuel les
part icule-ant ipart icule.
L'interaction é lect romagnét ique
Fig. 1(a): Un photon se propageant dans le vide (classique)
subit une transition virtuelle en paire électron-positon. Les
diagrammes de Feynman constituent la méthode habituelle
pour représenter ce type de processus. Les figures 1(b) et
1(c) montrent ces diagrammes pour la diffusion d'un
électron par un proton.
HELVETICA
PHYSICA ACTA
Compte rendu de la réunion de la Société Suisse de Physique
k Iktw, ie 5 mai 195!.
V O L U M E N X X I V
M C M L l
pp 3 1 7 - 3 ! ?
The normalization group hi quantum THEORY
BY E, C. 0 . S T U K C K K U K H O AND A. P S T E B M A N N (GENÈVE)*}.
In order to discuss complex interactions, we generalize Dyson's method1) in the following way:
Consider a given n-th order contribution to the S-matrix
Fig. 2: Cette note d'avant-garde de deux pages par Ernest
Stûckelberg et André Petermann, publiée en 1951 et
intitulée "Le groupe de normalisation en théorie quantique",
est restée totalement ignorée.
entre deux charges électr iques (par
exemple entre deux électrons ou entre
un proton et un électron, etc.) consti
tue un autre exemple de polarisation
du vide. Au lieu d'une force de
Coulomb décrite par un potent ie l ,
l ' interaction en TQC correspond à un
échange de photons virtuels, lesquels,
à leur tour, se propagent dans
l 'espace-temps accompagnés par des
paires virtuelles électron-positon (fig.
l e ) . La théorie de l ' interaction des
champs de rayonnement quant ique
(photons) et des champs de Dirac
quant iques (électrons et posi tons)
formulée au début des années 3 0
est appelée l 'é lectrodynamique
quant ique (EDQ).
Les calculs en TQC donnent
habi tue l lement une série de termes
qui représentent les contr ibutions des
dif férentes composantes de la
polar isat ion du vide (qu' i l lustrent
les d iagrammes de Feynman).
Malheureusement, il s'avère que la
plupart de ces termes sont infinis. Par
exemple, la diffusion électron-proton
compor te en plus du d iagramme de
Feynman de la f ig . l b (di f fusion de
M0ller) certaines correct ions radia-
t ives, tel les que celle de la f ig . l e .
Cette dernière contribution est infinie
car l ' intégrale diverge dans la région
des hautes énergies - ou des lon
gueurs d 'ondes courtes - pour les
valeurs possibles de l ' impulsion de la
paire virtuelle électron-posi ton. Un D>
C o u r r i e r C E R N Septembre 2001 19
LA THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS
N U O V O C I M E N T 0 ORtJAKO D E L L A &OOIETÀ I T A L I A N A M PtSÏCA PHTTO GU A U P P i n PEli COKSIGLIO NAZÏONALE DEUX RICEUCHE
Vor.. I l l , X . S ih-rimn
Charge Renormalizatton Group In Quantum Field Theory.
H . N. " R o n o i j u n o v and 0 . V . fcinitoi?
Stekiar Mathematical Institute of the Armfomy of Sciences a( the - JFO**-T»»R
(ricevuto i l 24 Novembre 1955)
Summary . — L ie differential equations are obtained for the mult ipl icat ive charge renormaHzation group in q u a n t u m electrodynamics and in psendo-scnlar meson theory w i t h two coupl ing constants. By the employment of these equations there have been found the asymptotic expressions for the electrodynamieat propagation functions in the «ul t rav io let» and in the « infrared » regions. T h e asymptot ic high momenta behaviour of meson
Fig. 3: Le terme "groupe de renormalisation", a été introduit dans
les articles précurseurs de Nicolaï Bogolioubov et Dmitry Shirkov
au milieu des années 50.
infini de ce genre est l 'analogue de l'énergie propre infinie de l'électron,
bien connue en électrodynamique classique.
Quand les théoriciens ont rencontré ces diff icultés dans les années 3 0 ,
ils sont restés perplexes: la première approximation en EDQ (par exemple
pour la diffusion de Compton) donne un résultat raisonnable (la formule de
Klein-Nishina-Tamm) alors que la seconde, mettant en jeu des effets de
polarisat ion du vide plus complexes, about i t à une contr ibut ion infinie.
La découverte de la renormal isat ion
Ce sont pr incipalement Bethe, Feynman, Schwinger et Dyson qui à la fin
des années 40 ont résolu l 'énigme. Ces célèbres théoriciens ont montré
que l'on peut regrouper les contr ibut ions infinies en un petit nombre de
combinaisons mathémat iques, Z, (en EDQ i = 1,2), correspondant à un
changement de normal isat ion des champs quant iques, ce qui en fin
compte abouti t à une redéfinit ion ("renormalisat ion") des masses et des
constantes de couplage. Physiquement, cet effet ressemble beaucoup au
processus classique "d 'hab i l lage" d 'une part icule qui interagit avec un
milieu environnant.
L'aspect le plus important de la renormalisation est que le calcul des
quanti tés physiques donne des fonct ions finies des nouveaux couplages
(comme la charge de l'électron) et masses "renormalisés": tous les infinis
sont incorporés dans les facteurs Z de la redéfinit ion-renormalisation. Les
valeurs "nues" de la masse et de la charge électrique n'apparaissent pas
dans l'expression physique. Cependant, les paramètres renormalisés doi
vent correspondre aux paramètres physiques, c'est-à-dire mesurés
expérimentalement.
Quand les calculs d'électrodynamique quantique avec la renormalisation
convenable ont fourni des résultats en accord étroit avec l 'expérimenta
tion (par exemple le moment magnétique anormal de l'électron pour lequel
l'accord est de l'ordre de 1 sur 10 mil l iards), il est clairement apparu que la
renormalisation est une condit ion essentielle pour qu'une théorie donne
des résultats utiles.
Une fois que les infinis de la théorie des champs ont été éliminés comme
il se doit , les paramètres f inis obtenus deviennent arbitraires, mais en
Fig. 4: Evolution du transfert d'impulsion pour le carré de la charge
électrique effective en EDQ. Ici, la courbe théorique croissante
monotone est comparée à la mesure précise effectuée à la masse
du Z au collisionneur électron-positon LEP du CERN.
conformité avec les diverses mesures expérimentales possibles. Par
exemple, la charge électrique de l'électron mesurée à la masse du Z (au
collisionneur électron-positon LEP du CERN) donne pour la constante de la
structure f ine a une valeur de 1 /128 ,9 (la valeur utilisée dans l'analyse
théorique des événements du LEP) plutôt que la célèbre valeur de Mill ikan
1 /137 . Cependant, les expressions théor iques pour des quant i tés phy
siques, comme les sections efficaces observées, devraient être invariantes
par rapport aux transformations de renormalisation équivalentes à la t ran
sition d'une valeur de oc à une autre. Entre les mains de chercheurs astu
cieux, cette invariance par rapport à l'arbitraire s'est transformée en l'une
des techniques des plus puissantes de la physique mathémat ique (on
trouvera une synthèse apportant davantage de détails techniques dans la
référence Shirkov 1993) .
L' impressionnante histoire de
cette méthode mathémat ique élé
gante maintenant largement ut i l i
sée dans divers domaines de la
physique théor ique et mathéma
t ique a commencé il y a exacte
ment un demi-s ièc le. Elle perce
d 'abord dans une première publ i
cation - une note de deux pages de
Ernest Stuckelberg et André
Petermann (1951) int i tulée "Le
groupe de normalisation en théorie
quant ique" (fig. 2) - qui passe tota
lement inaperçue, même des spé
cialistes en théorie quant ique des
champs.
Cependant, en milieu des années
50 , la méthode du groupe de renor
mal isat ion util isée pour améliorer
les solutions approchées des équa-
Quand les calculs d'électrodynamique quantique avec la renormalisation convenable ont fourni des résultats en accord étroit avec l'expérimentation, il est clairement apparu que la renormalisation est une condition essentielle pour qu'une théorie donne des résultats utiles.
2 0 C o u r r i e r C E R N Septembre 2001
LA THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS
Photo de groupe à la conférence 'Rochester' de physique des
hautes énergies de 1959 à Kiev. De gauche à droite: Staniey
Mandeistam (en partie caché), Murray Gell-Mann, Francis Low,
Harry Lehmann et Dmitry Shirkov.
tions deTQC devient un outil puissant pour étudier les singularités aux limites
aussi bien ultraviolettes (haute énergie) qu' infrarouges (basse énergie).
Plus tard, cette méthode a été transférée de la TQC à la statistique quan
t ique pour analyser les transit ions de phase et de là à d'autres domaines
de physique théorique et mathémat ique.
Dans leur article important suivant (Stûckelberg et Petermann 1953) ,
les mêmes auteurs ont donné une formulat ion plus claire de leur décou
verte. Ils y affirmaient explicitement qu'en TQC les transformations de renor
malisation finies forment un groupe cont inu, le groupe de Lie, pour lequel
les équat ions différentiel les de Lie sont valables. Malheureusement cet
article fut publié en français, une langue méconnue de la plupart des théo
riciens de l 'époque. En tou t état de cause, il n'est pas ment ionné par
Murray Gell-Mann et Francis Low dans leur impor tant art icle de 1954 .
Un modèle plus complet et transparent est apparu en 1 9 5 5 - 1 9 5 6 dans
des articles de Nicolaï Bogolioubov et Dmitry Shirkov. Dans deux brèves
notes en russe (Bogolioubov et Shirkov 1955a) , ces auteurs ont établi un
lien entre les travaux de Stûckelberg et Petermann et ceux de Gell-Mann et
Low et inventé un simple algorithme, la méthode du groupe de renormali
sation (MGR - qui util ise les équat ions du groupe différentiel et la célèbre
fonct ion bêta) pour analyser de façon prat ique les asymptotes ultravio
lette et infrarouge. Ces résultats ont rapidement été publ iés en anglais
(Bogolioubov et Shirkov 1956a, 1956b) puis inclus dans un chapitre spé
cial d'une monographie (Bogolioubov et Shirkov 1959) et dès lors la MGR
Ernest C G Stûckelberg
est devenue un outil indispensable dans l'analyse des propriétés asymp-
to t i quesde la TQC.
Dans ces articles, le terme "groupe de renormalisat ion" apparaît pour la
première fois (f ig. 3 ) , ainsi que la notion capitale d'algorithme MGR - intro
duisant un couplage (effectif) invariant. En EDQ, cette fonction est s imple
ment une t ransformée de Fourier du carré de la charge effective de
l 'électron, e 2 ( r ) , d 'abord introduite par Dirac (1934) .
Qual i tat ivement le modèle physique décri t une charge électr ique
classique Q dans un mil ieu polarisable, un electrolyte par exemple. A une
certaine distance r de la charge, du fait de la polarisation du mi l ieu, son
champ de Coulomb varie comme une fonction Q(r) - la charge effective -
au lieu d'être une quant i té fixe Q. En EDQ, ce sont les f luctuations du vide
quant ique qui produisent la polarisat ion. La figure 4 montre l'évolution du
couplage effectif en EDQ ( a = e 2 / ï i c ) en fonct ion du transfert d ' impuls ion.
Les applications en TQC
Les toutes premières appl icat ions de la MGR incluaient les analyses des
asymptotes infrarouge et ultraviolette aussi bien que la résolution
(Bogol ioubov et Shirkov 1955b ) du "prob lème des fan tômes" dans les
modèles locaux renormalisablès de la TQC.
Le résultat physique le plus impor tant obtenu par la MGR a été la
découverte théorique (Gross et Wilczek 1973; Politzer 1973) de la "l iberté
asymptot ique" des modèles vecteurs non-abéliens. Contrairement au cas
de l'EDQ, les effets de la polarisation du vide sont ici du signe opposé du
fait des f luctuations des mésons vecteurs non-abéliens tels que les gluons.
Cela explique quanti tat ivement pourquoi les quarks interagissent moins >
C o u r r i e r C E R N Septembre 2001 2 1
Nicolaï N Bogolioubov (à gauche) et André Petermann (à droite).
LA THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS
Fig. 5: La renormalisation à l'œuvre: correspondance quantitative
entre les courbes théoriques pour le carré du couplage effectif en
CDQ, as(Q2), et les données (publiées dans la récente synthèse du
groupe PDG sur les propriétés des particules).
Fig. 6: Certains résultats initiaux au collisionneur électron-positon
LEP du CERN ont montré que la variation des "constantes" de
couplage étayent l'idée d'une grande unification des interactions
forte, électromagnétique et faible.
à une distance plus courte, une idée qui est devenue la pierre angulaire de
la théorie des champs quant iques maintenant appelée chromodynamique
quant ique (CDQ - voir f ig . 5 ) . Une autre i l lustrat ion, cette fois plus
spéculative, est celle du "graphique des interactions" (fig. 6) qui a donné
naissance à l'idée d 'une grande uni f icat ion des interact ions forte et
électrofaible.
Au début des années 1970, Kenneth Wilson (1971) a inventé une version
spécif ique du formal isme du groupe de renormalisation pour les systèmes
stat ist iques. Elle étai t basée sur l ' idée de Kadanoff d 'un blocage, il
s'agissait plus précisément de moyenner sur une petite partie d'un grand
système.
Mathémat iquement , l 'ensemble des opérat ions de blocage forme un
semi-groupe discret, différent de celui de la TQC. Le groupe de Wilson a
alors été utilisé pour le calcul d' indices crit iques dans les transit ions de
phase. Outre les phénomènes crit iques (dans les années 1970 et 1980) il
a été appl iqué aux problèmes des polymères, de la percolat ion, du trans
fert radiatif non-cohérent, du chaos dynamique et à quelques autres. La
démarche plutôt transparente du groupe de renormalisation de Wilson a
facil ité cette expansion. Kenneth Wilson a reçu le prix Nobel de 1982 pour
ce travail.
D'autre part, dans les années 8 0 , une formulat ion plus simple et géné
rale du groupe de renormalisation en TQC a été découverte (Shirkov 1982,
1984) . Elle relie la symétrie du groupe de renormalisation à une notion
largement connue en physique mathémat ique , l 'auto-simi l i tude. Ici, la
symétrie GR apparaît dans le rôle d'une symétrie d'une solution particulière
par rapport à sa transformation de reparamétrisat ion. Elle peut être consi
dérée comme une généralisation fonctionnelle de l 'auto-similitude, la s imi
litude fonctionnel le.
Plus tard cette formulat ion a été app l iquée avec succès à quelques
problèmes de valeurs aux limites en physique mathémat ique, par exemple
aux problèmes de l 'auto-focalisation d'un faisceau laser dans un mil ieu
non linéaire (Kovalev et Shirkov 1997). Ici, la solution à symétrie de type GR
est décrite par un groupe mult iparamètres et permet d'étudier la structure
bidimensionnelle de la singularité de la solut ion.
Références
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(en russe). On trouvera une synthèse en anglais dans F Dyson 1956 Math.
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E Stûckelberg et A Petermann 1951 Helv. Phys. Acta 2 4 317.
E Stûckelberg et A Petermann 1953 Helv. Phys. Acta 2 6 4 9 9 (en français)
KWilson 1971 Phys. Rev. B 4 3174 ,3184 .
D V Shirkov, directeur honoraire du laboratoire Bogolioubov de physique
théorique, IURN, Doubna.
22 C o u r r i e r C E R N Septembre 2001