La résolution d'un problème d'enseignement par l'usage de ...
La résolution de problème au cycle 1
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La résolution de problème
au cycle 1
Circonscription de Claye Souilly
Mercredi 17 octobre 2018
I. Résolution de problèmes
D’après les travaux d’André Jacquart (IUFM Douai) :
Développement de la pensée logique et résolution de
problèmes en maternelle
Qu’est-ce qu’un problème
En s’appuyant sur une définition de Jean Brun (chercheur INRP
Neuchâtel), un problème se caractérise par :
1. une situation initiale avec un but à atteindre,
2. une suite d’actions ou d’opérations est nécessaire pour atteindre
ce but,
3. un rapport sujet/situation: la solution n’est pas disponible
d’emblée mais possible à construire.
1. Une situation initiale avec un but à
atteindre
Le problème mathématique est posé par l’enseignant.
Ce problème doit devenir celui de l’élève qui devra :
identifier la situation et le but à atteindre (donc
savoir :de quoi ça parle et que dois-je faire ?)
accepter la tâche.
Il faut qu’il y ait dévolution du problème.
1. Une situation initiale avec un but à
atteindre
Comment atteindre la dévolution, favoriser l’identification
de la situation et de la tâche ?
Par le matériel qui impose le problème
Matériel
orienté Matériel
ouvert
1. Une situation initiale avec un but à
atteindre
Comment atteindre la dévolution, favoriser l’identification
de la situation et de la tâche ?
par l’exposition momentanée ou non du résultat attendu
(ex : tour de magie)
1. Une situation initiale avec un but à
atteindre
Comment atteindre la dévolution, favoriser l’identification de la situation et de la tâche ?
Par l’utilisation d’exemples et de contre-exemples
Par la formulation puis la reformulation de la consigne par l’élève
1. Une situation initiale avec un but à
atteindre
Comment favoriser l’acceptation de la tâche par l’élève ?
par la dimension ludique de la situation et du matériel
par le recours à un mime ou un médiateur (marionnettes, livres,…)
par la mise en scène, la théâtralisation du problème
2. Une suite d’actions ou d’opérations
est nécessaire pour atteindre ce but
Il faut qu’il y ait engagement de l’enfant.
Comment favoriser cet engagement dans la résolution ?
par l’intérêt porté à l’activité de l’enfant
par les encouragements,
par une aide appropriée,
par la mise en valeur du défi à relever…
3.Un rapport sujet/situation : la solution n’est
pas disponible d’emblée, mais possible à construire.
Comment favoriser la construction de réponses possibles par tous ?
Il faut envisager une différenciation des activités par le jeu des
variables didactiques
Avec ce matériel, on peut dans un premier temps,
éliminer les pièces doubles, puis obstruer la face
supérieure pour ne laisser apparaître que les faces
latérales mais en ne donnant que des pièces
simples avant donner les pièces doubles…
Quels types de situations ?
Pour apporter les situations, on peut s’appuyer sur :
les situations fonctionnelles : besoins réel qui émergent de la vie
quotidienne : préparer un goûter pour chacun
les situations rituelles : dénombrement des absents, du nombre d’élèves
qui ne mangent pas à la cantine toujours des petits nombres < 10
les situations construites : situations qui s’appuient sur un jeu, un
matériel, une « activité papier-crayon »
Quels types de problèmes ?
A l’école maternelle, nous pouvons distinguer deux catégories de problèmes :
les problèmes pour apprendre : on vise des connaissances
les problèmes pour chercher : on développe l’esprit logique
Exemple 1 : le tangram :
Si l’enfant doit refaire le personnage blanc, c’est un problème pour apprendre
Si l’enfant doit refaire le personnage rouge, c’est un problème pour chercher
Quels types de problèmes ?
A l’école maternelle, nous pouvons distinguer deux catégories de problèmes :
Exemple 2 : les géoplans : planches à clous
La situation
Utilisation d’un seul bracelet élastique pour délimiter une forme et de perles de
3 couleurs (rouge à l’intérieur, vert à l’extérieur, jaune sur le bracelet)
Quels types de problèmes ?
A l’école maternelle, nous pouvons distinguer deux catégories de problèmes :
Exemple 2 : les géoplans : planches à clous
Mise en place 1 : c’est un problème pour apprendre
Mise en place 2 : c’est un problème pour chercher
Quelques procédures de résolution pour
un problème de recherche
Procédures par induction (à vraiment développer à l’école maternelle)
Suite logique sur une grille tableau à double entrée
sans indiquer les entrées
Procédures par déduction
But :
Compléter ces grilles
J’ai caché une pièce semblable à l’une de celles-ci … laquelle est-ce ?
Est-ce un carré ? NON
Est-il bleu ? NON
Est-il jaune ? NON
Quelques exemples de problèmes pour
chercher
Les boites à œufs
Situation But Variables didactiques
Une boite à œuf et des
jetons rouges et bleus
Remplir la boîte (un jeton dans
chacune des 12 alvéoles).
Il doit y avoir 2 jetons rouges de
plus que de jetons bleus.
l’écart entre les
nombres de jetons.
les « dimensions » de la
boîte.
1 Les boîtes à œufs
Quelques exemples de problèmes pour
chercher
Les boites à œufs
Situation But Variables didactiques
Un ensemble bien défini de blocs
logiques (ici, 3 formes 3 couleurs)
mais on peut le faire, pour
commencer, avec uniquement 2
formes et 2 couleurs (soit 4 blocs).
Trouver le bloc logique
choisi au préalable.
le nombre de
propriétés en jeu (donc
le nombre de pièces)
le nombre de valeurs
pour chacune des
propriétés
2. Le mastermind
Quelques exemples de problèmes pour
chercher
Les boites à œufs
2. Le mastermind
Quelques exemples de problèmes pour
chercher
Les boites à œufs
3. Les chemins quadrillés : les règlettes cuisenaires
Situation But Variables didactiques
Des réglettes de 10 longueurs
différentes, à chaque
longueur est associée une
couleur.
Le matériel sera détourné
pour recouvrir un chemin
quadrillé.
Recouvrir un chemin avec des
réglettes
Forme du chemin (surtout
le nombre de changements
de direction)
Longueur des chemins
Réglettes disponibles (leur
nombre, leur couleur)
Quelques exemples de problèmes pour
chercher
Les boites à œufs
3. Les chemins quadrillés : les règlettes cuisenaires
Situation 1 Situation 2 Situation 3
toutes les réglettes (1 à 5) sont
disponibles
les réglettes sont
imposées
les réglettes sont
imposées
II. Résoudre des problèmes
à plusieurs
Les programmes
Références aux jeux ou défis mathématiques :
• Une école qui organise des modalités spécifiques
d'apprentissage
L'enseignant met en place dans sa classe des situations
d'apprentissage variées : jeu, résolution de problèmes,
entraînements, etc. et les choisit selon les besoins du
groupe classe et ceux de chaque enfant.
L’enseignant favorise les interactions entre enfants et
crée les conditions d'une attention partagée, la prise
en compte du point de vue de l'autre en visant
l'insertion dans une communauté d'apprentissage.
Les programmes
Références aux jeux ou défis mathématiques :
• Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes
Pour provoquer la réflexion des enfants, l'enseignant les met face à
des problèmes à leur portée.
Il cible des situations, pose des questions ouvertes pour lesquelles les
enfants n'ont pas alors de réponse directement disponible.
Mentalement, ils recoupent des situations, ils font appel à leurs
connaissances, ils font l'inventaire de possibles, ils sélectionnent. Ils
tâtonnent et font des essais de réponse.
L'enseignant est attentif aux cheminements qui se manifestent par le
langage ou en action ; il valorise les essais et suscite des discussions.
Ces activités cognitives de haut niveau sont fondamentales pour
donner aux enfants l'envie d'apprendre et les rendre autonomes
intellectuellement.
Résolution de problèmes à l’école maternelle :
les défis collectifs
Résolution de problèmes à l’école maternelle :
les défis collectifs
Il est important de varier les supports :
Ex : image projetée des ingrédients à posséder et donner aux élèves les ingrédients que l’on a.
Résolution de problèmes à l’école maternelle : le vocabulaire spatial
III. Parallèlement à l’école
élémentaire
Vers une typologie des problèmes
arithmétiques
Problèmes « basiques » (d’un savoir, d’un concept)
→ Enjeu élève : les mémoriser
Problèmes « complexes » → Enjeu élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant des informations et qualifiant les résultats
Problèmes atypiques → Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement , persévérance et confiance en soi
Qu’est ce qu’un problème basique ?
Une piste d’athlétisme mesure 400 m. Paul fait 5 tours de piste. Quelle distance a-t-il parcourue ?
CE2
Dans cette salle, 400 places en 25 rangées régulières. Combien de places par rangée ? CM
Problèmes basiques
Pas de donnée superflue
Une syntaxe facile
Un contexte facile à comprendre (a priori)
PROBLEME « COMPLEXE »
Au cinéma ‘Royal Ciné’ un adulte paye 6€ par séance et un enfant paye 4€ par
séance. A la séance de l’après-midi, il y avait 50 adultes et des enfants. A la
séance du soir, il y avait 15 adultes et 20 enfants. La recette de la journée est 542€
Combien y avait-il d’enfants à la séance de l’après-midi ?
ERMEL (1997 ; 2005) Apprentissages
numériques et résolution de problèmes CM1.
Paris :Hatier
PROBLÈMES « COMPLEXES »
Un problème qui est un composé de problèmes basiques “cachés” à construire par l’élève ! L’exemple du problème de recette du cinéma:
Sous problèmes calculables Sous problèmes utiles
Séance du soir : nombre de personnes
Séance du soir : prix que payent les adultes
Séance du soir : prix que payent les enfants
Séance de l’après midi : prix que payent les
adultes
Deux séances : prix que payent les adultes
Recette de la séance du soir
OU
Recette venant des adultes
ET
Séance du soir : prix que payent les enfants
Enjeux des problèmes « complexes»
Tester les opérations (toutes et/ou leurs propriétés)
Adapter à de nouveaux contextes*
des problèmes basiques mémorisés (typologie Vergnaud)
Renforcer
les contrôles sémantiques (sens des mots)
pragmatiques* (sens du réel)
et syntaxiques (sens du texte)
(*) les deux sont liés
Enjeux des problèmes « complexes»
Inférences et contrôles sémantiques (sens des mots) : s’appuyer sur le sens des mots pour
inférer un raisonnement… (attention mots inducteurs)
Ex : Partager c’est une division ; fois c’est multiplier; si on fait une multiplication on va trouver
plus…
Inférences et contrôles pragmatiques (sens du réel) : Le calcul contrôlé par comparaison avec
connaissance de la réalité évoquée, puis accepté ou rejeté ou requestionné
Ex : je partage une bouteille de jus d’orange entre 4 personnes. J’ai calculé que chacun va
boire 223 verres : c’est impossible
Inférences et contrôles syntaxiques (sens du texte) : synthétiser le problème en une
écriture algébrique
conversion en écriture à trou (pré-algébrique) ; voire transformation en écriture « directe »
« il faut faire 573 plus quelque chose égale 1260 » Écriture de 573 + ? =1260
Enjeux des problèmes « complexes»
Exemple de problème complexe cycle 2 :
Lise a 10 €. Le paquet de gâteaux qu’elle aime coûte 3€. Une bouteille de soda coûte 2€.
Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois boissons ?
3X2 = 2X3 =
10X3 = 30. possible ?
Analyse des productions des élèves (cycle 3)
Production 5
Apprendre à valider
« Trouve le nombre de sachets pleins si on empaquette 38 objets par paquets de 5 »
« 38 personnes décident de partir en voiture ; une voiture peut transporter 5 personnes ; de
combien de voitures ont elles besoin ? »
Apprentissage d’un sens critique des modèles appris.
Sensibilité au contexte
contrôle par le réel (pragmatique)
Verschaeffel parle d’un phénomène de suspension de sens commun, résistant même aux mises en
garde.
Un problème « atypique » ou « pour chercher » Ajustement des programmes concernant la résolution de
problèmes : BO n°30 du 26-07-2018 :
Cycle 2 : les problèmes atypiques (pour chercher) se travaillent dès le CP :
« On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements ».
Depuis
l’ouverture de ce
stand, un seul
client a acheté
des fraises.
Combien a-t-il
payé ?
Exemple de
problème atypique
de cycle 2
Exemple de problème atypique de cycle 2
Un problème « atypique » ou « pour chercher » Ajustement des programmes concernant la résolution de
problèmes : BO n°30 du 26-07-2018 :
Cycle 3 : recherche par tâtonnements :
« On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à
chercher qui ne soient pas directement reliés à la notion en cours
d’étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se
résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un
raisonnement et des recherches par tâtonnements. »
Contexte concret ou familier?
On essaie parfois de trouver des situations concrètes pour aider les élèves, mais... ces situations ne
leur sont pas familières.
Utiliser des euros reste abstrait pour les élèves de CP
Reproduire à la règle le tracé d’un château fort peut paraitre très familier à un enfant de 6 à
10 ans alors que cela n’aura rien de concret vis-à-vis de son quotidien.
Même si les savoirs des mathématiques sont abstraits, ils peuvent être convoqués dans des situations
plus en phase avec l’âge, la culture et les centres d’intérêt des élèves.
Thierry DIAS : Nous sommes tous des mathématiciens (P.11)
A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques Cycle 2 (1 au CE2 dans les programmes)
« Au CE2, les élèves sont amenés à résoudre des
problèmes plus complexes, éventuellement à deux étapes,
nécessitant par exemple l’exploration d’un tableau ou
d’un graphique, ou l’élaboration d’une stratégie de
résolution originale. »
Des documents authentiques sont utilisables en CP et CE1
pour la résolution de problèmes basiques par exemple.
A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques (1 au CM1)
A propos de données utiles et inutiles Utilisation de documents authentiques : 2 au CM2 Exemple : la visite de la cité des sciences
1°)
A propos de données utiles et inutiles Utilisation de documents authentiques : 2 au CM2 Exemple : la visite de la cité des sciences
1°) Combien paye un enfant de 6 ans ?
2°) Combien paye un adulte qui veut
également aller au planétarium ?
3°) Quel sera le coût pour une famille de
deux adultes et 2 enfants ?
A propos de données utiles et inutiles Utilisation de documents authentiques : 2 au CM2 Exemple : la visite de la cité des sciences
4°) Quel sera le montant payé par une
classe maternelle de 24 élèves en Réseau
d’éducation prioritaire ?
5°) Quel sera le montant payé par une
classe élémentaire de 26 enfants qui
souhaite aller au planétarium ?
L’apprentissage de modèles
Un des apprentissages du cycle 2 est celui d’une transformation (épuration)
raisonnée du dessin en un schéma fonctionnel pour raisonner.
Cet apprentissage n’est pas terminé au cycle 3
Petite modélisation
Combien y a t il de poules et de lapins dans notre ferme ?
Tu vas le trouver toi-même :
Lorsque je rassemble toutes les poules et les lapins de la ferme, il y a en tout
25 têtes et 64 pattes.
(Pluvinage 2008)
Petite modélisation
Une mise en schéma avec une tête représentée par un rond et une patte
représentée par un trait, puis le dessin de toutes les têtes suivi d’une
distribution raisonnée des pattes donne la réponse.
Cette représentation sera susceptible de devenir un modèle si l’élève a
l’occasion de rencontrer plusieurs fois ce type de problèmes.
Grande modélisation
Tu disposes de deux boites vertes, trois boites rouges
et 50 jetons.
Il faut mettre les 50 jetons dans les boites.
Aucune boite ne doit être vide et il doit y avoir le même nombre de jetons dans les
boîtes de la même couleur.
Validité des modèles
Dans l’usage français, seules les validations syntaxique (sens du texte) et
sémantique (sens des mots) sont prises en compte.
Il nous faut aussi prendre en compte la dimension pragmatique (sens du
réel), de façon non anecdotique dans nos enseignements.
Le projet de circonscription
Le projet de circonscription
Les compétences mathématiques mises en jeu :
Le projet de circonscription
Les compétences mathématiques mises en jeu :
Le projet de circonscription
Les compétences mathématiques mises en jeu :
Le projet de circonscription
Les compétences mathématiques mises en jeu :
Le projet de circonscription
Les compétences mathématiques mises en jeu :
Le projet de circonscription
Les compétences mathématiques mises en jeu :
Débutez avec maths en vie
Activités mathématiques autour de photos numériques prises dans l’environnement des élèves.
3 intérêts :
les élèves construisent l’intérêt d’apprendre les mathématiques parce que cette discipline s’inscrit dans leur réalité de tous les jours ;
les élèves mettent du sens derrière chaque donnée et mettent alors en œuvre des procédures de résolution cohérentes ;
Les élèves construisent des ordres de grandeurs et exercent un regard critique sur les solutions de leurs problèmes.
Commencer dans sa classe puis collaborer avec d’autres classes.