La retta 171 - mimmocorrado.it · La retta N è parallela all’asse y . Ogni punto 2 della retta N...

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LLAA RREETTTTAA

L’equazione lineare in x e y

L’equazione: 0 con , , ∈ , e non contemporaneamente nulli, si dice eeqquuaazziioonnee lliinneeaarree nelle due variabili e .

Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell’equazione.

TEOREMA

AAdd ooggnnii rreettttaa ddeell ppiiaannoo ccaarrtteessiiaannoo ccoorrrriissppoonnddee uunn’’eeqquuaazziioonnee

lliinneeaarree iinn dduuee vvaarriiaabbiillii

e, viceversa,

aa ooggnnii eeqquuaazziioonnee lliinneeaarree iinn dduuee vvaarriiaabbiillii ccoorrrriissppoonnddee uunnaa rreettttaa

ddeell ppiiaannoo ccaarrtteessiiaannoo..

Esiste cioè, una corrispondenza biunivoca fra i punti di una retta e le soluzioni della corrispondente equazione lineare.

Dimostrazione 1 AAdd ooggnnii rreettttaa ddeell ppiiaannoo ccaarrtteessiiaannoo ccoorrrriissppoonnddee uunn’’eeqquuaazziioonnee lliinneeaarree iinn dduuee vvaarriiaabbiillii Consideriamo prima i casi particolari:

La retta è parallela all’asse y .

Ogni punto della retta ha ascissa e, viceversa,

ogni punto avente ascissa , qualunque sia la sua ordinata, appartiene necessariamente alla retta .

Quindi tutti e soli i punti della retta soddisfano l’equazione .

La retta è parallela all’asse :

Ogni punto della retta ha ordinata e, viceversa,

ogni punto avente ordinata , qualunque sia la sua ascissa, appartiene necessariamente alla retta .

Quindi tutti e soli i punti della retta soddisfano l’equazione .

Consideriamo poi il caso di una generica retta del piano non parallela agli assi.

Fissiamo su essa due punti ; e ; e consideriamo poi un terzo punto ; variabile su di essa.

Per il teorema di Talete si ha:

⟹

Per la proprietà transitiva

è: Condizione di allineamento di tre punti

Risolvendo la quale si ricava:

0

Ricordando che: , , , sono numeri noti, e ponendo:

Si ottiene: 0 .

⟺ 0


Poiché le coordinate di un generico punto ; della retta soddisfano l’uguaglianza, si conclude che tutti i punti della retta verificano l’equazione lineare ottenuta.

Dimostriamo ora, che solo i punti della retta soddisfano l’equazione lineare.

Supponiamo per assurdo (negazione della tesi) che le coordinate del punto ; non appartenente alla retta siano soluzioni dell’equazione lineare, cioè sia: 0 .

Consideriamo poi, un punto ; della retta situato sotto al punto ; .

Essendo il punto ; ∈ risulta che: 0

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene: 0

Essendo 0 , poiché la retta non è parallela all’asse y, si ricava: 0 cioè:

Il che equivale a dire che il punto ; coincide con il punto A.

Dimostrazione 2 AAdd ooggnnii eeqquuaazziioonnee lliinneeaarree iinn dduuee vvaarriiaabbiillii ccoorrrriissppoonnddee uunnaa rreettttaa ddeell ppiiaannoo

Consideriamo prima i casi particolari:

0 ∧ 0

L’equazione diventa: 0 →

Essa è verificata da tutte le coppie ; che individuano una retta parallela all’asse x.

0 ∧ 0

L’equazione diventa: 0 →

Essa è verificata da tutte le coppie ; che individuano una retta parallela all’asse y.

Consideriamo poi il caso generale:

0 ∧ 0

L’equazione è: 0

Consideriamo tre soluzioni qualsiasi dell’equazione lineare: ; , ; , ; .

Sostituendo nell’equazione lineare si ha: 000

Sottraendo la Ia equazione dalla IIa equazione si ha: 0 cioè:

Sottraendo la Ia equazione dalla IIIa equazione si ha: 0 cioè:

Per la proprietà transitiva si ha: cioè

che rappresenta la condizione di allineamento di tre punti.

Pertanto le soluzioni dell’equazione lineare sono le coordinate di tre punti della retta.

La

Lal’e

La

L’e

Se

P

Il

Il

Il c

Ilè d

D

S

L

L

S

D

Da

La

LaD

D

Matematica

retta passan

a condizione equazione del

forma esplic

equazione

ricaviamo l’

Ponendo:

l coefficiente

l coefficiente

coefficiente a

l ccooeeffffiicciieenntteeil rapporto f

delle ascisse d

Dimostrazione

Siano e

Le coordinate

Le coordinate

Sottraendo mem

Da cui si ottien

al triangolo r

retta passan

L’equazione dngolare è

Dimostrazione

Dalla relazione

a

nte per due

di allineamella retta pass

cita della ret

’equazione ri

s

e è detto

e è detto o

angolare

ee aannggoollaarree difra la differendi due punti

e

due punti de

; soddi

; soddi

mbro a memb

ne:

ettangolo

0

nte per un p

della retta paè data da: e

e

punti

ento di tre pusante per due

tta

0 è detta

ispetto alla v

si ottiene la f

ccooeeffffiicciieennttee

oorrddiinnaattaa aallll’’oo

i una retta nonza delle orddistinti della

ella retta

isfano l’equaz

isfano l’equaz

bro si ha:

si rica

unto e con d

assante per il

si ottiene:

unti rappresene punti

ffoorrmmaa iimmppllii

variabile s

0 ⟺

ffoorrmmaa eesspplliicc

ee aannggoollaarree.

oorriiggiinnee.

on parallela adinate e la difa retta.

.

zione

zione

ava che

0

dato coeffici

l punto 1

.

:

www.mimm

nta anche ; e

cciittaa della ret

si ottiene la f

⟺

cciittaa

all’asse fferenza

tg .

0

ente angola

1; 1 e ave

∙

mocorrado.it

;

tta.

forma esplici

0

re

ente coeffici

con

ita della retta

0

ente

a.

0

0

∄

3


La retta passante per l’origine

L’equazione della retta passante per l’origine degli assi cartesiani è data da:

Rette particolari

Bisettrice del I ‐ III quadrante Bisettrice del II e IV quadrante Asse delle Asse delle

Teorema ‐ Rette parallele

Due rette ed (non parallele all’asse y) sono parallele ⟺ ed hanno lo stesso coefficiente angolare

Dimostrazione ⟹

Consideriamo due rette parallele ed (non verticali) che intersecano l’asse , rispettivamente nei punti e ′ Prendiamo sull’asse x

il punto distante 1 da il punto distante 1 da ′.

Consideriamo poi:

sulla retta il punto con la stessa ascissa di

sulla retta il punto ′ con la stessa ascissa di ′

I triangoli e ’ ’ ’ sono congruenti perché hanno: ≅ ′ ′ e ≅ (angoli corrispondenti )

Pertanto si ha che: ≅ ′ ′ .

Ma: e ′ ′ ⟹ .

Dimostrazione ⟸

Procedendo in modo inverso:

Se ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ′ ′

I triangoli rettangoli e ’ ’ ’ sono congruenti perché hanno: ≅ ′ ′ e ≅ ′ ′ .

Avendo dimostrato che i triangoli e ’ ’ ’ sono congruenti ⇒ ≅ ⇒ ∥ .

Teorema

∥ ⟺ ⟺ 0

Dimostrazione

∥ ⟺ cioè 0 0 .

Te

D

Di

Darisp

Le

∶

′:

Coave

Qu

2

Po

Da

inc

An

Matematica

orema ‐ Rett

ue rette ed

mostrazione

ate due rette pettivamente

ed soperpendico

′ ed ′ soperpendico

Il triangolo è rettangolo

e equazioni d

onsideriamo ienti ascissa 1

|

1 0

1 0

uindi la relaz

2 2

1 .

osizione recip

alla geometri

cidenti, coinc

naliticamente

Sistem

ret

a

te perpendic

d (non para

⇔

ed , non pe parallele a

ono olari ⇔

ono olari ⇔

o in ⇔

delle rette in q

e

e

il punto d1: 1;

|

0

0

zione:

1 0

2 1

proca di due

ia euclidea, s

cidenti, paral

e ciò si tradu

ma determin

tte incidenti

⇔ ′

colari

allele agli ass

parallele agli e a , e pas

⇔ ′

per

⇔ Il tria

retta

⇔

questione son

∶

′:

di e il pun e 1;

⇒

0

0

0

1

e rette

sappiamo che

llele e distint

uce in tre dive

ato

′ ′

si) sono perp

i assi, considssanti per l’o

ed ′ sono rpendicolari

angolo angolo in

no:

nto di

1

1

diviene

1 0

e due rette co

te.

ersi tipi di si

Sis

∧

www.mimm

pendicolari

deriamo le duorigine.

è

0

0

:

0

omplanari e

stemi:

stema impos

rette paralle

∧ ′ ⇔

mocorrado.it

⟺ Il pr

ue rette ′ ed

0

0

ed possono

ssibile

ele

⇔′ ′

rodotto dei l

′,

o trovarsi in t

S

′

oro coefficie

∙

tre possibili

Sistema inde

rette coin

∧ ′

enti angolari 1

diverse posiz

eterminato

ncidenti

⇔′

5

è 1

zioni:

′ ′


Distanza di un punto da una retta

Retta parallela all’asse x Retta parallela all’asse y

| | | |

Retta non parallela agli assi cartesiani

Distanza del punto ; dalla retta 0

| |

√

Dimostrazione

Determiniamo la distanza del punto ; dalla retta 0 mediante la formula dell’altezza relativa

all’ipotenusa del triangolo rettangolo : ∙

(*) .

L’ascissa del punto è

L’ordinata del punto è ∈

L’ordinata del punto è

L’ascissa del punto è ∈

∙ ∙

∙

| |

| |∙ .

Sostituendo in (*) si ottiene:

∙ ∙

| || |

∙ √

| |

| |∙| |

| |∙

| | ∙ | |

| | ∙ √

| |

√ .


LLuuoogghhii ggeeoommeettrriiccii L’asse di un segmento

Asse di un segmento AB

Dimostrazione

L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio.

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.

Considerato pertanto, un punto ; appartenente all’asse del segmento , applicando la definizione, si ha che:

;

La simmetria assiale

Fissata nel piano una retta : , la simmetria assiale rispetto alla retta è quella isometria che ad ogni punto ; del piano fa corrispondere il punto ′ ′ ; ′ del semipiano opposto rispetto ad , in modo che sia l’asse del

segmento ′ ossia:

1. passa per il punto medio di ′ 2. ′ è perpendicolare alla retta

Dimostrazione

Dopo aver ricavato le coordinate del punto medio ; del segmento ′,

imponiamo che il punto appartenga alla retta : ∙ .

Dopo aver determinato il coefficiente angolare del segmento :

imponiamo la condizione di perpendicolarità: .

Risolviamo quindi il sistema formato da queste due equazioni, considerando ′ e ′ come incognite. Per semplificare la scrittura delle espressioni indichiamo: ′ ′ .

2∙

2

1

2

0

2

2

2

1 2

2 1 2

1

2 1 21

2 21

2 2

1

2 2

1

2 1 2

1

1

11 2 2

1

12 1 2

1

11 2 2

1

12 1 2

La

Sim

Matematica

Simm

Sim

Simmet

simmetria c

mmetria risp

a

metria rispett

mmetria risp

tria rispetto

centrale

petto al punt

to alla retta y

petto all’asse

alla bisettric

to )q;p(C

qy

2

x

ce xy

www.mimm

2

Si

2

2

mocorrado.it

Simm

Sim

Simmet

mmetria risp

metria rispett

mmetria risp

tria rispetto a

petto all’orig

to alla retta

petto all’asse

alla bisettric

gine );(O 00

px

e y

e xy

8

2


Luogo dei punti equidistanti da due rette incidenti

Bisettrici degli angoli formati dalle due rette

0 e ′ ′ ′ 0 √∓

′ ′ ′

Dimostrazione

Se le rette : 0 ed : ′ ′ ′ 0 sono incidenti, il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dalle due rette è costituito dai punti ; appartenenti alle due bisettrici degli angoli formati dalle due rette.

Considerato pertanto, un punto ; del piano imponiamo che la distanza di dalla retta sia uguale alla distanza di dalla retta .

; | |

√

| ′ ′ ′|

√∓

′ ′ ′

Luogo dei punti equidistanti da due rette parallele

Mediana della striscia delimitata dalle due rette

e ′

′

2

Dimostrazione

Se le rette : ed : ′ sono parallele, il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dalle due rette è costituito dai punti

; appartenenti alle mediana della striscia delimitata dalle due rette.

Pertanto la sua equazione è: .

Nota 1 | | | | ⇔ ∓

Infatti, ricordando che: | | 0 ⇔ ∓

Si ha che: | | | | ⇔ ∓∓

⇔ ∓

Luogo dei punti aventi distanza assegnata da una retta

Rette parallele alla retta

poste da parti opposte rispetto ad e a distanza

| |

√

Il luogo geometrico è costituito dai punti ; appartenenti alle due rette ed , parallele alla retta , poste a distanza e da parti opposte rispetto alla retta .

La sua equazione è: | |

√ .


Luoghi determinati da equazioni parametriche

Il luogo geometrico è costituito dai punti ; del piano che soddisfano equazioni (parametriche) dipendenti da un parametro. Al variare del parametro si ottengono tutti i punti del luogo geometrico.

Esempio 1

Dato un sistema di riferimento cartesiano in un piano, si dica che cosa rappresenta l’insieme dei punti le cui coordinate hanno equazioni parametriche:

3 24

∈

Soluzione

Per determinare l’equazione cartesiana del luogo, occorre eliminare il parametro dalle due equazioni. Ricaviamo pertanto il parametro t dalla seconda equazione e lo sostituiamo nella prima:

⇒ 3 ∙ 2 4 3 8 0 . Pertanto il luogo rappresenta una retta.

Esempio 2

Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che cosa rappresenta l’insieme dei punti 1 ; 1 , ottenuto al variare di nei reali. (Esame di Stato Ordinamento, Sessione suppletiva, 2008)

Soluzione

Ricaviamo pertanto il parametro t dalla prima equazione e lo sostituiamo nella seconda: 1 ⇒ 1 1

Essendo però 1 1 ∀ ∈ il luogo rappresenta la semiretta di equazione con 1.

Esempio 3

Siano ed due qualunque rette del fascio di centro 1 ; 3 tra loro perpendicolari e siano e rispettivamente le intersezioni di con l’asse e di con l’asse . Determinare il luogo descritto dal punto medio del segmento .

Soluzione

Due rette per tra loro perpendicolari hanno equazioni:

: 3 1 e : 3 1 con 0

Il punto 0 ; 3 , il punto 1 3 ; 0 ⇒ il punto ;

Pertanto le equazioni parametriche del luogo sono: ∀ ∈ 0

Eliminando il parametro m si ottiene:

⇒ ; ; ;

Il luogo descritto da al variare di è la retta 3 5 0 privata del punto

; , ottenuto per 0 .


II FFaassccii ddii rreettttee Fascio proprio di rette

L’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto si chiama ffaasscciioo pprroopprriioo di rette per .

Il punto C è detto centro del fascio.

L’equazione del fascio di rette passante per il punto ; ha equazione: ∙ .

Al variare di si ottengono tutte le rette del fascio passanti per il punto P, tranne la parallela all’asse , avente equazione .

Pertanto, il fascio completo è rappresentato dalle equazioni:

∙ ∨ con ∈

Fascio improprio di rette

Data una retta del piano.

L’insieme formato dalla retta e da tutte le rette a essa parallele si chiama ffaasscciioo iimmpprroopprriioo di rette parallele a .

La retta è detta retta base del fascio.

Se la retta è in forma esplicita l’equazione del fascio è

con ∈

Se la retta è in forma implicita 0 l’equazione del fascio è

0 con ∈

Combinazione lineare di due equazioni

Date due equazioni 0 ed ′ ′ ′ 0 ,

l’espressione: ∙ ∙ ′ ′ ′ 0 ∀ , ∈

è detta ccoommbbiinnaazziioonnee lliinneeaarree delle due equazioni. I numeri p e q sono detti parametri della combinazione lineare.

Se una coppia di numeri ; è soluzione di entrambe le equazioni date, allora è anche soluzione di ogni loro combinazione lineare.

Fascio proprio generato da due rette incidenti

Date due rette ed di equazioni : 0 ed : ′ ′ ′ 0 che si incontrano nel punto ; , le equazioni di tutte le rette del fascio proprio passanti per si ottengono dalla combinazione lineare delle

due rette ed :

∙ ∙ ′ ′ ′ 0 ∀ , ∈

Le rette ed sono dette generatrici del fascio. La retta si ottiene per 0. La retta si ottiene per 0.

Poiché e non sono entrambi nulli, possiamo supporre che sia 0 e dividere tutti i termini per , ottenendo:

∙ ′ ′ ′ 0. Ponendo in quest’ultima si ottiene:

∙ ′ ′ ′ 0 ∀ ∈

La retta si ottiene per 0.

La retta non si ottiene per alcun valore di . Impropriamente si dice che la retta si ottiene per ∞, perché facendo assumere a valori sempre più grandi, si ottengono rette del fascio che tendono ad assumere la stessa direzione della retta .


Fascio improprio generato da due rette parallele

Se le rette generatrici sono parallele le loro equazioni sono del tipo : 0 ed : ′ 0.

La combinazione lineare delle due rette ed è:

∙ ′ 0 ∀ , ∈

Esplicitando l’incognita si ottiene:

; 1 1 ;

1

1 1 ;

1∀ 1

Tale equazione, al variare del parametro k (con 1), rappresenta una qualsiasi retta del fascio parallela alle rette generatrici.

Esempio 1

Studiare la natura del fascio di rette:

2 1 2 1 4 0 ∈

Soluzione

Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio:

2 1

2

2 1

2

Essendo il coefficiente angolare dipendente dal parametro , si tratta di un fascio proprio di rette.

Riscriviamo l’equazione come combinazione lineare di due rette:

2 2 1 4 0 ;

2 1 2 4 0 ;

Le generatrici del fascio hanno equazioni:

: 2 1 0 ed : 2 4 0

La Ia generatrice : 2 1 0 si ottiene per 0

La IIa generatrice : 2 4 0 non si ottiene per nessun valore finito di ∞ .

Per determinare il centro del fascio, in maniera semplice, conviene ricavare dalla forma implicita del fascio (traccia) le due rette del fascio parallele agli assi cartesiani.

Il coefficiente della si annulla per . Per tale valore si ottiene la retta 2

Il coefficiente della si annulla per 2. Per tale valore si ottiene la retta 3

Pertanto il centro del fascio è 3 ; 2 .

Per determinare il movimento delle rette del fascio al variare del parametro determiniamo la retta del fascio passante per l’origine degli assi cartesiani.

Tale retta si ottiene per 1 4 0 cioè per .

Dall’esame del grafico di queste rette particolari del fascio si deduce che:

Il parametro assume valori positivi, crescenti da 0 ∞, quando le rette del fascio, ruotando in senso antiorario attorno a C, passando dalla posizione della prima generatrice r alla posizione della seconda generatrice s.

Se invece la rotazione avviene in senso orario, il parametro k assume valori negativi, decrescenti da 0 ∞.


Esempio 2

Studiare la natura del fascio di rette:

2 1 1 6 4 0

∈

Soluzione

Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio:

2 1

12

Essendo il coefficiente angolare 2 non dipendente dal parametro , il fascio è improprio.

Riscriviamo l’equazione come combinazione lineare di due rette:

2 2 6 4 0 ;

2 4 ∙ 2 6 0

Le generatrici del fascio hanno equazioni:

: 2 4 0 ed : 2 6 0

La prima generatrice : 2 4 0 si ottiene per 0.

La seconda generatrice : 2 6 0 non si ottiene per nessun valore finito di ∞ .

L’equazione data pertanto, rappresenta ∀ ∈ 1 tutte le rette di coefficiente angolare, con esclusione della seconda generatrice : 2 6 0. Per determinare il movimento delle rette del fascio al variare del parametro ricaviamo la sua forma esplicita: 2

4 6

1 1

L’ordinata all’origine è 4 6

1

L’ordinata all’origine è positiva per ∈ 1 ;

L’ordinata all’origine è negativa per ∈ ∞ ; 1 ∪ ; ∞ .

Nel grafico è descritto il movimento delle rette del fascio al variare del parametro .

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