propuestas did´acticas para la ense˜nanza de las probabilidades en ...
La nanza quantitativa e i sistemi complessi
Transcript of La nanza quantitativa e i sistemi complessi
La finanza quantitativa e i sistemicomplessi
Fulvio Baldovin
Dip. Fisica, Sezione INFN e CNISM, Universita di Padova
Padova, 26 Gennaio 2010
Attilio Stella, Enzo Orlandini, Francesco CamanaDip. Fisica, Sezione INFN e CNISM, Università di Padova
Massimiliano CaporinDip. Economia, Università di Padova
“Anomalous Scaling in Physics and Finance”
Padova, 26 Gennaio 2010
Dow Jones Industrial (DJI)
0 5000 10000 15000 20000 25000t [days]
0
5000
10000
15000S(t)
DJI dal 1900 al 2009
Padova, 26 Gennaio 2010
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000t [days]
3
4
5
6
7
8
9
10ln S(t)
DJI dal 1900 al 2009
Padova, 26 Gennaio 2010
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000t [days]
3
4
5
6
7
8
9
10ln S(t)
DJI dal 1900 al 2009
Padova, 26 Gennaio 2010
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000t [days]
-2
-1
0
1
2ln S(t) [detrended]
DJI dal 1900 al 2009
Padova, 26 Gennaio 2010
L. Bachelier
“Theorie de la speculation”(Prezzaggio delle opzioni - 1900)
A. Einstein
“Über die von der molekularkinetischenTheorie der Wärme geforderte Bewegung von
in ruhenden Flüssigkeiten suspendiertenTeilchen”
(moto Browniano - 1905)
Padova, 26 Gennaio 2010
Assets senza rischioB: bond, acconto bancario, . . .
dB(t) = r B(t) dt
⇓
B(t) = B0 ert
r: tasso d’interesse
Padova, 26 Gennaio 2010
Assets con rischioS: azioni, partecipazioni, . . . :
La loro evoluzione e’ caratterizzata dalla presenza diuna componente casuale
Padova, 26 Gennaio 2010
Assets derivatiOpzioni (calls, puts), future contracts, forward, . . .
Derivano il loro valore dal prezzo di un asset primario diriferimento.
Padova, 26 Gennaio 2010
CallC(S(t),K, t, tE): Opzione call europea
S: asset soggiacenteK: prezzo di strike dell’opzionet: tempo presentetE : tempo di maturita’ dell’opzione
Proprietario dell’opzione:ha il diritto, ma non l’obbligo, di comprare l’asset S alprezzo K nel giorno tE
paga il prezzo C
Sottoscrittore dell’opzione:ha l’obbligo (se richiesto) di vendere l’asset S alprezzo K nel giorno tE
riceve il prezzo CPadova, 26 Gennaio 2010
40 45 50 55 60K
0
5
10
C(K)
t=tE , StE=50
t<tE , S0=50
Problema di Bachelier
Padova, 26 Gennaio 2010
Per risolvere il problema di Bachelier:
1. Determinare le proprieta’ empiriche delle serie di dati2. Definire un modello stocastico che riproduca queste
proprieta’ e che permetta delle predizioniprobabilistiche
3. Usare questo modello stocastico per prezzare leopzioni
Padova, 26 Gennaio 2010
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000t [days]
-2
-1
0
1
2ln S(t) [detrended]
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000t [days]
-6-4-2024W(t)
Processo di Wiener (moto Browniano)
DJI dal 1900 al 2009
Padova, 26 Gennaio 2010
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000t [days]
-0.2-0.1
00.10.20.3r(t,1) ≡ ln S(t) - ln S(t-1) [detrended]
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000t [days]
-0.2-0.1
00.10.20.3∆W(t,1) ≡ W(t) - W(t-1)
Processo di Wiener (moto Browniano)
DJI dal 1900 al 2009
Padova, 26 Gennaio 2010
1929 2000t [years]
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2r(t,1) ≡ ln S(t) - ln S(t-1) [detrended]
DJI dal 1900 al 2009
1987 2008
Padova, 26 Gennaio 2010
Correlazione lineare
Clin(τ, T ) ≡〈r(t, T )r(t + τ, T )〉t − 〈r(t, T )〉t 〈r(t + τ, T )〉t
〈r(t, T )2〉t − 〈r(t, T )〉2t
〈r(t, T )〉t ≡
∑tf−Tt=1 r(t, T )
tf − T
tf : tempo totale della serie di dati
Padova, 26 Gennaio 2010
Correlazione non-lineare
Cα,β(τ, T ) ≡
〈|r(t, T )|α |r(t + τ, T )|β〉t − 〈|r(t, T )|α〉t 〈|r(t + τ, T )|β〉t
〈|r(t, T )|α+β〉t − 〈|r(t, T )|α〉t 〈|r(t, T )|β〉t
C1,1: correlazione di volatilita’
Padova, 26 Gennaio 2010
Variazione sulla scala di tempo T ≥ 1:
r(t, T ) ≡ ln S(t) − ln S(t − T )
=T
∑
i=1
r(t − T + i, 1)
Istogramma di r(t, T ), al variare di t: pT (r)
ScalingpT (r) =
1
TDg
( r
TD
)
?
Padova, 26 Gennaio 2010
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15r10-2
10-1
100
101
102T1/2 pT (T1/2r)
T=1 DJIT=5 DJIT=30 DJIgGaussian
Padova, 26 Gennaio 2010
Riassumendo:Correlazione (non-lineare) che decade lentamente:processo non-MarkovianoScaling anomalo (non-Gaussiano)
Padova, 26 Gennaio 2010
Modelli proposti:Mandelbrot: distribuzioni stabili di Lévy (con scalinganomalo ma senza correlazione)Mandelbrot: moto Browniano frazionario (concorrelazione ma con scaling Gaussiano)Mandelbrot: processi multifrattali a cascata (idee sullaturbolenza di Kolmogorov)Engle: ARCH, GARCH, . . . (metodi autoregressivi:includono la correlazione ma non lo scaling anomalo)Bouchaud, Stanley , . . .
Padova, 26 Gennaio 2010
Gruppo di rinormalizzazioneCoarse graining:
H H’
(in finanza):
r1
r2
T T
r1 r2r’ = +
2TT’ = Padova, 26 Gennaio 2010
Gruppo di rinormalizzazioneH(s1, s2, . . .)
Z =∑
s1,s2,...e−βH(1)(s1,s2,...),
p(s1, s2, . . .) = e−βH(s1,s2,...)
Z,
Formazione di blocchi: M1 =∑N1
i=1 si, . . .Riscalamento, rinormalizzazioneH ′, Z ′, p′, . . .. . .Punto fisso H∗, Z∗, p∗
Scaling anomalo
Coarsegraining
⇓
Padova, 26 Gennaio 2010
Gruppo di rinormalizzazioneH(s1, s2, . . .)
Z =∑
s1,s2,...e−βH(1)(s1,s2,...),
p(s1, s2, . . .) = e−βH(s1,s2,...)
Z,
Formazione di blocchi: M1 =∑N1
i=1 si, . . .Riscalamento, rinormalizzazioneH ′, Z ′, p′, . . .. . .Punto fisso H∗, Z∗, p∗
Scaling anomalo
⇑
Finegraining
Padova, 26 Gennaio 2010
“Partendo dalla distribuzione g(r) e da un esponente discaling D si puo’ ricostruire un processo stocasticocompatibile con lo scaling anomalo e con le correlazionirilevate nelle serie di dati finanziari”.
Risultati analiticiSimulazioni numeriche
Padova, 26 Gennaio 2010
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15r10-2
10-1
100
101
102T1/2 pT (T1/2r)
T=1 DJIT=5 DJIT=30 DJIgGaussianT=1 Sim.T=5 Sim.T=30 Sim.
Padova, 26 Gennaio 2010
Modello standard della finanza
dB = r B(t) dt
dS = µ S(t) dt + σ S(t) dW (t)
[equivalentemente: d ln S = µ′ dt + σ dW (t)]
C(S(t),K, t, tE)
⇓
dC =
[
∂C
∂t+ µ S
∂C
∂S+
1
2σ2 S2∂2C
∂S2
]
dt + σ S∂C
∂SdW
Padova, 26 Gennaio 2010
∆-hedgingPortafoglio:
Π = C − ∆ · S
dΠ = dC − ∆ · dS
⇓
dΠ =
[
∂C
∂t+ µ S
∂C
∂S+
1
2σ2 S2∂2C
∂S2− µ ∆ · S
]
dt
+σ S
(
∂C
∂S− ∆
)
dW
∆ =∂C
∂S⇒ portafoglio senza rischio!
Padova, 26 Gennaio 2010
dΠ =
[
∂C
∂t+
1
2σ2 S2∂2C
∂S2
]
dt
Principio di non-arbitraggio:Un portafoglio senza rischio deve dare la stessa resa di unasset senza rischio
⇓
dΠ = r Π dt
= r C − r S∂C
∂S
Padova, 26 Gennaio 2010
Equazione di Black-Scholes (1973)
∂C
∂t+
1
2σ2 S2∂2C
∂S2+ r S
∂C
∂S− r C = 0
C(S(tE),K, tE , tE) = max(StE− K, 0)
Padova, 26 Gennaio 2010
Il modello di evoluzione non-Gaussianonon-Markoviano per r(t, T ) permette di fare un calcoloanalogo?
Ci sono differenze significative con il modello diBlack-Scholes per il prezzaggio delle opzioni?
Padova, 26 Gennaio 2010
ConclusioniLa soluzione del problema centrale della finanza, ilprezzaggio delle opzioni, richiede:1. Analisi delle proprieta’ statistiche delle serie di dati2. Formulazione di modelli non-Markoviani3. Estensione del calcolo differenziale stocastico
Le metodologie della fisica dei sistemi complessipermettono il raggiungimento di questi obiettivi.
Padova, 26 Gennaio 2010
ConclusioniL’economia classica e’ a tutt’oggi largamente basata suposizione dogmatiche.Molti pero’ rivendicano anche in questo settorel’applicazione di test oggettivi e di standard simili aquelli delle scienze naturali, anche nei curriculumformativi.E’ prevedibile che i fisici possano giocare un ruolomolto importante nello sviluppo futuro di questo settore.
Padova, 26 Gennaio 2010