La matematica, questo mondo così sorprendentemente intorno a noi, vicino a noi! Liceo Vittorini.
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La matematica, questo mondo così
sorprendentemente intorno a noi, vicino a noi!
Liceo Vittorini
Principi di equità distributivaPrincipi di equità distributiva
Principali teorie nella soluzione Principali teorie nella soluzione di problemi di ripartizione dei benidi problemi di ripartizione dei beni
Principio di equità di Aristotele: beni ripartiti in proporzione alle richieste avanzate dai partecipanti alla divisioneUtilitarismo classico: beni ripartiti in modo da massimizzare la somma dei benefici totali degli aventi dirittoTeoria di John Rawls: beni ripartiti in modo che colui che è in posizione più sfavorevole o gode di minori diritti sia avvantaggiato il più possibile
Introduzione principi generali della Introduzione principi generali della contested Garment rulecontested Garment rule
La contested Garment rule è applicabile nella ripartizione di beni o risorse che riguardi esclusivamente
due soggetti e riesce a rispettare principi auspicati nelle tre teorie viste
in precedenza. In un secondo momento tratteremo di ripartizione di beni che coinvolga più soggetti. A tele
scopo utilizzeremo due estensioni della c.g.r: lo Shapey-value e la regola
del Talmud.
Contested Garment RuleContested Garment Rule
Andremo ad osservare tre casi differenti di ripartizione di un patrimonio nei quali vi è l’applicazione della contested Garment rule:
Patrimonio disponibile è minore delle richiesta più piccola dei partecipanti
Patrimonio disponibile compreso tra le due richieste dei partecipanti
Patrimonio disponibile è maggiore della richiesta più grande dei partecipanti
1° caso1° caso
Siano c1= 200 e c2= 300 le richieste e sia il A0=100 il patrimonio totale da ripartire
La quota “uncontested” del primo soggetto è m1 = (A0 - c2)+ = max (100- 300)= 0La quota “uncontested” del secondo soggetto è m2 = (A0 - c1)+ = max (100- 200)=0La soluzione “garment contested” è A1 = m1 + s/2 A2 = m2 + s/2 dove s = A0 - m1 - m2.
Ad entrambe le parti verrà attribuita una quota pari a A0/2 = 50
Osserviamo che la “Contested Garment Rule” (C.G.R.) attribuisce ai partecipanti la metà del patrimonio
2° caso2° caso
Siano c1 = 200 e c2 = 300 le richieste e A0 = 400 il patrimonio totale da ripartire
m1 = (400 - 300)+ = 100 m2 = (400 - 200)+ = 200 con s = 400 – 100 – 200 = 100.
Pertanto al primo soggetto andranno A1 = 100 + 50 = 150 ed al secondo andranno A2 = 200 + 50 = 250.
Osserviamo che secondo la C.G.R la perdita di 100 verrà equamente ripartita tra i due.
3° caso3° caso
Siano c1 = 200 e c2 = 300 le richieste e A0 = 280 il patrimonio totale da ripartire
m1 = (280 - 300)+ = 0 m2 = (280 - 200)+ = 80. Ne deriva poi s = 280 – 80 – 0 = 200
Al primo soggetto spetterà A1 = 100 ed al secondo A2 = 180.
Osserviamo che la C.G.R attribuisce al minor richiedente esattamente la metà della sua richiesta
Ripartizione di beni fra più di due soggettiRipartizione di beni fra più di due soggetti
Regola del Talmud
Shapey-value
Shapey-value Shapey-value Consideriamo un
ordinamento di giocatori; sia il caso di tre soggetti
A, B, C con richieste rispettivamente pari a 100,
200, 300. Rispetto a questo, paghiamo ogni soggetto fino a che il
patrimonio, in questo caso pari a 400, non venga
esaurito. Al variare degli ordinamenti i giocatori
ricevono diversi pagamentiLo shapey-value non è altro che il pagamento
medio effettuato secondo ogni possibile
ordine dei giocatori
TalmudTalmud“Il Talmud (che significa insegnamento) è uno dei
testi sacri dell’Ebraismo, riconosciuto solo da quest’ultimo. Consta di 60 trattati, che riguardano discussioni fra sapienti e maestri circa significati e
applicazioni di passi della Torah. Il Talmud, inoltre,viene considerato come la Torah orale, rivelata sul Sinai a Mosè e trasmessa a voce, di generazione in generazione, fino alla conquista romana. Quest’ultimo fu fissato per iscritto solo
quando, gli ebrei temettero che le basi religiose di Israele potessero sparire.”
Regola del TalmudRegola del TalmudConsideriamo il
problema di come suddividere il patrimonio di un uomo che muore e lascia un’eredità da dividere tra le sue tre precedenti mogli, nel caso in cui esse abbiano diritto rispettivamente a 100, 200, 300
50
150100
Entità patrimonio: 100
Entità patrimonio: 200
Entità patrimonio: 300
33,533,533,5
5075
75
150
100
Conduzione di due Conduzione di due esperimentiesperimentiFisica: Processo di Riscaldamento
Chimica: Processo di Conversione del Glucosioα in Glucosioβ
Stesso modello matematico
Dati dell’ Esperimento di fisicaDati dell’ Esperimento di fisica
Grafico temperatura-tempo per la misura della Grafico temperatura-tempo per la misura della risposta del termometrorisposta del termometro
y = 0,5135x - 0,2533
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
tempo (sec)
Rappresentazione lineare Risposta di un termometro
0,010,020,030,040,050,060,070,080,090,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
tempo (sec)
tem
per
atu
ra (
°C)
τ=1/m 1,95
Δτ=Δm/m2 0,14
τ = 1.95+0.14 secondi
Questa curva in fisica è caratteristica di tutti i processi di raggiungimento di equilibrio.
ELABORAZIONE DEI DATI: Rappresentando il grafico della temperatura in funzione del tempo, si ottiene una curva riconducibile a un’esponenziale.
Dat
i del
l’esp
erim
ento
di c
him
ica
Dat
i del
l’esp
erim
ento
di c
him
ica
Trasformazione del glucosio alfa in beta
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50
tempo(min)
anol
o di
rot
azio
ne (°)
Mutarotazione del glucosio
y = 0.064x + 0.0476
0.000.501.001.502.002.503.003.50
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0
tempo(minuti)
An
go
lo d
i ro
tazio
ne (
°)
m, q 0.0641051 0.0445755
εm,εq 0.0005026 0.0128224
r2, Δy 0.9954106 0.0509439
F, gradi di libertà 16266.906 75
costante di tempo in
minuti15,60 minuti
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0
tempo (min)
E' una funzione esponenziale?
)( 122
12
tt
Grafico esperimento di chimicaGrafico esperimento di chimica
Matematica per relazionare Matematica per relazionare dati,dati,
Ricavare informazioni…Ricavare informazioni…
È rapido con excel!È rapido con excel!
Rapidità di evoluzione dei fenomeni Rapidità di evoluzione dei fenomeni studiatistudiati
Funzione esponenziale
E' una funzione esponenziale?
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0
tempo (min)
)( 122
12
tt
Grafico esperimento di chimicaGrafico esperimento di chimica
CRESCITA DI UNA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE …POPOLAZIONE …
LA FUNZIONE LA FUNZIONE ESPONENZIALE…ESPONENZIALE…
… MA ATTENZIONE AI LIMITI DI VALIDITA’ DI UN MODELLO
Crescita esponenziale di una popolazione, vincolata da fattori naturali in un ecosistema
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
3500,00
0 2 4 6 8 10
tempo(mesi)
n.
ro d
i es
empl
ari
Andamento iniziale: crescita libera descritta da una funzione esponenziale crescente
vincolo naturale cambiamento del modello di sviluppo dovuto ai vincoli naturali
Teoria dei GiochiTeoria dei GiochiOggetto: studio matematico di qualunque
situazione che comporti un conflitto di interessi.
Scopo: indicare le scelte ottimali o le decisioni che possano portare all’esito desiderato.
Equilibrio di NASHEquilibrio di NASH Scopo del gioco è trovare l'eventuale sussistenza di una situazione di equilibrio del gioco (detto di Nash) che sia non migliorabile da azioni individuali, ma solo da azioni collettive, frutto della collaborazione fra i giocatori. Scelta più utile razionalmente ma non in assoluto.
Giochi simmetrici-qualitativiGiochi simmetrici-qualitativi
Dilemma del prigionieroCorsa del coniglio o guerra freddaCaccia al cervoPolitica ONU
Dilemma del PrigionieroDilemma del Prigioniero
Preferenze del giocatore 1:NC>CC>NN>CNScelte auspicabili per il giocatore 1: conviene sempre
non collaborare
Collabora Non Collabora
Collabora 2 - 2 0 -3
Non Collabora 3 – 0 1 - 1
1° Giocatore
2° Giocatore
Corsa del coniglio (o guerra fredda)Corsa del coniglio (o guerra fredda)
Preferenze del giocatore 1:NC>CC>CN>NNScelte auspicabili per il giocatore 1: non esiste una scelta
razionale, ma la meno rischiosa è quella di collaborare.
Collabora Non Collabora
Collabora 2 - 2 1 -3
Non Collabora 3 – 1 0- 0
1° Giocatore
2° Giocatore
Caccia al cervoCaccia al cervo
Preferenze del giocatore 1:CC>NC>NN>CNScelte auspicabili per il giocatore 1: conviene seguire la
scelta del giocatore 2. La decisione, pertanto, è dettata dalla fiducia posta nella collaborazione dell'altro giocatore
Collabora Non Collabora
Collabora 3 - 3 0 -2
Non Collabora 2 – 0 1- 1
1° Giocatore
2° Giocatore
Politica ONUPolitica ONU
Preferenze del giocatore 1:CC>NC>CN>NNScelte auspicabili per il giocatore 1: conviene sempre
collaborare
Collabora Non Collabora
Collabora 3 - 3 1 -2
Non Collabora 2 – 1 0- 0
1° Giocatore
2° Giocatore
Modellizzare eventi quotidianiModellizzare eventi quotidianiFalchi VS Colombe
Le percentuali nella tabella esprimono esclusivamente le percentuali di sopravvivenza di ciascun membro della società incontrandone un altro.
Falchi Colombe
Falchi 50% / 50% 100% / 80%
Colombe 80% / 100% 100%/100%
1° Giocatore
2° Giocatore
La matematica con i suoi metodi e i suoi strumenti ci aiuta ad interpretare i
fenomeni intorno a noi e SORPRENDENTEMENTE a prendere
decisioni.