LA LEGGE DI GRAVITAZIONE. Le Leggi di Keplero Il primo video: .
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LA LEGGE DI GRAVITAZIONE
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Le Leggi di Keplero
Il primo video:
http://www.raiscuola.rai.it/articoli/le-leggi-di-keplero-parte-prima-luniverso-della-meccanica/8920/default.aspx
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L'attrazione gravitazionale
Il secondo video:
http://www.youtube.com/watch?v=tjNEEUACgPQ
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Stelle fisse e astri errantiOsservando il cielo notturno privo di nuvole si riesce a distinguere l’apparizione di Venere (la prima “stella” della sera) e più tardi quello di gruppi di stelle “fisse” dislocate in posizioni regolari che mantengono inalterate le distanze relative.
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Un moto piano semplice
Un corpo (punto materiale) che si muove lungo una circonferenza con velocità angolare costante ω a una distanza r dal centro è rappresentato, da un vettore r, avente componenti:
x = r cos(ωt)
y = r sen(ωt)
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Moto retrogrado: deferente ed epicicloIn breve: un pianeta si muove per un lungo tratto, diciamo da est verso ovest, e le osservazioni nei giorni successivi ci portano a ritroso verso est. Proviamo a visualizzare il modello.
Nella figura il deferente ha raggio r1 e l’epiciclo raggio r
2.
Il movimento in ogni istante del punto C può essere individuato dalla somma dei vettori AB+BC, le cui componenti sono: x = r
1 cos() – r
2 cos() e
y = r1 sen() – r
2 sen()
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Moto retrogrado: deferente ed epiciclo Sostituendo le velocità angolari ω e ω la curva viene a dipendere dal parametro tempo t:
x = r1 cos(ωt) – r2
cos(ωtωt)
y = r1 sen(ωt) – r2
sen(ωtωt).
Attribuendo dei valori per tentativi è facile vedere (cambiando le velocità angolari) la composizione dei due moti con la formazione dei nodi.
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Leggi di Keplero Nella figura che segue è rappresentata l’ellisse che descrivel’orbita di Mercurio, prendendo come riferimento il Sole: se il semiasse maggiore viene posto uguale a 1, quello minore è approssimativamente 0,98.L’eccentricità del pianeta è quella più grande se confrontata con le eccentricità dei pianeti conosciuti da Keplero !
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Leggi di Keplero Disegniamo, a partire dal fuoco, occupato dal Sole, un raggio vettore (con r variabile). La distanza tra il centro dell’ellisse e il fuoco, piccola per la scala in figura, è pari al prodotto del semiasse maggiore a per l’eccentricità e.
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Leggi di Keplero
La seconda legge: Il raggio vettore, che in ogni istante definisce la distanza tra Sole e pianeta, in accordo alla seconda legge di Keplero, spazza aree uguali in uguali intervalli di tempo. In altre parole la velocità del pianeta è variabile.
La seconda legge è matematicamente equivalente alla proporzionalità inversa tra distanza e velocità. Essa deriva dal principio di conservazione del momento angolare.
La terza legge: il quadrato dei periodi di rivoluzione T sono proporzionali al cubo dei semiassi maggiori a della ellissi percorse dagli astri erranti (T2=ka3).
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Dalle leggi di Keplero a quella di gravitazione di Newton
Abbiamo già visto che non è una forzatura grandissima ritenere che, in prima approssimazione, l'orbita dei pianeti possa essere considerata circolare.Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è uguale a ω2r, quindi per la seconda legge della dinamica:
F = mω2r= mr (2/T)2.
La forma della forza dev’essere in accordo alla terza legge di Keplero, proporzionale all’inverso del quadrato della distanza e proporzionale alla massa m del pianeta. Ipotizzando la completa simmetria tra Sole e pianeta anche la forza di reazione esercitata dal pianeta sul Sole dev’essere proporzionale alla massa M del Sole. Infine ponendo queste due forze uguali come intensità si arriva a scrivere per la forza gravitazionale:
F= GMm/r2.
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Intorno alla legge di gravitazione di Newton...
Esistono però soluzioni particolari del problema di trecorpi interagenti gravitazionalmente che, nati comecuriosità nei lavori di Eulero e di Lagrange, sono oggi applicate al controllo delle sonde spaziali.
I punti lagrangiani sono stati utilizzati in diversi progettidelle agenzie spaziali. In particolare il punto Lagrangiano L1 ed è occupato dalla sonda ACE che studia i raggi cosmici.