Roland Charnay-2007 1 Mathématiques au cycle 2 Résolution de problèmes et apprentissages numériques.
La La géométrie...
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Montbrison 1er avril 2009 1
R. R. CharnayCharnay -- G. G. CombierCombier -- 20092009 11
La La géométriegéométrieau cycle 3au cycle 3
A propos des programmesA propos des programmes
Deux points importants pour Deux points importants pour penser leur mise en œuvrepenser leur mise en œuvre
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 22
Montbrison 1er avril 2009 2
Sur les enjeuxSur les enjeux
�La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement , l’imagination et les capacités d’abstraction , la rigueur et la précision .
� L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification .
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Sur la résolution de problèmesSur la résolution de problèmes�La maîtrise des principaux éléments de
mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes , notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)
� La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)
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GéométrieGéométrieDe quoi parleDe quoi parle--tt--on on
de l'école au collège ?de l'école au collège ?
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Du spatial auDu spatial au géométriquegéométrique
Le plus court cheminLe plus court chemin
A
B
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Trois modes deTrois modes de résolutionrésolution
�� Résolution Résolution "pratique", sur le terrainsur le terrain
� Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation des objets (maisons : points, rivière : droite)
� Résolution mathématique :utilisation de connaissances
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AB
M
C
P
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Comparaison d'airesComparaison d'aires
Les 2 triangles ont-ils la même aire ?
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Quatre modes de résolutionQuatre modes de résolution
�� Résolution perceptiveRésolution perceptive : estimation: estimation
�� Résolution pratiqueRésolution pratique : découpage, collage…: découpage, collage…
�� Résolution praticoRésolution pratico--mathématiquemathématique : : mesurage, mesurage, calcul (formules)calcul (formules)
�� Résolution mathématique : raisonnement: raisonnement
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R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 1111
A B
D C
hhM
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 1212
La géométrie de l'école au collègeLa géométrie de l'école au collègeC1 et C2C1 et C2
� Géométrie de la perceptionperception� Est vrai ce qui est "vu" comme tel� Boîte à outils géométrique : l’œill’œil
Fin C2 et C3Fin C2 et C3
� Géométrie instrumentéeinstrumentée� Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments� Boîte à outils géométrique : instrumentsinstruments
CollègeCollège
� Géométrie déductivedéductive� Est vrai ce qui est démontré� Boîte à outils géométrique : théorèmesthéorèmes
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R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 1313
Déterminer une longueur…Déterminer une longueur… (éva 6(éva 6e, e, 1998)1998)
Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm). On a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.
Trouve la longueur du segment [EB] :……………………………..Explique ta réponse :……………………………….
Victor : 3,5 cm (le cercle est au milieu du segment) 26,3 %Adrien : 1 cm 8 (j’ai mesuré) 16,6 %Lise : 3 cm (car 7 cm – 4 cm = 3 cm) 10,3 %
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Reconnaissance du carréReconnaissance du carré
�� Au CP, seul A est reconnu comme un carré
� Au CE2, B devrait l'être aussi
� En 6e, C également
A
B
C
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Evaluation 6Evaluation 6 ee 20042004
Losange ou carré 53,2% Carré 40,7%
Losange et carré 5,1% Rectangle 29,6%
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QUELQUES REPÈRESQUELQUES REPÈRESpour l'enseignementpour l'enseignement
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Un conceptUn conceptDifférents aspectsDifférents aspects
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PerpendicularitéPerpendicularité
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Plusieurs aspects pour un même concept
PerpendicularitéPerpendicularité
Angle particulier :
- angle d'une figure connue (carré, rectangle)
- limite aigu/obtus
- quart de tour
ou
4 angles égaux de même sommet recouvrent le plan
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Plusieurs aspects pour un même concept
PerpendicularitéPerpendicularité- Vertical/horizontal
- Droite d’équilibre ou demi-angle plat
- Axe de symétrie d'une droite (pliage)
- Plus courte distance d'un point à une droite
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ParallélismeParallélisme
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ParallélismeParallélisme- Ne se rencontrent pas, non sécantes
- Vont dans la même direction ou
Même inclinaison par rapport à une droite donnée
- Ecart constant
Plusieurs aspects pour un même concept
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ParallélismeParallélisme
- Perpendiculaires à une même autre droite
- Symétriques par rapport à un point
Plusieurs aspects pour un même concept
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 2828
Perpendicularité Perpendicularité Evolution de la notion à Evolution de la notion à
l’écolel’école
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Une première étape au CE1
L'angle droit lié au "coin" du carré
Mise en débat : carré / pas carré
Les gabarits avant l'équerre
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Des angles droits dans d'autres figures
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Portrait :
Qui suis-je ?
-J'ai un seul angle droit
- J’ai 8 côtés, 6 angles droits et un axe de symétrie
-J'ai 4 côtés et 2 angles droits
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 3232
Une deuxième étape au CE2
Des gabarits aux équerres
Différentes équerres
- Repérage des angles droits
Les équerres pour
- Identifier des angles droits
- Reconnaître des figures(carré, rectangle, trianglerectangle)
- Reproduire, compléter,construire des figures
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Une troisième étape au CE2
La perpendicularité
Point de départ
- Horizontal / vertical
�2 directions déterminées par le fil à plomb et le niveau à bulle
Lien avec angle droit
� Retrouver la trace du fil à plomb lorsque qu'on fera coïncider cette ligne avec le niveau à bulle.
DéfinitionDeux droites qui se coupent en formant un angle droit
sont deux droites perpendiculaires.
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Une quatrième étape au CE2
Entraîner et enrichir la perpendicularité
Tracer, � à main levée
� avec l'équerre
Identifier� à vue
�avec l'équerre
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Une cinquième étape au CM1
L'angle droit parmi d'autres angles
Angle droit = quart de tour 2 perpendiculaires : 4 angles droits
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 3636
Optimisation du tracé de deux droites perpendiculaires
Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3
Montbrison 1er avril 2009 19
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Une sixième étape au CM1
Perpendicularité outil
Exemple : pour la symétrieExemple : pour la symétrieExemple : pour le parallélismeExemple : pour le parallélisme
A
Avec uniquement l'équerre, sans mesurer, tracer une droite qui passe par le point A et qui est parallèle à la droite d.
A
d
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Une septième étape au CM2
Un nouvel aspect de la perpendicularité
A
d
A
d
1) Trouver le point de la droite Dqui est le proche du point A.
2) Ecrire une méthode qui permet de trouver, du premier coup,le point d'une droite qui est le plus proche d'un point qui n'est pas sur la droite.
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R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 3939
Une huitième étape au CM2
Réinvestissement de la perpendicularité
- Pour décrire une figure
- Pour reproduire une figure
- Pour construire une figure
- d'après une description
- d'après un schéma…
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4040
La suite au collège
- Tracé à la règle et au compas (relation avec médiatrice et axe de symétrie)
- Mesure : 90°(utilisation du rapporteur)
- Perpendicularité et distance d'un point à une droite
- Perpendicularité et PythagoreABC est rectangle en A<=> BC2=AB2+AC2
- Perpendicularité et demi-cercle
Montbrison 1er avril 2009 21
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4141
Enseigner la géométrie Enseigner la géométrie à l’écoleà l’école
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4242
Une approche par les problèmesUne approche par les problèmes
�� Localiser : décrire une position, repérer
� Reproduire
� Décrire , en vue de faire reproduire ou reconnaître
� Représenter
� Construire , à partir d'une description, d'un programme de construction, d'un schéma
� Classer
� Agrandir, réduire
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R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4343
Quelles notions (relations) ?Quelles notions (relations) ?
� Relations spatiales ordinaires
� Alignement
� Égalité de longueurs, milieu
� Perpendicularité
� Parallélisme
� Comparaison et égalité d’angles
� Axes de symétrie
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4444
Des compétences attendues Des compétences attendues sur les objets suivantssur les objets suivants
� Objets de base (mais pas premiers !) : point, droite, segment, angle
� Polygones : triangles et cas particuliers (hauteur), carré, rectangle, losange, parallélogramme (angles, côtés, pas les diagonales)
� Cercle
� Polyèdres : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, cylindre
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R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4545
Quels instruments et techniques ?Quels instruments et techniques ?
� Gabarits : angle droit, angles, longueurs
� Règle graduée ou non, équerres (ordinaire, réquerre, téquerre)
� Guide-âne
� Compas
� Calque, pliage, géomiroir, papier quadrillé, papier pointé
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4646
Vocabulaire Vocabulaire : une attention particulière: une attention particulière
�� Les mots ne sont pas les concepts
� Polysémie : exemple du mot "droit"
� Formulations spécifiques� La droite d est parallèle à la droite f� Les droites d et f sont parallèles� Tracer la droite parallèle à la droite d qui
passe par le point A
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R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4747
Quelques exemples de problèmes
Autour du cercle…
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4848
Au CM1…Au CM1…
Des exemples de pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrés au préalable.
A la fin une validation expérimentale est possible.
Montbrison 1er avril 2009 25
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 4949
1ère étape : tous les moyens sont possibles.
Problème : faire apparaître un diamètreProblème : faire apparaître un diamètre
2e étape : les instruments de géométrie sont interdits.
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 5050
Utiliser ses connaissancesUtiliser ses connaissances
Analyser la figure, dans le but d'en compléter un agrandissement… dans une position différente.
Montbrison 1er avril 2009 26
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 5151
Triangles CM2Triangles CM2
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 5252
ExercicesExercices
Montbrison 1er avril 2009 27
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 5353
Triangles particuliers
Groupes A : équerre et calque
Groupes B : équerre et compas
Choisir un triangle et le décrire pour qu'un groupe différent qui dispose du même matériel puisse le reconnaître
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 5454
En conclusionEn conclusion
� Des références spatialesspatiales� Des problèmesproblèmes et différentes conceptionsconceptions� Différents langageslangages : vocabulaire, dessin
précis, schéma� Des techniquestechniques et des instrumentsinstruments de
référence� Un outil pour le raisonnementraisonnement
Un concept géométriqueUn concept géométrique
Montbrison 1er avril 2009 28
R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 5555
Deux exemples de problèmes "de raisonnement"