La géométrie histoire et épistémologie par Jean-Pierre Friedelmeyer Irem de Strasbourg Première...
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La géométrie histoire et épistémologie
par Jean-Pierre Friedelmeyer
Irem de Strasbourg
Première Partie :L’élaboration de la
géométrie comme science mathématique
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Un extrait du papyrus Un extrait du papyrus Rhind (British Rhind (British
Museum, London)Museum, London)
(environ 1700 avant (environ 1700 avant JC) : largeur 33 cm ; JC) : largeur 33 cm ;
longueur 5,25 mlongueur 5,25 m
Diapo 6
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Diapo 7
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Diapo 8
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Diapo 9
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Le problème des six frères(tablette babylonienne ; environ 1500 av. JC ; musée du Louvre)
Un trapèze. 2,15 le côté supérieur ; 1,21 le côté inférieur ; 3,33 le front supérieur ; 51 le front inférieur : l’aîné et le second sont égaux ; le troisième et le quatrième sont égaux ; le cinquième et le sixième sont égaux. Quelles sont les limites ?
Début de solution : Toi, en opérant, additionne 3,33 le front supérieur et 51 le front inférieur : cela fera 4,24. D’autre part, sépare la partie de 2,15 le côté, cela fera (0 ; 0),26,40. Porte (0 ; 0),26,40 à 1,21 le côté inférieur, cela fera (0),36. Ajoute (0),36 à 4,24, cela fera 4,24 ; 36.
Diapo 10
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Tablette babylonienne n° YBC 7289 (conservée à New Haven, USA)
On y voit mesurée la diagonale d’un carré de côté 30 qui, multiplié par le nombre écrit en sexagésimal : 1, 24, 51, 10 (correspondant à notre racine carrée de 2) donne 42, 25, 35 comme longueur de la diagonale
Question : si le côté du carré change, faut-il toujours multiplier par racine de 2 pour avoir la longueur de la diagonale ?
Diapo 11
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Du particulier à l’universelDiapo 12
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La propriété est vraie pour tous les triangles :comment le prouver ?
Diapo 13
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Théorème : la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits
Quelle est la validité d’une telle preuve ?
Diapo 14
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La figure de l’hypoténuse (Xian Tu ; env. 1230 av. JC)
Le carré de l’hypoténuse contient 4 surfaces rouges et1 surface jaune25 = 4 x (4x3/2) + 1 ; en généralisant : c2 = 4(a.b/2) + (b – a)2
b
a
c
Diapo 15
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Théorème de Pythagore d’après Liu Hui (vers 270 av. J.C.)extrait du Jiushang suanshu (Neuf chapitres sur l’art du calcul)
bleu sort
rouge
sort
bleu entr
e
rouge
entre
bleu
sort
bleu entre
Diapo 16
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Lewis Carroll (1832 – 1898) Diversions and Disgressions
carré 8x8 carré 8x8
5
3
3
3
Diapo 17
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On découpe et on recompose autrement
5
8 5
13
3
3
Diapo 18
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8x8 = 64
3
3
5x13 = 65
3
3
Diapo 19
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Sur la tablette, la diagonale d’un carré de côté 30 est obtenue en multipliant 30 par le nombre écrit en sexagésimal : 1, 24, 51, 10 (correspondant à notre racine carrée de 2), ce qui donne 42, 25, 35Mais ces calculs, bien que très précis, ne sont qu’approchés (1,414213 pour racine de 2, ce qui est tout à fait remarquable comme précision).
La découverte des grandeurs incommensurables
Diapo 20
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La soustraction réciproque
Les mathématiciens grecs utilisent ce Les mathématiciens grecs utilisent ce qu’ils appellent soustraction qu’ils appellent soustraction réciproque réciproque
a = 2 b + aa = 2 b + a11 ; b = 3 a ; b = 3 a11 + a + a22 ; a ; a11 = =
2a2a22 ; ; Donc, en remontant : Donc, en remontant :
b = 7 ab = 7 a22 ; a = 9 a ; a = 9 a22 ; alors a ; alors a22 est une est une
mesure commune à a et b et mesure commune à a et b et définit le rapport a/b = 16/7définit le rapport a/b = 16/7
Comment comparer les longueurs
AB = a et CD = b ?
A B
C D
Diapo 21
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Diapo 22
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B
CD
A
E F
d
G
H
a
ABCD est un carré
de côté a et de diagonale d
Démontrer que les rectangles ABFE et GBFH sont semblables
Diapo 23
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L’algorithme d’Euclide par Euclide
Euclide VII, 1 : Euclide VII, 1 : Deux nombres inégaux étant Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus proposés et le plus petit étant retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le grand de façon réitérée et en alternance, si le reste ne mesure jamais [le reste] précédent reste ne mesure jamais [le reste] précédent jusqu'à ce qu’il reste une unité, les nombres jusqu'à ce qu’il reste une unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux.initiaux seront premiers entre eux.
Euclide X, 2 : Euclide X, 2 : Si, de deux grandeurs inégales Si, de deux grandeurs inégales {proposées} la plus petite étant retranchée de la {proposées} la plus petite étant retranchée de la plus grande de façon réitérée et en alternance, le plus grande de façon réitérée et en alternance, le dernier reste ne mesure jamais le [reste] dernier reste ne mesure jamais le [reste] précédent, les grandeurs seront précédent, les grandeurs seront incommensurables.incommensurables.
Diapo 24
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La théorie des proportions
Je ne peux pas exprimer par un nombre (rationnel) le rapport des côtés AB et OB, mais je peux exprimer le rapport des aires des deux carrés et celle des deux cercles.Dans les deux cas, ce rapport est exactement égal à 2.
Diapo 25
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Élaboration d’objets idéaux
L’incommensurabilité oblige à penser la droite L’incommensurabilité oblige à penser la droite comme un objet abstrait qu’on ne peut comme un objet abstrait qu’on ne peut confondre avec ses modèles physiques : trait confondre avec ses modèles physiques : trait graphique, arête d’un mur, faîte d’un toit, etc.graphique, arête d’un mur, faîte d’un toit, etc.
Cet objet abstrait doit se soumettre à d’autres Cet objet abstrait doit se soumettre à d’autres règles que celles fournies par la mesure ; celles règles que celles fournies par la mesure ; celles imposées par les définitions et les propriétés imposées par les définitions et les propriétés déduites par raisonnementdéduites par raisonnement
Diapo 26
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Vers une théorie mathématique L’exigence de certitude conduit à élaborer des L’exigence de certitude conduit à élaborer des
processus d’argumentation, des processus d’argumentation, des démonstrationsdémonstrations
La découverte de grandeurs incommensurables La découverte de grandeurs incommensurables oblige à dépasser la considération d’objets oblige à dépasser la considération d’objets sensibles au profit sensibles au profit d’objets pensés et abstraitsd’objets pensés et abstraits
L’aspect arpentage et mesure cède le pas à L’aspect arpentage et mesure cède le pas à l’aspect conceptuel et l’aspect conceptuel et déductif.déductif.
L’outil de base est le rapport et la proportion.L’outil de base est le rapport et la proportion.
Diapo 27
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Quelques définitions chez Euclide
Et quand une droite, ayant été élevée sur une droite, fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appelée
perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été élevée.
Un point est ce dont il n’y a aucune partie.
• Une ligne est une longueur sans largeur.Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle.
Diapo 28
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Organisation d’une démonstration en Éléments
Théorèmes Cas d’égalité des Cas d’égalité des
trianglestriangles
Deux triangles qui Deux triangles qui ont même base et ont même base et même hauteur ont même hauteur ont même airemême aire
Une diagonale Une diagonale partage un partage un parallélogramme en parallélogramme en deux triangles égauxdeux triangles égaux
Notions communes (axiomes)1.1. Les choses égales à une même Les choses égales à une même
chose sont égales entre elles.chose sont égales entre elles.2. Et si, à des choses égales, des 2. Et si, à des choses égales, des
choses égales sont ajoutées, les choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux.touts sont égaux.
……………………………………………………………………..
6. Et les moitiés du même sont 6. Et les moitiés du même sont égales entre elles.égales entre elles.
7. Et les choses qui s’ajustent les 7. Et les choses qui s’ajustent les unes sur les autres sont égales unes sur les autres sont égales entre elles.entre elles.
Diapo 29
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Pythagore selon Euclide (I, 47)
A
B C
D
E F
H
A
B C
D
E F
H
A
B C
D
E F
H
B C
A
D
E F
H
Diapo 30
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[PP]
ΣΤΟΙΧΕΙΑ• plantation d’arbres
• principe d’un bon
gouvernement• acte d’avancer en rang,
comme une armée en
ligne de bataille
deux sens du mot « Élément »
•principe constituant d’une
chose•organisation de ces principes
en un tout rangé et ordonné
Le théorèmede Pythagore chez Euclide (Livre I, 47 des Éléments)
Diapo 31
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En résumé :
la géométrie d’Euclide s’est constituée
schématiquement en trois étapes :
1. Longue pratique avec observation et
accumulation des propriétés de figures
géométriques, à partir de nombreuses
mesures
expérience
Diapo 32
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2.2. Découverte du caractère universel de Découverte du caractère universel de certaines propriétés et de leur liaison certaines propriétés et de leur liaison logique ; logique ; mise en évidence du mise en évidence du caractère caractère nécessaire de cette liaison, nécessaire de cette liaison, au moyen des au moyen des premièrespremières démonstrationsdémonstrations
intuition
Ces démonstrations supposent une idéalisation de certains objets empiriques sous forme d’objets géométriques abstraits tels que le point, la droite, le plan …
Diapo 33
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3. Intégration de la plupart des propriétés géométriques connues en un système déductif unique, le système d’ Euclide, en dégageant les propriétés de base (axiomes - en nombre minimal) desquelles découlent toutes les autres par simple déduction logique.
Théorie
Diapo 34
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Au final, l’axiomatisation est le
résultat d’un long processus partant
de l’expérience pour arriver à la
théorie, en s’appuyant sur l’intuition.
Diapo 35
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La théorie de la connaissance chez Platon
Platon : Platon : « nul n’entre ici s’il n’est géomètre »« nul n’entre ici s’il n’est géomètre »1 « 1 « la recherche et le savoir ne sont au total que la recherche et le savoir ne sont au total que
réminiscence ».réminiscence ».(cf. le dialogue(cf. le dialogue appeléappelé Ménon : 81d) Ménon : 81d)
22. « . « en outre ils font usage de figures visibles, et en outre ils font usage de figures visibles, et sur ces figures, ils construisent des sur ces figures, ils construisent des raisonnements sans avoir à l’esprit ces figures raisonnements sans avoir à l’esprit ces figures elle-mêmes, mais les figures parfaites dont elle-mêmes, mais les figures parfaites dont celles-ci sont des images » (celles-ci sont des images » (cf. le dialogue cf. le dialogue appelé appelé La République : 510)La République : 510)
Diapo 36
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Monde visibleMonde visiblePerceptionPerception
Monde intelligibleMonde intelligible
Pensée, espritPensée, esprit
RéalitéRéalité
illusoireillusoire
RéalitéRéalité
concrèteconcrète
RéalitéRéalité
abstraiteabstraite
RéalitéRéalité
spirituellespirituelle
Copies
Reflets
ombres
Objets physiques
nature
Objets de la science
géométriegéométrie
Monde des Idées
OpinionOpinion VéritéVéritéFigures géométriquesFigures géométriques
Figures géométriques
Diapo 37
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Conclusion de la première partie
Durant 2000 ans, la représentation intuitive de l’espace Durant 2000 ans, la représentation intuitive de l’espace s’explicite au contact de la géométrie au point que s’explicite au contact de la géométrie au point que l’espace du géomètre et l’espace sensible ne semblent l’espace du géomètre et l’espace sensible ne semblent former que deux aspects inséparables d’une même former que deux aspects inséparables d’une même réalité. C’est par notre intuition et les expériences réalité. C’est par notre intuition et les expériences sensibles que nous nous sommes construit une sensibles que nous nous sommes construit une certaine représentation de l’espace dont certaine représentation de l’espace dont l’organisation en un système déductif a donné la l’organisation en un système déductif a donné la géométrie euclidienne.géométrie euclidienne.
Diapo 38
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Deuxième Partie
Vers les géométries non euclidiennes et une autre conception de la géométrie - cliquer ici