ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ

1

របូមន្តខ្លះៗ

I. ឡាផ្លា ស 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 a). និ្យមន្យ័

∇⃗⃗ =∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk⃗ =

(

∂

∂x∂

∂y∂

∂z)

ជាែរន្ោម ∇⃗⃗ ែាមងែូអររោរន្រេកាត ។

b). ការអន្មវតត រគអាចអន្មវតត ∇⃗⃗ បាន្ទាំងទាំហាំសាា កល និ្ង ទាំហាំវមចិទរ័ ។

សាា កលែៈ ∇⃗⃗ . f = grad ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ f រៅថាត្កាតយងន់ន្f , ជាទាំហាំវមចិទរ័ ។ វមចិទរ័ែៈ ∇⃗⃗ . ∇⃗⃗ = div ∇⃗⃗ រៅថា ឌ៊ីកហវែសងន់ន្ V⃗⃗ , ជាទាំហាំសាា កល។ ∇⃗⃗ ∧ V⃗⃗ = rot⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ V⃗⃗ រៅថា រងវិល (Rotationnel )នន្ v⃗ , ជាទាំហាំសាា កល ។

សម៊ីការ Laplace

ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ

∆𝑈

𝜕2𝑈

𝜕𝑥+𝜕2𝑈

𝜕𝑦+𝜕2𝑈

𝜕𝑧 𝜕2𝑈

𝜕𝜌2+1

𝜌

𝜕𝑈

𝜕𝜌

+1

𝜌2𝜕2𝑈

𝜕𝜃2+𝜕2𝑈

𝜕𝑧2

𝜕2𝑈

𝜕𝑟2+2

𝑟

𝜕𝑈

𝜕𝑟

+1

𝑟2 sin2 𝜑

𝜕2𝑈

𝜕𝜃2

+1

𝑟2 sin2 𝜑

𝜕

𝜕𝜑(𝑠𝑖𝑛𝜑𝜕𝑈

𝜕𝜑)

ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ

2

II. ត្កាតយង ់(Gradient)

a). និ្យមន្យ័

ត្កាតយងជ់ាអន្មគមន្ម៍យួនន្ទាំហាំសាា កល។ របើ f ជាវមចិទរ័កេលភ្ជា បព់៊ីបកត្មបត្មួល df រៅធាតមនន្បាំលាស់ទ៊ី dl⃗⃗ ⃗ ។

df⃗⃗ ⃗ = grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗f. dl⃗⃗ ⃗ b). សញ្ញា ណរូបវទិា

បង្ហា ញព៊ីទិសរៅណាមយួនន្កេន្អគគិសន្៊ី f រែើតរ ើងរលឿន្បាំផមត។

c). ការបង្ហា ញ

ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ

�⃗� = −𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈

𝐸𝑋 =

𝜕𝑈

𝜕𝑥

𝐸𝑦 =𝜕𝑈

𝜕𝑦

𝐸𝑧 =𝜕𝑈

𝜕𝑧

𝐸𝜌 =𝜕𝑈

𝜕𝜌,

𝐸𝜃 =1

𝜌

𝜕𝑈

𝜕𝜃

𝐸𝑍 =𝜕𝑈

𝜕𝑧

𝐸𝑟 =𝜕𝑈

𝜕𝑟,

𝐸𝜃 =1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝜕𝑈

𝜕𝜃,

𝐸𝜑 =1

𝑟

𝜕𝑈

𝜕𝜑

III. ឌ៊ីរវែសង ់(Divergence)

a). ផាមចែាមងកេន្វមចិទរ័

ផាមចែាមងកេន្វមចិទរ័ 𝑣 ឆ្ាងកាតន់ផទកែង 𝑆 គឺែាំណតរ់ោយ 𝜙𝑠(𝑣 ) = ∬𝑣 𝑠 . 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗

𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ ជាវមចិទរ័ណ័រម៉ា ល់រលើនផទ 𝑆 ។

ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ

3

b). និ្យម័ន្យ័

មន្ 𝑆 ជានផទបិទជមាំវញិចាំន្មច𝑀មយួ ។ 𝑆 ែាំណតប់ាន្មឌ𝑣។ 𝑑𝑖𝑣 �⃗� ត្តងច់ាំន្មច 𝑀គឺែាំណតរ់ោយ៖

𝑑𝑖𝑣 �⃗� = lim𝑣→0

∬𝑣 𝑠. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗

𝑣= lim𝑣→0

𝜙𝑠(𝑣 )

𝑣

c). សញ្ញា ណរូបវទិា

អន្មគមន្ឌ៍៊ីរវែសង ់(Divergence)បង្ហា ញព៊ីវតតមន្ត្បភពកេលបាន្បរងាើតកេន្វមចិទរ័ ។

ឧទហរណ៍ែៈ បន្ទមែរអ ិចត្ឌិចគឺជាត្បភពនន្កេន្អគគិសន្៊ី �⃗� ។

d). ការបង្ហា ញ

ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ

𝑑𝑖𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝐴

𝜕𝐴𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥

+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥

1

𝜌

𝜕𝑈

𝜕𝜌(𝜌𝐴𝜌) +

1

𝜌

𝜕𝐴𝜃𝜕𝜃

+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑧

1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟(𝑟2𝐴𝑟) +

1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝜕𝐴𝜃𝜕𝜃

+1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝜕

𝜕𝜑(𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝐴𝑧)

IV. រ ៉ាូសមិន្រណៀល (Rotationnel)

a). បាំលាស់ទ៊ីកេន្វមចិទរ័

មន្ 𝑣 កេន្វមចិទរ័ និ្ង (𝑐) កខែរកាងណាមយួ ។ បាំលាស់ទ៊ីនន្ 𝑣 តាម(𝑐)គឺ

𝒞𝑐 (�⃗� ) = ∫𝑣 . 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗

𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ ជាធាតមបាំលាស់ទ៊ីរលើ 𝐶

ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ

4

b). និ្យមន្យ័

មន្កខែរកាង (𝑐)បិទជមាំវញិចាំន្មច 𝑀។ (𝐶) ែាំណតន់ផទ 𝑆 ។ ែាំប៉ាូសងណ័់រម៉ា ល់នន្ វមចិទរ័ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . �⃗� រលើនផទ 𝑆 ត្តងច់ាំន្មច𝑀 គឺ ៖

(𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . �⃗� )𝑛= lim𝑆→0

∫𝑣 . 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗

𝑆= lim𝑆→0

𝒞𝑐 (�⃗� )

𝑆

c). សញ្ញា ណរូបវទិា

អន្មគមន្ ៍Rotationnel បង្ហា ញព៊ីវតតមន្ចលនារាងរងវង(់ខយល់ ទឹែ វតថមរផែងៗ)កេលបរងាើតបាន្កេន្វមចិទរ័។

ឧទហរណ៍ែៈ ចរន្តរអ ិចត្ឌិចមន្ចលនារាងរងវង ់(Tourbillons) នន្កេន្ម៉ា រញ៉ាទិច �⃗� ។

d). ការបង្ហា ញ

ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ �⃗� = 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴

𝐸𝑋 =𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦

−𝜕𝐴𝑦𝜕𝑧

𝐸𝑦 =𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧

−𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥

𝐸𝑧 =𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥

−𝜕𝐴𝑥𝜕𝑦

𝐸𝜌 =1

𝜌

𝜕𝐴𝑧𝜕𝜃

−𝜕𝐴𝜃𝜕𝑧

, 𝐸𝜃 =𝜕𝐴𝜌

𝜕𝑧−𝜕𝐴𝑧𝜕𝜌

𝐸𝑍 =1

𝜌[𝜕(𝜌𝐴𝜃)

𝜕𝜌−𝜕𝐴𝜌

𝜕𝜃]

𝐸𝑟 =1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑[𝜕

𝜕𝜑(𝐴𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑)

−𝜕𝐴𝜌

𝜕𝜃]

𝐸𝜃 =1

𝑟[𝜕

𝜕𝑟(𝑟𝐴𝜑) −

𝜕𝐴𝑟𝜕𝜑]

𝐸𝜑 =1

𝑟[1

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝜕𝐴𝑟𝜕𝜃

−𝜕

𝜕𝑟(𝑟𝐴𝜃)]

ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ

5

សម្គា ល ់៖

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (grad⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ U) = 0 div(𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A) = 0

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈 ∧ 𝐴 + 𝑈 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 𝑑𝑖𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈 𝐴 = 𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈 + 𝑈 div 𝐴 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ) = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑑𝑖𝑣𝐴 − ∆𝐴 𝑑𝑖𝑣(𝐴 ∧ �⃗� ) = �⃗� 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 − 𝐴 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗�

សូមរែោសិទធកែកត្ប