La forme exponentielle
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La forme exponentielle est une forme d’écriture permettant de représenter une multiplication répétée d’un même facteur.
2 3= 2 X 2 X 2
3 5= 3 X 3 X 3 X 3 X 3
10 6=
À l’inverse, 5 X 5 X 5 X 5 = 5 4
5 1
= 5
10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10
On ne multiplie pas les facteurs entre eux.
On écrit le facteur et l’exposant qui indique combien de fois le facteur s’est multiplié par lui-même.
VocabulaireLe nombre qui indique combien de fois un facteur (la base) se multiplie par lui-même s’appelle
On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur.
Le facteur qui se répète
s’appelle la
23
= 8
Le produit de cette multiplication répétée s’appelle la
l’exposant.
base.
puissance.
2 3= 2 X 2 X 2 = 8
Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.
C’est la loi la plus importante.
Loi 1 :
Formule les expressions suivantes sous la forme exponentielle.
5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 56
2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 7 X 7 X 7 = 22 X 33 X 73
Remarque : On regroupe ensemble les bases semblables;on les réunit par le signe de multiplication puisque c’est une multiplication de facteurs.
2 X 3 X 2 X 5 X 2 X 3 X 7 X 5 = 23 X 32 X 52 X 7
Remarque : On peut permuter (changer de place) les facteurs, car ils sont tous unis par le signe de multiplication.
2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 5 X 7 = 23 X 32 X 52 X 7
1,25 X 1,25 X 1,25 = 1,253
2
5X
2
5X
2
5=
2
5
3
-7 X -7 X -7 X -7 = ( -7 )4 On met des parenthèses, car c’est toute la base -7 qui est affectée de l’exposant 4.
On met des parenthèses, car c’est toute la base qui est affectée de l’exposant 3.
2
5
Détermine la puissance des expressions suivantes.
25 = 32
avec la calculatrice, utiliser la touche :
53 = 125
106 = 1 000 000
xy
10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 =
2 X 2 X 2 X 2 X 2 =
Exemple : 25 = 2 5 yx = : 32
yx ^ou ou
1,174 = 1,87388721
0,52 = 0,25
0,53 = 0,125
15 = 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = 1
2
5X
2
5=
2
5
2
=
2
5X
2
5X
2
5=
2
5
3
=
Selon la loi sur la multiplication de fractions.4
25
8
125
(-2)2 =
(-2)3 =
(-2)4 =
(-2)5 =
-2 X -2 =
-2 X -2 X -2 =
-2 X -2 X -2 X -2 =
-2 X -2 X -2 X -2 X -2 =
4
- 8
16
- 32
Règle : Une base négative affectée d’un exposant pair donne toujours une puissance positive.
Qu’en déduis-tu ?
Une base négative affectée d’un exposant impair donne toujours une puissance négative.
Base négative :
23 = 21 X 21 X 21
23 X 22 = 25
soit 21+1+1
21 X 21 X 21 X 21 X 21 = 25
23+2 =
x . x . x =
Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.
Exemple : 23 = 2 X 2 X 2 peut s’écrire
Un nombre, sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 :
Une lettre , sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 :
2 = 21
x = x1
21 X 21 X 21 = 23
Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.
= 23
x3
Loi 2 : am X an = am + n
Réduis les expressions suivantes.
33 X 32 = 35
x2 X x2 = x4
2x X 2x = 2 X x X 2 X x = 22 x2 = 4 x2
On ne multiplie pas les bases entre elles; on additionne les exposants.
1,252 X 1,25 = 1,252 X 1,251 = 1,253
3
4
53
4
3
X3
4
2
=
(-8)2 X (-8) = ( -8 )3
(ab)2 X (ab)2 = (ab)4
(x + 3) X (x + 3)2 = (x + 3)3
Réduis les expressions suivantes.
22 X 3 X 23 X 5 X 32 X 52 = 25 X 33 X 53
24 X 12 =
32 X 52 X 2 X 33 X 23 X 52 = 24 X 35 X 54
Écris les multiplications suivantes sous la forme exponentielle en utilisant des facteurs premiers.
2 X 3 X 6 X 9 X 4 = 2 X 3 X 2 X 3 X 32 X 22 = 24 X 34
23 X 3 X 22 X 3 = 25 X 32
x4 ÷ x3 =
Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
Exemple : 25 ÷ 22 =
Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
x 4 – 3 =
Loi 3 : am ÷ an = am - n
25 – 2 =
Démonstration
Écrivons 25 ÷ 22 sous la forme d’une fraction :25
22Une division est une fraction.
Développons : 25
22=
2 X 2 X 2 X 2 X 2
2 X 2
Simplifions les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :
= 23
23
x
Réduis les expressions suivantes.
35 ÷ 32 = 33
27 ÷ 23 = 24
x2 ÷ x
=x
4x3 ÷ 2x2 =
x3 ÷ x2 = x
22 x3 ÷ 2 x2 = 2x
6x3
x2= 6x
( a + 3 )1 = ( a + 3 )3 ÷ ( a + 3 )2 = ( a + 3 )
22 ÷ 22
=22 – 2 = 20 = 1
22 ÷ 23 = 1
22-1 =
?
Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
27 ÷ 23 = 27 – 3 = 24
Loi 4 : Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1.
On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.
Démonstration
8 4 2 1
23 22 21 20 2-1 2-2
-1
Diminuer de 1 l’exposant, c’est diviser le puissance par la base.
-1 -1 -1 -1
2
1
÷ 2
4
1
÷ 2 ÷ 2÷ 2 ÷ 2
2-1 = 2-2 = =4
1
2
1
2
1X
2
1
Loi 4 : a0 = 1
Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse.Loi 5 :
a-1 =a
1Loi 5 :
2
1 1
=2
1 2
=1
2 -1
=1
2 -2
=
Calcule les expressions suivantes.
5-3 = 5
1
-3
=1
5
3
=1
5X
1
5X
1
5=
1
125
1
2
-2
=2
1
2
=2
1X
2
1= 4
2
3
-2
=3
2
2
=3
2X
3
2=
9
4= 2,25
a
b
-3
=b
a
3
=b3
a3
b
aX
b
a=X
b
a
5
10
-2
=1
2
-2
=2
1
2
= 4
2-2
3-1= car
2-2
3-1=
2-2
1X
1
3-1=
1
22X
31
1=
3
22=
3
4
Règle : Dans une expression fractionnaire, si un facteur au numérateur est affecté d’un exposant négatif, on le place au dénominateur pour le rendre positif et vice-versa.
2-2
3-1=
31
22
a-2 =1
a2
2
3-1=
Le numérateur est alors 1.
2 X 31 = 6
2-2
3=
1
22 X 3=
1
4 X 3=
1
12
2-1 X 3 X 5-2 X 7 = 3 X 7
2 X 52=
21
50= 0,42
2-2 X 2 X 3-2
5 X 3-1
= 2 X 3
22 X 5 X 32
= 1
30
1
2 X 5 X 3=2 X 3
2 X 2 X 5 X 3 X 3=
3
4,
Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.
Loi 1 :
Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.
Loi 2 : am X an = am + n
Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.
Loi 3 : am ÷ an = am - n
Loi 5 : Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse.
a-1 =a
1Loi 5 :
Loi 1 : am = a X a X a X a X … m fois
On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.
Loi 4 :
Loi 4 : a0 = 1
Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1.
Simplifie les expressions suivantes.
am X an = am + n
am ÷ an = am - n
a-1 =a
1
am = a X a … m fois
a0 = 1
a2b0 = a2 X b0 = a2 X 1 = a2
(- 5)-2 = 1
25-
1
5
2
= -1
5X -
1
5=
3a X 3a X a = 32a3 =
2 X 5-1 = 1
5
2 X = 2
5
4a-1 = 4 X a-1 = 4 X 1
a=
4
a
x 23 X =
9a3
25-2
= 2 =1
5-2X 2 =52X50, car 2 X 5 X 5 = 50
3=
x -23x 23 1X
x -2=
1
Calcule les expressions suivantes.
am X an = am + n
am ÷ an = am - n
a-1 =a
1
am = a X a … m fois
a0 = 1
72 ÷ 7-2 = 72 - -2 = 72+2 = 74 =2 401, car 2 401
(2x)3 = 8x3, car (2x)3 = 2x X 2x X 2x = 23 x3 =
4
5
-1
= 1,25, car4
5
-1
=5
4
1
= 1,25
10-2 = 0,01, car 10-2 = 1
10
2
=1
100= 0,01
55 X 5-2 = 125 soit 55 + -2 = 55 -2 = 53 =
soit 55 X 5-2 = 55
52= 53 =55 X 1
52=
( 5 X 3 X 2 X 4 X 6 X 52 X 33 X 7 )0 = 1
70 X 72 = car49, 70 X 72 = 1 X 72 = 72 = 49
125
125
8x3
cb-3
= cb3
a-2 b3
= b3a2
a2 b-3
c-4 d2=
a2 c4
b3 d2
a-2 b2 a2 b-2 = 1
soit a-2 a2 b2 b-2 = a-2+2 b2+-2 = a0 b0 = 1 X 1 = 1
soit
a-2 b2 a2 b-2 =
a-2 b2 a2 b-2 = a2 b2
a2 b2=1
( x + 1 )
( x + 1 )= 1
( x + 1 )2
( x + 1 )=( x + 1 )
Que vaut l’exposant dans cette expression ? 4x = 1
16x = -2
On écrit les coefficients (les nombres) en premier.
-
5
3
=1
( - 5 ) -3 = 1-125
Attention
Inverser la base change le signe de l’exposant.
Inverser la base ne change pas le signe de la base.
( - 5 ) -2 =1+25
-
5
2
=1
Cependant,
Un exposant pair donne toujours une puissance positive.
Il faut bien connaître ses lois.
2 X 2
2 X 2 X 2 X 2=
2 X 2 X 2 X 2
2 X 2=
Précision
24
22
= 22 soit 24 ÷ 22 = 24 – 2 = 22
soit
24
22
=
24
22
=
22
24
=1
22
soit 22 ÷ 24 = 22 – 4 = 2-2 =1
22
soit
22
24
=
22
24
=
22
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
Loi 6 : Lorsqu’une puissance se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec l’exposant de la base à l’intérieur.
Loi 6 : ( am )n = am X n
Exemples : (22)3 = 22 X 3 = 26
(a5)3 = a5 X 3 = a15
( (-5)3 )4 = (-5)3 X 4 = (-5)12
On met des parenthèses, car c’est toute la base -5 qui est affectée par les exposants.
Démonstration : (32)3 = 32 X 32 X 32 = 36
Donc, (32)3 = 32 X 3 = 36
Loi 7 : Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconque, il suffit d’élever chaque facteur à cette puissance.
Exemple :
( 22 X 3 )2 =
La première loi dit : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.
( 22 X 3 ) X ( 22 X 3 ), donc 22 X 22 X 3 X 3 = 24 X 32
( 74 X 52 )3 = 74 X 3 X 52 X 3 = 712 X 56
( 2 X 5 )3 = 23 X 53
Donc, ( 2 X 5 )3 = (2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) = 23 X 53
Exemples :
Loi 7 : (ab)m = ambm
2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5 =
( 10 )3 = 8 X 125
1 000 = 1 000
Cette loi n’est vraie que s’il n’y a que des facteurs dans la parenthèse.
Exemples : ( 23 X 32 )2 = 26 X 34 = 5 184
( 23 X 32 )2 = ( 8 X 9 )2 = 722 = 5 184
( 23 + 32 )2 = 26 + 34 = 145
( 23 + 32 )2 = ( 8 + 9 )2 = 172 = 289
Faux !
Attention : 22 X 23 = 22 + 3 = 25
( 22 )3 = 22 X 3 = 26
Loi 2 :
Loi 6 :
64 X 81 = 5 184
64 + 81 = 145
En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier :
En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier :
Problèmes
(63)2 = 66
(5-1)3 = car (5-1)3 = 5-3 = 1
53
(22 X 53)2 = 24 X 56
(3x2)2 = 9x4,
(-2y)2 = 4y2
(-2y)3 = -8y3
(-5xy)3 = -125x3y3
(xy)-2 =
(ab2a-3b4)-3 = car (ab2a-3b4)-3 = a-3 b-6 a9 b-12 = a6 b-18 = a6
b18
car (xy)-2 = x-2 y-2 =1
x2y2
car (3x2)2 = (31 . x2)2 = 32 . x4 = 9 . x4 = 9x4
1x2
1y2
X =
1
53,
1x2y2
,
a6
b18,
Si on peut insérer un exposant à l’intérieur, on peut aussi le sortir !
Écris les expressions suivantes selon la base exigée.
83 en base 2 : 29 , car 83 = (23)3 = 29
42 X 8-3 en base 2 :
94 en base 3 : 38 , car 94 = (32)4 = 38
2-5 , car 42 X 8-3 = (22)2 X (23)-3 = 24 X 2-9 = 2-5
Ici, on laisse l’exposant négatif, car on doit écrire l’expression en base 2.
Pour écrire l’exposant positif, on doit inverser la base; la base devient 1 et non 2.2
42 X 2-3 en base 2 : 2 , car 42 X 2-3 = (22)2 X 2-3 = 24 X 2-3 = 2
(36)3 en base 6 : 66 , car (36)3 = (62)3 = 66
33 X 73 en base 21 : 213 , car 33 X 73 = 213
123 en base 2 et 3 : 26 X 33 , car 123 = (4 X 3)3 = (22 X 3)3 = 26 X 33
(a(n+2))2 = a2n+4 , car (a(n+2))2 = a2(n+2) = a2n+4
(3 X 7)3 =
Petit défi
(a+b)(2n-6)2
÷ (a+b)(n-3)4
= 1, car (a+b)(2n-6)2
÷ (a+b)(n-3)4
= (a+b)2(2n-6) ÷ (a+b)4(n-3) =
(a+b)(4n-12) ÷ (a+b)(4n-12) = 1 Une quantité divisée par elle-même donne 1.
Loi 8 : Lorsqu’un quotient de puissance (une fraction) se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec les exposants du numérateur et du dénominateur.
Loi 8 : ab
mab
m
m=
Démonstration :2
5
3
=2
5X
2
5X
2
5=
23
53Donc, 2
5
3
=
23
53
Calcule les expressions suivantes.
2
3
2
=22
32=
4
9
3a
4b2
3
=33 a3
43 b6=
27 a3
64 b6Attention : l’exposant multiplie chacun des facteurs.
3 X a
4 X b2
3
=
Calcule les expressions suivantes.
x2
y
3
=x6
y3
2x
3y
-2
=3y
2x
2
=
x-2
3y-1
2
=y
3x2
2
=
153 ÷ 53 =153
53=car 153 ÷ 53 =
(3 X 5)3
53=
33 X 53
53= 33 = 27
1
5a
2
=12
52 a2=
3
5
3
=27
125
car2x
3y
-2
=9y2
4x2
carx-2
3y-1
2
=y2
9x4
car1
5a
2
=1
25a2
3 y
2 x
2
=2
2 2
y
3 x
2
=2 2
27,
9y2
4x2,
y2
9x4,
1
25a2,
Les lois sur les exposants sont particulièrement intéressantes pour simplifier des expressions complexes.
Simplifie les expressions suivantes.
42
18
2
=2 X 3 X 7
2 X 3 X 3
2
= 7
3
2
=49
9
216
36
2
=23 X 33
22 X 32
2
= (2 x 3)2 = 62 =36,
4
9
3
x3
4
3
=
car 216
36
2
= 36
22
32
3
X3
22
3
=33
26
26
36X =car
4
9
3
x3
4
3
=1
33=
1
27
9 000
50
2 500
300X
2 2
=
52 X 102
3 X 102
32 X 103
5 X 10X
2 2
=34 X 106
52 X 102X
54 X 104
32 X 104=
34 X 54 X 1010
32 X 52 X 106= 32 X 52 X 104 =
2 250 000,
2 250 000
9 000
50
2 500
300X
2 2
=car
27
1 ,
Les exposants fractionnaires
91
2 = 9 = 3
Un exposant fractionnaire signifie que l’on doit calculer une racine.
Avec ta calculatrice, calcule 9 : 3
Avec ta calculatrice, calcule 9 yx ( 1 ÷ 2) = 3
2
Avec ta calculatrice, calcule 8 yx ( 1 ÷ 3) = 2
Avec ta calculatrice, calcule 8 :3
La forme radicale
Vocabulaire
Le radical.
C’est le symbole qui indique que l’on doit extraire une racine.
L’indice.
Le radicande.
Il indique la grandeur de l’extraction.
83
= 2 La racine.C’est la réponse.
2 est donc la racine cubique de 8.
C’est le nombre que l’on doit extraire.
Remarque :3
se prononce la racine cubique.
se prononce la racine carrée.
L’indice est alors 2.
2
Par convention, on ne l’écrit pas, mais il faut se souvenir qu’il est là.
83
La forme radicale
Sens
signifie : quel est le nombre qui multiplié 3 fois par lui-même donne 8 ?
Ce nombre est 2, car 2 X 2 X 2 = 8.
25 signifie : quel est le nombre qui multiplié 2 fois par lui-même donne 25 ?
Ce nombre est 5 car 5 X 5 = 25.
83
peut donc s’écrire
25 peut donc s’écrire
L’expression est donc égale à 2.
L’expression est donc égale à 5.
81
3
.
251
2.
Remarque
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels.
Exemple : - 4 signifie : Quel est le nombre qui multiplié deux fois par lui-même donne – 4 ?
Ce nombre n’existe pas, car 2 X 2 = 4
-2 X -2 = 4
- 4 provient de 2 X -2 ;
La racine cubique d’un nombre négatif existe dans les réels.
Exemple : signifie : Quel est le nombre qui multiplié trois fois par lui-même donne – 8 ?
Ce nombre est -2, car
ce sont deux nombres différents.
-2 X -2 X -2 = -8
- 83
Écrire une forme radicale en forme exponentielle.
83
Il faut se souvenir que l’exposant de 8 est 1.
1
Cet exposant est le numérateur de la fraction.
L’indice du radical est le dénominateur de la fraction.
= 81
3
Cette forme d’écriture est intéressante pour calculer rapidement certains radicandes.
Exemple :8
3
= 23
3
= 233 = 2
1
= 2
Loi 9 : amn
= amn
Simplifie les expressions suivantes.
x4 = car x4 = x42 =
car64 =3
x2
64 =3
26 =3
263 = 2
2= 4
8 X 8 X 8 X 8 =3
car
8 X 8 X 8 X 8 =3
23 X 23 X 23 X 23 =3
212 =3
2123 = 2
4=16
16 =4 2
(2 ) =4
4 2 2 =
48 2 =4
8
22
= 4car
x =3
3
car x =3
3
x =
3
31
x =31 X
13
x 33
= x
16 =4 2
x2,
4 ,
16 ,
4 ,
x ,
Loi des radicaux
La forme radicale peut s’écrire en forme exponentielle, donc
les lois sur les radicaux sont les mêmes que les lois sur les exposants.
Nous allons nous attarder à deux lois en particulier :
Loi 10 : a X b = a b
b
aLoi 11 : a
b=
Loi 10 : a X b = a b
Démonstration : 4 X 9 = 36
2 X 3 = 6
= 6
Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi.
Exemple : 3 X3 3
9 ≈ 1,442… X ≈ 2,08… ≈ 2,9993…
33 X =3 3
9 27 =3
33 =3
Mais,
Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.
3 X =3 3
9 273
4 X 9 = 36
3 X3
9 La loi ne s’applique pas.
b
aLoi 11 : a
b=
Démonstration :16
4=
4
16 = 24 =
16
4=
4
2= 2
Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi.
Exemple : 20
5≈
≈ 4,47…
≈ 2,23…≈ 2,004…
Mais, 20
5=
5
20 = 24 =
Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.
Calcule les expressions suivantes.
25 X =3 3
5 52 X =3 3
5 52 X 5 =3
53 =3
5
322 X = 64 = 8
3
5
2
=3
5
2
=3
5
2
=
12
12
3
5=
22
22
3
5
16
25=
25
16=
4
5
27
64=
33
464
27=
3
3
Calcule les expressions suivantes.
8x3 =3
=x38 X3 3
x24 X =4x2 = 2 . x = 2x
ou simplement 4x2 = 2x
2 . x =
2xou simplement 8x3 =3
a2 + b2 La loi ne s’applique pas, car ce ne sont pas des facteurs.
a2 X b2 = b2a2 X = a X b = ab
2x
Quelques défis.
Donne la réponse en forme radicale.
a23 a
12÷ = a
23
12-
= a46
36-
= a16 = a
6
364 = 4 = 2
3(x4 y-1) =6 3
x24 y-6 = x24
3 y- 6
3 = x8 y-2 =
Calcule la valeur de cette expression.
Simplifie l’expression :
x8
y2
Soit
Soit3
(x4 y-1) =6 (x4 y-1)63
= (x4 y-1)2
= x8 y-2 =x8
y2
3(x4 y-1) 6
Réduis au maximum cette expression; donne la réponse en base 4 et en base 2.
64 2n + 1
4 3n - 1= 4
3n + 4
64 2n + 1
4 3n - 1=
64 (2n + 1)
4 (3n – 1)=
4 (2n + 1)
4 (3n – 1)=
3 4(2n + 1)
4 (3n – 1)=
3 46n + 3
4 (3n – 1)=
46n + 3
4(3n – 1)÷ = 4
6n + 3 - (3n – 1)= 4
6n + 3 - 3n + 1= 4
3n + 4
=43n + 4
=(22)3n + 4
et 26n + 8
22(3n + 4)
= 26n + 8