Chapitre 4La Convection

1. Définitions Le transfert de chaleur par convection existe au sein des milieux fluides (mouvement de matière) dans lesquels il est généralement prépondérant. Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue :

1.1 La convection libre ou naturelle : Le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de masse volumique, résultant des différences de températures, sur les frontières et d’un champ de forces extérieures (la pesanteur).1.2 La convection forcée :Le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences de température (pompe, ventilateur...).L’étude du transfert de chaleur par convection permet de déterminer les échanges de chaleur se produisant entre un fluide et une paroi.

1.3 Régime d’écoulementCompte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est nécessaire de considérer le régime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple l’écoulement d’un fluide dans une conduite :- En régime laminaire, l’écoulement s’effectue par couches pratiquement indépendantes.Les échanges de chaleur s’effectuent donc :- Par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides.- Par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non normale aux filets fluides.

En régime turbulent, l’écoulement n’est pas unidirectionnel :L’échange de chaleur dans la zone turbulente s’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction est généralement négligeable par rapport à la convection, la turbulence augmente le flux de chaleur échangé entre le fluide et la paroi.

Le changement de régime est généralement dû à l'augmentation d'un certain paramètre (vitesse, température) au dessus d'une valeur critique on quantifie cette valeur critique par des nombre adimensionnels par exemple, le nombre de Reynolds (en convection forcée)

Re=VD/νV: vitesse de l'écoulement; D: diamètre de la conduite; ν: viscosité dynamique.Par exemple pour le cas de l'écoulement dans les conduites; Rec=2300.Re<2300 l'écoulement est laminaire.Re>2300 l'écoulement est turbulent.

2. Expression du flux de chaleur2.1 Couche limite dynamique et thermique

La couche limite est une région du fluide qui est proche des parois solides dont l'influence de la viscosité est très importante, la vitesse et la température dans cette région sont différentes de celle du fluide loin des parois. L'épaisseur de cette couche varie en fonction de plusieurs paramètres: viscosité, distance,…

Le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, c’est à dire dans la sous-couche laminaire. Quelque soit le régime d’écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entièrement située dans le film laminaire qui joue le rôle d’isolant thermique (couche limite thermique).

2.2 Coefficient de transfert de chaleur par convection La loi de transfert de chaleur par convection est une loi simple mais présente une énorme difficulté dans son application. Elle amène à définir un cœfficient de transfert de chaleur par convection h (W/m2.K).Quelque soit le type de convection et le régime d'écoulement le flux de chaleur entre le fluide et la paroi s'écrit comme suit:

( ) sQ hS T T

Considérer une surface de forme arbitraire et de surface totale S, maintenue à une température uniforme (Ts > T∞) exposés à un écoulement de fluide à la vitesse u∞ .on attend à ce que le coefficient de convection varie au-dessus de la surface dans ce cas le flux thermique local, q peut être exprimé comme : ( )x x sq h T T Le flux de chaleur total peut être obtenu en intégrant le flux thermique local au-dessus de la surface totale S(ou As). C'est : ( )sQ hS T T

Où est coefficient de convection moyen: h0

0

1xh h dx

x

2.3 Estimation du coefficient de convectionDans les problèmes de convection l’objectif principal est de déterminer le coefficient de convection h pour différentes géométries et de multiples conditions d’écoulement. donc h dépend d'un nombre important de paramètres: propriétés physiques du fluides, caractéristiques de l'écoulement, la température, la géométrie,….

( , , , , , , , , )f s Ph f T T v C Q l D

Il s'avère très utile d'utiliser la technique de l'analyse adimensionnelle (similitude) pour laquelle on groupe les grandeurs physiques sous forme de nombres adimensionnels, et on déterminer expérimentalement et théoriquement la relation entre ces nombres qu'on représente par des corrélations.Les nombres sans dimensions importants dans la convection thermique sont :

Le nombre de Reynolds: Re=ρVD/νLe nombre de Prandtl : Pr=CPμ/λ=ν/aLe nombre de Nusselt : Nu=hL/λ

3. Calcul du flux de chaleur en convection forcéeL’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels :

Nu = f (Re, Pr)

Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue donc de la manière suivante :

1. Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl.

2. Suivant la valeur de Re et la configuration choix de la corrélation

3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.

4. Calcul de h = Nu/L et de λ ( )s fQ hS T T

Quelques Corrélations usuelles

3.1 Ecoulements Externes

Exemple de la plaque planeMalgré sa simplicité cette géométrie possède de nombreuses applications: Murs, ailes, plafonds,…

Dans cette configuration le développement de la couche limite laminaire commence au bord d'attaque (x =0), et le passage à la turbulence peut se produire à un distance critique xc pour lequel le nombre de

Reynolds critique est Rex,c = 5.105.

Nous présenterons les corrélations appropriées pour prévoir l'épaisseur de la couche limite aussi bien que le coefficient de convection. Nous commençons par les conditions de la couche limite laminaire.

3.1.1 Couche limite laminaireComme illustré dans la fig., l'épaisseur de la couche limite dynamique δ(x) est défini pour que u/u∞ = 0.99 et son expression pour la plaque plane est :

1/2

x( ) 5 Re avec Re / (nombre de Reynolds local)xx x u x

Dans ce cas le nombre de Nusselt local :

1/2 1/3 5/ 0.332Re Pr , Re 5 10x x xNu h x

Et le nombre de Nusselt moyen : 1/2 1/3/ 0.664Re Pr LNu hL 3.1.2 Couche limite turbulente

Pour des écoulements turbulents, à une approximation raisonnable, l'épaisseur hydrodynamique de la couche limite peut être exprimée comme suit :

1/5 8x( ) 0.37 Re avec Re 10xx x

Dans ce cas le nombre de Nusselt local : 4/5 1/3 8/ 0.0296Re Pr (Re 10 ; 0.6<Pr<60)x x x xNu h x

Et le nombre de Nusselt moyen :

4/5 1/3 5 8/ 0.037Re Pr (5 10 Re 10 ; 0.6<Pr<60)L xNu hL

3.2 Ecoulements internes

Exemple d’écoulement dans un tubeUn fluide s’écoule en régime permanent dans une conduite cylindrique circulaire de diamètre intérieur D. Dans une section droite, à l’abscisse x par rapport à l’entrée de la conduite, la vitesse moyenne du fluide est Um, sa température moyenne Tm, et la température de la paroi Tp.

échangé à travers l’aire latérale de paroi dS comprise entre les abscisses x et x + dx:

CdQLes corrélations expérimentales permettent de calculer le flux de chaleur

- C s mdQ h T T P dx

La conservation d'énergie permet d'écrire

C P mdQ mc dT

Cette relation est valide peu importe la condition à la frontière; Donc partir de la conservation d'énergie on peut dériver une expression pour la variation de Tm avec x

( )mm s

P

dT hPT T

dx mc

En régime laminaire établit ( Re < 2000), et loin de la zone d'entrée on peut appliquer les corrélations qui ont pour expressions:Nu=3.66 (température de la paroi constante)

Nu=4.36 (Flux de chaleur à la paroi constant)

3.2.1 Cas d'un flux de chaleur constantLe flux convectif total d CQdevient simplement q.P.dx Et la température moyenne devient

m miP

qPT T xmc

La température moyenne varie linéairement avec la distance.

3.2.2 Cas d'une paroi à température constante

Pour Ts constante comment Tm varie avec x (h=constant) ?

( )

( )m mm

P

dT d T hPT

dx dx mc

En séparant les variables et intégrant de l’entrée à la sortie du tube:

0

( )s

e

T Lm m

m PT

dT d T hPdx

dx T mcOù encore

ln s

e P

T hPL

T mc

exp( )ms s

me Ps

T T hPL

T T mcOn obtient

Pour une distance quelconque x on a:

( )exp( )m s

me Ps

T x T hPx

T T mc

4. La Convection naturelleLa convection naturelle est la forme d’échange convectif la plus couramment observée. Au contact d’un corps chaud , la température de l’air augmente, donc sa masse volumique décroît. L’air ambiant, de masse volumique plus élevée, exerce une poussée d’Archimède vers le haut, et la masse d’air chaude s’élève en enlevant de la chaleur au corps. Elle est remplacée par une masse d’air froid qui, au contact du corps s’échauffe, et ainsi de suite.

Ces échanges jouent un grand rôle en pratique. On citera en particulier:le chauffage domestique

le calcul des pertes par les parois dans les installations industrielles

Comme les vitesses en convection naturelle demeurent faibles, les échanges sont nettement moins intenses qu’en convection forcée

Convection naturelle de Rayleigh- Bénard). La couche de liquide est chauffée par le bas. Des particules métalliques en suspensionpermettent de visualiser les cellules de convection qui ont presque toutes une formehexagonale.

Exemples

4.2 Calcul du flux de chaleur lors de la convection naturelleDans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle, le coefficient de convection dépend des caractéristiques du fluide : λ, ρ, μ, cp, β, g, de la paroi caractérisée par la longueur L, et de l’écart de température ΔT aux bornes ce qu'on peut traduire par une relation du type :

h = f (λ, ρ, μ, cp, β, g, L, ΔΤ)L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels :

Nu = f (Gr, Pr)Gr=ρ2g.β.ΔT.D3/μ2 : le nombre de Grashof.Le calcul du flux de chaleur par convection naturelle s’effectue donc de la manière suivante :

1. Calcul des nombres adimensionnels de Grashof et de Prandtl.2. Suivant la valeur de Gr et configuration choix de la corrélation.3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.4. Calcul de h = Nu/L λ et de ( )s fQ hS T T

1. Calcul des nombres adimensionnels de Grashof et de Prandtl.2. Suivant la valeur de Gr et configuration choix de la corrélation.3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.4. Calcul de h = Nu/L λ et de ( )s fQ hS T T