La Carta de Smith Z(z) → Impedancia en cualquier punto de una línea de transmisión
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La Carta de SmithZ(z) → Impedancia en cualquier punto de una línea de transmisión
Phillip H. Smith en 1939, teniendo presente que la impedancia Z(z) está biunívocamente relacionada con el coeficiente de reflexión Γ(z), y éste tiene un módulo acotado a uno |Γ|≤1, concibió una representación gráfica de la impedancia Z(z) en términos del coeficiente de reflexión Γ(z), que tiene un uso prácticamente universal en la actualidad.
Re 0,
Im ,
Z z
Z z
P.H. SMITH
Nomogramas
Un nomograma o nomografo es un diagrama bidimensional que permite realizar cálculos aproximados gráficamente. La carta de Smith es un nomograma.
Nomograma de conversiónde temperaturas de Celsiusa Fahrenheit. Nomograma de resistencias
en paralelo.
Uso de la Carta de Smith
La carta de Smith permite, de una manera sencilla y evitando tediosas manipulaciones de números complejos
1) Calcular gráficamente la impedancia en un punto de una línea de transmisión a partir
del coeficiente de reflexión en ese punto y viceversa.
2) Calcular gráficamente la impedancia o el coeficiente de reflexión en un punto de una
línea a partir del conocimiento de la misma o el mismo en otro punto.
3) Realizar estos cálculos en términos de impedancias o admitancias indistintamente.
4) Calcular gráficamente la ROE y los valores máximo y mínimo de la impedancia.
5) Encontrar los valores de elementos reactivos (ya sean stubs o elementos
concentrados) necesarios para adaptar líneas de transmisión.
6) Representar el rendimiento de circuitos de microondas
Relación entre Z(z) y ρ(z)
Se define una impedancia normalizada respecto a la impedancia intrínseca de la línea
Matemáticamente corresponde una transformación entre la impedancia normalizada y el coeficiente de reflexión complejo que se caracteriza por ser conforme (=conserva los ángulos entre dos curvas).
0
11
ZZ r j xZ
11
jr i
Z e jZ
Γ r
Γi
| Γ |≤1
r
xr≥0
Z
Relación entre Z(z) y ρ(z)Sustituyendo Γ en la expresión de la impedancia normalizada se pueden obtener las curvas de r y x constantes en función de las componentes Γ r y Γ i, obteniendo un conjunto de circunferencias en el plano complejo de Γ :
2 2 2
222
1 1 1; 11 1r i r i
rr r x x
r
x r=cte.
Γ r
Γ i
r
x
x=cte.
Γ r
Γ i
11,x
1x
Circunferencias de reactancia constante: CENTRO RADIO
,01
rr
11r Circunferencias de resistencia constante: CENTRO RADIO
El coeficiente de reflexión representado en el plano complejo
Γ r
Γ i
| Γ |=1
0º
90º
180º
270º
z=0 z= ℓ
ZL
Γ LΓ e
Ze
4( )2( 0) Lj lj le L Lz e e
L
| Γ L|
0 1| Γ L|
2ℓ
Γ e
| Γ L|
2ℓ
Γ L
4 ( )2 ( )( )
Lj z lj z l
L Lz e e
( ) LjL Lz l e
Hacia la carga
Hacia el generador
Metodología
ℓ=/2 360º
ℓ=/4 180º
ℓ=/8 90º
ZLΓ L Ze
Γ e
Γ L Γ e
r = 0 r = 0.5 r = 1 r = 2 r = ∞
x = ∞
x = 0
x = 0.5
x = 2
x = 1
x = - 0.5
x = - 2
x = - 1
Circunferencias de
Resistencia
Constante
Circunferencias de
Reactancia
Constante
En un punto de la línea de Z0 = 50 Ω se mide una impedancia 100+j·150 Ω ¿Cuánto vale Γ en ese punto?
100 150 2 350
jZ j
0.75 26º
| Γ | = 0.75
r = 2
x = +3
φ = 26º
Si ¿ Cuánto vale la impedancia ? ¿Cómo varía al movernos sobre la línea?
1 3 90º
ZZ
| Г | = 0.33
r = 0.8
x = +0.6
φ = 90º
20.33j
e
0.8 0.6Z j
La toma todos los valores contenidos en la circunfe-rencia de radio a medida que nos movemos a lo largo de la línea de transmisión.
0.33
Z
Paso de: Γ ↔ Z
SWR = S (ROE)
RET’N LOSS, dB =
REFL. COEFF. P =REFL.COEFF, E OR I =
x| Γ |
φ
Z
26º
0.75
¯
0.75 26º
2 3Z j
20 log 2
7S
2.6 dBretL
72.6
Impedancia de Entrada
0.8 1.2LZ j
2 1.6eZ j
150 120eZ j
270máxmáxZ R
21mínmínZ R
ZL
Ze
0.45·λ
mín
máx
mín 0.28
V
I
Z
máx
mín
máx 3.6
V
I
Z x
x
S=3.6
ZLZe
ZL= 60 – j·90
l = 0.45·λ
Z0 = 75 Ω
S=3.61=0.28S
max min max
1min max min
( ) , ,
( ) , ,
L
L
z V I Z Z S
z V I Z Z S
AdmitanciaZ R j X
Y G j B
1
1
cL
cCX
BL
X
C
L
B C
0 500.2 0.5
10 25 LL
ZZ j
Z j
00
0.7 1.7
0.014 0.034
LL L L
L
L
YY Y Y Y
Y j
Y jZ
ZLx
YL
x
( 4)
111
11
11
LL
L L
jL
l λe jL
LL
L
YZ
eZe
Y
Admitancia de Entrada
Ye
ZL= 10 + j·15
Z0 = 50 Ω
l = 0.1·λ
ZL
0.2 0.3LZ j
0.3 0.7eY j
0.006 0.0145eY j
01 0.02
50Y
ZL
x
YL
x
Ye
x
Zex
0.1·λ
0.1·λ
0
10 1550
LZ jZ
Línea en Cortocircuito
Línea en Circuito Abierto
0.73
1.4e
e
Z j
Y j
Ze, Ye
l = 0.1·λ
c.c.
Ze, Ye c.a.
l = 0.15·λ
0.73
1.4e
e
Z j
Y j
cortocircuito circuito abierto xx
0.1·λ
0.15·λ
Conexión de Líneas
1
1 1
75 0.51501 0.7
150 150 105
LZ
Z jZ Z j
1'
2
2 2
150 105 1.51001.8 0.9
100 180 90
jZ j
Z jZ Z j
2'
3
3
180 90 3.6 1.8500.28 0.52
50 14 26e
j
j
Z j
Zj
ZZ
11’2’ 2
ZL
x
Ze
Z1x
0.1·λ
0.15·λ
0.15·λ
Ze 50 Ω
0.15·λ
ZL 100 Ω 150 Ω
0.1·λ 0.15·λ
Z2
x
Z1’x
xZ2’
x
Carta de Smith como medio de representación de rendimiento
La carta de Smith se usa a menudo como sistema de coordenadas para representar el comportamiento de un dispositivo de microondas a diferentes frecuencias.