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Transcript of 'l- ') · I J(j' ê)..)IEJ' d:-) ó-' S) do. ... '"'CIJ.o/ ~ ' ó=1
1. a) (1,5 ponto) Esboce a imagem da curva "(: IR ~ IR2 dada por
A"((t) = (sen4t + 2cos2t - 2, sen2 t - 1).
b) (1,5 ponto) Considere F(x,y) = 10~2 - ;Y. Determine o domínio de F ex +y
esboce as curvas de nível dos níveis c = O,c = 1 e c = 10.
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1. a) (1,5 ponto) Esboce a imagem da curva 'Y: JR-* JR2 dada por b
10y2 - 2xb) (1,5 ponto) Considere F(x, y) = 2 2' Determine o domínio de F ex +y
esboce as curvas de nível dos níveis c = O, c = 1 e c = 10.
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2. a) (1,5 ponto) Seja f : [0,21f] -+ IR2 a curva dada por fet)= (x(t), sen t, 1+cos t).
2Sabend.o que a imagem de f está contida na superfície de equação (Z-1)2-~ = x, Âdetermme x(t) e a encontre uma equação para a reta tangente a r em r(1f/3).
b) Seja S a superfície de equação _2x2+ (y
_ 1)2+ z2 = 1.
b 1) (1,0 ponto) Estude a intersecção de S com cada plano x = k e com o planoy = 1. Esboce S.
b2) (1,5 ponto) Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano2x + y = 2.
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2. a) (1,5 ponto) Seja r: [O,21fJ~ R2 a c d.
Sabendo u . ,urva adaporr(t)= (sent,y{t),l+cost).
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Imagem de r esta co
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ntida na superfície de equação (z-1)2- x2 _ermme y t e a encontre uma e u - 9 - y,
q açao para a reta tangente a r em r(1f/6).
b) Seja S a superfície de equação (x -1 )2 _ 2 2 2 _Y +z -1.
1>1)(1,0 ponto) Estude a intersecção de S com dx = 1. Esboce S.
ca a plano y = k e com o plano
b2) (1,5 ponto) Encontre uma par t' - .2y + x = 2.
ame nzaçao para a mtersecção de S com o plano
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-A-3. Calcule ou mostre que nao existe.
a) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)
x3
x4 + y2sen(x2 + y2)
b) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)
ex2y − 1
y3
a) lim(x,y)→(0,0)
x3
x4 + y2sen(x2 + y2)
= lim(x,y)→(0,0)
x3(x2 + y2)
x4 + y2sen(x2 + y2)
(x2 + y2)
= lim(x,y)→(0,0)
x5 + x3y2
x4 + y2sen(x2 + y2)
(x2 + y2)
= lim(x,y)→(0,0)
( →0︷︸︸︷x ·
limitado︷ ︸︸ ︷x4
x4 + y2+
→0︷︸︸︷x3 ·
limitado︷ ︸︸ ︷y2
x4 + y2
)sen(x2 + y2)
(x2 + y2)
= (0 + 0) · 1 = 0,
pois lim(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
(x2 + y2)= lim
u→0+
senu
u= 1.
b) Seja g(x, y) =ex
2y − 1
y3. Por um lado
limt→0
g(0, t) = limt→0
0
t3= lim
t→00 = 0.
Por outro
limt→0
g(t, t) = limt→0
et3 − 1
t3= lim
u→0
eu − 1
u= 1.
Logo, tal limite nao existe.
-B-3. Calcule ou mostre que nao existe.
a) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)
y3
x2 + y4sen(x2 + y2)
b) (1,5 ponto) lim(x,y)→(0,0)
exy2 − 1
x3
a) lim(x,y)→(0,0)
y3
x2 + y4sen(x2 + y2)
= lim(x,y)→(0,0)
y3(x2 + y2)
x2 + y4sen(x2 + y2)
(x2 + y2)
= lim(x,y)→(0,0)
y3x2 + y5
x2 + y4sen(x2 + y2)
(x2 + y2)
= lim(x,y)→(0,0)
( →0︷︸︸︷y3 ·
limitado︷ ︸︸ ︷x2
x2 + y4+
→0︷︸︸︷y ·
limitado︷ ︸︸ ︷y4
x2 + y4
)sen(x2 + y2)
(x2 + y2)
= (0 + 0) · 1 = 0,
pois lim(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
(x2 + y2)= lim
u→0+
senu
u= 1.
b) Seja g(x, y) =exy
2 − 1
x3. Por um lado
limt→0
g(t, 0) = limt→0
0
t3= lim
t→00 = 0.
Por outro
limt→0
g(t, t) = limt→0
et3 − 1
t3= lim
u→0
eu − 1
u= 1.
Logo, tal limite nao existe.