Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerekKvantitatív módszerek

3. Leíró statisztika3. Leíró statisztika

Kvantitatív módszerek

BevezetésBevezetés

Statisztikai elemzések lényege

Az elemzés statisztikai módszerei

– Leíró statisztika

– Következtető statisztika

Diszkrét és folytonos adatok

24


Statisztikai leírás alapjaiStatisztikai leírás alapjai

A statisztikai leírás célja, módszerei

Statisztikai leírás mutatói

Középértékek

Ingadozásmutatók

Egyéb mutatók

Grafikus kép

24


Oszlopdiagram25


Kördiagram26


Sávdiagram26


Vonaldiagram26


Adatok rendezése, ábrázolásaAdatok rendezése, ábrázolása

Osztályba sorolás

Gyakoriságok (fi) megállapítása

Relatív gyakoriság (gi) megállapítása

Összegzett (kumulált) gyakoriságok ill. relatív

gyakoriságok (fi’; gi’)

Gyakorisági táblázat

Grafikus ábrázolás

28


PéldaPélda

Egy folyamatos üzemben ….

Gyakorisági táblázat készítése

- Legkisebb és legnagyobb értékek megkeresése

- Gyakoriságok meghatározása0 1 :

28

Óra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Leállások száma

5 3 1 2 0 3 4 5 2 6 1 1

Óra 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Leállások száma

4 0 2 3 2 0 2 3 1 4 1 6


PéldaPéldaA gyakorisági táblázat:

28

Leállások száma Gyakorisága (fi) Relatív gyakoriság (gi)

0 3 0,125 (12,5%)

1 5 0,208 (20,8%)

2 5 0,208 (20,8%)

3 4 0,168 (16,8%)

4 3 0,125 (12,5%)

5 2 0,083 (8,3%)

6 2 0,083 (8,3%)

összesen 24 1,000 (100%)


PéldaPéldaAdatok ábrázolása:

29

gyakoriságokRelatív

gyakoriságok

Leállások száma

5

4

3

2

1

0,2

0,16

0,12

0,08

0,04

0 1 2 3 4 5 6


Példa Példa

A gyakorisági táblázat folytatása:

29

leállások száma kumulált gyakoriság

(fi’)

kumulált relatív gyakoriság

(gi’)

0 3 0,125

1 8 0,333

2 13 0,541

3 17 0,709

4 20 0,834

5 22 0,917

6 24 1,000


PéldaPéldaKumulált relatív gyakoriság ábrázolása:

29

Kum

ulá

lt r

ela

tív g

yako

risá

gok

Leállások száma0 1 2 3 4 5 6

1

0,5


PéldaMűszeralkatrészek átmérőjét...

a b c d e

8,31 8,29 8,36 8,40 8,26

8,34 8,26 8,31 8,32 8,31

8,36 8,36 8,31 8,22 8,16

8,33 8,31 8,35 ,8,31 8,33

8,30 8,31 8,31 8,33 8,20

8,29 8,28 8,28 8,32 8,41

8,35 8,33 8,29 8,30 8,41

8,18 8,38 8,35 8,34 8,30

8,41 8,31 8,31 8,33 8,32

8,32 8,28 8,36 8,32 8,25

8,31 8,38 8,44 8,27 8,26

8,31 8,26 8,28 8,32 8,27

8,38 8,22 8,35 8,30 8,30

8,15 8,32 8,31 8,31 8,38

8,31 8,33 8,31 8,34 8,32

8,30 8,19 8,19 8,44 8,32

8,26 8,39 8,42 8,35 8,30

8,13 8,33 8,19 8,34 8,36

8,32 8,31 8,25 8,31 8,50

8,31 8,38 8,33 8,31 8,33

8,23 8,30 8,32 8,35 8,35

8,35 8,29 8,34 8,26 8,28

8,33 8,36 8,31 8,32 8,32

8,26 8,35 8,42 8,32 8,31

8,33 8,23 8,16 8,31 8,38

8,29 8,30 8,30 8,33 8,31

8,30 8,34 8,27 8,31 8,35

8,35 8,46 8,25 8,33 8,22

8,31 8,32 8,34 8,26 8,33

Gyakorisági táblázat készítése:

Minimum és maximum értékek keresése

Terjedelem meghatározása:R = 8,50 - 8,13 = 0,37

Osztályok számának meghatározása

Osztályhatárok, -közepek számolása

Gyakoriságok meghatározása

Táblázat és a hisztogram elkészítése

8,138,50


Az Y szerint képzett osztály

Osztály-közép

abszolút relatív

alsó felső gyakoriság

határa

X10 X11 X1* f1 g1

X20 X21 X2* f2 g2

Xi0 Xi1 Xi* fi gi

… … … … …

Xk0 Xk1 Xk* fk gk

Összesen N 1

N

fg ii

102

1iii XXX

01 iii XXh 0,0,1 iii XXh

(Osztályközös) gyakorisági sor(Osztályközös) gyakorisági sor 31


Gyakorisági hisztogramGyakorisági hisztogram

Gyakoriságok

Osztályközök


Kumulált relatív gyakoriságKumulált relatív gyakoriság

Kumulált relatív gyakoriság

Osztályközök [mm]

1

0,8

0,6

0,4

0,2

8,1

25

8,1

85

8,2

45

8,3

05

8,3

65

8,4

25

8,4

85


dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

2. 1. -7,54 1. 5. -18,98 1. 4. 35,26 1. 6. 32,3 1. 7. -7,22 1. 7. 3,16

3. 1. -0,17 2. 1. 4,05 2. 1. 7,81 2. 3. 2,44 2. 2. 11,27 2. 1. -13,63

4. 5. -11,02 3. 1. 1,62 3. 1. 9,75 3. 3. -2,91 3. 2. 4,84 3. 1. -2,37

5. 2. -2,5 4. 3. 11,68 4. 1. 7,67 4. 1. 10,03 4. 1. -1,21 4. 1. 9,02

6. 1. -8,24 5. 2. 5,44 5. 2. 11,06 5. 5. 3,79 5. 4. -17,48 5. 3. 4,58

7. 1. 4,91 6. 1. -4,79 6. 3. 12,39 6. 2. 12,9 6. 2. 10,63 6. 1. 4,59

8. 1.13,01

7. 3.2,06

7. 1.-12,85

7. 1.15,99

7. 1.3,45

9. 1.-8,45

8. 1.5,16

8. 1.21,26

8. 1.-8,2

8. 3.-36,06

10. 3.16,88

9. 1.1,81

9. 3.18,57

9. 2.6,34

9. 1.-12,97

11. 1.-5,08

10. 2.-6,05

10. 1.6,46

10. 1.-7,26

10. 1.26,91

12. 1.-4,89

11. 1.-0,93

11. 1.2,03

11. 3.-6,75

11. 2.12,53

12. 1.2,92

12. 2.12,51

12. 1.20,24

12. 1.5,51

Példa: 5 éves időszak havi hozamainak értékei Példa: 5 éves időszak havi hozamainak értékei 30

A teljes értékköz: 71,32 (%)


Feladat: dolgozzuk fel a havi hozamadatokat statisztikai eszközökkel

osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%]

-40.00≤x<-30.00 1 1 1.54 1.54

-30.01≤x<-20.00 0 1 0.00 1.54

-20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77

-10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92

0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30

10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30

20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92

30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00

összesen 65 100.00

GYAKORISÁGI TÁBLÁZAT

31


GYAKORISÁGI HISZTOGRAM

32


KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM

32


Gyakorisági eloszlások Gyakorisági eloszlások jellegzetességeijellegzetességei

középérték-mutatók: helyzeti és számítottIngadozásmutatók: abszolút és relatívalakmutatók

Középértékekre vonatkozó elvárások:Közepes helyzetűekTipikusakEgyértelműen meghatározhatóakLehetőleg könnyen értelmezhetőek

33


MediánHelyzeti középérték – valódi középérték, a rangsor közepén található: az az érték, amelynél az előforduló értékek fele kisebb, fele pedig nagyobb

– Páratlan számú adatnál a középső

– Páros számú adatnál a két közepes érték számtani átlaga

Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is

Érzéketlen a szélsőértékekre

Említésre méltó tulajdonsága:

33

1 0 6 17 23 13 3 2 19

0 1 2 3 6 13 17 19 23

1 0 6 17 23 13 3 2

0 1 2 3 6 13 17 23

4,5

MeAhaAxN

ii

min,1


Medián

1 -36,06 11 -7,54 21 -2,37 31 3,16 41 5,51 51 11,27 61 20,242 -18,98 12 -7,26 22 -1,21 32 3,45 42 6,34 52 11,68 62 21,263 -17,48 13 -7,22 23 -0,93 33 3,79 43 6,46 53 12,39 63 26,914 -13,63 14 -6,75 24 -0,17 34 4,05 44 7,67 54 12,51 64 32,35 -12,97 15 -6,05 25 1,62 35 4,58 45 7,81 55 12,53 65 35,266 -12,85 16 -5,08 26 1,81 36 4,59 46 9,02 56 12,97 -11,02 17 -4,89 27 2,03 37 4,84 47 9,75 57 13,018 -8,45 18 -4,79 28 2,06 38 4,91 48 10,03 58 15,999 -8,24 19 -2,91 29 2,44 39 5,16 49 10,63 59 16,88

10 -8,2 20 -2,5 30 2,92 40 5,44 50 11,06 60 18,57

33


65 adat: páratlan a rangsor 33. tagja a medián


-40.00≤x<-30.00 1 1 1.54 1.54

-30.01≤x<-20.00 0 1 0.00 1.54

-20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77

-10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92

0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30

10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30

20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92

30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00

összesen 65 100.00 5,322

65

22'

NNfme

34


34

meme

me

me hf

fN

YeM

'1

0,2ˆ


-40.00≤x<-30.00 1 1 1.54 1.54

-30.01≤x<-20.00 0 1 0.00 1.54

-20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77

-10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92

0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30

10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30

20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92

30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00

összesen 65 100.00

7,3)01,000,10(23

245,3201,02ˆ

'1

0,

meme

me

me hf

fN

YeM

Medián becsléseMedián becslése


Módusz Módusz

Helyzeti középérték – tipikus

Diszkrét ismérv esetén a leggyakrabban előforduló ismérvérték

Folytonos ismérv esetén pedig a gyakorisági görbe maximumhelye

Érzéketlen a szélsőértékekre

35

1,00024összesen

0,08326

0,08325

0,12534

0,16843

0,20852

0,20851

0,12530

Relatív gyakoriság (gi)

Előfordulások gyakorisága (fi)

Leállások száma óránként

1,00024összesen

0,08326

0,08325

0,12534

0,16843

0,20852

0,20851

0,12530





Módusz becsléseMódusz becslése


-40.00≤x<-30.00 1 1 1.54 1.54

-30.01≤x<-20.00 0 1 0.00 1.54

-20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77

-10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92

0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30

10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30

20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92

30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00

összesen 65 100.00

1 momof ffdmofa

amo h

dd

dYoM

0,ˆ

1 momoa ffd

35

76,3)01,000,10()1323()1723(

)1723(01,0ˆ

oM



-40.00≤x<-30.00 1 1 1.54 1.54

-30.01≤x<-20.00 0 1 0.00 1.54

-20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77

-10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92

0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30

10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30

20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92

30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00

összesen 65 100.00 05,5)1001,0(2

1

2

1ˆ 10 ii YYoM

35Módusz becsléseMódusz becslése


Számtani Számtani átlagátlag

Leggyakrabban használt középérték

Meghatározható gyakorisági sorból is a gyakoriságokkal súlyozva

36

r

iiir

ii

r

iii

n

ii

xgf

xf

n

xx

1

1

11

FOLYTONOS példa

19,365

37,207

65

59,458,402,9...)02,11()17,0(54,7

65

65

1

i

ixx


SzámításaSzámítása

Diszkrét példa




0 3 0,125

1 5 0,208

2 5 0,208

3 4 0,168

4 3 0,125

5 2 0,083

6 2 0,083

összesen 24 1,000

54,224

262534435251306

0

6

0

ii

ii

i

f

xfx

36


PéldaPéldaosztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%]

-40.00≤x<-30.00 1 1 1.54 1.54

-30.01≤x<-20.00 0 1 0.00 1.54

-20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77

-10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92

0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30

10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30

20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92

30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00

összesen 65 100.0077,365

00,35200,25300,151300,523

65

)00,5(17)00,15(6)00,25(0)00,35(18

1

8

1

ii

iii

f

xfx

36


Harmonikus átlag Harmonikus átlag

Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad

Leíró statisztikai viszonyszámok és indexek számításánál

r

i ii

r

ii

n

i i

h

xf

f

x

nx

1

1

1

11

34 48 76 98 105

14,60

1051

981

761

481

341

51

1

n

i i

h

x

nx

37


Mértani átlagMértani átlag

Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad

Idősorok elemzése

i if fi

nig xxx

34 48 76 98 105

25,66105987648345 nig xx

37


Négyzetes átlagNégyzetes átlag

Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad

Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás

n

xx

2i

q

34 48 76 98 105

28,775

10598764834 222222

n

xx iq

38


Az átlagok egymáshoz való Az átlagok egymáshoz való viszonyaviszonya

10528,7725,6614,6034

maxmin

XXXXXX qgh

38


Választás a középértékek közöttVálasztás a középértékek között

Módusz, medián, számtani átlag?

Melyiket használjuk?

– Egyértelműen meghatározható-e?

– Az összes rendelkező adattól függ-e vagy sem?

– Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi

értékekre?

– Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes

helyettesíteni az alapadatokat?

38


Középértékek összehasonlítása

x Me MoxMeMo

39


Kvantilisek Xi/k

– i-edik k-ad rendű kvantilis: az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték i/k-ad része kisebb , (1-i/k)-ad része pedig nagyobb,

A rangsor si/k. tagja

A kvantilisek segítségével a növekvő sorrendbe állított adataink egyenlő gyakoriságú osztályokra bonthatóak

1/ Nk

is ki

39


A legfontosabb kvantilisek A legfontosabb kvantilisek elnevezése és jelöléseelnevezése és jelölése

k Elnevezés Általános jelölés

i lehetséges értéke

Lehetséges kvantilisek

2 Medián - 1 Me

4 Kvartilis Qi 1,2,3 Q1, Q2, Q3

5 Kvintilis Ki 1,2,3,4, K1, K2, K3, K4

10 Decilis Di 1,2,…,9 D1, D2, … D9

100 Percentilis Pi 1,2,…,99 P1, P2, …,P99

39


5,16)651(4

14/1 s

985,4))08,5(89,4(5,008,5)(4/14/14/1 14/11

sss XXsXQ

5,49)651(4

34/3 s

845,10)63,1006,11(5,063,10)(4/34/34/3 14/33

sss XXsXQ

6,6)651(10

110/1 s

667,12))85,12(02,11(1,085,12)(10/110/110/1 110/11

sss XXsXD

4,59)651(10

910/9 s

049,17)88,1657,18(1,088,16)(10/910/910/9 110/99

sss XXsXD

40


Ingadozásmutatók

terjedelem

átlagos abszolút különbség

átlagos abszolút eltérés

szórás

relatív szórás

momentumok

41


5,5112. 1.

20,2412. 1.

12,5112. 2.

2,9212. 1.

12,5311. 2.

-6,7511. 3.

2,0311. 1.

-0,9311. 1.

-4,8912. 1.

26,9110. 1.

-7,2610. 1.

6,4610. 1.

-6,0510. 2.

-5,0811. 1.

-12,979. 1.

6,349. 2.

18,579. 3.

1,819. 1.

16,8810. 3.

-36,068. 3.

-8,28. 1.

21,268. 1.

5,168. 1.

-8,459. 1.

3,457. 1.

15,997. 1.

-12,857. 1.

2,067. 3.

13,018. 1.

4,596. 1.10,636. 2.12,96. 2.12,396. 3.-4,796. 1.4,917. 1.

4,585. 3.-17,485. 4.3,795. 5.11,065. 2.5,445. 2.-8,246. 1.

9,024. 1.-1,214. 1.10,034. 1.7,674. 1.11,684. 3.-2,55. 2.

-2,373. 1.4,843. 2.-2,913. 3.9,753. 1.1,623. 1.-11,024. 5.

-13,632. 1.11,272. 2.2,442. 3.7,812. 1.4,052. 1.-0,173. 1.

3,161. 7.-7,221. 7.32,31. 6.35,261. 4.-18,981. 5.-7,542. 1.

BUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátum

5,5112. 1.

20,2412. 1.

12,5112. 2.

2,9212. 1.

12,5311. 2.

-6,7511. 3.

2,0311. 1.

-0,9311. 1.

-4,8912. 1.

26,9110. 1.

-7,2610. 1.

6,4610. 1.

-6,0510. 2.

-5,0811. 1.

-12,979. 1.

6,349. 2.

18,579. 3.

1,819. 1.

16,8810. 3.

-36,068. 3.

-8,28. 1.

21,268. 1.

5,168. 1.

-8,459. 1.

3,457. 1.

15,997. 1.

-12,857. 1.

2,067. 3.

13,018. 1.

4,596. 1.10,636. 2.12,96. 2.12,396. 3.-4,796. 1.4,917. 1.

4,585. 3.-17,485. 4.3,795. 5.11,065. 2.5,445. 2.-8,246. 1.

9,024. 1.-1,214. 1.10,034. 1.7,674. 1.11,684. 3.-2,55. 2.

-2,373. 1.4,843. 2.-2,913. 3.9,753. 1.1,623. 1.-11,024. 5.

-13,632. 1.11,272. 2.2,442. 3.7,812. 1.4,052. 1.-0,173. 1.

3,161. 7.-7,221. 7.32,31. 6.35,261. 4.-18,981. 5.-7,542. 1.

BUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátumBUX (%)

dátum

TerjedelemmutatókSzóródás terjedelme: annak az intervallumnak a teljes hossza, amelyen belül az ismérvértékek mozognak.

Interkvantilis terjedelemmutató

2,/1/)1(21

kXXR kkk

k

minmax XXR

41

32,71)06,36(26,35 R

83,15)985,4(845,102/1 R


Átlagos (abszolút) különbség

Minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek Xi-Xj különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag.

Azt mutatja, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól.

Mértékegysége ugyanaz, mint az alapadatoké.

Ha minden ismérvérték egyforma, azaz nincs szóródás, akkor G=0.

N

i

N

jji XX

NNG

1 1)1(

1

41


Példa: 5 hallgató Kvantitatív módszerek vizsgán elért pontszámainak átlagos abszolút különbsége

42

45 52 76 87 92

45 0 7 31 42 47

52 7 0 24 35 40

76 31 24 0 11 16

87 42 35 11 0 5

92 47 40 16 5 0

8,25)15(5

516

G


Átlagos abszolút eltérés

Az ismérvértékek számtani átlagtól vett

eltéréseinek abszolút értékéből számított számtani átlaga.

XXd ii

Az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.

42

r

ii

r

iii

n

ii

f

df

n

d

1

11


Példa42

93,865

19,359,4...19,317,019,354,7

BUX-indexes példánk átlagos abszolút eltérése:

Osztályközös gyakorisági sorból:

39,965

19,335219,3253...19,315619,325019,3351


Tapasztalati szórás

abszolút érték helyett négyzetre emelés és gyökvonás

n

d

n

XXs

n

ii

n

ii

1

2

1

2

r

ii

r

iii

r

ii

r

iii

f

df

f

XXfs

1

1

2

1

1

2

az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga– átlagos hiba

szórásnégyzet: variancia

43


Korrigált tapasztalati szórás

11

1

2

1

2

n

d

n

xxs

n

ii

n

ii

43


Példa

Egyedi adatokból számolva:

05,12

64

19,359,419,358,4...19,317,019,354,7 2222

s

Osztályközös gyakorisági sorból becsülve:

35,1265

)19,335(2)19,325(3...)19,325(60)19,335(1 2222

s

43


Relatív szórás

pozitív értékű ismérvekre!

x

sV

az ismérvértékek átlagtól vett átlagos relatív eltérése

44


Alakmutatók

A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el a

normális eloszlástól

Eltérés lehet:

– Bal ill. jobb oldali asszimetria

– Csúcsosság vagy lapultság

44


Pearson-féle mutatószám

15,005,12

)19,379,3(3)(3

s

MexP

Csúcsossági mutató

266,0432,59

83,15

))667,12(049,17(2

)985,4(845,10

)(2 19

13

DD

QQK

45


Osztályhatárok fi fi' gi [%] gi' [%]

99.7≤x<100.2 3 3 6,00 6,00

100.2≤x<100.7 8 11 16,00 22,00

100.7≤x<101.2 8 19 16,00 38,00

101.2≤x<101.7 17 36 34,00 72,00

101.7≤x<102.2 9 45 18,00 90,00

102.2≤x<102.7 3 48 6,00 96,00

102.7≤x<103.2 1 49 2,00 98,00

103.2≤x<=103.7 1 50 2,00 100,00

50 100,00

1. NAP

Osztályhatárok határok fi fi' gi [%] gi' [%]

98.1≤x<98.6 98,1 2 2 4,00 4,00

98.6≤x<99.1 98,6 3 5 6,00 10,00

99.1≤x<99.6 99,1 5 10 10,00 20,00

99.6≤x<100.1 99,6 10 20 20,00 40,00

100.1≤x<100.6 100,1 20 40 40,00 80,00

100.6≤x<101.1 100,6 4 44 8,00 88,00

101.1≤x<101.6 101,1 4 48 8,00 96,00

101.6≤x<102.1 101,6 1 49 2,00 98,00

102.1≤x<=102.6 102,1 1 50 2,00 100,00

Összesen: 50 100,00

2. NAP


Gyakorisági hisztogram I.

024681012141618

99,7 100,2 100,7 101,2 101,7 102,2 102,7 103,2

Osztályok

Gya

kori

ság

(d

b)

Összegzett relatív gyakoriság hisztogram I.

0

20

40

60

80

100

120

99,7 100,2 100,7 101,2 101,7 102,2 102,7 103,2

Határok

Öss

zeg

zett

rel

atív

gya

k. (

%)

1. NAP


KUMULÁLT RELATÍV



Gyakorisági hisztogram II.

0

5

10

15

20

25

98,1 98,6 99,1 99,6 100,1 100,6 101,1 101,6 102,1

Osztályok

Gya

kori

ság

(d

b)

Összegzett relatív gyakoriság hisztogram II.

0

20

40

60

80

100

120

98,1 98,6 99,1 99,6 100,1 100,6 101,1 101,6 102,1

Határok

Öss

egze

tt r

elat

ív g

yak.

(%

)

2. NAP


KUMULÁLT RELATÍV



99,7 100,6 101,2 101,4 101,8

100,1 100,7 101,2 101,4 101,9

100,1 100,8 101,2 101,4 102,1

100,2 100,9 101,2 101,4 102,1

100,2 100,9 101,3 101,4 102,1

100,4 101,0 101,3 101,5 102,2

100,5 101,0 101,3 101,7 102,3

100,6 101,1 101,3 101,8 102,4

100,6 101,1 101,3 101,8 102,8

100,6 101,2 101,4 101,8 103,3

Középérték mutatók

27,10150

3,1038,102...1,1001,1007,991

n

xx

n

ii

2745,10150

3,1038,102...1,1007,99 22222

n

xx iq

2695,1013,1038,102...1,1007,9950 nig xx

Medián: (101,3+101,3)/2=101,3

26,101

3,1031

8,1021

...1,100

17,99

150

1

1

n

i i

h

x

nx


99,7 100,6 101,2 101,4 101,8

100,1 100,7 101,2 101,4 101,9

100,1 100,8 101,2 101,4 102,1

100,2 100,9 101,2 101,4 102,1

100,2 100,9 101,3 101,4 102,1

100,4 101,0 101,3 101,5 102,2

100,5 101,0 101,3 101,7 102,3

100,6 101,1 101,3 101,8 102,4

100,6 101,1 101,3 101,8 102,8

100,6 101,2 101,4 101,8 103,3

Ingadozás mutatók

6,37,993,103minmax XXR

%7,027,101

71,0

Y

sV

5371,027,1013,10327,1018,102...

27,1011,10027,1017,99

50

11

1

N

ii XX

N

71,0

50

)27,1013,103(...)27,1011,100()27,1017,99( 2221

2

N

XXs

N

ii

7183,0

150

)27,1013,103(...)27,1011,100()27,1017,99(

1

2221

2

N

YYs

N

ii


A tűréshatárokon kívül esés valószínűsége

99,7 100,6 101,2 101,4 101,8

100,1 100,7 101,2 101,4 101,9

100,1 100,8 101,2 101,4 102,1

100,2 100,9 101,2 101,4 102,1

100,2 100,9 101,3 101,4 102,1

100,4 101,0 101,3 101,5 102,2

100,5 101,0 101,3 101,7 102,3

100,6 101,1 101,3 101,8 102,4

100,6 101,1 101,3 101,8 102,8

100,6 101,2 101,4 101,8 103,3

%1650

8)102(

0)98(

P

P


Középérték mutatók

01,10050

2,1026,101...5,981,98 22222

n

xx iq

092,1002,1026,101...5,981,9850 nig xx

Medián: (100,2+100,2)/2=100,2

09,100

2,1021

6,1011

...5,98

11,98

150

1

1

n

i i

h

x

nx

98,1 99,6 100,1 100,3 100,7

98,5 99,6 100,1 100,3 100,7

98,6 99,6 100,2 100,3 100,8

98,7 99,7 100,2 100,4 100,8

99,0 99,7 100,2 100,4 101,2

99,1 99,8 100,2 100,4 101,2

99,2 99,8 100,2 100,4 101,3

99,3 99,8 100,2 100,5 101,4

99,4 99,9 100,3 100,5 101,6

99,5 100,0 100,3 100,5 102,2

1,100096,10050

2,1026,101...6,985,981,981

n

xx

n

ii


Ingadozás mutatók

1,41,982,102minmax XXR

%79,01,100

796,0

Y

sV

796,0

50

)1,1002,102(...)1,1005,98()1,1001,98( 2221

2

N

XXs

N

ii

841,0

150

)1,1002,102(...)1,1005,98()1,1001,98(

1

2221

2

N

YYs

N

ii

98,1 99,6 100,1 100,3 100,7

98,5 99,6 100,1 100,3 100,7

98,6 99,6 100,2 100,3 100,8

98,7 99,7 100,2 100,4 100,8

99,0 99,7 100,2 100,4 101,2

99,1 99,8 100,2 100,4 101,2

99,2 99,8 100,2 100,4 101,3

99,3 99,8 100,2 100,5 101,4

99,4 99,9 100,3 100,5 101,6

99,5 100,0 100,3 100,5 102,2

6,01,1002,1021,1006,101...

1,1005,981,1001,98

50

11

1

N

ii XX

N


A tűréshatárokon kívül esés valószínűsége

%250

1)102(

0)98(

P

P

98,1 99,6 100,1 100,3 100,7

98,5 99,6 100,1 100,3 100,7

98,6 99,6 100,2 100,3 100,8

98,7 99,7 100,2 100,4 100,8

99,0 99,7 100,2 100,4 101,2

99,1 99,8 100,2 100,4 101,2

99,2 99,8 100,2 100,4 101,3

99,3 99,8 100,2 100,5 101,4

99,4 99,9 100,3 100,5 101,6

99,5 100,0 100,3 100,5 102,2

Kvantitatív módszerek

Documents

Transcript of Kvantitatív módszerek