KVADRATICKÁ FUNKCIA
description
Transcript of KVADRATICKÁ FUNKCIA
![Page 1: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/1.jpg)
KVADRATICKÁ FUNKCIA
Mgr. Jozef Vozár 2007
![Page 2: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/2.jpg)
Definícia
Kvadratickou funkciou budeme nazývať každú funkciu určenú vzťahom:
f: y = ax2 + bx + c
kde a,b,c sú z R a okrem toho a<>0.
Grafom kvadratickej funkcie je parabola.
![Page 3: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/3.jpg)
Tvary kvadratickej funkcie
f: y = x2
x -3 -2 -1 0 1 2
x2 9 4 1 0 1 2
![Page 4: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/4.jpg)
Graf f: y = x2
0
12
3
45
6
7
89
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
![Page 5: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/5.jpg)
Funkcia f: y = ax2
a = 2
![Page 6: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/6.jpg)
Funkcia f: y = ax2
a = 2
a = 3
![Page 7: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/7.jpg)
Funkcia f: y = ax2
a = 2
a = 3
a = 4
![Page 8: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/8.jpg)
Funkcia f: y = ax2
a = - 2
![Page 9: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/9.jpg)
Funkcia f: y = ax2
a = - 2
a = - 3
![Page 10: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/10.jpg)
Funkcia f: y = ax2
a = - 2
a = - 3
a = - 4
![Page 11: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/11.jpg)
Graf f: y = (x – B)2
A = 2
B = 1
![Page 12: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/12.jpg)
Graf f: y = A(x – B)2
A = 2
B = 1
B = -2
![Page 13: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/13.jpg)
Graf f: y = A(x – B)2 + C
B = -2
C = - 3
![Page 14: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/14.jpg)
Vplyv koeficientov na tvar grafu
f: y = 2( x + 2)2 – 3
f: y = A( x + B)2 + C
A – má vplyv na „rýchlosť“ rastu funkcie
B - posúva graf po osi x ( + vľavo, - vpravo)
C - posúva graf po osi y ( + hore, - dole)
![Page 15: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/15.jpg)
Vplyv koeficientov na tvar grafu
![Page 16: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/16.jpg)
Úprava na úplný štvorec
Úplným štvorcom voláme výraz
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
alebo
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
![Page 17: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/17.jpg)
Úprava na úplný štvorec - príklady
x2 – 4x + 4
x2 – 2.2x + 4 = (x – 2)2
x2 – 5x + 9
x2 – 2.2,5x + 2,52 - 6,25 + 9 =
= (x – 2,5)2 +2,75
![Page 18: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/18.jpg)
Úprava na úplný štvorec - príklady
2x2 – 5x +12
2(x2 - 5/2x + 6) =
=2(x – 2.5/4x + 25/16 – 25/16 + 6) =
2((x – 5/4)2 – 25/16 + 96/16)=
= 2 (x – 5/4)2 – 71/8
![Page 19: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/19.jpg)
Úprava na úplný štvorec - všeobecneax2 + bx + c
a(x2 + b/ax + c/a)=
= a(x2 + 2.b/2a.x + (b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a)=
a((x + b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a))=
= a((x + b/2a)2 + (b2 -4ac)/4a2)=
= a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a
![Page 20: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/20.jpg)
Diskriminant
Výraz:
D = b2 - 4ac
nazývame diskriminat
( z lat. discriminare – rozlišovať)
![Page 21: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/21.jpg)
Využitie pri kvadratickej funkcii
ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a
ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a
Takto je možné nakresliť graf kvadratickej funkcie
f: y = ax2 + bx + c
![Page 22: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/22.jpg)
Nakresli graf funkcie
f: y = 3x2 + 4x + 5
f: y = 3(x + 2/3)2 + 11/3
A = 3
B = 2/3 - doľava
C = 11/3 - hore
![Page 23: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/23.jpg)
Základná fcia
Základná fcia f:y=x2
![Page 24: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/24.jpg)
Posunutie po osiach
![Page 25: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/25.jpg)
Vlastnosti
Na grafe sa dá rozoznať výrazný bod – extrém funkcie ak a> 0 - minimum
a< 0 – maximum
Hodnotu výrazu
ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a
určuje výraz v zátvorke.
Takže ak a>0 je najmenšia hodnota výrazu D/4a a to je vtedy ak x = -b/2a.
![Page 26: KVADRATICKÁ FUNKCIA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061508/568153c6550346895dc1c0be/html5/thumbnails/26.jpg)
Vrchol paraboly
Ak a<0 potom najväčšia hodnota výrazu je ak x = -b/2a a je D/4a.
Toto sú vlastne extrémy.
Bod v ktorom je extrém sa nazýva vrchol paraboly. Podľa predchádzajúcich výpočtov má teda súradnice:
V[-b/2a ; D/4a] = [-b/2a ; (b2 - 4ac) /4a]