A SAT probléma különböző A SAT probléma különböző reprezentációinak vizsgálata reprezentációinak vizsgálata

oktatási szempontbóloktatási szempontból(újratöltve)(újratöltve)

Az általánosítás fegyvere a Az általánosítás fegyvere a kutatásbankutatásban

Kusper Gábor, gkusper@aries.ektf.huKusper Gábor, gkusper@aries.ektf.hu

Kovásznai Gergely, Kovásznai Gergely, kovasz@aries.ektf.hukovasz@aries.ektf.hu

Bíró Csaba, birocs@aries.ektf.hu Bíró Csaba, birocs@aries.ektf.hu

ÁttekintésÁttekintés

A SAT problémaA SAT probléma

A SAT probléma helye az oktatásbanA SAT probléma helye az oktatásban

Reprezentációk előnyei / hátrányaiReprezentációk előnyei / hátrányai

ÖsszefoglalásÖsszefoglalás

A SAT problémaA SAT probléma

A logikai kielégíthetőség (A logikai kielégíthetőség (SATSATisfiabilityisfiability) ) problémája alatt azt értjük, hogy problémája alatt azt értjük, hogy valamely 0.-rendű logikai formula valamely 0.-rendű logikai formula atomjaihoz olyan atomjaihoz olyan hozzárendelést hozzárendelést keresünkkeresünk, amely mellett a formula igaz., amely mellett a formula igaz.

SAT SAT problémáról beszélünk, ha a problémáról beszélünk, ha a formula speciálisan konjunktív normál formula speciálisan konjunktív normál formában (KNF) vanformában (KNF) van..

Konjunktív Normál FormaKonjunktív Normál Forma ( (KNFKNF))

( a c ) ( b c ) (¬a b ¬c )

{ { a,c }, { b,c }, {¬ab, ¬c } }

+ x +

x + +

- + -

(a + c) * (b + c) * (¬a + b + ¬c) >= 1

A SAT probléma helye az A SAT probléma helye az oktatásbanoktatásban

SzámításelméletSzámításelmélet Mesterséges IntelligenciaMesterséges Intelligencia Informatika logikai alapjaiInformatika logikai alapjai

SzámításelméletSzámításelmélet

A A SAT SAT NPNP--nehéz nehéz [Cook 1971][Cook 1971]::

A A SAT SAT NPNP--teljes:teljes:– Azaz minden Azaz minden NPNP--nehéz probléma nehéz probléma

visszavezethető a SAT problémára.visszavezethető a SAT problémára.

PP = = NPNP ??? ???

Mesterséges IntelligenciaMesterséges Intelligencia

SATSAT: tétel bizonyítás: tétel bizonyítás cáfolat cáfolat segítségévelsegítségével::– LegyenLegyen TT (Tudás bázis) az igaznak (Tudás bázis) az igaznak

feltételezet állítások halmaza.feltételezet állítások halmaza.– A A CC (Cél) állítás (Cél) állítás akkor és csak akkor akkor és csak akkor

bizonyítható,bizonyítható,– haha TT { {CC} } kielégíthetetlenkielégíthetetlen..

Informatika logikai alapjaiInformatika logikai alapjai

Konjunktív Normál FormaKonjunktív Normál Forma ( (KNFKNF))::

( a c ) ( b c ) (¬a b ¬c )

{ { a,c }, { b,c }, {¬ab, ¬c } }

+ x +

x + +

- + -

(a + c) * (b + c) * (¬a + b + ¬c) >= 1

ReprezentációkReprezentációkelőnyei / hátrányaielőnyei / hátrányai

LogikaiLogikaiHalmazelméleHalmazelméletitiAlgebraiAlgebraiLiterál MátrixLiterál Mátrix

( a c ) ( b c ) (¬a b ¬c )

{ { a,c }, { b,c }, {¬ab, ¬c } }

+ x +

x + +

- + -

(a + c) * (b + c) * (¬a + b + ¬c) >= 0

LogikaiLogikai

Előnyei:Előnyei:– Szemantikája jól definiált.Szemantikája jól definiált.– Minden más visszavezethető erre.Minden más visszavezethető erre.

Hátrányai:Hátrányai:– Sok felesleges jel.Sok felesleges jel.– 1 dimenziós (1D).1 dimenziós (1D).

Definíció (tiszta literál):Definíció (tiszta literál):Az x literál tiszta,Az x literál tiszta,ha ha ¬¬x nem fordul elő a formulában.x nem fordul elő a formulában.

( a c ) ( b c ) (¬a b ¬c )

HalmazelméletiHalmazelméleti

Előnyei:Előnyei:– Tételek, definíciók kimondására nagyon Tételek, definíciók kimondására nagyon

jó!jó! Hátrányai:Hátrányai:

– Nem intuitív.Nem intuitív.– 1 dimenziós (1D).1 dimenziós (1D).

Definíció (tiszta literál):Definíció (tiszta literál):Az x literál tiszta az F formulában, Az x literál tiszta az F formulában, haha

{ { a,c }, { b,c }, {¬ab, ¬c } }

)( CxFCC

AlgebraiAlgebrai

Előnyei:Előnyei:– Könnyen általánosítható:Könnyen általánosítható: – (a + c) * (b + c) * (¬a + b + ¬c) >= n

Hátrányai:Hátrányai:– Sok felesleges jel.Sok felesleges jel.– 1 dimenziós (1D).1 dimenziós (1D).

Definíció (tiszta literál):Definíció (tiszta literál):Szum(x) = Db(x) v Szum(Szum(x) = Db(x) v Szum(¬¬x) = x) = Db(x)Db(x)

(a + c) * (b + c) * (¬a + b + ¬c) >= 1

Literál MátrixLiterál Mátrix

Előnyei:Előnyei:– Nagyon intuitív, példákhoz nagyon jó!Nagyon intuitív, példákhoz nagyon jó!– 2 dimenziós (2D).2 dimenziós (2D).

Hátrányai:Hátrányai:– Változó név információ nem látható.Változó név információ nem látható.

Definíció (tiszta literál):Definíció (tiszta literál):Az n. oszlop tiszta, ha csak (Az n. oszlop tiszta, ha csak (x,+x,+) ) vagy csak (vagy csak (x,-x,-) jeleket tartalmaz.) jeleket tartalmaz.

+ x +

x + +

- + -

Definíciók újraDefiníciók újra

Az x literál tiszta,Az x literál tiszta,ha ha ¬¬x nem fordul elő a formulában.x nem fordul elő a formulában.

Az x literál tiszta az F formulában, haAz x literál tiszta az F formulában, ha

Szum(x) = Db(x) v Szum(Szum(x) = Db(x) v Szum(¬¬x) = Db(x)x) = Db(x) Az n. oszlop tiszta, ha csak (Az n. oszlop tiszta, ha csak (x,+x,+) vagy ) vagy

csak (csak (x,-x,-) jeleket tartalmaz.) jeleket tartalmaz.

)( CxFCC

3D-s reprezentációk3D-s reprezentációk

Unit propagáció alapúUnit propagáció alapú

+ x +

x + +

- + -x + +

x + -

klóz

váltózó

literál

unit prop. + x x -szal

x x +

x + +

unit prop. - x x -szal

+ x +

unit prop. x + x -szal…

Rezolúció alapúRezolúció alapú

+ x +

x + +

- + -+ x +

x + +

- + -

klóz

váltózó

klóz

rezolúció + x + -szal+ x +

x + +

- + x rezolúció x + + -szal

2-Literal 2-Literal reprezentációreprezentációMulti Domain Logic and its Applications to SATMulti Domain Logic and its Applications to SAT

Minden 2 változósMinden 2 változós logikai fg. kódolunk:logikai fg. kódolunk: A reprezentációA reprezentáció::

00000000 FALSEFALSE 10001000 aabb 00010001 aabb 10011001 aabb 00100010 aabb 10101010 bb 00110011 aa 10111011 aabb 01000100 aabb 11001100 aa 01010101 bb 11011101 aabb 01100110 aabb 11101110 aabb 01110111 aabb 11111111 TRUETRUE

a b0 1 00 0 11 0 01 1 1

Rezolúció alapúRezolúció alapú

0 0

0 0

1 1

klóz

változó

bit

+ x + x

0011 0011

x + + x

0101 0011

- + - x

1101 11000 0

1 0

1 1

1 1

0 1

0 0

1 1

1 1

1 0

ÖsszefoglalásÖsszefoglalásHa valahol konstans értéket látunk, Ha valahol konstans értéket látunk,

ott általánosítani lehet!ott általánosítani lehet!

Az általánosítás fontos kutatási Az általánosítás fontos kutatási eredményekhez vezethet!eredményekhez vezethet!

Köszönjük a figyelmet!Köszönjük a figyelmet!