Kurikulum Matematika 1, Kalkulus, dan Trigonometri · PDF filepembelajaran matematika SMA ......
Transcript of Kurikulum Matematika 1, Kalkulus, dan Trigonometri · PDF filepembelajaran matematika SMA ......
KELOMPOK KOMPETENSI G
Kurikulum Matematika 1,
Kalkulus, dan
Trigonometri
KataSambutan
Peran guru profesional dalam proses pembelajaran sangat penting sebagai
kunci keberhasilan belajar siswa. Guru profesional adalah guru yang
kompeten membangun proses pembelajaran yang baik sehingga dapat
menghasilkan pendidikan yang berkualitas. Hal tersebut menjadikan guru
sebagaikomponenyangmenjadifokusperhatianpemerintahpusatmaupun
pemerintah daerah dalam peningkatan mutu pendidikan terutama
menyangkutkompetensiguru.
Pengembangan profesionalitas guru melalui program Guru Pembelajar
merupakan upaya peningkatan kompetensi untuk semua guru. Sejalan
denganhal tersebut,pemetaankompetensigurutelahdilakukanmelaluiuji
kompetensiguru(UKG)untukkompetensipedagogikprofesionalpadaakhir
tahun 2015. Hasil UKG menunjukkan peta kekuatan dan kelemahan
kompetensi guru dalam penguasaan pengetahuan. Peta kompetensi guru
tersebutdikelompokkanmenjadi10(sepuluh)kelompokkompetensi.Tindak
lanjutpelaksanaanUKGdiwujudkandalambentukpelatihangurupaskaUKG
melalui program Guru Pembelajar. Tujuannya untuk meningkatkan
kompetensi guru sebagai agen perubahan dan sumber belajar utama bagi
peserta didik. Program Guru Pembelajar dilaksanakan melalui pola tatap
muka, daring penuh (online), dan daring kombinasi (blended) tatap muka
denganonline.
PusatPengembangandanPemberdayaanPendidikdanTenagaKependidikan
(PPPPTK),LembagaPengembangandanPemberdayaanPendidikdanTenaga
Kependidikan Kelautan Perikanan Teknologi Informasi dan Komunikasi
(LP3TK KPTK) dan Lembaga Pengembangan dan Pemberdayaan Kepala
Sekolah (LP2KS) merupakan Unit Pelaksanana Teknis di lingkungan
DirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikanyangbertanggungjawab
dalam mengembangkan perangkat dan melaksanakan peningkatan
kompetensi guru sesuai bidangnya. Adapun perangkat pembelajaran yang
dikembangkantersebutadalahmoduluntukprogramGuruPembelajartatap
muka dan Guru Pembelajar online untuk semua mata pelajaran dan
kelompok kompetensi. Dengan modul ini diharapkan program Guru
Pembelajarmemberikan sumbangan yang sangat besar dalam peningkatan
kualitaskompetensiguru.
MarikitasukseskanprogramGuruPembelajar iniuntukmewujudkanGuru
MuliaKarenaKarya.
Jakarta,Maret2016
GURUPEMBELAJAR
MODUL
MATEMATIKASMA
KELOMPOKKOMPETENSIG
PEDAGOGIK
PENGEMBANGANKURIKULUM
MATEMATIKAI
DIREKTORATJENDERALGURUDANTENAGAKEPENDIDIKAN
KEMENTERIANPENDIDIKANDANKEBUDAYAAN
2016
Penulis:Pujiadi,S.Pd.,M.Pd.,M.Kom.,08156501190,[email protected]:Drs.AminSuyitno,M.Pd.,085865168227,[email protected]:DennySaputra,S.Kom.085227133999,[email protected]©2016DirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan.HakCiptaDilindungiUndang‐UndangDilarangmengcopysebagianataukeseluruhanisibukuiniuntukkepentingankomersialtanpaizintertulisdariKementerianPendidikanKebudayaan.
iii
KataPengantar
Peningkatan kualitas pendidikan saat ini menjadi prioritas, baik oleh pemerintah
pusatmaupundaerah. Salah satukomponenyangmenjadi fokusperhatianadalah
peningkatankompetensiguru.Perangurudalampembelajarandikelasmerupakan
kunci keberhasilan untuk mendukung keberhasilan belajar siswa. Guru yang
profesionaldituntutmampumembangunprosespembelajaranyangbaik sehingga
dapatmenghasilkanoutputdanoutcomependidikanyangberkualitas.
Dalamrangkamemetakankompetensiguru,telahdilaksanakanUjiKompetensiGuru
(UKG) Tahun 2015. UKG tersebut dilaksanakan bagi semua guru, baik yang sudah
bersertifikat maupun belum bersertifikat untuk memperoleh gambaran objektif
kompetensi guru, baik profesional maupun pedagogik. Hasil UKG kemudian
ditindaklanjutimelaluiProgramGuruPembelajarsehinggadiharapkankompetensi
guruyangmasihbelumoptimaldapatditingkatkan.
PPPPTK Matematika sebagai Unit Pelaksana Teknis Kementerian Pendidikan dan
KebudayaandibawahpembinaanDirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan
mendapat tugas untuk menyusun modul guna mendukung pelaksanaan Guru
Pembelajar. Modul ini diharapkan dapatmenjadi sumber belajar bagi guru dalam
meningkatkankompetensinyasehinggamampumengambiltanggungjawabprofesi
dengansebaik‐baiknya.
Yogyakarta,Maret2016
KepalaPPPPTKMatematika,
Dr.Dra.DaswatiaAstuty,M.Pd.
NIP.196002241985032001
KataPengantar
iv
v
DaftarIsi
DaftarIsi........................................................................................................................................................v
DaftarTabel..............................................................................................................................................vii
Pendahuluan...............................................................................................................................................1
A. LatarBelakang............................................................................................................................1
B. Tujuan.............................................................................................................................................2
C. PetaKompetensi........................................................................................................................2
D. RuangLingkup............................................................................................................................2
E. SaranCaraPenggunaanModul............................................................................................3
KegiatanPembelajaran1:.....................................................................................................................5
DesainPembelajaranMatematikaSMA..........................................................................................5
A. Tujuan.............................................................................................................................................5
B. IndikatorPencapaianKompetensi.....................................................................................5
C. UraianMateri...............................................................................................................................5
D. AktifitasPembelajaran..........................................................................................................13
E. Latihan/Kasus/Tugas............................................................................................................14
F. Rangkuman.................................................................................................................................14
G. UmpanBalikdanTindakLanjut........................................................................................15
KegiatanPembelajaran2....................................................................................................................17
PengembanganRencanaPelaksanaanPembelajaran(RPP)MatematikaSMA............17
A. Tujuan...........................................................................................................................................17
B. IndikatorPencapaianKompetensi...................................................................................17
C. UraianMateri.............................................................................................................................17
1. Konsep,Prinsip,Komponen,danLangkahPenyusunanRPP...........................17
2. MekanismePengembanganRPP...................................................................................22
D. AktifitasPembelajaran..........................................................................................................33
E. Latihan/Kasus/Tugas............................................................................................................34
F. Rangkuman.................................................................................................................................38
G. UmpanBalikdanTindakLanjut........................................................................................39
DaftarIsi
vi
Evaluasi......................................................................................................................................................41
Penutup......................................................................................................................................................45
Glosarium...................................................................................................................................................47
DaftarPustaka.........................................................................................................................................49
Lampiran....................................................................................................................................................51
vii
DaftarTabel
Tabel1LangkahPembelajaran..........................................................................................................7
Tabel2Ciripembelajaranberpusatsiswa...................................................................................12
DaftarTabel
viii
1
Pendahuluan
A. LatarBelakang
PenyelenggaraanpendidikansebagaimanayangdiamanatkandalamUndang‐undang
Nomor 20 Tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional diharapkan dapat
mewujudkanprosesberkembangnyakualitaspribadipesertadidiksebagaigenerasi
penerusbangsadimasadepan,yangdiyakiniakanmenjadifaktordeterminanbagi
tumbuhkembangnyabangsadannegaraIndonesiasepanjangzaman.
StandarProsesPendidikanDasardanMenengahyangtertuangdalamPermendikbud
nomor 65 tahun 2013 menyatakan bahwa proses pembelajaran pada satuan
pendidikan diselenggarakan secara interaktif, inspiratif, menyenangkan,
menantang, memotivasi peserta didik untuk berpartisipasi aktif, serta
memberikanruangyangcukupbagiprakarsa,kreativitas,dankemandiriansesuai
dengan bakat, minat, dan perkembangan fisik serta psikologis peserta didik
(Kemdikbud,2013‐b).
Dengan demikian kompetensi guru merupakan faktor yang sangat penting bagi
keberhasilanupayameningkatkanmutupendidikankhususnyayangterkaitdengan
pembelajaran.Guruharusmenjadipendidikprofesionalyangmemilikikompetensi
sebagai agen pembelajaran. Untuk standar kompetensi guru itu sendiri meliputi
kompetensi pedagogi, kepribadian, profesional dan sosial. Standar ini telah
ditetapkan dalam Peraturan Pemerintah nomor 19 Tahun 2005 tentang Standar
NasionalPendidikan,yangdirevisimenjadiPeraturanPemerintahnomor32tahun
2013. Secara lebih teknis kompetensi ini juga telah diuraikan dalam Peraturan
Menteri Pendidikan Nasional nomor 16 tahun 2007 tentang Standar Kualifikasi
AkademikdanKompetensiGuru.
Modul inimerupakanbagiandariupayapeningkatankompetensiguru,khususnya
untuk kompetensi pedagogi dan kompetensi profesional. Modul ini digunakan
sebagaibahanpembelajaranuntukguru‐gurumatematikaSMAyangmengikutidiklat
PKB,khususnyaterkaitdengankompetensipengembangankurikulummatematika.
Pendahuluan
2
B. Tujuan
Modul ini disusun dalam rangka memfasilitasi guru‐guru matematika SMA pada
DiklatPKB agardapatmeningkatkankompetensinyakhususnyadalammendesain
pembelajaran matematika SMA, dan mengembangkan RPP, dengan baik dan
terstandar.
C. PetaKompetensi
D. RuangLingkup
Materi yang termuat pada modul ini sesuai dengan kebutuhan peningkatan
kompetensi guru khususnya yang terkait dengan pengembangan kurikulum
matematika. Secara garis besar ruang lingkupmateri yangdiuraikandalam setiap
kegiatanpembelajaranadalahsebagaiberikut.
Kegiatan Pembelajaran 1 yakni tentang Desain Pembelajaran Matematika SMA,
menguraikan tentang: (1) Kegiatan Pembelajaran Matematika SMA, dan (2)
Pengalaman Belajar Matematika SMA. Kegiatan Pembelajaran 2, yakni tentang
Pengembangan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP), terdiri dari dua uraian
materiyakni:(1)Konsep,Prinsip,Komponen,danLangkahPenyusunanRPP,dan(2)
MekanismePengembanganRPP.
ModulMatematikaSMA
3
E. SaranCaraPenggunaanModul
1. Moduliniterbagiatasduakegiatanpembelajaran,yaknikegiatanpembelajaran
1dankegiatanpembelajaran2.Masing‐masingkegiatanpembelajaranmemuat:
Tujuan, Indikator Pencapaian Kompetensi, Uraian Materi, Aktivitas
Pembelajaran, Latihan/ Kasus /Tugas, Rangkuman, Umpan Balik dan Tindak
Lanjut,danKunciJawaban.
2. Kajilah uraian materi dengan seksama sebelum pembelajaran dimulai, dan
selamapembelajaranberlangsung.
3. Ikutiaktivitaspembelajaranyangtelahdiuraiakandengansungguh‐sunguhdan
semangat,baiksecaraindividumaupunkelompok.
4. Kerjakan setiap butir soal latihan yang telah disediakan dengan benar dan
cermat, untuk mengukur tingkat penguasaan Anda pada setiap KB, dan
cocokkanlah jawabanAndadenganKunci Jawabanyang terdapatpadabagian
akhirKB.
5. Upayakan untuk selalu berkomunikasi dan bertukar fikiran dengan sesama
pesertadiklatmaupunfasilitator,terlebihbilaAndamengalamikesulitanterkait
materipembelajaran.
6. Kerjakansoal‐soalevaluasiyangtelahdisediakanpadabagianakhirmodulini.
7. Bila Anda menghendaki penjelasan untuk memudahkan pemahaman Anda
tentangkata‐kata/istilah/fraseyangberhubungandenganuraiannaskah,yang
Andaanggapsulit/sukardimengerti,makaAndadapatmelihatglosariumyang
tersediadibagianakhirmodulini.
8. Anda disarankan juga untukmembaca referensi yangmenjadi rujukan utama
penyusunanmodulini.
Pendahuluan
4
5
KegiatanPembelajaran1:
DesainPembelajaranMatematikaSMA
A. Tujuan
Melalui kegiatanpembelajaran ini, dapatmeningkatkanwawasandan kompetensi
guru khususnya dalam memahami tentang bagaimanakah mendesain kegiatan
pembelajaranmatematikaSMA,danbagaimanakahmerancangpengalamanbelajar
matematikabagisiswaSMA.
B. IndikatorPencapaianKompetensi
Setelahmengikutikegiatanpembelajaranini,pesertadiharapkandapatmenjelaskan
tentang:
1. kegiatanpembelajaranmatematikaSMAyangmenumbuhkankerjasama
2. pengalamanbelajarmatematikaSMAuntukmeraihtujuan
C. UraianMateri
1. KegiatanPembelajaranMatematikaSMA
Pembelajaran matematika di SMA, dirancang dengan titik tolak pencapaian
kompetensi pengetahuaan yang rumuskan dalam KD 3 terintegrasi dengan
pencapaiankompetensiketerampilanyangdirumuskandalamKD4.Pemilihan
materi ajar dan proses pembelajaran dirancang dengan mempertimbangkan
pencapaian/berkembangkompetensisikapyangdirumuskandalamKD1dan
KD2.Pencapaian/perkembangansikapyangdirumuskandalamKD1danKD2
merupakan dampak dari pembelajaran untuk mencapai kompetensi yang
dirumuskandalamKD3danKD4.
Perancanganpembelajarandilakukandenganpolapikirberikut:(1)Pemilihan
pasangan KD 3 dan KD 4 yang bersesuaian, yaitu pemilihan pasangan
pengetahuandanketerampilanyangbersesuaian.MisalnyaKD3.1danKD4.1
adalah pasangan pengetahuan dan keterampilan yang bersesuaian. (2)
Selanjutnyamenjabarkanmateri dan proses pembelajaran agar peserta didik
mencapai kompetensi yang dinyatakan dalam KD 3.1 dan KD 4.1 dengan
KegiatanPembelajaran1
6
mempertimbangkan pencapaian/ perkembangan sikap peserta didik seperti
yang dinyatakan dalam KD 1 dan KD 2. Karakteristik materi pembelajaran
matematikadanprosespencapaiankompetesiyangdinyatakandalamKD3dan
KD4 diarahkanuntukpencapaian/perkembangankompetensisikappeserta
didiksepertiyangdinyatakaandalamKD1danKD2,misalnyasikaptelitidalam
menggambargrafikfungsieksponendanlogaritma.Ketelitiandiperlukanketika
membuatskalayangproporsinaldalammenggambargrafikfungsieksponendan
logaritma.
Pada proses pembelajaran langsung di mana peserta didik mengembangkan
pengetahuan, kemampuan berpikir dan keterampilan psikomotorik melalui
interaksilangsungdengansumberbelajaryangdirancangdalamsilabusdanRPP
berupakegiatan‐kegiatanpembelajaran.Dalampembelajaranlangsungtersebut
pesertadidikmelakukankegiatanbelajarmengamatikejadian,peristwa,situasi,
pola, fenomena yang terkait dengan matematika; menanya atau
mempertanyakan mengapa atau bagaimana fenomena bisa terjadi;
mengumpulkanataumenggaliinformasimelaluimencoba,percobaan,mengkaji,
mendiskusikan untuk mendalami konsep yang terkait dengan fenomena
tersebut; serta melakukan asosiasi atau menganalisis secara kritis dalam
menjelaskan keterkaitan antar konsep danmenggunakan,memanfaatkan dan
memilihprosedur/algoritmayangsesuai,menyusunpenalarandangeneralisasi,
danmengkomunikasikanapayangsudahditemukannyadalamkegiatananalisis.
Proses pembelajaran langsung menghasilkan pengetahuan dan keterampilan
langsungatauyangdisebutdenganinstructionaleffect.PadaPembelajarantidak
langsung yang terjadi selama proses pembelajaran langsung tetapi tidak
dirancang dalam kegiatan khusus. Pembelajaran tidak langsung berkenaan
dengan pengembangan nilai dan sikap. Berbeda dengan pengetahuan tentang
nilaidansikapyangdilakukandalamprosespembelajaranlangsungolehmata
pelajaran tertentu,pengembangan sikap sebagai prosespengembanganmoral
danperilakudilakukanolehseluruhmatapelajarandandalamsetiapkegiatan
yang terjadi di kelas, sekolah, danmasyarakat. Oleh karena itu, dalamproses
pembelajaran,semuakegiatanyangterjadiselamabelajardisekolahdandiluar
ModulMatematikaSMA
7
dalam kegiatan kokurikuler dan ekstrakurikuler terjadi proses pembelajaran
untukmengembangkanmoraldanperilakuyangterkaitdengansikap.
Baikpembelajaranlangsungmaupunpembelajarantidaklangsungterjadisecara
terintegrasi dan tidak terpisah. Pembelajaran langsung berkenaan dengan
pembelajaran yang menyangkut KD (kompetensi dasar) yang dikembangkan
dari kompetensi inti (KI‐3 dan KI‐4). Keduanya, dikembangkan secara
bersamaan dalam suatu proses pembelajaran dan menjadi wahana untuk
mengembangkan KD pada KI‐1 dan KI‐2. Pembelajaran tidak langsung
berkenaandenganpembelajaranyangmenyangkutKDyangdikembangkandari
KI‐1danKI‐2.
Pembelajaran pokok tersebut dapat dirinci dalam berbagai kegiatan belajar
sebagaimanatercantumdalamtabelberikut.
Tabel1LangkahPembelajaran
Langkah
Pembelajaran
DeskripsiKegiatan Bentukhasilbelajar
Mengamati
(observing)
mengamatidenganindra
(membaca,mendengar,
menyimak,melihat,menonton,
dansebagainya)denganatau
tanpaalat
perhatianpadawaktu
mengamatisuatu
objek/membacasuatu
tulisan/mendengarsuatu
penjelasan,catatanyang
dibuattentangyangdiamati,
kesabaran,waktu(ontask)
yangdigunakanuntuk
mengamati
Menanya
(questioning)
Membuatdanmengajukan
pertanyaan,tanyajawab,
berdiskusi
tentanginformasiyangbelum
dipahami,informasitambahan
jenis,kualitas,danjumlah
pertanyaanyangdiajukan
pesertadidik(pertanyaan
faktual,konseptual,
prosedural,danhipotetik)
KegiatanPembelajaran1
8
yangingindiketahui,atausebagai
klarifikasi.
Mengumpulkan
informasi
(experimenting)
Mengeksplorasi,mencoba,
berdiskusi,mendemonstrasi‐kan,
menirubentuk/gerak,
melakukaneksperimen,
membacasumberlainselain
bukuteks,mengumpulkandata
darinarasumbermelaluiangket,
wawancara,danmemodifikasi/
menambahi/mengembangkan
jumlahdankualitassumber
yangdikaji/digunakan,
kelengkapaninformasi,
validitasinformasiyang
dikumpulkan,dan
instrumen/alatyang
digunakanuntuk
mengumpulkandata.
Menalar/
Mengasosiasi
(associating)
mengolahinformasiyangsudah
dikumpulkan,menganalisisdata
dalambentukmembuatkategori,
mengasosiasiatau
menghubungkan
fenomena/informasiyangterkait
dalamrangkamenemukansuatu
pola,danmenyimpulkan.
mengembangkan
interpretasi,argumentasi
dankesimpulanmengenai
keterkaitaninformasidari
duafakta/konsep,
interpretasiargumentasidan
kesimpulanmengenai
keterkaitanlebihdaridua
fakta/konsep/teori,
mensintesisdanargumentasi
sertakesimpulan
keterkaitanantarberbagai
jenisfakta‐
fakta/konsep/teori/pendapa
t;mengembangkan
interpretasi,struktur
baru,argumentasi,dan
kesimpulanyang
menunjukkanhubungan
fakta/konsep/teoridaridua
sumberataulebihyangtidak
ModulMatematikaSMA
9
bertentangan;
mengembangkan
interpretasi,strukturbaru,
argumentasidankesimpulan
darikonsep/teori/pendapat
yangberbedadariberbagai
jenissumber.
Mengomunikasi
kan
(communicatin
g)
menyajikanlaporandalam
bentukbagan,diagram,atau
grafik;menyusunlaporan
tertulis;danmenyajikanlaporan
meliputiproses,hasil,dan
kesimpulansecaralisan
menyajikanhasilkajian(dari
mengamatisampaimenalar)
dalambentuktulisan,grafis,
mediaelektronik,multi
mediadanlain‐lain
2. PengalamanBelajarMatematikaSMA
Keterlibatan siswa secara aktif dalam proses pembelajaran sebagaimana
dinyatakan dalam Permendikbud dilakukan melalui pengalaman belajar
mengamati, menanya, mengumpulkan informasi/mengekslorasi,
menalar/mengasosiasi, dan mengomu‐nikasikan. Dalam pembelajaran, guru
menugaskansiswamelakukaanpengamatan,bahanpengamatandapatdiambil
daribukuteks,darifenomenaalam,kontekssituasi/masalahnyata.Selanjutnya
kegiatan pengamatan yang dilakukan siswa ditindaklanjuti dengan memberi
kesempatan kepada untuk siswa bertanya tentang/ hal‐hal yang berkaitaan
denganobjekobservasiyangdiberikan.
Denganinidiharapkankemampuanberpikirkritissiswadapatbertumbuh.Agar
siswadapatbertanyadankualitaspertanyaanbaik,diperlukanbahanobservasi
yangmenarikperhatiandansesuai/tidakjauhdaripengalamanbelajarsiswa.
Keemudiangurumemberipenugasandimanasiswamengumpulkaninformasi/
ekplorasi untukmemperluas,memperdalam,merinci objekobservasi/hal‐hal
yangberkaitandenganobjekyangdiobservasi.Denganrangkaianpengalaman
belajar dalam kegiatan mengamati, menanya, dan mengumpulkan informasi/
eksplorasisiswalebihsiapuntukmelakukanprosespembelajaranselanjutnya,
KegiatanPembelajaran1
10
yaitu menalar/ mengasosiasi. Tahap kegiatan menalar/ mengasosiasi, guru
memberi penugasan kepada siswa untuk menghubungkan pengalaman yang
diperoleh peserta didik pada kegiatan mengaamati, menanya, dan
mengumpulkan informasi/ mengekplor melalui penugasan mensintesis
pengetaahuan dan keterampilan sesuai tuntutan kompetensi yang dinyatakan
dalamKD3danKD4atausebagiandarituntutankompetensitersebut.Terakhir,
siswa diberi kesempatan mengomunikasikan hasil kerja yang dilakukan dari
proses mengamati‐menanya‐mengeksplor‐mengasosiasi, dengan ini siswa
mempunyai pengalaman berargumentasi, dan mengkomunikasikan gagasan
denganformatyangsesuai.
Tahapan pelaksanaan pendekatan pembelajaran mengamati‐menanya‐
mengeksplorasi‐mengasosiasi‐mengomunikasikan disesuikan dengan
kebutuhan, sehingga terdapat variasi‐variasi tahapan pembelajaran, misalnya
dapat berupamengamati‐menanya‐menalar‐mengasosiasi‐mengomunikasikan,
atau mengamati‐menanya‐mengamati‐menanya‐menalar‐mengasosiasi‐
mengomunikasikan, atau tahapanbelajar lainnyayangmemberipesertadidik
pengalaman belajar mengamati, menanya, mengeksplor, mengasosiasi, dan
mengomunikasikan.
Proses pembelajaranpada setiap satuanpendidikan baik itu pendidikan dasar
ataupun pendidikan menengah hendaknya merupakan pembelajaran yang
interaktif, inspiratif,menyenangkan,menantang,danmemotivasipesertadidik
untuk berpartisipasi aktif, serta memberikan ruang yang cukup bagi prakarsa,
kreativitas,dankemandiriansesuaidenganbakat,minat,danperkembanganfisik
sertapsikologispesertadidik. Itu sekurang‐kurangnya yangdiamanatkanoleh
PermendiknasNo.41Tahun2007,danPermendikbudNo65Tahun2013.
Belajarmatematika artinyamembangun pemahaman tentang konsep‐konsep,
fakta, prosedur, dan gagasan matematika. Menurut Hierbert dan Carpenter
dalam Goos et al (Kemdikbud, 2014‐c) bahwa memahami adalah membuat
pengaitan antara gagasan, fakta, dan prosedur. Mengenalkan gaya belajar
kepada siswa danmengadaptasi berbagaimacam strategi pembelajaran akan
memudahkan siswamemahami konsep‐konsepmatematika. Hal ini didukung
ModulMatematikaSMA
11
olehpendapatStrong,Thomas,PerinidanSilverdalamMink(Kemdikbud,2014‐
c) yang mengatakan bahwa “pengenalan gaya belajar matematika dan
mengadaptasi strategi pembelajaran matematika yang berbeda dapat
memfasilitasisiswabelajar”.
Dengan pemahaman seperti ini, memungkinkan seorang guru untuk dapat
berupaya memberikan inspirasi kepada siswa dengan gagasan‐gagasan
matematika yang menantang dan menyenangkan yang dikemas dalam
pembelajaranmatematikayang interaktif.Sehinggasecarakreatif siswadapat
menciptakan atau menemukan konsep‐konsep matematika yang sebelumnya
telahditemukanparapendahulunya.Denganadanyaruanggerakuntukproses
penemuanbagisiswamemungkinkansiswamemilikiprakarsadankreativitas.
Pembelajaran matematika hendaknya berangkat dari hal‐hal yang bersifat
kongkretmenujuabstrak.Pelaksanaankegiatanbelajarmengajargurudituntut
lebihmengoptimalkan penggunaan peralatan,media, alat peraga dan sumber
belajar lainnya yang menarik dan berdaya guna sesuai dengan tuntutan
kompetensi. Pembelajaran matematika intinya adalah pada problem solving,
namun problem solving yang dilakukan secara otomatis juga menyentuh
persoalanpenalaranuntukmembangunpolaberfikirkritispesertadidik.
Untuk menciptakan pembelajaran yang dimaksud maka guru harus
memperhatikanpilar‐pilarpembelajaran,yaitu:
1) konsep‐konsep disajikan dengan logika matematika sederhana dan
disajikandenganbahasayangmudahdipahamiolehpesertadidiksehingga
baik peserta didik berkemampuan rendah pun dapat merasakan
kemudahan mempelajari konsep‐konsep tersebut. Guru diharapkan
memilikipengetahuanmengenaikemampuanyangsiswamilikiyangterkait
denganmateriyangakandiajarkan;
2) menumbuhkankeasyikandalambelajar,rasaingintahusehinggaakanterus
mengeksplor serta melakukan investigasi dalam kegiatan belajar dalam
memecahkansoal‐soaldanmasalah‐masalahdalammateriterkait;
KegiatanPembelajaran1
12
3) menumbuhkan suasana kesenangan dan keriangan (fun) dalam kegiatan
pembelajaran, yaitu terciptanya suasana rileks, tidak tegang atau cemas
(anxiety)baik,bebasberpendapatyangberbedadaripendapatyanglainnya,
dihargai sekalipun pendapatnya tidak sepenuhnya benar, kepekaan dan
peduli dalam merespons terhadap masalah yang dikemukakan /dialami
peserta didik, serta lingkungan belajarmenarik (misalnya keadaan kelas
terang,pengaturantempatdudukleluasauntukpesertadidikbergerak).
4) aktif, yaitu pembelajaran yang berpusat pada peserta didik (student
centered). Untuk mengaktifkan peserta didik, kata kunci yang dapat
dipegang guru adalah adanya kegiatan yang dirancang untuk dilakukan
pesertadidikbaikkegiatanberpikirmaupunberbuat(handsondanminds
onactivities).Fungsidanperangurulebihbanyaksebagaifasilitator.Ciri‐ciri
pembelajaran aktif adalah peserta didik: aktif bertanya, aktif belajar,
mengemukakan gagasan, merespon gagasan orang lain dan
membandingkannya dengan gagasannya sendiri. Bentuk kegiatan yang
mendukungbelajaraktifmisalnya:bermainperan,menulisdengankata–
kata sendiri, belajar kelompok, memecahkan masalah, diskusi,
mempraktikan keterampilan, melakukan kegiatan investigasi dan
eksplorasi.Pembelajaranberpusatpadapesertadidikmempunyaiciri‐ciri
sepertiterterapadatabelberikut.
Tabel2Ciripembelajaranberpusatsiswa
Guru Pesertadidik
1. sebagaifasilitator,bukanpenceramah
2. memantaukegiatanbelajarpesertadidik
3. memberikanumpanbalik4. mengajukanpertanyaanyang
menantang5. mempertanyakangagasanpeserta
didikuntukmenuntunmerekamenemukanjawabanterhadappermasalahanmereka
1. aktifbertanya2. aktifbelajar3. mengemukakangagasan4. merespongagasanoranglain
danmembandingkannyadengangagasannyasendiri
5. fokuspembelajaranpadapesertadidikbukanGuru.
ModulMatematikaSMA
13
pembelajarandidesainsedemikianrupasehinggadapatmenstimulasipesertadidik
untuk mengembangkan gagasannya (kreatif dan inovatif) dengan memanfatkan
sumber belajar yang ada. Hal ini dapat dilakukan dengan cara:menyajikan suatu
situasi yangmenarik (kontekstual) sehingga peserta didik dapatmerespon untuk
menyelesaikanpermasalahansesuaidenganpengalamandanpengetahuanmereka
(informal),memberi kebebasan untukmengembangkan gagasan dan pengetahuan
baru, bersikap respek dan menghargai ide–ide peserta didik, memberikan waktu
yangcukupunukpesertadidikberpikirdanmenghasilkankarya,sertamengajukan
pertanyaan–pertanyaan untuk menggugah kreativitas seperti : “mengapa”,
“bagaimana”,“apayangterjadijika….”,danbukanpertanyaan“apa”atau“kapan”,
efektifitas,yaitupembelajaranyangberfokuspadakompetensiyangharusdikuasai
pesertadidiksetelahprosespembelajaranberlangsung(sepertidicantumkandalam
tujuanpembelajaran)denganmenggunakancarayangefisien,
kreatif : pembelajaran didesain sedemikian rupa sehingga dapat menstimulasi
peserta didik untuk mengembangkan gagasannya dengan memanfatkan sumber
belajaryangada.
efektif:pembelajaranyangmenghasilembarkerjaankompetensiyangharusdikuasai
pesertadidiksetelahprosespembelajaranberlangsung(sepertidicantumkandalam
tujuanpembelajaran)denganmenggunakancarayangefisien.
D. AktifitasPembelajaran
Kegiatan1
Diskusikandalamkelompokkecil:
DalampembelajaranmatematikadiSMA,terdapatprosespembelajaranlangsung
danprosespembelajarantidaklangsung.Jelaskanapadanbagaimanakeduajenis
prosespembelajarantersebut!
Kegiatan2
Diskusikandalamkelompokkecil:
Keterlibatan siswa secara aktif dalam proses pembelajaran sesuai standar proses
dilakukan melalui pengalaman belajar mengamati, menanya, mengumpulkan
informasi/ mengeksplorasi, menalar/mengasosiasi, dan mengomunikasikan.
Jelaskan bentuk‐bentuk kegiatan pembelajaran dari masing‐masing pembelajaran
tersebut!
KegiatanPembelajaran1
14
Kegiatan3
Diskusikandalamkelompokkecil:
Untukmenciptakanpembelajaranmatematikayangsesuaiharapan,makaguruharus
memperhatikanpilar‐pliarpembelajaran.Jelaskanpilar‐pilarpembelajaranitu!
E. Latihan/Kasus/Tugas
Pilihlahdenganmemberitandasilang(X)padajawabanyangAndaanggapbenar!
1. Jelaskanapayangdimaksudindikatorpencapaiankompetensi.
2. Dalampembelajaranmeniscayakan adanya tujuanpembelajaran. Jelaskanapa
yangdimaksudtujauanpembelajaran
3. Kegiatan mengumpulkan informasi dalam pembelajaran akan diikuti dengan
mengolahinformasi.Berikangambaransingkatmengenaimengolahinformasi
4. Misalkankompetensiyangakandiraihadalahmenentukanruangsampelsuatu
percobaandangurumenginginkansuatupenugasanyangdapatmenumbuhkan
kerjasamaantarasiswa.Berikancontohkegiatanyangsesuai
F. Rangkuman
1. Pembelajaran matematika di SMA, dirancang dengan titik tolak pencapaian
kompetensi pengetahuaan yang rumuskan dalam KD3 terintegrasi dengan
pencapaiankompetensiketerampilanyangdirumuskandalamKD4.Pemilihan
materi ajar dan proses pembelajaran dirancang dengan mempertimbangkan
pencapaian/berkembangkompetensisikapyangdirumuskandalamKD1dan
KD2.
2. Keterlibatansiswasecaraaktifdalamprosespembelajaransesuaistandarproses
dilakukan melalui pengalaman belajar mengamati, menanya, mengumpulkan
informasi/mengeksplorasi,menalar/mengasosiasi,danmengomunikasikan.
3. Pilar‐pliarpembelajaranmatematika.
a. Konsep‐konsepdisajikandenganlogikamatematikasederhanadandisajikan
denganbahasayangmudahdipahamiolehpesertadidik.
b. Menumbuhkankeasyikandalambelajar,danrasaingintahu.
c. Menumbuhkan suasana kesenangan dan keriangan (fun) dalam kegiatan
pembelajaran.
d. Aktif.
ModulMatematikaSMA
15
e. Pembelajaran didesain agar menstimulasi peserta didik untuk
mengembangkangagasannya.
f. Efektifitas.
g. Kreatif.
h. Efektif.
G. UmpanBalikdanTindakLanjut
CocokkanlahjawabanAndadengankuncijawabanyangterdapatpadabagianakhir
KegiatanPembelajaranini.Hitunglahjawabanyangbenar.Kemudiangunakanrumus
berikutiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanAndadalamKegiatanPembelajaran
ini.
Rumus:
TingkatPenguasaan Jumlahjawabanyangbenar
Jumlahsoalx100%
ArtitingkatpenguasaanyangAndacapai:
90–100 = Baiksekali
80–89 = Baik
70–79 = Cukup
<70 = Kurang
JikatingkatpenguasaanAndaminimal80%,makaAndadinyatakanberhasildengan
baik.AndadapatmelanjutkanuntukmempelajariKegiatanPembelajaranberikutnya.
Sebaliknya,bilatingkatpenguasaanAndakurangdari80%,silakanpelajarikembali
uraianyangterdapatdalamKegiatanPembelajaranini,khususnyabagianyangbelum
Andakuasai.
H. KunciJawaban
1. Rumusan yang merupakan penanda perilaku (sikap, pengetahuan dan
keterampilan) terkait isi yang akan digunakan guru sebagai landasan
pembelajaran
2. Rumusan yang merupakan fokus utama perubahan perilaku dalam proses
penguasaankompetensiyangdikembangkandalamprosespembelajaranuntuk
mencapaistandarkompetensilulusanyangtelahdicanangkan
KegiatanPembelajaran1
16
3. Intinyaadalahmengolahinformasiyangsudahdikumpulkan,menganalisisdata,
mengasosiasi atau menghubungkan fenomena/informasi yang terkait dalam
rangkamenemukansuatupola,danmenyimpulkan
4. Contoh kegiatan harus memuat sustu trial atau percobaan yang didalamnya
memuatkerjasama.
17
KegiatanPembelajaran2
PengembanganRencanaPelaksanaanPembelajaran
(RPP)MatematikaSMA
A. Tujuan
Melalui kegiatanpembelajaran ini, dapatmeningkatkanwawasandan kompetensi
guru khususnya dalam memahami tentang konsep penyusunan RPP, prinsip
penyusunan RPP, komponen RPP, dan langkah penyusunan RPP, serta mampu
menyusunRPPsesuaidenganmekanismepengembanganRPP
B. IndikatorPencapaianKompetensi
Setelahmengikutipembelajaranmodulini,pesertadiharapkandapat:
1. menjelaskantentangkonseppenyusunanRPP,
2. menjelaskantentangprinsippenyusunanRPP,
3. menjelaskantentangkomponenRPP,
4. menjelaskantentanglangkahpenyusunanRPP,dan
5. menyusunRPPsesuaidenganmekanismepengembanganRPP
6. menyusunindikatorpencapaiankompetensi
C. UraianMateri
1. Konsep,Prinsip,Komponen,danLangkahPenyusunanRPP
Sesuai standar proses bahwa tahap pertama dalam pembelajaran adalah
perencanaanpembelajaran yang diwujudkan dengan kegiatan penyusunan
RPP. RPPadalah rencanakegiatan pembelajaran tatap muka untuk satu
pertemuan atau lebih. RPP dikembangkan dari silabus untukmengarahkan
kegiatanpembelajaranpesertadidikdalamupayamencapaiKompetensiDasar
(KD).Setiappendidik pada satuanpendidikanberkewajibanmenyusun
RPPsecaralengkapdansistematisagarpembelajaranberlangsungsecara
interaktif,inspiratif,menyenangkan,menantang,efisien,memotivasipeserta
KegiatanPembelajaran2
18
didikuntukberpartisipasiaktif,sertamemberikanruangyangcukupbagi
prakarsa,kreativitas,dankemandiriansesuaidenganbakat,minat,dan
perkembanganfisiksertapsikologispesertadidik.RPPdisusunberdasarkan
KDyangdilaksanakandalamsatukalipertemuanataulebih.
Dalam menyusun RPP seorang guru harus memperhatikan prinsip‐prinsip
penyusunanRPP,yaitusebagaiberikut.
1) SetiapRPPharussecarautuhmemuatkompetensidasarsikapspiritual(KD
dari KI‐1), sosial (KD dari KI‐2), pengetahuan (KD dari KI‐3), dan
keterampilan(KDdariKI‐4).
2) SatuRPPdapatdilaksanakandalamsatukalipertemuanataulebih.
3) Memperhatikanperbedaanindividupesertadidik.
4) RPP disusun denganmemperhatikan perbedaan kemampuan awal, tingkat
intelektual, minat, motivasi belajar, bakat, potensi, kemampuan sosial,
emosi,gaya belajar, kebutuhan khusus, kecepatan belajar, latar belakang
budaya,norma,nilai,dan/ataulingkunganpesertadidik.
5) Berpusatpadapesertadidik.
6) Proses pembelajaran dirancang dengan berpusat pada peserta didik untuk
mendorongmotivasi,minat,kreativitas,inisiatif,inspirasi,kemandirian,dan
semangat belajar, menggunakan pendekatan saintifik meliputi mengamati,
menanya, mengumpulkan informasi/mencoba, menalar/mengasosiasi, dan
mengomunikasikan.
7) Berbasiskonteks.
8) Prosespembelajaranyangmenjadikanlingkungansekitarnyasebagaisumber
belajar.
9) Berorientasikekinian.
10) Pembelajaranyangberorientasipadapengembanganilmupengetahuandan
teknologi,dannilai‐nilaikehidupanmasakini.
11) Mengembangkankemandirianbelajar.
12) Pembelajaranyangmemfasilitasipesertadidikuntukbelajarsecaramandiri.
13) Memberikanumpanbalikdantindaklanjutpembelajaran.
14) RPPmemuatrancanganprogrampemberianumpanbalikpositif,penguatan,
pengayaan,danremedi.
ModulMatematikaSMA
19
15) Memiliki keterkaitan dan keterpaduan antarkompetensi dan/ atau
antarmuatan.
16) RPPdisusundenganmemperhatikanketerkaitandanketerpaduanantaraKI,
KD, indikator pencapaian kompetensi, materi pembelajaran, kegiatan
pembelajaran, penilaian, dan sumber belajar dalam satu keutuhan
pengalamanbelajar.RPPdisusundenganmengakomodasikanpembelajaran
tematik, keterpaduan lintas mata pelajaran, lintas aspek belajar,dan
keragamanbudaya.
17) Memanfaatkanteknologiinformasidankomunikasi
18) RPPdisusundenganmempertimbangkanpenerapanteknologiinformasidan
komunikasisecaraterintegrasi,sistematis,danefektifsesuaidengansituasi
dankondisi.
Komponen RPP sesuai dengan Permendikbud Nomor 103 tahun 2014 paling
sedikit memuat: (1) identitas sekolah/madrasah, mata pelajaran, dan
kelas/semester;(2)alokasiwaktu;(3)KI,KD,indikatorpencapaiankompetensi;
(4) materi pembelajaran; (5) kegiatan pembelajaran; (6) penilaian; dan (7)
media/alat,bahan,dansumberbelajar.
Guru harus dapat menyusun dan mengembangkan RPP sesuai dengan
karakteristikpesertadidikdanmateripelajaranyangakandibahas,begitujuga
dengankomponennya,misalnyamenambahkantujuanpembelajaransecarautuh
mencakuppengetahuan,keterampilan,dansikapyangingindicapaisebagaihasil
pembelajarantertentu.SemuakomponentersebutdituangkandalamRPPdengan
menggunakanformatsepertiberikut.
KegiatanPembelajaran2
20
ModulMatematikaSMA
21
FormatdiatasmerupakanformatyangmemuatkomponenRPPminimal,sehingga
gurudapatmengembangkannyasecaramaksimal,sesuaidengankebutuhan.
UntukdapatmenyusunRPPdenganbaik danmudah, guru hendaknyamelakukan
langkah‐langkahpenyunanRPPsebagaiberikut.
KegiatanPembelajaran2
22
1) Pengkajiansilabusmeliputi:(1)KIdanKD;(2)materipembelajaran;(3)proses
pembelajaran;(4)penilaianpembelajaran;(5) alokasiwaktu;(6)sumber
belajar.
2) PerumusanindikatorpencapaianKDpadaKI‐3,danKI‐4danuntukmata
pelajaranAgamadanPPKnjugamerumusindicatorpencapaianyangkoheren
danlinieruntukKI‐1,KI‐2.
3) Perumusan tujuan pembelajaran yang merupakan penambahan dari
komponenminimalsesuaiPermendikbudNomor103tahun2014.
4) PenyusunanMateriPembelajaran.
Materi pembelajaran dapat berasal dari buku teks pelajaran dan buku
panduan guru, sumber belajar lain berupa muatan lokal, materi kekinian,
kontekspembelajarandarilingkungansekitaryangdikelompokkanmenjadi
materiuntukpembelajaranreguler,pengayaan,danremedial.
5) PenjabaranKegiatanPembelajaranyangadapadasilabusdalambentukyang
lebihoperasionalberupapendekatansaintifikdisesuaikandengankondisi
pesertadidikdansatuanpendidikantermasukpenggunaanmedia,alat,bahan,
dansumberbelajar.
6) Penentuanalokasiwaktuuntuksetiappertemuanberdasarkanalokasiwaktu
padasilabus,selanjutnyadibagikedalamkegiatanpendahuluan,inti,dan
penutup.
7) Pengembangan penilaian pembelajaran dengan cara menentukan lingkup,
teknik,daninstrumenpenilaian,sertamembuatpedomanpenskoran.
8) Menentukan strategi pembelajaran remedial segera setelah dilakukan
penilaian.
9) Menentukanmedia,alat,bahandansumberbelajardisesuaikandengan
yangtelahditetapkandalamlangkahpenjabaranprosespembelajaran.
2. MekanismePengembanganRPP
Pengembangan RPP dapat digambarkan sebagai suatu proses menjabarkan
keterkaitan antara KI dan KD dengan ketercapaian SKL, melalui proses
pembelajaran dan penilaian. Rangkain proses tersebut dapat digambarkan seperti
padagambarberikut.
ModulMatematikaSMA
23
Gambar1.KeterkaitanKIdanSKLdalamPembelajaran
Secararincipenjelasandarigambardiatasdijelaskansebagaiberikut.
a. KeterkaitanantaraKIdanSKL.
KI‐3kompetensipengetahuanyangdikembangkanmenjadiKompetensiDasar
(KD) dan Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK), dan selanjutnya
dikembangkanmenjadimateripokok/tema/topikyangharusdicapaioleh
peserta didik melalui kegiatan pembelajaran (though curriculum) dan akan
memberikanpengalamanbelajar secara langsung(direct teaching). Untuk
mengetahui keberhasilan peserta didik terhadap pengetahuan, dilakukan
penilaianpengetahuandalambentuktestulis,teslisan,ataupenugasan.
KI‐4merupakankompetensiketerampilanyangdikembangkanmenjadiKD
danIPKdanharusdicapaiolehpesertadidikmelaluikegiatanpembelajaran
(though curriculum) yang akan memberikan pengalaman belajar secara
langsung (direct teaching). Penilaian kompetensi keterampilan dapat
dilakukanantaralaindenganpenilaianprojek,unjukkerja,atauportofolio.
KegiatanPembelajaran2
24
KI‐1 dan KI‐2merupakan kompetensi sikap spiritual dan sikap sosial (dapat
dikembangkanmenjadiKDdanIPKsesuaikarakteristikmatapelajaran)yang
harusdicapaipesertadidiksebagaidampakpenggiring(nurturanteffects)
danmerupakanpengalamanbelajartidaklangsung(indirectteaching)melalui
kegiatan pembelajaran yang dikembangkan guru. Penilaian ketercapaian
kompetensi sikaptersebutdapatdilakukanmelaluipengamatan/observasi,
penilaiandiri,penilaianantarteman,ataujurnal.
Keempat kompetensi tersebut harus dicapai peserta didik sebagai hasil
pembelajaran secara utuh dan terpadu, agar peserta didik dapat mencapai
kompetensi minimal sesuai dengantuntutanStandarKompetensi Lulusan
(SKL).
Kegiatan pembelajaran yang dikembangkan menggunakan model
pembelajaran yang sesuai dengan pendekatan saintifik, yaitu pendekatan
pembelajaranyangmemberikanpengalamanbelajarkepadapesertadidik
melaluikegiatanmengamati,menanya,mengumpulkaninformasi/mencoba,
menalar/mengasosiasi,danmengomunikasikan.
b. MengembangkanIndikatorPencapaianKompetensi(IPK).
Indikatormerupakanrumusanyangmenggambarkankarakteristik,ciri‐ciri,
perbuatan, atau respon yang harus ditunjukkan atau dilakukan oleh peserta
didikdandigunakansebagaipenanda/indikasipencapaiankompetensidasar.
IndikatorPencapaianKompetensi(IPK)adalahperilakuyangdapatdiukur
dan/atau diobservasi untuk menunjukkan ketercapaian kompetensi dasar
tertentuyangmenjadiacuanpenilaianmatapelajaran.IndikatorPencapaian
Kompetensi (IPK) dapat dirumuskan dengan menggunakan kata kerja
operasional yang dapat diamati dan diukur, yang mencakup sikap,
pengetahuan,danketerampilan.
Indikator merupakan penanda pencapaian KD yang ditandai oleh perubahan
perilaku yang dapat diukur yang mencakup sikap, pengetahuan, dan
keterampilan. Indikator untuk KD yang diturunkan dari KI‐1 dan KI‐2
ModulMatematikaSMA
25
dirumuskandalambentukperilakuumumyangbermuatannilaidansikap
yanggejalanyadapatdiamatisebagaidampakpengiringdariKDpadaKI‐3
danKI‐4.IndikatoruntukKDyangditurunkandariKI‐3danKI‐4dirumuskan
dalambentukperilakuspesifikyangdapatdiamatidanterukur.
Indikator dikembangkan sesuai dengan karakteristik peserta didik, mata
pelajaran,satuanpendidikan,potensidaerahdandirumuskandalamkata
kerja operasional yang terukur dan/atau dapat diobservasi. Indikator
digunakansebagaidasaruntukmenyusunalatpenilaian.Indikatordiurutkan
darikompetensisederhanakekompleks.
PenggunaanKKOpadaIPKdisesuaikandengankarakteristikmatapelajaran,dan
dikaitkandenganmateri pembelajaranyangmemuatpengetahuanfaktual,
konseptual,danprosedural(untukkelasX),sertametakognisi(untukkelas
XI danXII). Kata kerja operasional padaKDbenar‐benar terwakili dan teruji
akurasinyapadadeskripsiyangadadikatakerjaoperasionalindikator.JikaRPP
digunakanuntukbeberapakalipertemuan,makaindikatordirinciuntuksetiap
pertemuan.
Beberapahalyangperludiperhatikandalammerumuskanindikatorpencapaian
kompetensiadalahsebagaiberikut.
1) Untuk satu KD dirumuskan minimal ke dalam dua indikator pencapaian
kompetensi. Jumlah dan variasi rumusan indikator disesuaikan dengan
karakteristik, kedalaman, dan keluasan KD, serta disesuaikan dengan
karakteristikpesertadidik,matapelajaran,satuanpendidikan.
2) Perumusan indikator dalam bentuk kata kerja operasional yang dapat
diukurataudiamatikinerjanyamelaluipenilaian.
3) Rumusan indikator hendaknya relevan dan merinci kompetensi dasar
sehinggadapatdigunakansebagaiacuanpembelajarandanpenilaiandalam
mencapaikompetensi.
4) Rumusan indikator hendaknya disesuaikan dengan prinsip‐prinsip
pembelajaranmatematikaberdasarkanmasalah,memberikanpengalaman
belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah otentik (masalah
KegiatanPembelajaran2
26
bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi
pengetahuan,salingmembantu,berdiskusidalammenyelesaikanmasalah.
5) Rumusanindikatorberbedadengantujuanpembelajaran.Rumusantujuan
pembelajaran merupakan kemampuan atau hasil belajar yang dicapai
dikaitkan dengan kondisi, situasi, karakteristik pembelajaran/ peserta
didik/satuanpendidikan/daerah.
Indikator memiliki kedudukan yang sangat strategis dalam mengembangkan
pencapaiankompetensi.Indikatorberfungsisebagaipedomandalam:
1) mengembangkanmateripembelajaran,
2) mendesainkegiatanpembelajaranyangefektif,
3) mengembangkanbahanajar,dan
4) merancangdanmelaksanakanpenilaiandalammenentukanbentukdanjenis
penilaian.
Indikator pengetahuan dan keterampilan merupakan hasil belajar langsung,
dapat dikembangkanhingga tingkat kompetensi tertinggi (mencipta). Adapun
indikator sikap merupakan hasil belajar tidak langsung setelah dilakukan
kegiatanuntukmencapaipengetahuandanketerampilan.
c. MengidentifikasiMateriPembelajaran.
Materi pembelajaran dikembangkan dari KD‐3 dan/atau KD‐4, serta
memperhatikanKD‐1danKD‐2sebagaidampakpenggiring(nurturanteffects)
hasil belajar peserta didik. Materi Pembelajaran berasal dari buku teks
pelajarandanbukupanduanguru,sumberbelajarlainberupamuatanlokal,
materi kekinian, konteks pembelajaran dari lingkungan sekitar yang
dikelompokkanmenjadimateriuntukpembelajaranreguler,pengayaan,dan
remedial.Selainitumateripembelajaranjugaharusmencakupmateri‐materi
yang dapat melatih peserta didik untuk memiliki pengetahuan factual,
konseptual,proceduraldan/ataumetakognitif.
Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep.
Adapaunmateriprasyarat,yaitumateriyangharusdikuasaiolehsiswasebagai
ModulMatematikaSMA
27
dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes
kemampuanawalsiswa.
Materi pembelajaran, memuat fakta, konsep, prinsip, dan prosedur yang
relevan, dan ditulis dalam bentuk butir‐butir sesuai dengan rumusan
indikator ketercapaian kompetensi. Fakta, yaitu kejadian atau peristiwa yang
dapatdilihat,didengar,dibaca,disentuh,ataudiamati.Konsep,merupakanide
yangmempersatukanfakta‐faktaataudengankatalainkonsepmerupakansuatu
penghubung antara fakta‐fakta yang saling berhubungan. Prinsip,merupakan
generalisasitentanghubunganantarakonsep‐konsepyangberkaiatan.Prosedur,
merupakansederatanlangkahyangbertahapdansistematisdalammenerapkan
prinsip.
Untukmelakukanidentifikasimateripembelajaranharusmempertimbangkan
hal‐halantaralainsebagaiberikut.
1) Potensipesertadidik.
2) Relevansidengankarakteristikdaerah.
3) Tingkatperkembanganfisik,intelektual,emosional,sosial,danspritual
pesertadidik.
4) Kebermanfaatanbagipesertadidik.
5) Strukturkeilmuan.
6) Aktualitas,kedalaman,dankeluasanmateripembelajaran.
7) Relevansidengankebutuhanpesertadidikdantuntutanlingkungan.
8) Alokasiwaktu.
d. Mengembangkankegiatanpembelajaran
Kegiatan pembelajaran dirancang untuk memberikan pengalaman belajar
yangmelibatkanprosesmentaldanfisikmelaluiinteraksiantarpesertadidik,
peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumberbelajar lainnyauntuk
mencapaiKD.Terkaitpengalamanbelajar,dapatdilihatkembalipadakegiatan
pembelajaransebelumnya.
KegiatanPembelajaran2
28
Sintaksis pembelajaran adalah langkah‐langkah pembelajaran yang dirancang
dandihasilkandari kajian teori yangmelandasimodelpembelajaranberbasis
konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari
sintaks. Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana
pembelajarandisusunmengikutisetiaplangkah‐langkahpembelajaran(sintaks).
Sintaksmodelpembelajaran terdiridari5 langkahpokok,yaitu: (1)apersepsi
budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan
mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan
skemata baru, dan (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil
penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan
pembelajarandijabarkansebagaiberikut.
1) Kegiatangurupadatahapapersepsibudayaantaralain,sebagaiberikut.
a) Menginformasikanindikatorpencapaiankompetensidasar.
b) Menciptakanpersepsipositifdalamdirisiswaterhadapbudayanyadan
matematikasebagaihasilkonstruksisosial.
c) Menjelaskan pola interaksi sosial,menjelaskan peranan siswa dalam
menyelesaikanmasalah.
d) Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai
matematis,softskilldankebergunaanmatematika.
e) Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala‐hal yang sulit
dimengertipadamaterisebelumnya.
2) Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi
edukatifantaralainsebagaiberikut.
a) Membentukankelompok.
b) Mengajukanmasalahyangbersumberdarifaktadanlingkunganbudaya
siswa.
c) Memintasiswamemahamimasalahsecaraindividualdankelompok.
d) Mendorongsiswabekerjasamamenyelesaikantugas‐tugas.
e) Membantusiswamerumuskanhipotesis(dugaan).
f) Membimbing, mendorong/ mengarahkan siswa menyelesaikan
masalahdanmengerjakanlatihansoal.
g) Memberikanscaffoldingpadakelompokatauindividuyangmengalami
kesulitan.
ModulMatematikaSMA
29
h) Mengkondisikanantaranggotakelompokberdiskusi,berdebatdengan
polakooperatif.
i) Mendorongsiswamengekspresikanide‐idesecaraterbuka.
j) Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam
menyelesaikanmasalahdalampemberiansolusi.
3) Kegiatangurupadatahappersentasidanmengembangkanhasilkerjaantara
lainsebagaiberikut.
a) Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil
penyelesaianmasalahdidepankelas.
b) Membimbingsiswamenyajikanhasilkerja.
c) Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/ menanggapi hasil
kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif
pemikiranmembantusiswamenemukankonsepberdasarkanmasalah.
d) Mengontroljalannyadiskusiagarpembelajaranberjalandenganefektif
.
e) Mendorongketerbukaan,proses‐prosesdemokrasi.
f) Mengujipemahamansiswa.
4) Kegiatangurupadatahaptemuanobjekmatematikadanpenguatanskemata
baruantaralainsebagaiberikut.
a) Mengarahkansiswamembangunkonsepdanprinsipsecarailmiah.
b) Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui
pengajuancontohdanbukancontohkonsep.
c) Membantu siswamendefinisikandanmengorganisasikan tugas‐tugas
belajaryangberkaitandenganmasalah.
d) Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip
dalammengerjakansoaltantangan.
e) Memberikanscaffolding.
5) Kegiatangurupadatahapmenganalisisdanmengevaluasiprosesdanhasil
penyelesaianmasalahantaralainsebagaiberikut.
a) Membantusiswamengkajiulanghasilpenyelesaianmasalah.
b) Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang
selektif.
KegiatanPembelajaran2
30
c) Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta
konsepataupetamateri.
Kegiatan pembelajaran sendiri diorganisasikan menjadi tiga tahap kegiatan
yaitu, kegiatanpendahuluna, kegiatan inti, dankegiatanpenutup. Secara rinci
tahapaninidiuraikansebagaiberikut.
1) Kegiatanpendahuluan,kegiatanyangdilakukanguruadalahmenyiapkan
peserta didik secara psikis dan fisik untuk mengikuti proses
pembelajaran, mengajukan pertanyaan‐pertanyaan tentang materi yang
sudah dipelajari dan terkait dengan materi yang akan dipelajari,
mengantarkanpesertadidikkepadasuatupermasalahanatautugasyang
akan dilakukan untuk mempelajari suatu materi danKD yang akan
dikuasai,menyampaikan garis besar cakupan materi dan penjelasan
tentangkegiatanyangakandilakukanpesertadidikuntukmenyelesaikan
permasalahanatautugas,danmenyampaikanlingkupdanteknikpenilaian.
2) Kegiatan inti, merupakan proses pembelajaran untuk mencapai
kompetensi,yangdilakukansecarainteraktif,inspiratif,menyenangkan,
menantang, memotivasi peserta didik untukberpartisipasi aktif, serta
memberikan ruang yang cukup bagi prakarsa, kreativitas, dan
kemandiriansesuaidenganbakat,minatdanperkembanganfisikserta
psikologispesertadidik.Kegiatanintimenggunakanpendekatansaintifik
dandisesuaikan dengan karakteristik mata pelajaran matematikadan
peserta didik. Guru memfasilitasi peserta didik untuk melakukan
pengalaman belajar berupa mengamati, menanya, mengumpulkan
informasi/ mencoba, menalar/ mengasosiasi, dan mengomunikasikan,
ataumemfasilitasikegiatansesuaidenganlangkahmodelyangdigunakan.
Dalamsetiapkegiatanguruharusmemperhatikanperkembangansikap
peserta didik pada kompetensi dasar dari KI‐1 dan KI‐2 antara lain
mensyukurikaruniaTuhan,jujur,teliti,kerjasama,toleransi,disiplin,taat
aturan,menghargaipendapatoranglainyangtercantumdalamsilabusdan
RPP.
ModulMatematikaSMA
31
3) Kegiatanpenutup,terdiriataskegiatangurubersamapesertadidikantara
lainmembuatrangkuman/simpulanpelajaran,melakukanrefleksi, dan
memberikanumpanbalikterhadapprosesdanhasilpembelajaran,dan
kegiatanguruuntukmelakukanpenilaian,merencanakankegiatantindak
lanjut, dan menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan
berikutnya.
e. MenentukanModeldan/atauMetodePembelajaran
Model dan/ataumetodedipilihyangsesuai denganpendekatansaintifik
yang diperlukan untuk mengembangkan sikap (spiritual dan sosial),
pengetahuan, dan keterampilanyang pelaksanaannya difokuskan kepada
kesesuaiandenganpengalamanbelajarpesertauntukmencapaikompetensi
tertentu. Selain itu, pemilihan model atau metode juga harus
mempertimbangkankarakteristikKDataumateripembelajaran.
Jika kegiatan pembelajaran menggunakan model tertentumaka langkah‐
langkah kegiatan di RPP disesuaikan dengan langkah (sintaksis)model
pembelajarantersebut,untukmengembangkandanmenciptakanpembelajaran
saintifik. Lebih lanjut tentang model, metode, strategi pembelajaran, dapat
dipelajaripadamodultersendiri.
f. Menentukanalokasiwaktu
PenentuanalokasiwaktupadasetiapKDdidasarkanpadajumlahminggu
efektif dan alokasi waktu mata pelajaran per minggu dengan
mempertimbangkanjumlahKD,keluasan,kedalaman,tingkatkesulitan,dan
tingkatkepentinganKD.Waktuharusleluasauntukmemungkinkanpeserta
didik berproses (menyelesaikan tugas dan mengikuti prosedur yang
ditetapkan). Alokasi waktu dirinci dan disesuaikan dengan RPP karena yang
dicantumkan pada silabus merupakan perkiraan waktu rerata untuk
menguasaiKDyangdibutuhkanolehpesertadidikyangberagam.
KegiatanPembelajaran2
32
g. MengembangkanPenilaian.
1) PenilaianpencapaianKDpesertadidikdilakukanberdasarkanindikator.
2) Penilaiandilakukandenganmenggunakanpenilaianautentikdannon
autentik, dalam bentuk tertulis maupun lisan, pengamatan kinerja,
pengukuransikap,penilaianhasilkaryaberupatugas,projekdan/atau
produk,penggunaanportofolio,dan/ataupenilaiandiri.
3) Penilaian diarhkan untuk mendorong peserta didik menghasilkan
karya,makapenyajianportofoliomerupakancarapenilaianyangdapat
dilakukanuntukjenjangpendidikandasardanmenengah.
4) Penilaiandiarahkanuntukmengukurpencapaiankompetensi.
5) Penilaian menggunakan acuan kriteria; yaitu berdasarkan apa yang
bisadilakukanpesertadidiksetelahmengikutiprosespembelajaran,
danbukanuntukmenentukanposisiseseorangterhadapkelompoknya.
6) Sistempenilaiannyaberkelanjutandalamartisemuaindikatorditagih,
kemudian hasilnya dianalisis untukmenentukan KD yang telah dimiliki
danyangbelum,sertauntukmengetahuikesulitanpesertadidik.Hasil
penilaiandianalisisuntukmenentukantindaklanjut.
7) Tindaklanjuthasilpenilaianberupaperbaikanprosespembelajaran
berikutnya, program remedi bagi peserta didik yang pencapaian
kompetensinya di bawah ketuntasan, dan program pengayaan bagi
pesertadidikyangtelahmemenuhiketuntasan.
8) Sistem penilaian disesuaikan dengan pengalaman belajar yang
ditempuh dalam proses pembelajaran. Misalnya, jika pembelajaran
menggunakan pendekatan tugas observasi lapangan maka evaluasi
harusdiberikanbaikpadaprosesmisalnyateknikwawancara,maupun
produkberupahasilmelakukanobservasilapangan.
a. Menentukanalat/bahan/media,atausumberbelajar.
Merupakanrujukan,objekdan/ataubahanyangdigunakanuntukkegiatan
pembelajaran,yangberupamediacetakdanelektronik,narasumber,serta
lingkunganfisik,alam,sosial,danbudaya.Secararincitentangmateriinidibahas
dalammodultersendiri.
ModulMatematikaSMA
33
D. AktifitasPembelajaran
Kegiatan1
Diskusikandalamkelompokkecil.
JelaskantentangpengertianRPP,prinsip‐prinsippenyusunanRPP,komponen
RPP,danlangkahpenyusunanRPP!
Kegiatan2
Diskusikandalamkelompokkecil.
PengembanganRPPdapatdigambarkansebagaisuatuprosesmenjabarkan
keterkaitan antara KI dan KD dengan ketercapaian SKL, melalui proses
pembelajarandanpenilaian?Jelaskanketerkaitantersebut!
Kegiatan3
Diskusikandalamkelompokkecil.
Indikator merupakan penanda pencapaian KD yang ditandai oleh perubahan
perilaku yang dapat diukur yang mencakup sikap, pengetahuan, dan
keterampilan. Jelaskan hal yang perlu diperhatikan dalam merumuskan
indikatorpencapaiankompetensi!
Kegiatan4
Diskusikandalamkelompokkecil.
Materi pembelajaran dikembangkan dari KD‐3 dan/atau KD‐4, serta
memperhatikanKD‐1danKD‐2sebagaidampakpenggiring(nurturanteffects)
hasilbelajarpesertadidik.Jelaskanhal‐halyangharusdipertimbangkanuntuk
melakukanidentifikasimateripembelajaran!
Kegiatan5
Diskusikandalamkelompokkecil.
Kegiatan pembelajaran dirancang untuk memberikan pengalaman belajar
yangmelibatkanprosesmentaldanfisikmelaluiinteraksiantarpesertadidik,
peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumberbelajar lainnyauntuk
mencapai KD. Jelaskan hal‐hal yang harus diperhatikan dalam
mengembangkankegiatanpembelajaran!
Kegiatan6
Diskusikandalamkelompokkecil.
KegiatanPembelajaran2
34
Kegiatan pembelajaran diorganisasikan menjadi tiga tahap kegiatan yaitu,
kegiatanpendahuluna, kegiatan inti,dankegiatanpenutup. Jelaskankegiatan‐
kegiatanyangdilakukanpadamasing‐masingtahap!
Kegiatan7
Diskusikandalamkelompokkecil.
Jelaskan secara umum bagaimana menentukan model dan/atau metode
pembelajaran, menentukan alokasi waktu, dan mengembangkan penilaian,
dalampenyusunanRPP!
Kegiatan8
Diskusikandalamkelompokkecil.
Selesaikantugas1,tugas2,dantugas3,secarabertahap!
E. Latihan/Kasus/Tugas
Latihan
Pilihlah dengan memberi tanda silang (X) pada jawaban yang Anda anggap
benar!
1. Berikut ini yangmerupakankonsep tentangpenyusunanRPPyangbenar
adalah....
a. RPPadalahrencanakegiatanpembelajarantatapmukauntuksatu
pertemuanataulebih
b. RPP dikembangkan dari silabus untuk mengarahkan kegiatan
pembelajaran peserta didik dalam upaya mencapai indikator
pencapaiankompetensi
c. PenyusunanRPPmerupakanrangkaiankegiatanyangdimulaidari
kajian terhadap instrumen penilaian proses dan hasil pembelajran
siswa
d. RPP dikembangkan dari buku pedoman guru untuk mengarahkan
kegiatan pembelajaran peserta didik dalam upaya mencapai
KompetensiDasar(KD)
2. Prinsip‐prinsippenyusunanRPP,antaralainadalahsebagaiberikut,kecuali
....
a. Prosespembelajaranyangmenjadikan lingkungansekitarnyasebagai
sumberbelajar
ModulMatematikaSMA
35
b. Pembelajaran yang memfasilitasi peserta didik untuk belajar secara
bersama‐samadalamkelompok
c. SetiapRPPharussecarautuhmemuatkompetensidasarsikap
spiritual,sosial,pengetahuan,danketerampilan.
d. RPP disusun dengan mempertimbangkan penerapan teknologi
informasidankomunikasisecaraterintegrasi,sistematis,danefektif
3. Berikutiniadalahkomponen‐komponenyangtermuatdalamsebuahRPP.
(1) identitassekolah/madrasah,matapelajaran,dankelas/semester;
(2) alokasiwaktu;
(3) KI,KD,indikatorpencapaiankompetensi;
(4) tujuanpembelajaran
(5) materipembelajaran;
(6) Pendekatan,model,danmetodepembelajaran
(7) kegiatanpembelajaran;
(8) penilaian;
(9) media/alat,bahan,dansumberbelajar.
Mengacu pada Permendikbud Nomor 103 tahun 2014 tentang
Pembelajaran, darikomponen‐komponendi atasyangbukanmerupakan
komponenminimaladalah....
a. (1)dan(3)
b. (2)dan(5)
c. (4)dan(6)
d. (8)dan(9)
4. Berikut ini merupakan hal yang terkait dengan perumusan indikator
pencapaiankompetensiyangbenar,kecuali....
a. UntuksatuKDdirumuskanminimalkedalamsatuindikatorpencapaian
kompetensi
b. Perumusanindikatordalambentukkatakerjaoperasionalyangdapat
diukurataudiamatikinerjanyamelaluipenilaian
c. Rumusanindikatorhendaknyarelevandanmerincikompetensidasar
sehinggadapatdigunakansebagai acuanpembelajarandanpenilaian
dalammencapaikompetensi
KegiatanPembelajaran2
36
d. Rumusan indikator hendaknya disesuaikan dengan prinsip‐prinsip
pembelajaran matematika berdasarkan masalah, dan memberikan
pengalamanbelajarbagisiswa
5. Indikator memiliki kedudukan yang sangat strategis dalam
mengembangkanpencapaiankompetensi.Fungsi indikatoradalahsebagai
berikut,kecuali....
a. mengembangkanmateripembelajaran
b. menentukanbentukdanjenispenilaian
c. mendesainkegiatanpembelajaranyangefektif
d. mengembangkanmediapembelajaran,danmenentukanalatdanbahan
6. Untuk melakukan identifikasi materi pembelajaran harus
mempertimbangkanantaralainhal‐halsebagaiberikut,kecuali....
a. Alokasiwaktu
b. Potensidaerah
c. Strukturkeilmuan
d. Kebermanfaatanbagipesertadidik
7. Berikutiniyangbukanmerupakanhasilbelajaryangakandicapaimelalui
kegiatanpembelajaranadalah....
a. Produk,yaitualatperagadanmediayangterkaitdenganmateripokok
kompetensidasar
b. Kognitif,yaitukemampuanmatematisasi,kemampuanabstraksi,pola
pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir
kreatif).
c. Keterampilan, yaitu keterampilan menyelesaikan masalah,
keterampilanberkolaborasi,kemampuanberkomunikasi.
d. Afektif,yaitumenghargaibudaya,penerimaanindividuatasperbedaan
yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur
mengungkapkanpendapat,berlatihberpikirkritis,kreatif,dansenang
belajarmatematika
8. Mengujipemahamansiswaataskonsepyangditemukanmelaluipengajuan
contoh dan bukan contoh konsep, dan memberi kesempatan melakukan
ModulMatematikaSMA
37
konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan soal tantangan. Ini
merupakankegiatanyangdilakukanguruuntuktahapanpembelajaran....
a. apersepsibudaya
b. orientasidanpenyelesaianmasalah
c. temuanobjekmatematikadanpenguatanskematabaru
d. menganalisisdanmengevaluasiprosesdanhasilpenyelesaianmasalah
9. Berikut ini yang bukan merupakan kegiatan guru pada tahap apersepsi
budayaadalah....
a. Menciptakanpersepsipositifdalamdirisiswaterhadapbudayanyadan
matematikasebagaihasilkonstruksisosial
b. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai
matematis,softskilldankebergunaanmatematika
c. Menjelaskan pola interaksi sosial,menjelaskan peranan siswa dalam
menyelesaikanmasalah
d. Mengarahkansiswamembangunkonsepdanprinsipsecarailmiah
10. Kegiatanpembelajarandiorganisasikanmenjadi tiga tahapkegiatanyaitu,
kegiatanpendahuluna,kegiataninti,dankegiatanpenutup.Berikutiniyang
bukanmerupakankegiatanpendahuluanadalah....
a. menyampaikangarisbesarcakupanmateridanpenjelasantentang
kegiatanyangakandilakukanpesertadidik
b. menyiapkanpesertadidiksecarapsikisdanfisikuntukmengikuti
prosespembelajaran
c. mengantarkanpesertadidikkepadasuatupermasalahanatautugas
yangakandilakukan
d. mengajukanpertanyaan‐pertanyaantentangmateriakandipelajari
Tugas1
1. Buatlah rumusan indikator pencapaian kompetensi, sesuai dengan hasil
analisisketerkaitanKI‐KD,danpemilihanmateripembelajaran.
2. TuangkanhasildiskusidalamformatdiLK‐1,yangtersediapada
lampiran1.
KegiatanPembelajaran2
38
Tugas2
1. Berdasarkan hasil tugas 1, susunlah rancangan penerapan pendekatan
saintifikpadapembelajaransecararinci.
2. TuangkanhasildiskusidalamformatdiLK‐2,yangtersediapada
lampiran2.
Tugas3
1. Berdasarkanhasiltugas1dantugas2diatas,susunlahRPPsecaralengkap.
2. Padakomponenkegiatanpembelajaran,pilihlahsatumodelpembelajaran,
dan gunakan sintak model pembelajaran tersebut untuk menentukan
langkah‐langkah pembelajarannya, dengan memperhatikan hasil
perancanganpenerapanpendekatansaintifikpadapembelajaranyangtelah
dituangkandalamLK‐2.
F. Rangkuman
1. UntukdapatmenyusunRPPdenganbaik,makaguruharusmemperhatikan
prinsip‐prinsippenyusunanRPP,komponenRPP,langkahpenyusunanRPP,
danmekanismepengembanganRPP.
2. PengembanganRPPdapatdigambarkansebagaisuatuprosesmenjabarkan
keterkaitan antara KI dan KD denganketercapaianSKL,melaluiproses
pembelajarandanpenilaian.
3. Indikatormerupakanrumusanyangmenggambarkankarakteristik,ciri‐
ciri, perbuatan, atau respon yang harus ditunjukkan atau dilakukan oleh
peserta didik dan digunakan sebagai penanda/indikasi pencapaian
kompetensidasar.
4. Materi pembelajaran dikembangkan dari KD‐3 dan/atau KD‐4, serta
memperhatikan KD‐1 dan KD‐2 sebagai dampak penggiring (nurturant
effects)hasilbelajarpesertadidik.
5. Kegiatanpembelajarandirancanguntukmemberikanpengalamanbelajar
yangmelibatkanprosesmentaldanfisikmelaluiinteraksiantarpeserta
didik,pesertadidikdenganguru,lingkungan,dansumberbelajarlainnya
untukmencapaiKD.
6. Kegiatan pembelajaran diorganisasikan menjadi tiga tahap kegiatan yaitu,
kegiatanpendahuluna,kegiataninti,dankegiatanpenutup.
ModulMatematikaSMA
39
7. Model dan/ atau metode pembelajaran yang dipilih hendaknya sesuai
denganpendekatansaintifikyangdiperlukanuntukmengembangkansikap
(spiritualdansosial),pengetahuan,danketerampilanyangpelaksanaannya
difokuskankepadakesesuaiandenganpengalamanbelajarpesertauntuk
mencapaikompetensitertentu.
8. PenentuanalokasiwaktupadasetiapKDdidasarkanpadajumlahminggu
efektif dan alokasi waktu mata pelajaran per minggu dengan
mempertimbangkanjumlahKD, keluasan,kedalaman, tingkatkesulitan,
dantingkatkepentinganKD.
9. PenilaianpencapaianKDpesertadidikdilakukanberdasarkanindikator
G. UmpanBalikdanTindakLanjut
CocokkanlahjawabanAndadengankuncijawabanyangterdapatpadabagianakhir
KegiatanPembelajaranini.Hitunglahjawabanyangbenar.Kemudiangunakan
rumusberikutiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanAndadalamKegiatan
Pembelajaranini.
Rumus:
TingkatPenguasaan Jumlahjawabanyangbenar
Jumlahsoalx100%
ArtitingkatpenguasaanyangAndacapai:
90–100 = Baiksekali
80–89 = Baik
70–79 = Cukup
<70 = Kurang
Jika tingkat penguasaan Anda minimal 80%, maka Anda dinyatakan berhasil
denganbaik.AndadapatmelanjutkanuntukmempelajariKegiatanPembelajaran
berikutnya.Sebaliknya,bilatingkatpenguasaanAndakurangdari80%,silakan
pelajari kembali uraian yang terdapat dalam Kegiatan Pembelajaran ini,
khususnyabagianyangbelumAndakuasai
KegiatanPembelajaran2
40
H. KunciJawaban
1) a
2) b
3) c
4) a
5) d
6) b
7) a
8) c
9) d
10) d
41
Evaluasi
Pilihlahdenganmemberitandasilang(X)padajawabanyangAndaanggapbenar!
1. BerdasarkanKDyangbersesuaian,dirumuskantujuanpembelajaranyangakan
dicapai adalah “Dengan proses pendekatan saintifik siswa dapat
mendeskripsikanprinsip induksi matematis”. Pengalamanbelajar siswayang
sesuaidengantujuantersebutadalah....
a. Mengamatidanmenemukanpolainduksimatematis
b. Menemukankesalahandalampernyataanmatematis
c. Membuktikansuatupernyataanmenggunakaninduksimatematis
d. Memanipulasibentukaljabaruntukmembuktikansuatupernyataan
2. UntukmembelajarkanKD“Mengidentifikasirelasiyangdisajikandalamberbagai
bentuk yang merupakan fungsi” secara kontekstual dan aktual, pengalaman
belajaryangdapatdiberikanPakIwankepadasiswanyaadalah….
a. siswa membuat berbagai bangun yang luasnya 30cm , selanjutnya
membuat tabel yang menunjukkan karakteristik setiap bangun, dan
mendiskusikanbangunyangmemilikikelilingterkecil.
b. siswa mengukur panjang, lebar, tinggi dan berat berbagai obyek tiga
dimensi, selanjutnya siswamembuatdeskripsihubunganantaraberbagai
ukuranmasing‐masingbendadenganberatnya.
c. siswamengukur keliling danmenentukan luas setiap bangun segibanyak
beraturan, selanjutnya siswa memasukkan data ke dalam tabel, dan
mendiskusikanberbagaipolayangtelahmerekaamati.
d. siswamengukurkelilingenampersegiyangberbedaukurannyakemudian
mengisi tabel “panjang sisi” dan “keliling”, selanjutnya siswa membuat
prediksikelilingterbesardanterkecildariberbagaipanjangsisipadadata
baruyangdiberikan
3. Diberikan KD “Merancang model matematika dari masalah program linear”.
Penugasanyangdapatmenumbuhkankerjasamaantarsiswaadalah....
a. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi
tugas mencari data sekunder perancangan pembangunan suatu rumah
tinggal.
Evaluasi
42
b. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi
tugas untuk mencari nilai maksimum hasil panen suatu lahan pertanian
yangditanamitigatanamandenganumurtanamhampirsama.
c. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi
tugas merancang pembuatan slide presentasi pengambilan data
transportasiBBM.
d. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi
tugasmerancangpostersuatumateripembelajaranmatematikauntukacara
diessekolahyangsegeradilaksanakan.
4. Padasaatmengoreksihasilulangan,seorangmenemukansebagianbesarsiswa
mengerjakansuatusoalsebagaiberikut.
Berkaitan dengan hal tersebut, tindakan yanga tepat dilakukan oleh guru
tersebutadalah....
a. Menjelaskankembaliartipencoretanpadapersamaan
b. Memberikanpenguatan pada siswa bahwa cara tersebut bolehdilakukan
karena 5adalahnilaiyangbenar
c. Malarang sama sekali melakukan pencoretan karena tidak ada konsep
mencoretdalammatematika
d. Memberikancontohyangserupa
5. PerhatikanKD“Mendeskripsikankonsepmatrikssebagairepresentasinumerik
dalamkaitannyadengankonteksnyata”.Konteksmasalahkekinianyangpaling
tepatdipergunakandalampembelajaranKDtersebutadalah....
a. Ketersediaan jadwal penerbangan beberapa maskapai dengan beberapa
rutepenerbangan
b. Tabel keterhubungan 7 kota besar di Indonesia dengan maskapai
penerbanganBerlianAir.
c. Tabelkebutuhanalatkantordari3karyawandariharisenin,selasa,rabu,
kamis,jumatdansabtu.
ModulMatematikaSMA
43
d. Klasemen liga sepakbola Indonesia, dengan banyak pertandingan,
kemenangan,kekalahan,kemasukan,danmemasukkangol
6. Indikator memiliki kedudukan yang sangat strategis dalam mengembangkan
pencapaiankompetensi.Fungsiindikatoradalahsebagaiberikut,kecuali....
a. mengembangkanmateripembelajaran
b. menentukanbentukdanjenispenilaian
c. mendesainkegiatanpembelajaranyangefektif
d. mengembangkanmediapembelajaran,danmenentukanalatdanbahan
7. Rumuskanyangtepatuntukindikatorpencapaiankompetensi“Mendeskripsikan
konsepbarisandanderetpadakonteksdunianyata,sepertibunga,pertumbuhan
danpeluruhan”adalah....
a. menyebutkanjenis‐jenisbungatunggal
b. menentukannilaibungatunggal
c. memahamikonsepbungatunggal
d. menjelaskankonsepbungatunggal
8. Salah satu rumusan KD sebagai berikut. "Mendekripsikan prinsip induksi
matematika dan menerapkannya dalam membuktikan rumus jumlah deret
persegidankubik."Salahsatukatakerjayangtepatuntukmerumuskanindikator
pencapaianKDtersebutadalah….
a. menentukanprinsipinduksimatematika
b. membuktikanprinsipinduksimatematika
c. memahamiprinsipinduksimatematika
d. menggunakanprinsipinduksimatematika
Evaluasi
44
45
Penutup
Demikianlahmodul ini telahdisusundengansebaik‐baiknya,walaupundisanasini
masihterdapatberbagaikekurangan.Modulinimemuaturaianmateriyangterkait
denganpengembangankurikulummatematika,mulaidaripembahasantentangarti
penting dan karakteristik matematika, hingga pengembangan RPP dan instrumen
penilaianpembelajaranmaematika.Modulinijugatelahdilengkapidenganpetunjuk
aktivitaspembelajaran,latihansoal,dansoalevaluasi.
Padaakhirnya,mudah‐mudahanmodulinidapatmemberimanfaatbagiBapak/Ibu
gurumatematika,khususnyaparapesertadiklatPKB,sebagaiacuanpembelajaran
dalammengikutidiklat,maupunsebagaibahanpembelajarandiluardiklat,sehingga
dapatmembantuBapak/Ibugurudalammengembankankompetensinya.
Terakhir, semoga segala upaya kita untukmeningkatkan pendidikan di negeri ini,
khususnya pendidikan matematika, senantiasa membawa hasil yang positif, dan
tercatatsebagaiamalkebaikandisisi‐Nya.Amin.
Penutup
46
47
Glosarium
SKL : Kependekan dari Standar Kompetensi Lulusan
adalahkriteria mengenai kualifikasi kemampuan
lulusan yang mencakup sikap, pengetahuan, dan
keterampilan.
KI : Kependekan dari Kompetensi Inti yaitu tingkat
kemampuan untuk mencapai Standar Kompetensi
Lulusan yang harus dimiliki seorang Peserta Didik
padasetiaptingkatkelasatauprogramyangmenjadi
landasanPengembanganKompetensidasar.
KD : Kependekan dari Kompetensi Dasar yaitu tingkat
kemampuan dalam konteks muatan Pembelajaran,
pengalaman belajar, atau mata pelajaran yang
mengacupadaKompetensiinti.
Sikapspiritual : Sikap yang terkait dengan pembentukan peserta
didikyangberimandanbertakwa.
Sikapsosial : Sikap yang terkait dengan pembentukan peserta
didikyangberakhlakmulia,mandiri,demokratis,dan
bertanggungjawab.
Dampakpenggiring
(nurturanteffects)
: Hasil belajar yang dihasilkan oleh proses
pembelajaran sebagai akibat terciptanya suasana
belajar yang dialami langsung oleh siswa tanpa
pengarahanlangsungdaripembelajar.
Glosarium
48
49
DaftarPustaka
Kemendiknas.(2007).PeraturanMenteriPendidikanNasionalnomor16tahun2007
tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Jakarta:
KementerianPendidikanNasional.
Kemdikbud.(2013).PeraturanMenteriPendidikandanKebudayaanNomor65Tahun
2013 tentang tentang Standar Proses Pendidikan Dasar dan Menengah.
Jakarta:KementerianPendidikandanKebudayaan
Kemdikbud. (2014‐a). PeraturanMenteri Pendidikan dan KebudayaanNomor 103
Tahun2014tentangPembelajaranpPadaPendidikanDasardanPendidikan
Menengah.Jakarta:KementerianPendidikandanKebudayaan.
Kemdikbud. (2014‐b).KerangkaDasar dan StrukturKurikulum SekolahMenengah
Atas/Madrasah Aliyah (Lampiran I‐b PeraturanMenteri Pendidikan Dan
Kebudayaan Nomor 59 Tahun 2014 Tentangkurikulum 2013 Sekolah
Menengah Atas/Madrasah Aliyah). Jakarta: Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan
Kemdikbud. (2014‐c). Pedoman Mata Pelajaran Matematika untuk
SMA/MA/SMK/MAK (Lampiran III Peraturan Menteri Pendidikan Dan
Kebudayaan Nomor 59 Tahun 2014 Tentangkurikulum 2013 Sekolah
Menengah Atas/Madrasah Aliyah). Jakarta: Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan
Kemdikbud. (2015‐a). Model Pengembangan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
SekolahMenengahAtas. Jakarta:DirektoratPembinaanSekolahMenengah
Atas.
Kemdikbud. (2015‐b). Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 53
Tahun 2015 tentang Penilaian Hasil Belajar oleh Pendidik dan Satuan
Pendidikan pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah. Jakarta:
KementerianPendidikandanKebudayaan.
Kemdikbud. (2015‐c). Panduan Penilaian untuk Sekolah Menengah Atas. Jakarta:
DirektoratJenderalPendidikanDasardanMenengah.
DaftarPustaka
50
PeraturanPemerintahnomor19Tahun2005tentangStandarNasionalPendidikan
Peraturan Pemerintah nomor 32 Tahun 2013 tentang Perubahan atas Peraturan
Pemerintahnomor19Tahun2005tentangStandarNasionalPendidikan
51
Lampiran
Lampiran1
AnalisisketerkaitanKIdanKDdengan
IndikatorPencapaianKompetensidanMateriPembelajaran
TujuanKegiatan:
MelaluidiskusikelompokpesertamampumenjabarkanKIdanKDkedalam
indikatorpencapaiankompetensidanmateripembelajaran.
LangkahKegiatan.
1. SiapkandokumenkurikulumKI–KDdansilabus!
2. IsilahlembarkerjayangtersediadenganKIdanKDyangbapak/ibupilih!
3. Rumuskanindikatorpencapaiankompetensi(IPK)hasilpenjabaranKD
tersebut,cantumkanpadakolomyangtersedia!
4. Tentukan materi/topik pembelajaran yang sesuai dengan KD dan
rumusanindikator!
5. Setelahselesai,presentasikanhasildiskusikelompokAnda!
6. PerbaikihasilkerjakelompokAndajikaadamasukandarikelompoklain!
FormatAnalisisKeterkaitanKIdanKDdenganIPKdanMateri
Pembelajaran
MataPelajaran : ______________________________________________________
Kelas : ______________________________________________________
Semester : ______________________________________________________
LK‐1
Lampiran
52
Kompetensi
Inti
Kompetensi
Dasar
Indikator
Pencapaian
Kompetensi
MateriPembelajaran
Topik/Subtopik
KI‐1
KI‐2
KI‐3
KI‐4
ModulMatematikaSMA
53
Lampiran2
PerancanganPenerapanPendekatanSaintifikPadaPembelajaran
Matematika
TujuanKegiatan:
Melaluidiskusikelompokpesertamampumerancangpenerapanpendekatan
saintifikpadapembelajaranmatematika.
LangkahKegiatan.
1. SiapkandokumenkurikulumdanhasilkegiatananalisisKI‐KD‐IPK‐
Materi(LK‐1)
2. IsilahLembarKerjaperancanganPenerapanPendekatanSaintifikyang
tersediasecaradiskusikelompok
3. Setelahselesai,presentasikanhasildiskusikelompokAnda
4. PerbaikihasilkerjakelompokAndajikaadamasukandarikelompoklain
FormatPerancanganPenerapanPendekatanSaintifikpada
Pembelajaran
KompetensiDasar :
Indikator
Pencapaian
Kompetensi
:
Topik :
SubTopik :
AlokasiWaktu :
LK‐2
Lampiran
54
TahapanPembelajaran KegiatanPembelajaran
Mengamati
Menanya
Mengumpulkan
informasi
Mengasosiasikan
Mengomunikasikan
ModulMatematikaSMA
55
Lampiran3
KunciJawabanEvaluasi
1) c
2) b
3) b
4) a
5) d
6) d
7) d
8) d
Lampiran
56
GURUPEMBELAJAR
MODUL
MATEMATIKASMA
KELOMPOKKOMPETENSIG
PROFESIONAL
KALKULUSDAN
TRIGONOMETRI
DIREKTORATJENDERALGURUDANTENAGAKEPENDIDIKAN
KEMENTERIANPENDIDIKANDANKEBUDAYAAN
2016
Penulis:1. SigitTriGuntoro,M.Si.,081328431558,[email protected]. AbdulAziz
Penelaah:1. UntungTrisnaSuwaji,S.Pd.,M.Si.,081328047171,[email protected]. HimmawatiPujiLestari,M.Si.,085643025501,[email protected]:DennySaputra,S.Kom.085227133999,[email protected]©2016DirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan.HakCiptaDilindungiUndang‐UndangDilarangmengcopysebagianataukeseluruhanisibukuiniuntukkepentingankomersialtanpaizintertulisdariKementerianPendidikanKebudayaan.
iii
KataPengantar
Peningkatan kualitas pendidikan saat ini menjadi prioritas, baik oleh pemerintah
pusatmaupundaerah. Salah satukomponenyangmenjadi fokusperhatianadalah
peningkatankompetensiguru.Perangurudalampembelajarandikelasmerupakan
kunci keberhasilan untuk mendukung keberhasilan belajar siswa. Guru yang
profesionaldituntutmampumembangunprosespembelajaranyangbaik sehingga
dapatmenghasilkanoutputdanoutcomependidikanyangberkualitas.
Dalamrangkamemetakankompetensiguru,telahdilaksanakanUjiKompetensiGuru
(UKG) Tahun 2015. UKG tersebut dilaksanakan bagi semua guru, baik yang sudah
bersertifikat maupun belum bersertifikat untuk memperoleh gambaran objektif
kompetensi guru, baik profesional maupun pedagogik. Hasil UKG kemudian
ditindaklanjutimelaluiProgramGuruPembelajarsehinggadiharapkankompetensi
guruyangmasihbelumoptimaldapatditingkatkan.
PPPPTK Matematika sebagai Unit Pelaksana Teknis Kementerian Pendidikan dan
KebudayaandibawahpembinaanDirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan
mendapat tugas untuk menyusun modul guna mendukung pelaksanaan Guru
Pembelajar. Modul ini diharapkan dapatmenjadi sumber belajar bagi guru dalam
meningkatkankompetensinyasehinggamampumengambiltanggungjawabprofesi
dengansebaik‐baiknya.
Yogyakarta,Maret2016
KepalaPPPPTKMatematika,
Dr.Dra.DaswatiaAstuty,M.Pd.
NIP.196002241985032001
KataPengantar
iv
v
DaftarIsi
DaftarIsi........................................................................................................................................................v
DaftarGambar............................................................................................................................................v
a. BagianKalkulus...........................................................................................................................v
b. BagianTrigonometri.................................................................................................................v
DaftarTabel..............................................................................................................................................vii
a. BagianKalkulus........................................................................................................................vii
b. BagianTrigonometri..............................................................................................................vii
Pendahuluan...............................................................................................................................................1
A. LatarBelakang............................................................................................................................1
B. Tujuan.............................................................................................................................................1
C. PetaKompetensi........................................................................................................................2
D. RuangLingkup............................................................................................................................3
E. SaranCaraPenggunaanModul............................................................................................3
KEGIATANPEMBELAJARAN(KB).....................................................................................................5
BAGIANIKALKULUS..............................................................................................................................5
KB1:LimitFungsidanStrategiPenyelesaiannya......................................................................5
A. Tujuan.............................................................................................................................................5
B. IndikatorPencapaianKompetensi.....................................................................................5
C. UraianMateri...............................................................................................................................5
1. Pengertianlimitfungsi........................................................................................................5
2. Sifat‐sifatdanteoremalimit.............................................................................................9
3. Limittakhingga(infinitelimits)...................................................................................11
4. Limitditakhingga(limitsatinfinity).........................................................................15
5. StrategiSederhanadalamMenyelesaikanLimit....................................................19
D. AktivitasPembelajaran.........................................................................................................25
E. Latihan..........................................................................................................................................29
F. Rangkuman.................................................................................................................................29
G. UmpanBalikdanTindakLanjut........................................................................................31
KB2:TurunandanIntegral................................................................................................................33
DaftarIsi
vi
A. Tujuan...........................................................................................................................................33
B. IndikatorPencapaianKompetensi...................................................................................33
C. UraianMateri.............................................................................................................................33
1. PengertianTurunan...........................................................................................................33
2. Sifat‐sifatdanTeoremaTurunan..................................................................................35
3. IntegralTakTentu(IndefiniteIntegral)....................................................................36
4. Strategisederhanadalammenentukanhasilintegraltaktentu.....................38
5. IntegralTertentu(DefiniteIntegral)..........................................................................40
6. Menentukanluasdaerah..................................................................................................43
D. AktivitasPembelajaran.........................................................................................................48
E. Latihan..........................................................................................................................................53
F. Rangkuman.................................................................................................................................53
G. UmpanBalikdanTindakLanjut........................................................................................55
KEGIATANPEMBELAJARAN(KB)...................................................................................................59
BAGIAN2TRIGONOMETRI................................................................................................................59
KegiatanPembelajaran(KB).............................................................................................................59
KB1:UkuranSudut.............................................................................................................................59
A. Tujuan...........................................................................................................................................59
B. IndikatorPencapaianKompetensi...................................................................................59
C. UraianMateri.............................................................................................................................59
1. UkuranSudut........................................................................................................................60
2. SudutdalamKoordinatCartesius................................................................................62
D. AktivitasPembelajaran.........................................................................................................63
E. Latihan..........................................................................................................................................64
F. Rangkuman.................................................................................................................................64
G. UmpanBalikdanTindakLanjut........................................................................................65
KB2:FungsiTrigonometri,SudutBerelasi,danInversFungsiTrigonometri.............66
A. Tujuan...........................................................................................................................................66
B. IndikatorPencapaianKompetensi...................................................................................66
C. UraianMateri.............................................................................................................................66
1. FungsiTrigonometri..........................................................................................................67
2. SudutIstimewa....................................................................................................................68
ModulMatematikaSMA
vii
3. SudutBerelasi.......................................................................................................................71
4. Inversfungsitrigonometri..............................................................................................85
D. AktivitasPembelajaran.........................................................................................................88
E. Latihan..........................................................................................................................................89
F. Rangkuman.................................................................................................................................90
G. UmpanBalikdanTindakLanjut........................................................................................91
KB3:IdentitasTrigonometri,AturanSinusdanCosinus,sertaSifatMaksimum/MinimumFungsiTrigonometri...............................................................................92
A. Tujuan...........................................................................................................................................92
B. IndikatorPencapaianKompetensi...................................................................................92
C. UraianMateri.............................................................................................................................92
1. IdentitasTrigonometri.....................................................................................................92
2. AturanSinuspadaSegitiga..............................................................................................94
3. AturanCosinuspadaSegitiga.........................................................................................95
4. LuasSegitiga..........................................................................................................................97
5. FormulaCosinus,Sinus,danTangentSudutRangkap......................................100
6. MengubahBentukPerkaliankePenjumlahanatauSelisih............................101
7. NilaiMaksimumatauMinimumpadaFungsiTrigonometri..........................102
D. AktivitasPembelajaran......................................................................................................102
E. Latihan.......................................................................................................................................105
F. Rangkuman..............................................................................................................................106
G. UmpanBalikdanTindakLanjut.....................................................................................109
Evaluasi...................................................................................................................................................111
Penutup...................................................................................................................................................115
DaftarPustaka......................................................................................................................................117
Glosarium................................................................................................................................................119
BagianKalkulus:..............................................................................................................................119
BagianTrigonometri.....................................................................................................................120
Lampiran.................................................................................................................................................121
DaftarIsi
viii
v
DaftarGambar
a. BagianKalkulusGambar1Pengamatanfungsi.............................................................................................................6Gambar2Fungsitidakkontinyu........................................................................................................8Gambar3Fungsitidakadalimit........................................................................................................8Gambar4GrafikKetidakadaanlimit..............................................................................................11Gambar5Limittakhingga.................................................................................................................12Gambar6Limittakhingga.................................................................................................................13Gambar7Limitditakhingga............................................................................................................15Gambar8Limitditakhingga............................................................................................................16Gambar9Ketidakadaanlimit............................................................................................................17Gambar10Ketidakadaanlimit.........................................................................................................21Gambar11Gradien................................................................................................................................34Gambar12Pemahamangradiengarissinggung.......................................................................34Gambar13Caramempartisi..............................................................................................................41Gambar14Contohpartisi...................................................................................................................41Gambar15Kurvatertutupsederhana...........................................................................................43Gambar16Kurvatertutuptidaksederhana...............................................................................43Gambar17Luasdaerahantaraduakurva...................................................................................44Gambar18Contohluasdaerahantaraduakurva....................................................................44Gambar19Contohluasdaerahantaraduakurva....................................................................45Gambar20Luasdaerahpadadualuasan....................................................................................46Gambar21Luasdaerahdibawahsumbu‐x................................................................................47Gambar22Luasdaerahantaraduakurva...................................................................................47
b. BagianTrigonometriGambar1Rotasigarisberlawananarahjarumjam................................................................59Gambar2Rotasigarissearahjarumjam......................................................................................60Gambar3Lingkaran..............................................................................................................................61Gambar4Daerahkuadran.................................................................................................................62Gambar5LingkarandenganjuringAOB......................................................................................63Gambar6Pengamatansudutpadapohon...................................................................................66Gambar7Segitiga–segitigasiku–sikuyangsebangun.......................................................67Gambar8Segitigasamasisi................................................................................................................69Gambar9Segitigasamakaki..............................................................................................................70Gambar10SudutberelasidikuadranI..........................................................................................72Gambar11SudutberelasidikuadranII........................................................................................73Gambar12Relasisudut dengansudut ° .............................................................75Gambar13SudutberelasidikuadranIII.....................................................................................76Gambar14Relasisudut dengansudut ° .............................................................78Gambar15SudutberelasidikuadranIV......................................................................................80
DaftarGambar
vi
Gambar16Relasisudut dengansudut ° ............................................................82Gambar17Relasisudut dengansudut .........................................................................83Gambar18SegitigaSiku‐siku..........................................................................................................87Gambar19Segitigasiku–siku.........................................................................................................93Gambar20SegitigaABCdengantinggih......................................................................................94Gambar21Segitigalancip..................................................................................................................94Gambar22SegitigaABCdengantinggih......................................................................................95Gambar23Segitigadengansalahsatusudutnya °.............................................................98
vii
DaftarTabel
a. BagianKalkulusTabel1...........................................................................................................................................................7Tabel2.........................................................................................................................................................12Tabel3.........................................................................................................................................................14Tabel4.........................................................................................................................................................16Tabel5.........................................................................................................................................................49
b. BagianTrigonometriTabel1.........................................................................................................................................................62Tabel2.........................................................................................................................................................72Tabel3.........................................................................................................................................................74Tabel4.........................................................................................................................................................75Tabel5.........................................................................................................................................................77Tabel6.........................................................................................................................................................78Tabel7.........................................................................................................................................................80Tabel8.........................................................................................................................................................82Tabel9.........................................................................................................................................................84Tabel10......................................................................................................................................................86
DaftarTabel
viii
1
Pendahuluan
A. LatarBelakang
Merujuk pada PeraturanMenteri Pendayagunaan AparaturNegara dan Reformasi
Birokrasi (PermenpandanRB)Nomor 16 tahun2009 tentang Jabatan Fungsional
Guru dan Angka Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru.
Konsekuensinya adalah guru dituntut melakukan pengembangan keprofesian
berkelanjutan(PKB)sehinggagurudapatmenjalankan tugasdan fungsinyasecara
profesional. Masih merujuk pada Permenpan dan RB tersebut, pengembangan
keprofesian berkelanjutan meliputi kegiatan pengembangan diri yaitu diklat
fungsional dan kegiatan kolektif guru serta publikasi ilmiah dan karya inovasi.
Dengandemikiansebenarnyagurupastiakanmencarikegiatansepertiyangtertuang
dalamperaturantersebut.
Berkaitan dengan hal ini pemerintah harus menyediakan atau paling tidak
memfasilitasi kegiatan dimana guru terus dapatmengembangkan kompetensinya,
disamping guru juga harus secara aktif berupaya mencari kegiatan untuk
pengembangan dirinya. Salah satu upaya pemerintah adalah diklat pasca uji
kompetensi guru (UKG). Diklat yang dimaksud disini adalah pelatihan terhadap
kompetensiguruyangperluditingkatkandidasarkanpadaujikompetensinya.
Khususuntukmodulini,meskipundapatdimanfaatkansecaramandiri,sebenarnya
modul ini akandigunakandalamkegiatandiklat pascaUKG.Karenadimanfaatkan
untuk kegiatandiklatmakadidalamnyamemuat kegiatan‐kegiatan yangberisikan
aktifitaspadasaatdiklat.Kegiatan‐kegiatantersebut(baikdiklatmaupunmandiri)
dilakukanagarkompetensigurumeningkatyangakanterlihatpadapeningkatannilai
UKG.
B. Tujuan
Tujuan disususnnya modul ini adalah untuk memfasilitasi guru dalam rangka
pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) baik secara mandiri maupun
melaluikediklatan.Jikamodulinidigunakandalamkediklatanmakafasilitatordan
pesertadiklatdapatsecarabersamamemanfaatkanmoduliniuntukpembelajarandi
kelasdenganalurkegiatansesuaidenganskenariofasilitator.Namunbilaguruingin
Pendahuluan
2
mempelajarimodul ini secaramandirimaka kegiatannya harus dimulai dari awal
sampaiakhir.
C. PetaKompetensi
BagianKalkulus
BagianTrigonometri
Pengertian limit
Teorema dan sifat limit
Menyelesaikan limit
Integral tak tentu
Integral tertentu
Luas daerah
TFK (Teorema
Fundamental Kalkulus)
Turunan fungsi
Teorema dan sifat turunan
Anti turunan
ModulMatematikaSMA
3
D. RuangLingkup
Dalammodulinidipaparkanmateriberkaitandengankalkulusdantrigonometri.
Untukbagiankalkulusmembahasmengenailimit,turunandanintegraldengan
rincian:
limit,meliputipengertianlimit,sifatdanteoremalimit,limittakhingga,limitdi
takhingga,danstrategipenyelesaiannya
turunan,meliputipengertianturunan,sifat‐sifatdanteorematurunan,dan
gambargrafikturunan
integral,meliputiintegraltaktentu,strategimenentukanintegraltaktentu,
integraltertentu,danmenentukanluasdaerah
Untukbagiantrigonometrimeliputi:
ukuransudut
fungsitrigonometri,sudutberelasi,daninversfungsitrigonometri.
identifikasigrafikfungsitrigonometridanmelukiskoordinatpolar(kutub)
Identitas trigonometri, aturan sinus, aturan cosinus, dan sifatmaksimum dan
minimumdarifungsitrigonometri.
E. SaranCaraPenggunaanModulModul ini dapat digunakan untuk dua keperluan yaitu untuk diklat atau kegiatan
mandiri.
1. Untukkeperluandiklat
Jikamodulinidigunakandalamkegiatandiklatmakasebaiknyafasilitatormenyusun
poin‐poin penting untuk dijadikan sebagai bahan tayang. Selanjutnya peserta
melakukan kegiatan atau pengerjaan tugas sesuai dengan yang sudah dirancang
dalam bahan modul ini. Sebagai alternatif, langkah pembelajaran yang dapat
dilakukanadalah:
‐ Fasilitatormenyampaikanpoin‐poinkegiatanakandilakukan
‐ Pesertadiklatmembacamateri,mengerjakanbagianaktifitas,menyelesaikan
tugasataulatihanyangdidampingifasilitator.
‐ Selanjutnya, cocokan hasil pengerjaan pengerjaan peserta dengan kunci
jawaban.Untukmelihatketercapaiankompetensidanlangkahapayangmesti
dilakukansilahkanlihatbagiantindaklanjut.
Pendahuluan
4
Upayakanpermasalahantuntasdibahasdalamkegiatanini.Sangatdimungkinkan
dalam kegiatan ini, peserta maupun fasilitator mencari referensi dari bahan
bacaanlainatausumberlain.
2. Untukkegiatanmandiri
Jika bahan modul ini digunakan untuk keperluan kegiatan secara mandiri maka
pembacaperlumemulainya secaraurutdaribagianpertama sampaibagianakhir.
Sangat disarankan untuk tidakmembuka kunci jawaban terlebih dahulu sebelum
pembacamengerjakansemualatihanpadasuatubagiankegiatanbelajar.
5
KEGIATANPEMBELAJARAN(KB)
BAGIANIKALKULUS
KB1:LimitFungsidanStrategiPenyelesaiannya
A. TujuanKegiatanbelajarinibertujuanuntukmemberikanpemahamankepadapesertadiklat
atau pembaca berkaitan dengan pengertian limit fungsi dengan bahasa sederhana
maupun dengan ungkapan formal. Selain itu, kegiatan belajar ini ditujukan untuk
memberikan tambahan pengetahuan berkaitan dengan strategi penyelesaian
masalah limit fungsi. Kegiatan yang dimaksud dapat dilakukan secara mandiri
maupundalamkegiatandiklat.
B. IndikatorPencapaianKompetensi
Setelahmembacadanmengikuti serangkaian kegiatanpadamodul ini, peserta
diklatataupembacamampu
1. memahami pengertian limit dengan bahasa sederhana maupun dengan
definisiformal ‐ (baca:epsilondelta)
2. menggunakansifatlimitfungsiuntukmenentukannilailimitfungsialjabar
3. menggunakan sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi
trigonometri
4. membuktikankebenaransuatulimitfungsi
C. UraianMateri
1. PengertianlimitfungsiPernahkahAndamenjumpaiseorangguruataupendidiklainnyamengajarkanlimit
fungsi dengan langsung definisi? Biasanya, guru yang mengajarkan limit fungsi
dengan langsungdefinisiakanmenyajikan langsung limitmenggunakan ‐ (baca:
epsilondelta)padatahapawalpembahasan,yaitudefinisilimitfungsisepertiberikut
ini.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
6
Caraseperti initidaklahsalah,karenasejatinyasecaraformallimitharusdisajikan
dalam ‐ sepertipengertiandiatas.Namunapakahsiswaataumungkinkita(guru)
bisa paham denganmaksud kalimat tersebut? Tentunya ada sebagian paham dan
sebagian lain tidak mengerti maksud definisi tersebut. Untuk memudahkan
pemahamankitamulaidaricontoh.Misalkandiberikan 1.
Gambar1Pengamatanfungsi
Kemudianamatinilai padasumbu‐ bila mendekati2padasumbu‐ .Padasaat
mendekati 2 perhatikan bahwa mendekati suatu nilai tertentu. Perlu
ditekankandisinibahwapadawaktu mendekati2makafokusperhatiankitaadalah
nilaipadaordinat sumbu‐ ,jadibukanfokuspadakurva 1.Mengapa
demikian? Karena kurva tersebut hanyalah aturan pemasangan dan ,
sedangkanfokuskitapadanilai yangadapadasumbu‐ .Demikianjugaperlu
diingatbahwamendekati2padacontohiniadalahmendekatidarikiridanmendekati
darikanankarena fungsi terdefinisidi 2dandi 2 persekitaran2 .Untuk
melihatpolayangterjadiperhatikantabelTabel1berikut.
lim→ artinya untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga berlaku
| | untuk 0 | |
ModulMatematikaSMA
7
Tabel1
1,997 1,998 1,999 2 2,001 2,011 2,111
4,988009 4,992004 4,996001 ? 5,004001 5,044121 5,456321
Mencermatitersebutwajarkitaakanmenyimpulkanbahwa mendekati5untuk
mendekati 2. Dari sini muncul pertanyaan “berapa nilai 2 ?”, atau “haruskah
2 5?” Kenyataannya memang mendekati 5 jika mendekati 2 dan
kebetulan 2 5.Sebenarnyanilai5yangdidekatioleh jika mendekati2
tidakadakaitandengannilai 2 5.Bahkanandaikan 2 tidak terdefinisipun
tetapmendekati5 jika mendekati2 lihatgrafikdantabeldiatas .Kondisi
seperti ini kita maknai sebagai “jika → 2maka → 5” sebagian literatur
menggantikata‘mendekati’dengankata‘menuju’ .Inilahsebenarnyayangkemudian
ditulismenjadi
lim→ 1 5.
Apabilakitadalami lebih lanjut,pengungkapan “ jika → 2maka → 5”yaitu
mendefinisikan limit dengan bahasa verbal belum operasional dalammatematika.
Mengapa demikian?Misalkan diketahui lim→ dan lim
→ , kemudian
kita diminta menunjukkan bahwa lim→ , maka kita akan
mengalami kesulitan dalam mengungkapkan buktinya. Oleh karena itu perlu
pendefinisian secara formal. SeorangmatematikawanPerancis bernamaAugustin‐
LouisCauchymenyusundefinisitentanglimitsecaraformalyangmasihdigunakan
sampaisekarangsebagaiberikut.
Definisiinisebenarnyasamadenganmengatakan“jika → maka → ”.Selain
itudaridefinisitersebutnyataterlihatbahwakitatidakmembicarakannilai di
Definisi:
Pengertian Lxfcx
)(lim secara formal adalah bahwa untuk setiap 0 ,
terdapat 0 sedemikian hingga | – | untuk setiap | – | .
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
8
atau nilai tetapi nilai untuk disekitar c. Bahkan andaikan tidak
terdefinisidi maka tetaplimitfungsitersebut.Sebagaicontohamatigrafikberikut.
Gambar2Fungsitidakkontinyu
Jelas bahwa fungsi tidak terdefinisi di 0 0 tidak terdefinisi , tetapi nilai
limitnyaadayaitu2ataulim→√
2.
Sekarang,amatifungsi yangdidefinisikan
3, 01, 0
Gambar3Fungsitidakadalimit
Pada Gambar 3 terlihat bahwa ada dua kasus yang terkait. Pertama, untuk
mendekati 0 dari arah kiri → 0 maka mendekati 1, artinya tidak
mendekati3danjugatidakmendekatinilaiyanglain.Kedua,untuk mendekati0
dariarahkanan → 0 maka mendekati3,tidakmendekati1danjugatidak
ModulMatematikaSMA
9
mendekati nilai yang lain. Dengan keadaan seperti ini apakah lim→
3, untuk 01, untuk 0
ada?Ataunilailimitnyaadaduayaitu1dan3?Pertanyaanini
akanterjawabsetelahkitapahampengertianlimitfungsi.
2. Sifat‐sifatdanteoremalimitPerlumenjadiperhatianbahwaketikainginmenentukannilailimitsuatufungsi,kita
tidakharuskembalipadadefinisilimit,tetapimemanfaatkanteoremaatausifat‐sifat
limit. Berkaitan dengan teorema atau sifat yang dimaksud akan lebih baik jika
teorema atau sifat yang digunakan sudah dibuktikan terlebih dahulu. Berikut ini
beberapasifatdanteorematerkaitlimityangdapatdigunakanuntukmenyelesaikan
permasalahanlimit
Misalkan c suatu konstanta dan lim→ serta lim
→ dua‐duanya ada maka
berlaku
1 lim→ lim
→ lim
→
2 lim→ lim
→ lim
→
3 lim→ . lim
→ . lim
→
4 lim→ →
→
bilalim→ 0
5 lim→ lim
→
6 lim→
lim→
7 lim→ lim
→ bila positipdanruaskirilimitnyaada
8 lim→
9 lim→ lim
→ ,jika dalambentuk , dan ada. Teorema
L’Hopital
10 Untuk suatufungsiyangkontinyudi makalim→
Bukti untuk sifat di atas tidak disajikan dalam tulisan ini, tetapi pembaca dapat
memperolehnyadibukureferensi 2 padadaftarpustaka.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
10
Berikutinicontohpenggunaansifat‐sifatlimit.Detailpenggunansifatlimitinidapat
dilihatdibagianaktivitaspadamodulini.
Contoh3.1:
Tentukanhasillim→
2 1 sin
Jawab:
lim→
2 1 sin lim→ 2 1 lim
→sin
1 0
1
Contoh3.2:
Tentukanhasillim→
2
Jawab:
lim→
2 lim→2 lim
→
2 1
1
Contoh3.3:
Tentukannilailim→ 5 ⋅
Jawab:
lim→ 5 ⋅
11
lim→5 ⋅ lim
→
11
20 ⋅lim→1
lim→
1
20 ⋅15
4
Namunperhatikanuntukkasusberikut:
lim→ 2 ⋅ lim
→2 ⋅ lim
→ memanfaatkansifat3
Seperti kita ketahui ruas kiri hasilnya 2 sedangkan ruas kanan tidak terdefinisi.
Mengapademikian? lihatsoallatihan
ModulMatematikaSMA
11
Contoh3.4:
Diketahuilim→ 1,tentukanlim
→ .
Jawab:
lim→sin
lim→1
sin
lim→1
lim→sin
11
1
Contoh3.5:
Tentukannilailim→
Jawab:
lim→
42
lim→
42
√4
2
3. Limittakhingga(infinitelimits)Padabagiansebelumnyatelahdisinggungmengenaiketidakadaanlimitsuatufungsi.
Selanjutnyaamatigrafikfungsi sepertigambarberikut.
Gambar4GrafikKetidakadaanlimit
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
12
ApabilakitacermatiGambar5diatasterlihatbahwauntuk mendekati2dariarah
kirimaka menujutakhingganegatif.Tetapiuntuk mendekati2dariarahkanan
maka menujutakhinggapositip.Kondisisepertiinimenunjukkanbahwa tidak
punya limit untuk mendekati 2. Jadi lim→ tidak ada. Selanjutnyabandingkan
denganfungsi berikut.
Gambar5Limittakhingga
Perhatikan pada Gambar 6 di atas, tampak bahwa akan menuju tak hingga
positip bila menuju 0. Kasus seperti ini pun menunjukkan bahwa tidak
mempunyai limit untuk mendekati 0. Jadi lim→ tidak ada. Dari sini muncul
permasalahan, apa yang membedakan ketidakadaan nilai lim→ , lim
→ dan
lim→ dengan 3, untuk 0
1, untuk 0.Apakahketiganya sama?Atauada
perbedaan dari ketiganya. Secara pengamatan dari ketiganya tampak adanya
perbedaan.Perhatikantabel3berikut
Tabel2
LimitFungsi Nilailimitfungsi Keterangan
lim→32 Tidak ada
Limit kiri menuju negatif tak hingga sedangkan limit kanan menuju (positip) tak hingga
lim→1 Tidak ada
Baik limit kiri maupun limit kanan menuju (positip) tak hingga
ModulMatematikaSMA
13
lim→
dimana
3, untuk 01, untuk 0
Tidak ada Limit kiri menuju 1 sedangkan limit kanan menuju 3
Bilakitacermatimakaadaperbedaanyangnyatadariketiganyayaitukondisiyang
menyebabkan limit tidak ada lihat kolom keterangan . Dari sini kemudian
dikembangkansuatukonseplimittakhinggasebagaiberikut.
Suatulimitfungsi dikatakansebagailimittakhingga infinitelimits jika menuju
tak hingga positip atau menuju tak hingga negatif. Secara formal definisi yang
dimaksudadalahsebagaiberikut
Dengan pendefinisian ini maka ketidakadaaan limit seperti yang sudah di bahas
sebelumnyamenjadiberbedasedikit.Sebagaicontoh lim→ . Semula lim
→ tidak
ada,tetapidenganpendefinisianbarumakakitatulislim→ ∞.Sebagaigambaran
lihatgrafikdibawah
Gambar6Limittakhingga
Misalkan suatufungsiyangterdefinisipadaintervalterbukayang
memuat (bolehjugatidakterdefinisidi )makayangdimaksuddengan
lim→ ∞
adalahuntuksetiap 0terdapat 0sehingga untuk0 | | .
Demikianpulauntuk
lim→ ∞
artinyauntuksetiap 0terdapat 0sehingga untuk0 | |
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
14
Perhatikanbahwakitatelahberanimenggunakantanda“ ∞”setelahadadefinisi
tersebut.Untukmempermudahpemahamanperhatikantabelberikut.
Tabel3
LimitFungsi Nilailimitfungsi Keterangan
lim→
1 ∞
Baiklimitkirimaupunlimitkananmenuju(positip)takhingga
lim→
1 Tidakada
Limitkirimenujunegatiftakhinggasedangkanlimitkananmenujupositiptakhingga
lim→
12
∞Baiklimitkirimaupunlimitkananmenujunegatiftakhingga
TidakadaLimitkiritidaksamadenganlimitkanan
Perlumenjadiperhatianbahwatandasamadengan “ ” padacontoh lim→ ∞,
bukan berarti limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana
ketidakadaanlimitfungsitersebut.Ringkasnya,khususuntukcontohtersebut,nilai
fungsiakanmenujutakhinggajika menuju0.
Secara umum, bila diketahui lim→ ∞ atau lim
→ ∞ bukan berarti
limitnyaadaditakhinggaataudinegatiftakhingga,namununtukmenggambarkan
bagaimanalimit fungsitersebuttidakadadenganmenunjukkanbahwanilai fungsi
menujutakhinggaataunegatiftakhinggajika menuju .
Contoh4.1
Tentukanlimitlim→
lim→
ModulMatematikaSMA
15
Jawab:
Perhatikanbahwauntuk mendekati1darikiri → 1 maka menujunegatiftak
hinggasedangkanjika mendekati1darikanan → 1 maka menujupositiftak
hingga.Dengandemikianlim→ tidakada
Contoh4.2
Tentukanlimitlim→√
Jawab:
Perhatikan bahwa√
terdefinisi untuk 1atau dengan kata lain
| ∈ , 1 . Sehingga limit yang dapat kita selidiki adalah limit kanan.
Sedangkanlimitkiritidakdibicarakan.Jadipemaknaan → 1adalah → 1 .Jikakita
perhatikandankitacermatimakanilai semakinmembesarapabila mendekati
1.Jadilim→√
∞
4. Limitditakhingga(limitsatinfinity)Untukmempermudahdalampemahamankitamulaidaricontohsuatu fungsiyang
didefinisikansebagai .Selanjutnyakitalihatgrafikfungsinya.
Gambar7Limitditakhingga
Secaragrafik,kitadapatlihatbahwa akanmunuju3bila menujutakhingga,
atau kita tulis “ → 3untuk → ∞”. Dapat juga kita tulis “ →
∞ → 3”.Sementaraitusecaranumerikdapatkitalihatpadatabelberikut.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
16
Tabel4
∞
← ‐1000 ‐100 ‐10 1 0 1 10 100 1000 → ∞
3 ← 2,99999
7 2,9997 2,97
1,5
0 1,5 2,97 2,9997
2,999997
→ 3
Dengan memperhatikan tabel 5 maka dapat ditarik kesimpulan bahwa → 3
untuk → ∞.Apabiladimaknailebihlanjut,pernyataan menujutakhingga → ∞
mengandungartibahwauntuksetiapbilanganpositip selaluadanilai sehingga
.Demikianpulauntuk menujunegatiftakhingga → ∞ mengandungarti
bahwauntuksetiapbilangannegatif selaluadanilai sehingga .Berdasarkan
pemaknaaninimakadisusundefinisiformaluntuklimitditakhinggasebagaiberikut.
Definisidiatasdapatdiilustrasikansepertigambarberikut.
Gambar8Limitditakhingga
Misalkan suatu bilangan real maka yang dimaksud dengan
lim→
adalah untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga jika berlaku | |.
Demikian pula untuk lim→
artinya setiap 0 terdapat 0 sehingga jika berlaku | |
ModulMatematikaSMA
17
Terlihatbahwauntuksetiap 0terdapat 0sehinggauntuk makagrafik
beradadiantaragarishorisontal dan .
Contoh5.1
a. Tentukanhasildari lim→
Jawab:
Fungsi dapatdigambarkansebagaiberikut.
Gambar9Ketidakadaanlimit
Biladicermatimakatampakbahwa menuju0untuk menujutakhingga.Jadi
dapat disimpulkan bahwa lim→
0. Bukti bahwa lim→
0 untuk kegiatan
aktifitas.
b. Denganmenggunakansifatlimit,tentukan lim→
Jawab:
lim→
2 1
1lim→
2 1
1
lim→
21
11
1
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
18
lim→
2 lim→
1
lim→
1 lim→
1
2 lim→
1
1 lim→
1
2 01 0
2
c. Tentukan lim→
Jawab:
Karenasoaltersebuttermasukdalambentuk makapembilangdanpenyebut
dibagi atau selengkapnyalihatbagiancaramenyelesaikanlimit .Untuk
pengerjaandibawah,pembilangdanpenyebitdibagioleh .
lim→
2
1lim→
2
1
lim→
2
1
lim→
21
11
lim→
2lim→
1 lim→
lim→
1 lim→
1
0 1 lim→
1 0
∞
ModulMatematikaSMA
19
5. StrategiSederhanadalamMenyelesaikanLimitStrategisederhanayangdimaksuddisiniadalahcaramenyelesaikanpersoalanlimit
denganmemanfaatkanteoremadanpenjelasan‐penjelasanpadabagiansebelumnya.
a. Limitfungsi untuk menujunilaitertentu( → , ∈ )
1) Substitusilangsungpadafungsinya.
Misalkaninginditentukanhasillim→ .Jika tidakmenemuihasil“janggal”
dalam arti tidak terdefinisi / tidak tentu / tak hingga, maka umumnya nilai
limitnya adalah . Cara ini sejatinya sekedarmemanfaatkan kekontinyuan
fungsi di titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila
fungsinyatidakkontinyumakacarainitidakbisadigunakan.Jadiperlukehati‐
hatian,walaupun adatetapibelumtentuberlakulim→
Contoh6.1:
a. lim→
42
3 43 2
9 43 2
5
b. lim→
21
12 2 22 1
2 1
09
2 1
1
Bedakandengancontohberikut
c. lim→
22
12 2 22 2
2 1
2 1 ?
Tidakbolehdilanjutkandengancaratersebutkarenamemuatbentuktaktentu .
d. Diberikanfungsi , 3
0, 3.Tentukan lim
→
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
20
Jelasbahwa 3 0,tetapi lim→
6.Jaditidakberlaku lim→
3
walaupun 3 adayaitu0.
2) Padabentukrasionalumumnyadapatdisederhanakan.
Carainisesungguhnyasekedarmengubahbentukrasionalmenjadibentuklain
sehinggamempunyaifaktoryangsamadipembilangdanpenyebut.Faktoryang
sama ini selanjutnya dapat digunakan untukmerasionalkan penyebut. Faktor
yangsamainidapatpulahasildarimemfaktorkanpembilang
Contoh6.2:
lim→
273
lim→
3 3 93 3
lim→
3 93
92
:
3) Substitusimemuatbentuk dengan .
Jika dengan substitusi memuat bentuk dengan 0, umumnya Namun
demikian,adabeberapakasuswalaupunmemuatbentuk dengan 0tetapi
limitnyaada.Carasepertiinisebenarnyahanyamemanfaatkankebiasaanorang
menghindaribentuk .
Contoh6.3:
a .Tentukanlim→
3
Jawab:
Bila 3disubstitusikankedalamfungsimaka
diperoleh 3 3yaitumemuatbentukdengan 0.Olehkarena
itulim→
3 tidakada.Sebagaigambaranuntukmemperjelasgrafikdari
fungsitersebutadalah
ModulMatematikaSMA
21
Gambar10Ketidakadaanlimit
Jadilim→
3 tidakada
b . lim→
22 4
12
Perhatikanbahwalimittersebutmemuat dengan 0yaitu
yangmemuatbentuk dan
Meskipunmemuatbentuk dan ,namunlimitnyaadayaitu
lim→
22 4
12
lim→
22 4
2 22 4
lim→2 2 2
2 4lim→4 22 4
lim→
2 42 4
1
Mengapameskipunfungsidiatasmemuatbentuk dengan 0tetapi
limitnyaada?Jawabannyaadalahkarenabentuktersebutpadahakekatnya
adalahbentuk∞ ∞ lihatstrategiberikutnya .
4) Substitusimemuatbentuk .
Jikadengansubstitusimemuatbentuk makanilailimitdapatditentukandengan
menyederhanakanataumenggunakanteoremaL’hopital lihatsifatlimit hanya
pada bentuk yang memuat tersebut. Cara ini sebenarnya hanya
menggabungkansifat‐sifatlimit.Perludicatatdisinibahwapenggunaanteorema
tersebut,hanyasebataspenggunaandulu,karenapembahasanteoremabelum
diberikan.Sebagaigambaran,mengingatsifat1dansifat6maka
83
3
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
22
lim→
11
lim→
lim→
11
PerhatikanbahwateoremaL’hopitaldapatdigunakanuntukbagianlim→
saja,
tidakperlumulaidarilim→
Contoh6.4:
a .lim→ memuatbentuk karena .Jadipenyelesaiannyaadalah
lim→
6416
lim→
64 ′16 ′
lim→
32
lim→
32
6
b .lim→ 1 memuat bentuk hanya pada bagian . Secara
jelasnyabentuktersebutadalah 1 .
Perhatikanbagiandarilim→ 1 yangmemuatbentuk yaitu
1 sehinggahanyabentuk iniyangperluteoremaL’hopital.
Jadilim→ 1 lim
→ 1
lim→
2 21
1
lim→
2 2 21
2 1
√3 3√3
ModulMatematikaSMA
23
Halinidapatdilakukanmengingatsifatlimit
c . lim→
√ 39
lim→
√ 3 ′9 ′
lim→
12√1
16√6
b. Limitfungsi untukxmenujutakhingga(limitsatinfinity)
1) Limitfungsiyangmemuatbentuk∞ ∞.
Limitfungsiyangmemuatbentuk∞ ∞umumnyadiselesaikanmelaluicara
mengalikandengansekawannya
Contoh6.5:
a . lim→
2 4 lim→
2 4 ∙2 √4
2 √4
lim→
4 4
2 √4
lim→
2 √4
∙
1
1
lim→
2 4
lim→
1
2 41
1
2 √4 0
14
b . lim→
√ 7 √ lim→
√ 7 √ ∙√ √
√ √
lim→
√ √
lim→
√ √
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
24
lim→
pembilangdanpenyebut
dibagi
√ √3
2) Limitfungsiyangmemuatbentuk
Limitfungsiyangmemuatbentuk denganpembilangdanpenyebutsuatu
polinomial,perlumemperhatikan
Pangkattertinggivariabelpembilanglebihbesardaripenyebutmakatidak
punyalimit
Contoh6.6:
lim→
2 5
1lim→
2
5
1
lim→
lim→
lim→
2 lim→
1 lim
→
5
lim→
1 lim→
1
→
∞
Pangkattertinggivariabelpenyebutlebihbesardaripangkattertinggi
variabelpembilangmakanilailimitnyanol
Contoh11:
lim→
2 5
1lim→
2 1 5
1
lim→
lim→
0
Pangkattertinggivariabelpembilangsamadenganpangkattertinggi
variabelpenyebutmakanilailimitnyaadalahperbandingankoefisien
variabeltertinggidaripembilangdanpenyebut
ModulMatematikaSMA
25
Contoh6.7:
a . lim→
5 2 5
2 1lim→
52
5
2 1
lim→
b . lim→
√
.
Perhatikanbahwasukudenganvariabelpangkattertinggipembilang
adalah9 .Karenadidalamakarmakauntukkeperluanmenghitung
limit,sukutersebut“dipandang”sebagai√9 menghilangkansuku
2 5 .Tetapisebenarnyatidakdemikian lihatlatihan .
Sehinggapengerjaandapatdisederhanakansebagai
lim→
√
lim→
√
lim→
√ √
c . lim→
√
lim→
√ √
D. AktivitasPembelajaran
Aktivitas1:
Perhatikanpenyelesaiandarisoalberikut.
(i) Tentukanlim→
(ii) Tentukanpenyelesaiandari 2
Pengerjaanuntuk(i)
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
26
Pengerjaan(ii)
Mencermati pengerjaan tersebut, memunculkan pertanyaan mengapa proses
mencoretpadapengerjaan(i)bolehdilakukan,tetapiprosesmencoretpengerjaan(ii)
tidakbolehdilakukan?Jelaskan
Aktivitas2:
Diketahui hubungan antara temperatur ( ) dan Volum ( ) pada suatu wadah
bertekanan tetap adalah ,
,. Dengan mencermati hubungan tersebut,
apakah mempunyaibatasbawah?Jelaskanmengapademikian.
Aktivitas3a:
Perhatikanpengerjaanlimitberikut
Jelaskansecararincidandetailsifat‐sifatapasajayangdigunakanuntuk
mengerjakansoallimittersebut.
ModulMatematikaSMA
27
Aktivitas3b:
Seorangsiswamengerjakansoallimitdibawahinidenganhasilakhir0.
lim→ √1 1
Siswatersebutlangsungmenduga0karenabagianpembilangadaunsur dan
kebetulan menuju0.Apakahhasilinibenar?Berikanpenjelasan
Aktivitas4:
PernahkahAndamendengarsesorangmengatakan“limitnyatakhingga”atau
“limitnyatidakada”?Berkaitandenganinidiskusikanbagaimanacaramenulishasil
limitfungsiberikut.
(i) lim→
(ii) lim→
(iii) lim→ dimana 3, untuk 0
1, untuk 0
Aktivitas5.a:
Diskusikanperbedaanlimittakhingga(infinitelimits)danlimitditakhingga(limits
atinfinity).
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
28
Aktifitas5.b
Dalammenyelesaikan lim→
√
,bolehkahkita“pandang”
√16 2 5sebagai√16 (menghilangkansuku 2 5dibawah
akar)sehinggapengerjaanmenjadilebihsederhana?Diskusikandanberikan
penjelasan.
Aktifitas6a:
Buatlah suatu fungsi (misalkan ) yang relatif rumit, kemudian substitusikan
suatubilangan(namakan )sehinggatidakterjadihasilpenyebutbernilainol.Setelah
itu Tentukan lim→
. Selidiki apakah hasil limitnya ? Sebagai pemantapan,
bolehmenggunakanmediaTIKuntukmenentukanhasillimitnya
Aktifitas6.b
Dalammenyelesaikan lim→
2 √4 ,bolehkahkita“pandang”√4
sebagai√4 saja(menghilangkansuku“ "dibawahakar)sehinggapengerjaan
menjadilebihsederhana?Diskusikanbandingkandenganaktifitas5.3danberikan
penjelasan.
ModulMatematikaSMA
29
E. LatihanKerjakansoal‐soalberikutini
1. Buktikan bahwa jika lim→ dan lim
→ maka lim
→
2. Jika lim→ ada, apakah limit kiri dan limit kanankeduanyaharus selalu
ada?Apakahbolehsalahsatusaja?Jelaskan
3. Tentukannilailim→
4. Buktikanlim→
tidakada
F. RangkumanPengertian limit fungsi dapat diungkapkan dalam bahasa verbal maupun bahasa
formal.Dalambahasaverballim→ diungkapkansebagai akanmendekati
nilai apabila mendekati . Sedangkan penyajian dengan bahasa formal arti
lim→ adalah untuk setiap 0 , terdapat 0 sedemikian hingga
| – | untuksetiap0 | – | .
Untukmenentukan nilai limit suatu fungsi, kita tidak harus kembali pada definisi
limit, tetapi memanfaatkan teorema atau sifat‐sifat limit. Teorema yang sering
digunakanadalahsebagaiberikut.
Misalkan c suatu konstanta dan lim→ serta lim
→ dua‐duanya ada maka
berlaku
1) lim→ lim
→ lim
→
2) lim→ lim
→ lim
→
3) lim→ . lim
→ . lim
→
4) lim→ →
→
bilalim→ 0
5) lim→ lim
→
6) lim→
lim→
7) lim→ = lim
→ bila positipdanruaskirilimitnyaada
8) lim→
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
30
9) lim→ lim
→ ,jika dalambentuk , dan ada.(Teorema
L’Hopital)
10) Untuk suatufungsiyangkontinyudi makalim→
Selain menyelesaikan permasalahan limit dapat menggunakan strategi sederhana
sebagaiberikut
a. Limitfungsi untuk menujunilaitertentu( → , ∈ )
1) Substitusilangsungpadafungsinya.
2) Menyederhanakanbentukrasional
3) Jikadengansubstitusimemuatbentuk dengan 0,umumnyafungsitidak
mempunyai limit. Namun demikian, ada beberapa kasus walaupunmemuat
bentuk dengan 0tetapilimitnyaada.
4) Jika dengan substitusi memuat bentuk maka nilai limit dapat ditentukan
dengan menyederhanakan atau menggunakan teorema L’hopital (lihat sifat
limit)hanyapadabentukyangmemuat tersebut.
b. Limitfungsi untukxmenujutakhingga(limitsatinfinity)
1) Limitfungsiyangmemuatbentuk∞ ∞,umumnyadiselesaikanmelaluicara
mengalikandengansekawannya
2) Limitfungsiyangmemuatbentuk denganpembilangdanpenyebutsuatu
polinomial,perlumemperhatikan
Pangkattertinggivariabelpembilanglebihbesardaripenyebutmakatidak
punyalimit
Pangkattertinggivariabelpenyebutlebihbesardaripangkattertinggi
variabelpembilangmakanilailimitnyanol
Pangkattertinggivariabelpembilangsamadenganpangkattertinggi
variabelpenyebutmakanilailimitnyaadalahperbandingankoefisien
variabeltertinggidaripembilangdanpenyebut
Berkaitandenganistilahlimittakhingga,terdapatperbedaanantaralimittakhingga
(infinitelimits)danlimitditakhingga(limitsatinfinity).Limittakhinggalim→
∞dimaknaisebagiuntuksetiap 0terdapat 0sehingga jika0
ModulMatematikaSMA
31
| | .Sedangkanlim→ ∞dimaknaisebagiuntuksetiap 0terdapat
0sehingga jika0 | |
Contohdiantaranyaadalahlim→ ∞danlim
→ ∞
Sementaraituuntuklimitditakhingga lim→
dimaknaisebagaiuntuksetiap
0 terdapat 0 sehingga jika berlaku | | , sedangkan
lim→
dimaknaisebagaiuntuksetiap 0terdapat 0sehinggajika
berlaku| |
Contoh: lim→
1 demikianpula lim→
1
G. UmpanBalikdanTindakLanjut
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan sudah mampu memahamipengertianlimitfungsidenganbahasasederhanamaupunbahasaformal.SelainituAndadiharapkanmampumenyelesaikanpermasalahanlimitbaikberkaitandenganmenentukannilailimitmaupunberkaitandenganpembuktianlimit.Untukmegukuritu semua Anda harus mengerjakan semua soal yang ada di bagian latihan.SelanjutnyacocokkanjawabanAndadengankunci.Karenakegiataninimerupakanevaluasidirimakapengerjaanyangjujuradalahkuncikeberhasilanuntukmengukurcapaiankompetensi( ).Berkaitandenganitu,pertimbangkanhalberikut
Perolehan
(dalam%)
Deskripsidantindaklanjut
91 100 SangatBaik,berartiAndabenar‐benarmemahamipengertianlimit.Selanjutnyakembangkanpengetahuandantuangkandalampembelajaran
76 91 Baik,berartiAndacukupmemahamipengertianlimitwalaupunadabeberapabagianyangperludipelajarilagi.Selanjutnyapelajarilagibeberapabagianyangdirasakanbelumbegitudipahami.
50 76 Cukup,berartiAndabelumcukupmemahamipengertianlimit.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagibagianyangbelumdikuasaidanmenambahreferensidarisumberlain
50 Kurang,berartiAndabelumdapatmemahamipengertianlimit.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagidariawaldanmenambahreferensidarisumberlain
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
32
H. KunciJawaban
1. Jawab:
Setiap 0 terdapat dan sehingga berlaku | | jika 0
| | dan | | jika0 | | .Selanjutnya,pilih
min , ,makaakanberlaku
| | | |
| | | |
2 2
2. Jawab:
Tidakharus.Contohlim→√ 1 0,tetapilimitkiritidakadakarenadomain
fungsinyaadalah 1
3. Jawab:
lim→ lim
→2. . Karena untuk → 0maka2 → 0 maka berlaku
lim→ lim
→2. 2 lim
→ 2.1 1
4. Jawab:
Andaikanlim→
.Makakitadapatambil | | 1 0sehinggaberlaku
| | | | 1 jika 0 | | untuk suatu 0. Sementara itu untuk
| || |
maka dipenuhi 2| | 1 . Sehingga dengan memilih ∗
min , | | 1 makaberlaku
2| | 11
1
1| |
| | 1 | |
2| | 1
Terjadisuatukontradiksikarenatidakmungkin2| | 1 2| | 1.Jadi
pengandaiansalah,yangberartilim→
tidakada
ModulMatematikaSMA
33
KB2:TurunandanIntegral
A. TujuanKegiatanbelajarinibertujuanuntukmemberikanpemahamankepadapesertadiklat
ataupembacaberkaitandenganpengertianturunan,integralyangmencakupintegral
tak tentu dan integral tertentu serta teorema fundamental kalkulus. Selain itu,
kegiatanbelajariniditujukanuntukmemberikantambahanpengetahuanberkaitan
dengancaramenyelesaikan integral tak tentudan integral tertentu.Kegiatanyang
dimaksuddapatdilakukansecaramandirimaupundalamkegiatandiklat.
B. IndikatorPencapaianKompetensi
Setelahmembacadanmengikutiserangkaiankegiatanpadamodulini,pesertadiklat
ataupembacamampu
1. memahamipengertianturunan,integraltaktentudanintegraltertentudarisuatu
fungsi
2. menentukanhasilintegraltaktentudanintegraltertentufungsialjabar
3. menentukanhasilintegraltaktentudanintegraltertentufungsitrigonometri
4. memahamiteoremafundamentalkalkulus
C. UraianMateri
1. PengertianTurunan
Jikakitaberbicaramengenaikecepatan,percepatan,nilaimaksimumdanminimum
suatufungsimakasebenarnyakitasedangmembahasmengenaiturunan.Sementara
ituturunan(secaradefinisi)adalahpengembangandarikonseplimit.Sebagaiawal
pembicaraan marilah kita memahami turunan sebagai gradien garis singgung.
Perhatikan gradien garis (bukan garis singgung) yangmemotong kurva
berikut.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
34
Gambar11Gradien
Gardiengaris∆
∆
∆
∆.
Untuk∆ → 0dapatdiilustrasikansepertigambarberikut
Gambar12Pemahamangradiengarissinggung
Dengandemikiangradiengarissinggungkurvadititik( , namakan dapat
dipahamisebagaiformula
lim∆ →
∆∆
jikanilailimitnyaada.Misalkanfokuskitatidakpadapadasatutitik,tetapipada
titiksembarangdidomainnyamakaformuladiatasdapatdinyatakansebagaisuatu
fungsiyangdilambangkandengan ′ dimana
′ lim→
jikalimitnyaada.Bentukterakhirinilahyangdinamakanturunandarifungsi pada
domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka turunan fungsi ini dapat
ModulMatematikaSMA
35
dikatakansebagaifungsigradiengarissinggungkurva .Berkaitandengannotasiini,
adasebagianliteraturyangmenyajikan sebagai ′atau ′
Contoh1.1:
Tentukanturunandari
Jawab:
lim→
lim→
lim→
2
lim→
2
lim→
2
2
2. Sifat‐sifatdanTeoremaTurunan
Perlumenjadiperhatianbahwaketikainginmenentukanturunansuatufungsi,kita
tidakharuskembalipadadefinisinya,tetapimemanfaatkanteoremaatausifat‐sifat
padaturunan.Berikutinibeberapasifatdanteorematerkaitturunansertabeberapa
hasilturunanyangseringdigunakan.Buktiuntuksifatdiatastidakdisajikandalam
tulisanini,tetapipembacadapatmemperolehnyadibukureferensi[2]padadaftar
pustaka.
1
2
3 ′
4 .
5
6 . ′
7
8 ln| | ′
9 ln
10 sin cos
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
36
11 cos ′ sin
12 tan sec
Contoh2.1
Tentukanturunandari
Jawab:
Denganmemanfaatkansifatturunandiperoleh
sin2
sin2
22 cos 2 sin
4
Contoh2.2
Tentukangardiengarissinggungkurva log dititik 10,1
Jawab:
Untukmenentukan gradien garis singgung di suatu titik, dapat dilakukanmelalui
definisi (menggunakan limit) atau dengan cara menentukan fungsi turunannya
terlebih dahulu. Misalnya kita mengambil cara menentukan fungsi turunannya
terlebihdahulu
loglnln 10
1ln 10
1
1ln 10
Berarti 10 .
Jadigradiengarissinggungdititik 10,1 adalah
3. IntegralTakTentu(IndefiniteIntegral)
Sebelumpembicaraanlanjut,marilahkitabahasmulaidariistilahnya.Mengapaada
katataktentu?Misalkankitainginmencarifungsi yangmempunyaiturunan
3 .Mungkinsajakitalangsungmenentukan karena 3 .Tetapi
jika diperhatikan lagi,masih banyak fungsi yang turunannya 3 . Contoh
1, 25mempunyaihasilturunan 3 dan 3 .
Kitamasihdapatmenentukanbanyaklagifungsilainyangturunannya 3 .
Pengerjaansepertiinidinamakanmenemukansuatuantiturunandarisuatufungsi.
Prosesmenentukanfungsi sedemikaianhingga dinamakanproses
antiturunanataupengintegralantaktentu.Secaradefinisidituliskansebagaiberikut.
ModulMatematikaSMA
37
Perlumenjadiperhatianbahwakata“suatu”disiniamatpenting,karenakata“suatu”
itu menunjuk pada salah satu fungsi antiturunannya. Operasi untuk menentukan
semuaantiturunan ditulisdengansimbolintegral”ʃ“.Jadipenyelesaianproses
inidituliskansebagai
.
Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan
makadapatdikatakanbahwaintegraladalahinversdariturunan.
Contoh4.1:
a. Diberikan ,tentukan
i suatuantiturunandari
ii hasildari
Jawab:
i Karena yang diminta hanya menentukan suatu antiturunan, kita dapat
denganbebasmemilihsuatufungsiyangturunannya ,misalkansajaambil
fungsi 10maka iniadalahsuatuantiturunandari .
ii Untuk pertanyaan kedua, sebenarnya kita diminta menentukan semua
fungsiyangturunannya .Jadihasilnyaadalah
dimana suatukonstanta
Sebelummembahasmengenailuasdaerahyangdibatasigrafik,perludibahas
terlebihdahulucaramenentukanhasilintegraltaktentu
b. Tentukanhasildari
i 1
ii cos sin
Jawab:
i 1
ii cos sin cos sin
Fungsi dinamakansuatuantiturunandari padainterval jika untuksetiap
yangberadadalaminterval
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
38
4. Strategisederhanadalammenentukanhasilintegraltaktentu
Sedapatmungkindisederhanakan jikabisadilakukan
Contoh5.1:
a.
1
b. 1 1 ∙
1
1 ∙ 1
Jikaadafaktoryangbentukaljabarnyarelatifsederhana,hindariuntukpemisalan
Contoh5.2:
Tentukan √ 7
Perhatikanbahwabentukaljabar lebihmudahdaribentukaljabar 7.
Olehkarenaituhindaripemisalan .Gunakanpemisalan 7.
3 ↔ .Jadi
7 √ 13
13
√29
29
7
Untuk fungsi rasional, jadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor‐
faktornya
Contoh5.3:
Tentukan
Perhatikanbahwa
22
22 1
ModulMatematikaSMA
39
2 1
1 22
22
Darisinidiperoleh , .Sehingga
22
23
12
23
11
23ln 2
23ln 1
Untukkasuscampuranyangmerupakanperkalianduafungsidimanasalahsatu
fungsibisaditurunkanterussampaimenghasilkan0danfungsiyanglainselalu
dapat ditentukan integralnya maka pengerjaannya dapat dilihat seperti pada
contoh.
Contoh5.6:
a. Misalnyaakanditentukanhasildari cos 2 .
Pengerjaansebagaiberikut:
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
40
Jadidiperoleh,
cos 2 ∙ sin 2 3 ∙ cos 2 6 ∙ sin 2 6 ∙ cos 2
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
b. Tentukanhasil 1
Cara1:
Pengerjaansebagaiberikut:
Jadidiperoleh,
1 1 .14
2.120
2.1120
16
14
Cara2:
1
16
14
Selainstrategisederhanadalammenentukanintegral,perludiingatjugabeberapa
sifat‐sifatdanrumusintegraltaktentusepertitertuangpadalamiran
5. IntegralTertentu(DefiniteIntegral)
Untukmempermudahpemahamankitamulaidarisuatufungsi yangkontinyu
pada interval . Selanjutnya kita bagi interval , dalam subinterval
dengan panjang sama yaitu ∆ . Kemudian misalkan , , … ,
batas‐bataspadasubinterval.Pilihtitik‐titik ∗, ∗, … , ∗ padasubintervalsehingga∗ berada pada subinterval , ,maka integral tertentu dari sampai
adalah
lim→
∗ ∆
ModulMatematikaSMA
41
jikalimittersebutada.Simbol“ ”dinamakansimbolintegral.Suatuhalyangperlu
ditegaskandisinibahwasimbol“ ”berbedamaknadengansimbol“ ”pada
antiturunan.Apaperbedaannya?Lihatdiaktifitas.
Contoh6.1:
Perhatikanluasanberikutbesertapartisinya.
Gambar13Caramempartisi
Selanjutnya,padainterval 0,2 kitabuatmenjadi subintervaldenganpanjang
samayaitu∆ denganbatas‐batasinterval
0, , … , 2.
Gambar14Contohpartisi
Kemudian kita pilih ∗ yang berada pada subinterval , sebagai ∗
supaya lebih mudah . Dengan mengacu pada pendefinisian integral tertentu
makadiperoleh
lim→
∗ ∆
1 2
1
1 2
1
jumlah partisi diperbanyak
1 2
1
∆ ∆
12
12
12
∆
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
42
lim→
2
lim→
122 4
⋯2
.2
1
Jadi,
12
1
Terlihatbahwaintegraltertentumenunjukansuatuluas.Darisinitimbulpertanyaan,
apakah untukmenentukan integral tertentu selalu harus selalumenggambar dan
menggunakan partisi? Jawabannya adalah tidak harus. Kita cukup bersyukur dan
bangga dengan adanya Teorema Fundamental Kalkulus TFK yang diantaranya
menyatakanbahwa
dimana adalahantiturunandari .
Berkaitandenganpenulisan,banyakorangmenggunakan | untukmengganti
.DalamtulisaninitidakdibahasmengenaibuktiTFK,namunpembaca
dapatmemperolehnyadireferensi 1, 2 dan 3
Misalkanuntukcontohtadi,kitaakanmenentukanhasildari .Langkah
pertamaadalahmenentukanantiturunan primitive dari yaitu
12
14
DenganmemakaiTFKmakadiperoleh
2 0
142
140
ModulMatematikaSMA
43
1
6. Menentukanluasdaerah
Untuk menentukan luas daerah khususnya daerah yang dibatasi oleh dua grafik
dilakukan dengan menghitung integral tertentu masing‐masing kurva. Proses ini
dapatdilakukanjikaintegraltaktentusudahdiperoleh.Untukitu,gunakancara‐cara
untukmenentukanintegraltaktentuyangsudahdibahaspadabagiansebelumnya.
Jikaduagrafikmembentukkurvatertutupsederhana(misalkanfungsi dan )maka
untukmenentukanluasdaerahyangdimaksudadalahdenganmenentukanintegral
tertentu denganbatasintegraltitik‐titikpotongnya.
Gambar15Kurvatertutupsederhana
Gambar16Kurvatertutuptidaksederhana
Mengapademikian?Cobacermatiuraianberikut.
Diberikanfungsi dan sepertigambardibawahini.
kurvatertutupsederhana
kurvatertutuptidaksederhana
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
44
Gambar17Luasdaerahantaraduakurva
Denganmemperhatikangrafikdiatasjelasbahwa dapatditentukandengan
Selanjutnya, untuk daerah berikut, apakah untukmenghitung luas juga dilakukan
penguranganseperticarasebelumnya?
Gambar18Contohluasdaerahantaraduakurva
Apakah ?
Sekarang coba perhatikan bila kedua fungsi di atas masing‐masing ditambah
sehinggaluasannyadiatassumbu‐ .
ModulMatematikaSMA
45
Gambar19Contohluasdaerahantaraduakurva
Perhatikanbahwamenambahkan padamasing‐masingfungsitidakmengubahluas
maupunabsistitikpotongkeduafungsitersebut.DengandemikianluasLadalahluas
daerah dibawah kurva dikurangi luas daerah dibawah kurva
denganbatas dan .Ataudalambentukintegraldinyatakandengan
Akibatnya,
Berartiluasdaerahyangdibatasiolehkurvatertutupsederhanadimanapunletaknya
dapatditentukandengancaramenghitungintegraltertentuhasilpengurangankurva
pertamaolehkurvakedua atausebaliknya denganbatas‐batastitikpotongnya.
Sedangkan untuk kurva tertutup tidak sederhana, menentukan luas harus
memperhatikanbagian‐bagianluasannya
Contoh7.1:
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
46
a. Berapaluasdaerahyangdibatasioleh 3 , 4dansumbu‐x?
Jawab:
Untuk daerah I sangat mudah ditentukan luasnya yaitu 1 . Sedangkan
daerahIIdihitungdenganmenggunakanintegral
4
4
2 4 2 1 4 1
1
Sehingga,
1 1 3
b. Hitunglahluasdaerahyangdibatasioleh , 3,dan 4serta
sumbu‐x.
Gambar20 Luasdaerahpadadualuasan
ModulMatematikaSMA
47
Gambar21Luasdaerahdibawahsumbu‐x
Jawab:
Untukmenentukanluasdaerahyangdiarsir,samasajadenganmenentukanhasil
dari .
ln 2 ln 1
ln
c. Tentukanluasdaerahyangdibatasikurva 4 dan 2
Jawab:
Ditentukanterlebihdahulutitikpotongnya dalamhaliniadalahbatasintegralnya .
4 2
2 0
2 1 0titikpotongnya 2,0 dan 1,3 .
Gambar22Luasdaerahantaraduakurva
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
48
Luasdaerahyangdimaksudadalah
4 2
13
12
2
412
D. AktivitasPembelajaran
Aktivitas1a
Denganmenggunakandefinisiturunan(melaluilimit),tentukanturunan
kemudiandiskusikanapayangpalingdirasasulitdalammenentukanturunantadi?
Aktivitas2a
Tentukanhasildari √ sin .Sifat‐sifatmanasajayangdigunakanuntuk
menyelesaikanhasiltersebut?Jelaskandandiskusikan
ModulMatematikaSMA
49
Aktivitas2b
Lengkapitabelberikutini
Tabel5
No FungsiPenulisankembali
TurunanFungsi
Bentuk
Sederhana
1 √ 12
,1
2√
2 √2 ... ... ...
31
2 sin ... ... ...
412
3√ ... ... ...
5sin cos
√ ... ... ...
Aktivitas3
Gambarlahsketsagrafikfungsi 1 dantentukantitik‐titikpadagrafik
tersebutsehinggagradiengarissinggungnyasejajardengansumbu
Aktivitas4
Cobakerjakansoalberikut.
(i) sin
(ii) sin
Apayangmembedakanhasil(i)dan(ii)?Jelaskan
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
50
Aktivitas5a
Tentukanhasildari√
dandiskusikanlangkah‐langkahapayang
dilakukanuntukmenyelesaikansoaltersebut.
Aktivitas5b
Cobacermatiduaorangyangberusahamencobamenyelesaikanpersoalanberikut
Orang1:
Tentukankasildari √ 1 .
Jawab:
Misalkan ,maka 2 dan sehingga
1 1 ⋅ 1
2√
12
1
12
1
12
⋅
tidakbisamelanjutkan.
Orang2:
Tentukanhasildari √ 1 .
Jawab:
Misalkan 1,maka 3 sehingga
ModulMatematikaSMA
51
1 √ .13
√
23
Jadi √ 1 √ 1
Denganmencermatipekerjaantersebut,diskusikanmengapaorang1tidakmampumenyelesaikansoaltersebut?
Aktivitas6a
Perhatikangrafikfungsidanluasanberikutberikut.
Denganmenggunakanintegraltertentu(denganpartisi)hitunglahluasdaerahyangdiarsir.Selanjutnya,cocokkandenganhasilhitunganyangmenggunakanteoremafundamentalkalkulus.
Aktivitas6b
Jawablahpertanyaanberikut,sebelumberdiskusi.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
52
(i) Apakahhasil suatubilangan?
(ii) Apakahhasil suatubilangan?
Selanjutnyadiskusikanapayangmembedakanantara dengan .
Aktivitas6c
DenganmemanfatkanTFKhitunglah
(i)
(ii)
(iii) √
(iv) sin cos
(v) 1
Aktivitas7a
Perhatikanluasanberikut.
Apakahluasantersebutdapatdihitungsecaralangsungdengan
dengan dan absistitikpotongnya?Jelaskandandiskusikan
ModulMatematikaSMA
53
Aktivitas7b
Karenahasildari 0makaluasdaerahyangdibatasikurva ,garis
2,garis 2dansumbu‐ adalah0.SetujukanAndadenganpernyatantersebut.
Jelaskandandiskusikan
E. Latihan1. Buktikanturunandari3xadalah3
2. Misalkangradiengarissinggungpertamam,gradiengarissinggungkeduan
dimanam n,apakahgarissinggungpertamapasti lebihdatardarigaris
singgungkedua?
3. Contohkanfungsiyangtidakmempunyaigradiengarissinggungpadatitik
tertentu.
4. Tentukanhasildari e sin 2x dx
5. Tentukanluasdaerahyangdibatasigarisx 2,x 2dankurvax
6. Tentukanluasdaerahyangdibatasifungsif x x 3dan 9
F. RangkumanDiberikansuatufungsi .Gradiengarissinggungkurvadititik c, f c namakan
dipahamisebagaiformula
lim∆ →
∆∆
jikanilailimitnyaada.Misalkanfokuskitatidakpadapadasatutitik,tetapipada
titiksembarangdidomainnyamakaformuladiatasdapatdinyatakansebagaisuatu
fungsiyangdilambangkandenganf′ x dimana
′ lim→
jikalimitnyaada.Bentukterakhirinilahyangdinamakanturunandarifungsi pada
domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka turunan fungsi ini dapat
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
54
dikatakansebagaifungsigradiengarissinggungkurva .Berkaitandengannotasiini,
adasebagianliteraturyangmenyajikan sebagai ′atau ′.
Ketikainginmenentukanturunansuatufungsi,kitatidakharuskembalipadadefinisi
diatas, tetapimemanfaatkan teoremaatausifat‐sifatpada turunan.Beberapasifat
yangseringdigunakanadalahsebagaiberikut.
1
2
3 ′
4 .
5
6 . ′
7
8 ln| | ′
9 ln
10 sin cos
11 cos sin
12 tan sec
Fungsi dinamakansuatuantiturunandari padainterval jika untuk
setiap yangberadadalaminterval .Kata“suatu”disiniamatpenting,karenakata
“suatu” itu menunjuk pada salah satu fungsi antiturunannya. Operasi untuk
menentukan semua anti turunan ditulis dengan simbol integral ” ʃ “. Jadi
penyelesaianprosesinidituliskansebagai
.
Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan
maka dapat dikatakan bahwa integral adalah invers dari turunan. Suatu hal yang
penting disini adalah Teorema Fundamental Kalkulus TFK yang diantaranya
menyatakanbahwa
ModulMatematikaSMA
55
dimana adalahantiturunandari .
Berkaitandenganpenulisan,banyakorangmenggunakan | untukmengganti
.
G. UmpanBalikdanTindakLanjutSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan sudah mampu memahami
pengertianturunandanintegralsertateoremafundamentalkalkulus(TFK).Selainitu
Anda diharapkanmampumenyelesaikan permasalahan berkaitan dengan turunan
danintegral.UntukmegukuritusemuaAndaharusmengerjakansemuasoalyangada
dibagianlatihan.SelanjutnyacocokkanjawabanAndadengankunci.Karenakegiatan
inimerupakanevaluasidirimakapengerjaanyangjujuradalahkuncikeberhasilan
untukmengukurcapaiankompetensi( ).Berkaitandenganitu,pertimbangkanhal
berikut
Perolehan
(dalam%)
Deskripsidantindaklanjut
91 100 SangatBaik,berartiAndabenar‐benarmemahamipengertianturunandanintegral.Selanjutnyakembangkanpengetahuandantuangkandalampembelajaran
76 91 Baik,berartiAndacukupmemahamipengertianturunandanintegralwalaupunadabeberapabagianyangperludipelajarilagi.Selanjutnyapelajarilagibeberapabagianyangdirasakanbelumbegitudipahami.
50 76 Cukup,berartiAndabelumcukupmemahamipengertianturunandanintegral.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagibagianyangbelumdikuasaidanmenambahreferensidarisumberlain
50 Kurang,berartiAndabelumdapatmemahamipengertianturunsandanintegral.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagidariawaldanmenambahreferensidarisumberlain
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
56
H. KunciJawaban1. Jawab:
Misalkan 3 maka
lim→
lim→3 3
lim→3
3
2. Jawab:
Tidakpasti.Contoh 10dan 1,jelasbahwa 10 1tetapigaris
singgungbergradien 1lebihdatar
3. Jawab:
Salah satu contoh adalah | |. Fungsi ini tidak mempunyai gradien
garissinggungdi 0
4. Jawab:
Misalkan 2 maka .Jadi
sin 212
sin
12.12
cos sin
14
cos 2 sin 2
ModulMatematikaSMA
57
5. Jawab:
Karenayangdimintaadalahluasdaerahdibatasihanyasatukurva,makakita
harus berhati‐hati terhadap posisi kurvanya. Dalam hal ini kita akan
menghitungbagian‐bagiannyayaitu
14
4
dan
14
4
Jadiluasdaerahyangdimaksudadalah 8
6. Jawab:
Titikpotong 3dan 9adalah 3,0 dan 4,7 .
Jadiluasdaerahnyaadalah
3 9
12
57,17
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus
58
59
KEGIATANPEMBELAJARAN(KB)
BAGIAN2TRIGONOMETRI
KegiatanPembelajaran(KB)KB1:UkuranSudutA. TujuanMemahamisatuanpengukuransudut.
B. IndikatorPencapaianKompetensiPeserta diklat atau pembaca dapat memahami satuan pengukuran sudut dan
menjelaskanhubunganantararadiandanderajatsebagaisatuanpengukuransudut
C. UraianMateriSudutdidefinisikansebagaiperputaransuatugaristertentukegaristertentulainnya
terhadappusatputaran.Padaumumnyasudutdinotasikandengan“ ”
X
Y
O
Gambar1Rotasigarisberlawananarahjarumjam
Diperhatikan, garis diputar terhadap titik kegaris , sehinggamembentuk
sudut ,danditulis XOY
Selanjutnya, jika garis OX diputar berlawanan arah jarum jam kegaris OY, maka
XOY disebut sudut positif (Gambar 1). Sebaliknya, jika garisOX diputar searah
jarumjamkegarisOY,maka XOY disebutsudutnegatif(Gambar2).
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
60
X
Y
O
Gambar2Rotasigarissearahjarumjam
1. UkuranSudutUntukmenyatakanbesarsudut,dapatdilakukandenganduaukuran,yaitu:
UkuranDerajat
Ketikamembicarakanukuransudutdalamderajatmakapertanyaanyangsering
terlintasdibenakkitaadalahmengapasatuputaranlingkaransamadengan360
derajat?Untukmenjawabini,cobakitatengokkembalisejarahbangsaSumeria
dimasalaluyangtinggaldiMesopotamia(sekitarIrakselatan).Bangsainitelah
menemukantulisansekitartahun3000SMdanmembuatkalenderpada2400
SM.Kalenderituterdiriatas12bulandimanamasing‐masingterdapat30hari.
Ini berakibat dalam satu tahun ada 360 hari. Temuan ini didasari dari
pengamatanmerekaterhadapmatahari,danlimaplanetyangdapatterlihatyaitu
Merkurius, Venus, Mars, Yupiter dan Saturnus. Pada saat itu ada anggapan
matahari berputar mengelilingi bumi selama 360 hari dan gerakan Matahari
dianggap sebagai lingkaran penuh, maka disepakati bahwa satu putaran
lingkaran penuh sebesar 360 derajat. Selain itu para ahli matematika dan
astronomiasalBabiloniadanYunanijugasepakatbahwa1putaransamadengan
360 derajat. Mereka menggunakan basis 60 atau dikenal dengan sebutan
seksagesimalsebagaibasisbilangankalaituuntukmenentukan1putaranpenuh
samadengan360o,Selanjutnyasistemukurandenganmenggunakanderajatini
juga dikenal sebagai sistem seksagesimal. Derajat sendiri dinotasikan dengan
“°",contohnya72°(dibaca:tujuhpuluhduaderajat).
1putaran=360°,sehingga1°1
360putaran.
1° 60′(60menit)
1′ 60"(60detik)
ModulMatematikaSMA
61
Menitdandetikdalamhalinibukanlahukuranwaktu,melainkanderajatsudut.
UkuranRadian(UkuranLingkaran)
Sepertiyangkitaketahuibahwasebuahlingkaranyangmemilikijari–jarir
memilikikeliling2 r.PerhatikanGambar3berikut.
Gambar3Lingkaran
Gambardiatasadalahsebuahlingkarandenganjari–jari danberpusatdititik
.Panjangbusur samadenganpanjangjari–jarilingkaran,dituliskan
.Besarsudutpusat∠ disebut1radiankarenapanjangbusur
(didepansudutpusat∠ )samadengan .Karenakelilinglingkaransama
dengan 2 maka sudut 1 lingkaran penuh = 2 × 1 radian = 2 radian .
Perhatikanperhitungandibawahini.
∠
°
°
1360°
12π
1180°
57,3°
1° 0,017
Selanjutnyajikadiketahuisudutpusat∠ secaraumummakabesarsudut
pusat∠ dalamradiandidefinisikansebagaiperbandinganantarapanjang
busur (busurdidepansudutpusat∠ )denganjari‐jarilingkaran.
POQ
Secaramatematisditulis:
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
62
POQ
dengan adalahpanjangbusur ,dan adalahjari‐jarilingkaran.
Ukuran radianditulisdengan .
2. SudutdalamKoordinatCartesiusDalamkoordinat Cartesius jika diketahui sudut dengan acuan awal
padasumbu positifdan titikacuannyapadasumbu ,makasudut itu
dinamakan sudut awal yang besarnya adalah 0°. Lebih lanjut, sudut 0°
disebutsudutacuan.DalamsistemkoordinatCartesius,olehkeduasumbu
koordinatbidangterbagimenjadiempatdaerah.Keempatdaerahtersebut
dikenaldenganKuadranI,KuadranII,KuadranIII,danKuadranIV.
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
X
Y
Gambar4Daerahkuadran
Dari gambar diatas dapat disimpulkan letak suatu sudut pada empat
Kuadran,dantandanilaiabsis danordinat sebagaiberikut:
Tabel1
Kuadran Absis Absis Besar
I
II
III
IV
0° 90°
90° 180°
180° 270°
270° 360°
ModulMatematikaSMA
63
Sudut yang besarnya 0°, 90°, 180°, 270°, dan 360° merupakan sudut‐sudut
pembataskuadran.Sudut‐suduttersebuttidakterletakdiKuadranI,Kuadran
II,KuadranIII,maupunKuadranIV.
ContohSoal
Nyatakanlah:
a. 150°dalamukuranradian.
b. 3
4 dalamukuranderajat.
Jawab:
a. 150° 150180
5
6
b. 3
4
3
4
180°135°
D. AktivitasPembelajaran
LuasJuring.
Diperhatikangambardibawahini.
DiperolehbahwaluasdaerahAOB(juringAOB)dibandingdenganluaslingkaransama
denganbesarsudut dibandingdengansudutsatuputaranpenuh.
Untuk dalamukuranderajatdiperoleh
360°
atau
……
Untuk dalamukuranradiandiperoleh
ϴ A
B
O
Gambar5 LingkarandenganjuringAOB
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
64
…
atau
……
……
Setelahmengetahuiformulamenghitungluasjuring,makatentukanluasjuring
AOB,jikadiketahui 1,2 danjari‐jarilingakarannyasamadengan6 .
Jawab.
E. Latihan1. Ubahlahsudut–sudutberikutkedalamukuranradian.
a. 45°
b. 310°
c. 45°45′45′′
d. 147°20′45′′
2. Ubahlahsudut–sudutberikutkedalamukuranderajat,menit,dandetik.
a. 1
b. –
c. 3
7
d. 2
3
3. Tentukan(dalamukuranderajatdanradian)sudutkelilingdansudutpusat
bentuk‐bentukberikut.
a. Sebuahsegienamberaturan(6sisi)
b. Sebuahsegi beraturan( sisi)
F. RangkumanSudutdidefinisikansebagaiperputaransuatugaristertentukegaristertentulainnya
terhadappusatputaran.Untukmenyatakanbesarsudut,dapatdilakukandengandua
ModulMatematikaSMA
65
ukuran, yaitu ukuran derajat dan ukuran radian (ukuran lingkaran). Dari kedua
macamukurantersebutdiperolehhubungan
1180°
57,3°
dan
1° 0,017
Dalam sistem koordinat Cartesius, oleh kedua sumbu koordinat bidang terbagi
menjadiempatdaerahyangdikenaldenganKuadranI,KuadranII,KuadranIII,dan
KuadranIV.
G. UmpanBalikdanTindakLanjutUntuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci
jawabanpadabagianakhirkegiatanbelajar.Hitungjawabanbenaranda,kemudian
gunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanandaterhadap
materikegiatanpembelajaranini.
Rumus
Tingkatpenguasaan=Jumlahjawabanbenar
3100%
Kriteria
90%–100%=baiksekali
80%–89%=baik
70%–79%=cukup
<70%=kurang
H. KunciJawaban1.a. 4 b. 5,27 c. 0,778 d. 2,455
2.a. 57°18′b. 180°c. 77°8′34"d.120°
3.a.sudutpusat60°atau ,sudutkeliling120°atau
b.sudutpusat°atau ,sudutkeliling180°
°atau 1
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
66
KB2:FungsiTrigonometri,SudutBerelasi,danInversFungsiTrigonometri
A. Tujuan- Menjelaskankonsepenamperbandingantrigonometri(fungsitrigonometri).
- Menggeneralisasirasiotrigonometriuntuksudut‐sudutdiberbagaikuadran
dansudut‐sudutberelasi.
- Menjelaskankonsepinversfungsitrigonometri.
B. IndikatorPencapaianKompetensiPeserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan konsep enam perbandingan
trigonometri, fungsi trigonometri, dan menggeneralisasi rasio trigonometri untuk
sudut‐sudutdiberbagaikuadrandansudut‐sudutberelasisertadapatmenjelaskan
konsepinversdarifungsitrigonometri.
C. UraianMateriPadasaatkitajalan‐jalankehutan,kitaakanmelihatbanyakpohon.Pernahkahkita
berfikir,berapatinggipohontersebut?.
Gambar6Pengamatansudutpadapohon
Lebih lanjut, dapatkah kita mengetahui tinggi pohon tanpa harus mengukurnya
langsung? Ketika kita melihat pucuk pohon tersebut, maka dapat kita bayangkan
sebuahsegitigasiku‐sikuterbentukdisana,yaituantarakita,pucukpohon,danarah
horizontal kita dengan pohon tersebut. Ternyata, tanpa mengukur langsung, kita
dapat menentukan tinggi pohon dengan segitiga yang terbentuk dari pohon dan
bayangannya.Lebihlanjut,kitaakanbahasdalammateritrigonometriberikut,yang
selanjutnyabisakitaaplikasikansalahsatunyauntukmenghitungtinggipohon.
ModulMatematikaSMA
67
1. FungsiTrigonometriPerhatikangambarsegitigasiku–sikuberikut.
Jelasbahwa∆ABCsebangundengan∆ADE,dan∆AFG.Darisiniberakibatbahwa
Karena perbandingan di atas tetap maka nilai perbandingan di atas hanya
bergantungpada ∠ .Dengankata lain,perbandingandiatasadalah fungsi
dari ∠ , bukan fungsi panjang segitiga. Dari uraian di atas, berikut
didefinisikanfungsisinus∠ atausin∠ (dalamhalini∠ terletakdi
kuadranI).
∠
Analogperbandingan
didefinisikansebagai ∠ atau ∠ .
∠
danperbandingan
didefinisikansebagai ∠ atau ∠ .
A B
C
D
E
F
G
Gambar7 Segitiga– segitigasiku– sikuyangsebangun
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
68
∠
Selanjutnya didefinisikan juga fungsi ∠ atau ∠ ,
∠ atau ∠ ,dan ∠ atau ∠ .
∠1∠
∠1∠
�∠1∠
2. SudutIstimewaa. Sudut0°
Pandang segitigaABC siku – siku diB dan titikC berimpit dengan titikB. Ini
berarti∠ 0°danBC=0,sertaAB=AC.
Iniberakibat
0° ∠ 0
Selanjutnya,
0° ∠ 1
0° ∠ 0
b. Sudut30°
Perhatikansegitigasiku‐siku ,diketahui∠ 30°,danpanjang .
ModulMatematikaSMA
69
A
B C60
30
C’
60
30
aa
2a2a
Gambar8Segitigasamasisi
maka∠ 60°.
Selanjutnya,segitiga dicerminkanterhadapgaris ,diperoleh
segitigasamasisi ’ denganpanjangsisi2 .Akibatnyapanjangsisi
2 .
Perhatikankembalisegitigasiku‐siku , , 2 ,dengan
DalilPythagorasdiperoleh
√ 2 2 2 2 2 √4 2 2 √3 2 √3
sehingga,perbandingantrigonometriuntuksudut30°adalahsebagai
berikut.
30°2
1
2
30° √3
2
1
2√3
tan 30°√3
1
√3
1
3√3
cot 30° √3√3
sec 30°2
√3
2
√3
2
3√3
csc 30°2
2
c. Sudut45°
Diperhatikansegitigasiku‐sikusamakakiberikut.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
70
a
a
A
CB
45
45
Gambar9Segitigasamakaki
Diperoleh sudut dan samadengan45°.Diketahuipanjang ,
maka .DenganDalilPythagoras,diperoleh
2 2 2 2 2 2 √2
sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut 45° adalah sebagai
berikut.
sin 45°√2
1
√2
1
2√2
cos 45°√2
1
√2
1
2√2
tan 45° 1
cot 45° 1
sec 45° √2√2
csc 45° √2√2
d. Sudut60°
Dari penjelasan pada sudut 30°, dapat ditentukan pula perbandingan
trigonometriuntuksudut60°.DiperhatikanGambar8,diperolehperbandingan
trigonometriuntuksudut60°adalahsebagaiberikut.
60° √3
2
1
2√3
60°2
1
2
60° √3√3
ModulMatematikaSMA
71
60°√3
1
√3
1
3√3
60°2
2
60°2
√3
2
√3
2
3√3
e. Sudut90°
Dengancarayangsamadengansudut0°,dalamsistemkuadransudut90°berada
pada sumbu dengan , 0, dan , untuk 0. Perbandingan
trigonometriuntuksudut90°adalahsebagaiberikut.
90° 1
90°0
0
90°0
90°0
0
90°0
90° 1
3. SudutBerelasiDalamsubbabiniberisicarauntukmenentukanataumenghitungnilai‐nilaidari
keenamperbandingantrigonometriuntuksuatusudutAyangberadadikuadranI,
II, III, maupun IV. Hal ini dapat dilakukan apabila sudut A dapat diubah atau
direlasikan dengan suatu sudut di kuadran I (dengan 0 90° ). Sebagai
contohsudutA=120°berelasidengansudut 30°atau 60°,karena 90°
30° atau 180° 60°. Relasi dari sudut‐sudut ini dalam trigonometri dapat
dilukiskan pada grafik Cartesius dengan sifat pencerminan (refleksi) maupun
perputaran(rotasi).
SudutberelasidikuadranI
Relasisudut dengan 90° ,dengan0 90°
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
72
Perhatikangambarberikut.
x
y
O
A(a,b)
A’(b,a)
ab
a
b
(90 - )
y=x
Gambar10SudutberelasidikuadranI
Titik , dicerminkanterhadapgaris makadiperoleh:
i. Bayangantitik ,yaitu ’ ,
ii. � ’ ,maka� ’ 90°
iii. Panjang ’
Berdasarkangambartersebut,makadiperoleh:
Tabel2
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut 90°
°
°
°
°
°
°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengansudut 90° ,
yaitu:
ModulMatematikaSMA
73
90°
90°
90°
90°
90°
90°
Diperhatikanbahwa,untuksudutyangberelasidengan 90° , berubah
menjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubah
menjadi , berubahmenjadi ,dan berubahmenjadi .
SudutberelasidikuadranII
Relasi sudut‐sudut dalam kuadran II meliputi relasi antara sudut dengan
90° atau dengan 180° ,dengan0 90°.
Relasisudut dengansudut 90° .
Perhatikangambarberikut
x
y
O
A(a,b)
A’(-b,a)
a
a
-b
(90 + )
Gambar11SudutberelasidikuadranII
Diketahui titik , , dengan panjang , dan ∠ . Titik ,
diputarberlawananarahjarumjamsejauh90°,diperoleh
i. Bayangantitik ∶ ’ ,
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
74
ii. ∠ ’ 90°
iii. Panjang ’ .
Selanjutnyaberdasarkangambar,diperolehperbandingantrigonemetrisudut
dan 90°
Tabel3
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut 90°
°
°
°
°
°
°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengansudut 90°
,yaitu:
90°
90°
90°
90°
90°
90°
Diperhatikanbahwa,untuksudutyangberelasidengan 90° , berubah
menjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubah
ModulMatematikaSMA
75
menjadi , berubahmenjadi ,dan berubahmenjadi .Selanjutnya
karena 90° berada di kuadran II, maka dan bernilai positif,
sedangkanyanglainnyabernilainegatif.
Relasisudut dengansudut 180° .
Perhatikangambarberikut
x
y
O
A(a,b)
a
b
(180 - )
-a
A’(-a,b)
Gambar12Relasisudut dengansudut °
Diketahuititik , ,denganpanjang ,dansudut .Titik
, dicerminkanterhadapsumbu ,makadiperoleh:
i. Bayangantitik ∶ ’ ,
ii. � ’ 180°
iii. Panjang ’ .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dan 180°
Tabel4
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut 180°
°
°
°
°
180°
180°
180°
180°
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
76
°
°
180°
180°
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut
180° ,yaitu:
180° 180° 180° 180° 180° 180°
SudutberelasidikuadranIII
Relasisudut‐sudutdalamkuadranIIImeliputirelasiantarasudut dengan
180° atau dengan 270° ,dengan0 90°.
Relasisudut dengan 180° .
Perhatikangambarberikut
x
y
O
A(a,b)
a
b
(180 + )
-a
A’(-a,-b)-b
Gambar13SudutberelasidikuadranIII
Diketahuititik , ,denganpanjang ,dansudut .Titik
, diputarberlawananarahjarumjamsejauh180°,diperoleh
i. Bayangantitik ∶ ’ , .
ii. � ’ 180
iii. Panjang ’ .
ModulMatematikaSMA
77
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dan 180° .
Tabel5
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut 180°
°
°
°
°
sec °
°
180°
180°
180°
180°
180°
180°
Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengan
sudut 180° ,yaitu:
180°
180°
180°
180°
180° sec
180°
Relasisudut dengansudut 270° .
Perhatikangambarberikut
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
78
x
y
O
A(a,b)
A’(b,a)
ab
a
b
y=x
A”(-b,-a)
-b
-a
(270 - )
Gambar14Relasisudut dengansudut °
Diketahuititik , ,denganpanjang ,dan� .Titik ,
dicerminkan terhadap garis , kemudian dilanjutkan dengan rotasi
sejauh180°,diperoleh
i. Bayanganakhirtitik ∶ ” ,
ii. ∠ ” 270°
iii. Panjang ” ’ .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dansudut 270° .
Tabel6
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut
270°
°
°
°
270°
270°
270°
ModulMatematikaSMA
79
°
°
°
270°
270°
270°
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut
270° ,yaitu
270°
270° sin
270°
270°
270°
270°
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan 270° ,
berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi ,
berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah
menjadi .Selanjutnyakarena 270° beradadikuadranIII,maka
dan bernilaipositif,sedangkanyanglainnyabernilainegatif.
SudutberelasidikuadranIV
Relasisudut‐sudutdalamkuadranIVmeliputirelasiantarasudut
dengan 270° , dengan 360° ,atau dengan dengan0
90°.
Relasisudut dengan 270° .
Perhatikangambarberikut
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
80
x
y
O
A(a,b)
ab
b
A’(b,-a)-a
(270 + )
Gambar15SudutberelasidikuadranIV
Diketahuititik , ,denganpanjang ,dan∠ .Titik ,
diputarberlawananarahjarumjamsejauh270°,diperoleh
i. Bayangantitik ∶ ’ ,
ii. ∠ ’ 270°
iii. Panjang ’ .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dan 270° .
Tabel7
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut 270°
°
°
°
°
270°
270°
270°
270°
ModulMatematikaSMA
81
°
°
270°
270°
Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut
dengansudut 270° ,yaitu:
270° cos
270°
270°
270°
270°
270°
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan 270° ,
berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi ,
berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah
menjadi .Selanjutnyakarena 270° beradadikuadranIV,maka
dan bernilaipositif,sedangkanyanglainnyabernilainegatif.
Relasisudut dengansudut 360° .
Perhatikangambarberikut
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
82
x
y
O
A(a,b)
a
b
A’(a,-b)-b
(360 - )
Gambar16Relasisudut dengansudut °
Diketahuititik , ,denganpanjang ,dansudut
.Titik , dicerminkanterhadapsumbu ,
diperoleh:
i. Bayangantitik ∶ ’ ,
ii. ∠ ’ 360°
iii. Panjang ’ .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dan 360° .
Tabel8
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut 360°
°
°
°
°
°
°
360°
360°
360°
360°
360°
360°
ModulMatematikaSMA
83
Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengan
sudut 360° ,yaitu
360°
360°
360°
360°
360°
360°
Relasisudut dengansudut .
Perhatikangambarberikut
x
y
O
A(a,b)
a
b
A’(a,-b)-b
( - )
Gambar17Relasisudut dengansudut
Diketahuititik , ,denganpanjang ,dan� .Titik
, dicerminkanterhadapsumbu ,diperoleh:
i. Bayangantitik ∶ ’ ,
ii. ∠ ’
iii. Panjang ’ .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan
trigonemetrisudut dan .
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
84
Tabel9
Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut
°
cos °
°
°
°
°
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut
,yaitu:
Sudutyanglebihbesardari360°
Perbandingan trigonometri untuk sudut 360°, dapat dilakukan
dengan cara mengubah menjadi ∙ 360° , dengan k adalah
bilanganasli.Nilaiperbandingantrigonometridarisudutyanglebihdari
360°mengikutiaturanberikut
∙ 360°
∙ 360°
∙ 360°
ModulMatematikaSMA
85
∙ 360°
∙ 360°
csc ∙ 360°
Tentukannilaidari:
a. 135°
b. 240°
Jawab:
a. Untuk menentukan nilai dari 135 ° dapat dilakukan dengan
beberapacara
i. CaraI. 135° 90° 45°
45°
√2
ii. CaraII. 135° 180° 45°
45°
12√2
b. Untuk menentukan nilai dari 240° dapat dilakukan dengan
beberapacara
i. CaraI. 240° 180° 60°
60°
12
ii. CaraII. 240° 270° 30°
30°
12
4. InversfungsitrigonometriSebelumnya diingat kembali bahwa setiap fungsi pasti memiliki invers,
namun tidak semua invers tersebutmerupakan fungsi. Hanya fungsi yang
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
86
berkorespondensi satu – satu (bijektif) sajalah yang inversnyamerupakan
fungsi.Diberikansebuahfungsi
:A→B. Fungsi inversdari fungsi (dituliskan )adalah fungsiyang
memenuhi, jika ,maka , untuk setiap ∈ dan ∈ .
Pernyataantersebutekuivalendengan disebutfungsiinversdarifungsi
jikadanhanya jika dan ,untuksetiap ∈ ,
danuntuksetiap ∈ .Setiapfungsitrigonometrimemilikiinversnya,namun
tidak semua inversnya merupakan fungsi, mengingat bahwa fungsi
trigonometri bersifat periodik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh
berikut. Diberikan fungsi . Jelas bahwa 30° , dan
150° ,diperolehbahwa 30°atau 150°.Dalam
halini,inversdari bukanmerupakanfungsi.Namunjikadomain
dari dibatasimakainversfungsitersebutbisamenjadifungsi.Misalkan
fungsi sin dengandomain0o≤ ≤90o.Inversdarifungsi
sin merupakan fungsi. Selanjutnya didefinisikan fungsi invers dari fungsi
trigonometrisebagaiberikut:
Tabel10
Fungsi Inversdari Domain Range
sin sin 1,1 90°, 90°
cos cos 1,1 0°, 180°
tan tan ∞,∞ 90°, 90°
Catatan: tidaksamadengan .
Bentuk bisaditulisdenganarcsin .Demikianjugauntukyanglainnya,
ditulisdengan dan, tan ditulisdengan .Lebih
lanjut penulisan pangkat “ 1”, diganti dengan “ ” didepan fungsi
trigonometri.
Selanjutnya,misalkan ,maka ,sehinggadiperoleh
ModulMatematikaSMA
87
1 1
Akibatnya
1
atau
1
Analogdengancarayangsamadiperoleh
1
dan
1
Contohsoal
Tentukansudut padagambarberikut.
3
4
Gambar18SegitigaSiku‐siku
Jawab:
Denganrumusperbandingantrigonometri(tangen)diperoleh
34
0,75
ataudiperoleh
0,75 36,87°
Catatan : Untukmenentukan nilai “arctan” dan lainnya bisamenggunakan
tabeltrigonometriataumenggunakankalkulator.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
88
D. AktivitasPembelajaranUntuklebihmemantapkanpemahamanpesertadiklatataupembacatentang
inversfungsitrigonometri,isilahtitik–titikdibawahiniuntukmenyederhanakan
bentukberikutini.
11
Untukmenyelesaikanpermasalahandiatasdapatdilakukandengantahapaan
berikut.
i. Dimisalkan ,maka…
…
ii. Selanjutnyadari…
…diperolehgambar
y...
...
iii. Langkahselanjutnyaadalahdenganmencarinilai .DengandalilPythagoras
diperoleh:
… . . … . .
… .. … ..
√… .
⋯√…
iv. Selanjutnyadarigambartersebut,denganrumusperbandingansudut
diperoleh…
…√…
Jadi,
11
1
2√
ModulMatematikaSMA
89
E. Latihan
1. Diketahui adalah sudut lancip memenuhi , tentukan nilai dari
, ,dan .
2. Dua buah theodolite diposisikan pada titik A dan B untukmengukur tinggi
sebuahbukit,sepetitampakpadagambarberikut:
DiketahuijarakdariAkeBadalah5km.Berapakahtinggibukittersebut?
3. Tentukannilai‐nilaidari 30° , 150°, 225°, 300°,dan
1460°.
4. Tentukannilaidari° ∙ ° ∙ °
° ∙ ° ∙ °
5. Jika 270°,buktikanbahwa 0
6. Dalamsegitiga sebarang,buktikanbahwa
12
12
12
12
12
12
7. Buktikanbahwauntuk 0berlaku
8. Buktikanbahwa 90°
9. Tentukannilaidari
10. Sederhanakanbentuk 1
Puncak bukit
A B
330 200
t
5 km
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
90
F. Rangkuman 1. FungsiTrigonometri
Perhatikangambarsegitigasiku–sikuberikut.
Didefinisikan
2. SudutIstimewa
0° 30° 45° 60° 90°
0 12
12√2
12√3
1
1 12√3
12√2
12
0
0 13√3
1 √3 Tak
terdefinisi
Tak
terdefinisi
√3 1 13√3
0
1 23√3 √2 2 Tak
terdefinisi
Tak
terdefinisi
2 √2 23√3
1
ϴx
yr
ModulMatematikaSMA
91
3. SudutBerelasi
Berikutbeberapacontohsudutberelasi
90°
90°
90°
G. UmpanBalikdanTindakLanjutUntuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci
jawabanpadabagian akhir kegiatanpembelajaran. Hitung jawabanbenar anda,
kemudiangunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaananda
terhadapmaterikegiatanpembelajaranini.
Rumus
Tingkatpenguasaan=Jumlahjawabanbenar
10100%
Kriteria
90%–100%=baiksekali
80%–89%=baik
70%–79%=cukup
<70%=kurang
H. KunciJawaban
1. √21, , √21
2. 4,72
3. 30° , 150° √3, 225° 1,
300° √3, 1460° 1,064
4. 1
5. 0
6. Terbukti.
7.
8. Terbukti
9.
10.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
92
KB3:IdentitasTrigonometri,AturanSinusdanCosinus,sertaSifatMaksimum/MinimumFungsiTrigonometri
A. Tujuan- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio
trigonometridanperannyadalammembuktikanidentitastrigonometrilainnya
- Menjelaskanaturansinusdancosinus
- Menggunakansifatmaksimum/minimumfungsiuntukpenyelesaianmasalah
B. IndikatorPencapaianKompetensiPesertadiklatataupembacadapatmenjelaskanidentitasdasartrigonometrisebagai
hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas
trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta
menggunakansifatmaksimum/minimumfungsiuntukpenyelesaianmasalah
C. UraianMateri1. IdentitasTrigonometri
Sepertikitaketahuisebelumnyabahwa 30° 1
2, 30°
1
2√3, 45°
45° 1
2√2.Iniberakibatbahwa
30° 2 30° 14
34
1
2 45° 2 45° 24
24
1
Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya
berlakuuntuksudut–suduttertentuatauberlakuuntuksebarangsudut?
Perhatikangambarberikut.
ModulMatematikaSMA
93
A
B C
y
x
r
Gambar19Segitigasiku–siku
Darirumusperbandingantrigonometridiperoleh
, , , , ,
Akibatnyadiperoleh,
1 1
Analogdengancarayangsamadiperoleh
1
dan
1
Selanjutnyadiperhatikan,
Akibatnyadiperoleh
PerhatikanGambar31,denganDalilPythagorasdiperoleh
2 22 2 2 2
2
2
2 1
berakibat2 2 1
Bentukdiatasdisebutidentitastrigonometri.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
94
2. AturanSinuspadaSegitigaDiperhatikansegitiga berikut.
A
B Ca
bch
Gambar20SegitigaABCdengantinggih
Denganrumusperbandingantrigonometriuntuksudut ,diperoleh
atau ∙
untuksudut diperoleh
atau ∙
Akibatnyadiperolehhubungan,
∙ ∙
atau
AnalogdengancaratersebutdiperolehaturanSinus,yaitu
Contoh
Tentukannilai .
3045
2a
Gambar21Segitigalancip
ModulMatematikaSMA
95
Jawab:
DenganaturanSinus,
45°230°
diperoleh,
2 ∙45°30°
2 ∙
12√2
12
2√2
3. AturanCosinuspadaSegitigaDiperhatikangambarberikut
H
A
B C
a
bch
Gambar22SegitigaABCdengantinggih
Denganrumusperbadingantrigonometripadasegitiga ,diperoleh
atau ∙
dan
atau ∙
Selanjutnya,diperhatikan∆ ,diperolehpanjang
∙
danpanjang ∙ .
Akibatnya,denganDalilPythagorasdiproleh
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
96
2 2 22 ∙ 2 ∙ 2
2 ∙ 2 2 2 ∙ ∙ . 2. 2
2 2 ∙ 2 2 2 ∙ ∙ .
2 2 2 ∙ ∙ .
AkibatnyadiperolehaturanCosinus
2 2 2 2 ∙ ∙ .
AnalogdengancarayangsamadiperolehaturanCosinusuntuksisi/sudutyang
lainnya,yaitu
2 2 2 2 ∙ ∙ ∙ ,dan
2 2 2 2 ∙ ∙ ∙
Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu
segitigajikadiketahuiketigasisinya.
2 2 2 2 ∙ ∙ ∙
2 . 2 2 2
2 2 2
2
Analogdengancarayangsamadiperoleh
2 2 2
2
2 2 2
2
Contohsoal
Diketahuisegitiga ,denganpanjang 4, 6,dan 5.Tentukan
besarsudut .
ModulMatematikaSMA
97
Jawab:
2 2 2
2 ∙ ∙
42 62 52
2 ∙ 4 ∙ 6
2748
Diperoleh
2748
55,77°
4. LuasSegitiga Diketahuiduasisidansatusudutpadasebuahsegitiga)
PerhatikankembaliGambar32.Panjang . sin .Akibatnya,
12∙ ∙
1
2∙ ∙ ∙
Jadi,diperolehluassegitiga
12∙ ∙ ∙
Catatan:sudut merupakansudutyangdibentukolehsisi–sisiyang
panjangnya dan .
Selanjutnyaanalogdengancarayangsamadiperolehrumusluassegitiga
12∙ ∙ ∙
12∙ ∙ ∙
Contohsoal
Tentukanluassegitigaberikut.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
98
30
22
20
Gambar23Segitigadengansalahsatusudutnya °
Jawab
Diperhatikanbahwa,diketahuiduasisi,dansatusudutyangdiapitolehkedua
sisitersebut,maka,
12∙ 20 ∙ 22 ∙ 30°
12∙ 20 ∙ 22 ∙
12
110
Jadi,luassegitigatersebutadalah110satuanluas.
Diketahuisatusisidanduasudut
DiperhatikankembaliGambar32.DarirumusaturanSinus
diperoleh,
atau ∙
dan
atau ∙
Denganrumusluassegitigasebelumnya(yangdiketahuiduasisidansatu
sudut)diperoleh
1
2∙ ∙ ∙ sin
1
2∙ ∙
sin
sin∙ ∙
sin
sin∙ sin
12∙ 2 ∙
sin ∙ sinsin
ModulMatematikaSMA
99
∙ ∙
.∙∙
Jadi,
∙ ∙2 ∙
Ingatkembalibahwa:
i. Jumlahsudutdalamsegitiga180°,jadi 180.Akibatnya,
180
ii. Denganrumussudutberelasidengan180°.
Selanjutnya,analogdengancarayangsamadidapatrumusluassegitiga
∙ ∙ sin2 ∙
dan
∙ ∙ sin2 ∙ sin
Contohsoal
Tentukan luas segitiga jika diketahui ∠ 60°, ∠ 30°, dan
8 .
Jawab.
∙ ∙
2 ∙ sin
8 ∙ 60° ∙ 30°2 ∙ 60° 30°
64 ∙ 60° ∙ 30°2 ∙ 90°
64 ∙12√3 ∙
12
2 ∙ 1
8√2
Jadiluassegitiga adalah8√2 .
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
100
5. FormulaCosinus,Sinus,danTangentSudutRangkap Bentuk 2
Denganformulapenjumlahan
2
∙ ∙
2 ∙
Jadi,
2 2 ∙
Bentuk 2
Denganformulapenjumlahan
2
∙ ∙
Jadi
2
Selanjutnya,mengingat,
1
makadiperoleh
2 2 1
dan
2 1 2
Bentuktan 2
Denganformulapenjumlahan
2
1
2
1
ModulMatematikaSMA
101
Jadi
2
Contohsoal
Jika 0,5,makatentukan 2 .
Jawab.
Diketahui 0,5,maka
cos 0,5
2 ∙ 0,25
1 2 0,25
2 0,75
Jadi, 2 0,75
6. MengubahBentukPerkaliankePenjumlahanatauSelisihDarirumuspenjumlahanduasudutyangtelahdibahas,kitadapatmenurunkan
menjadirumusbaru.Diperhatikan
∙ ∙
∙ ∙
2 ∙
Jadidiperoleh
∙12
12
Selanjutnya,dengancarayangsamadiperoleh
∙12
12
∙12
12
Contoh
Hitunglah 75° . 15°!
Jawab:
75° ∙ 15°12
75° 15°12
75° 15°
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
102
12
60°12
90°
12∙12
12∙ 0
14
Jadi,
sin 75° ∙ 15°14
7. NilaiMaksimumatauMinimumpadaFungsiTrigonometriMenurutidentitastrigonometrijelasbahwa
1
1 1
1
1 1
Analog
1 1
Contoh
Diberikan 4 ∙ ,dengan 180° 180°.
Karena
–1≤ ≤1
maka
–4≤4. ≤4
Darisinidapatdikatakanbahwanilaimaksimum adalah4untuk 90°
dan nilai minimum adalah (– 4) untuk = – 90° karena 90°, 90°ϵ
180°, 180° dengan 180°, 180° adalahdomaindarifungsi.
D. AktivitasPembelajaranLengkapilahtitik–titikdibawahini!
Perhatikansegiempat berikut.
ModulMatematikaSMA
103
P
Q
R
S
O
Akandibuktikan,jika� ,makaLuassegiempat adalah
12∙ ∙ ∙
PerhatikansegitigaPRS.LuassegitigaPRSsamadenganluassegitigaPOS
ditambahdenganluassegitigaROS.
MencariluassegitigaPOS.
Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)terhadapsudut ,
diperoleh
Δ ⋯
SelanjutnyamencariluassegitigaROS.PerhatikanbahwasudutPOS
dansudutROSsalingberpelurus,maka
� ………… . . .
Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)
terhadapsudut ,diperoleh
Δ ⋯
⋯
⋯
Jadi,
ΔP Δ Δ
⋯
⋯
Ingat,bahwa ,sehinggadiperoleh
ΔP ⋯
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
104
SelanjutnyaperhatikansegitigaPQR.LuassegitigaPQRsamadenganluas
segitigaPOQditambahdenganluassegitigaQOS.
MencariluassegitigaPOQ.
PerhatikanbahwasudutPOQdansudutROSsalingbertolakbelakang,akibatnya
� ………… . . .
Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)terhadap
sudut ,diperoleh
Δ ⋯
⋯
⋯
MencariluassegitigaQOR.
PerhatikanbahwasudutQORdansudutPOSsalingbertolakbelakang,akibatnya
� ⋯
Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)terhadap
sudut ,diperoleh
Δ ⋯
⋯
⋯
Jadi,
ΔP Δ Δ
⋯
⋯
Ingat,bahwa ,sehinggadiperoleh
ΔPQR ⋯
Selanjutnya,perhatikanbahwaluassegieempatPQRSsamadenganluas
segitigaPRSditambahdenganluassegitigaPQR.
PQRS ΔPRS ΔPQR
⋯
⋯
Diperhatikanbahwa ,jadi
PQRS ⋯
ModulMatematikaSMA
105
E. Latihan1. Jika 1,untuk0 90°,makahitunglah
2. Jika √ ,untuk sudutlancip,makatentukannilaidari
a.
b.
c.
3. Padasegitiga ,diketahui∠ 30°, 4 ,dan 6 .
Hitunglah
a. ∠
b. ∠
4. Duakapal dan berjarak15 .Kapal letaknyapadaarah110°
dari dankapal ,170°dari .Jikakapal letaknyapadaarah245°
dari ,makatentukanjarakkapal darikapal .
5. Hitunglahluassegitiga jikadiketahui∠ 30°, 12 ,dan
14 .
6. Diberikansegitiga dengan
: : 4: 5: 6
Hitunglahcos .
7. Hitunglahnilaidari
1° 2° ⋯ 88° 89°
8. Diberikanfungsi 2 ∙ 3 ∙ untuk0° 360°.Tentukan
nilaimaksimumdannilaiminimumfungsi tersebut.
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
106
9. Diberikanfungsi 1 2 ∙ untuk0° 360°..Carinilai
maksimumdannilaiminimumfungsi tersebut.
10. Diketahuifungsi. .
,untuk0° 360°.Carinilai
maksimumdannilaiminimumdarifungsi tersebut.
F. Rangkuman IdentitasTrigonmetri
1. 1
2. 1
3. 1
4.
5.
6. 2 2 1
7. 2 1 2
8. 1 2 2
AturanSinuspadaSegitiga
A
B Ca
bch
AturanCosinus2 2 2 2 ∙ 2 2 2 2 ∙
ModulMatematikaSMA
107
2 2 2 2 ∙
Sedangkanuntukmenentukanbesarsudutdalamsegitiga2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
LuasSegitiga
1. Diketahuiduasisidansatusudutpadasebuahsegitiga
12∙ ∙ ∙
Catatan:sudut merupakansudutyangdibentukolehsisi–sisiyang
panjangnya dan .
12∙ ∙ ∙
12∙ ∙ ∙
2. Diketahuisatusisidansatusudut2 ∙ ∙2
2 ∙ ∙ sin2
2 ∙ ∙ sin2 sin
SifatCosinus,Sinus,danTangenuntukJumlahdanSelisihDuaSudut
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙
1 ∙
1 ∙
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
108
FormulaCosinus,SinusdanTangenSudutRangkap
2 2 ∙
2 2 2
1 2 2
2 2 1
22
1 tan2
MengubahBentukPerkaliankePenjumlahan
.12
12
.12
12
.12
12
MengubahBentukPenjumlahandanSelisihkePerkalian
2 ∙12
∙12
2 ∙12
∙12
2 ∙12
∙12
2.12
∙12
NilaiMaksimumdanMinimumpadaFungsiTrigonometri
Untuksetiapsudut berlaku
1 1
1 1
Selanjutnya,diberikan
∙ cos ∙ sin
padasuatudomainD.Misalkan adalahsuatusudutdengan0° 360°
sehingga
√
dan
ModulMatematikaSMA
109
√
.
Jika 1 dan 1 termuatdidalamdomain maka
nilai minimum dan nilai maksimum dari fungsi masing – masing adalah
√ dan√ .
G. UmpanBalikdanTindakLanjutUntuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci
jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar anda,
kemudiangunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaananda
terhadapmaterikegiatanpembelajaranini.
Rumus
Tingkatpenguasaan=Jumlahjawabanbenar
10100%
Kriteria
90%–100%=baiksekali
80%–89%=baik
70%–79%=cukup
<70%=kurang
H. KunciJawabanLatihan1. 1
2. a.√ b. √3 c. √
3. a. 19,47° b. 130,53°
4. √ √
5. 42
6.
7. 44,5
8. fmaks=√13danfmin= √13
9. fmaks=1 √5danfmin=1 √5
10. fmaks=5 √44
danfmin=5 √44
KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri
110
111
Evaluasi
1. Pernyataanyangbenarberkaitandenganlim→ adalah....
a. jika mendekati maka mendekati
b. jika mendekati maka mendekati
c. jika tidakmendekati maka tidakmendekati
d. jika tidakmendekati maka mendekati
2. Hasildarilim→ adalah....
a. 6
b. 9
c. 18
d. ∞
3. Nilailim→ adalah....
a. 0
b. ½
c. 1
d. 2
4. Penulisanyangbenarberkaitandenganlimittakhinggaadalah....
a. lim→ ∞
b. lim→ tidakterdefinisi
c. lim→ tidakterdefinisi
d. lim→ ∞
5. Hasildari lim→
adalah
a. 1
b. 2
c. 3
d. ∞
6. Pernyataanyangbenarberkaitandenganturunanfungsi adalah....
a. konsepturunanfungsitidakadahubungannyadengankonseplimitfungsi
Evaluasi
112
b. gradien garis singgung tidak ada hubungannya dengan turunan suatu
fungsi
c. dalamkaitannyadenganturunan ′ lim→
selalauadajika
suatufungsikontinyu
d. gradiengarissinggungdititi adalah lim→
jikalimitnyaada
7. Perhatikangrafikdibawahini
Gradiengarissinggungpalingbesarnilainyadititik...
a. A
b. B
c. C
d. D
8. Hasildari √ 1 adalah....
a. √ 1
b. 1 √ 1
c. 1 √ 1
d. 1
ModulMatematikaSMA
113
9. Hasildari cos adalah....
a. 1
b. 1
c. 1
d. 1
10. Luasdaerahyangdibatasikurva4 dan 2adalah....
a.
b. 20
c.
d. ‐20
11. Hasildari in 390°adalah....
a. 0,5
b. 0
c. 0,5
d. √3
12. Bentukekuivalendenganbentuk....
a. sec cos
b. 2 cos
c. 3 cos
d. 2 cos 2
13. Diketahuifungsi 3 sin 2 cos untuk0° 360°.Nilaiminimum
danmaksimumdarifungsi adalah....
a. 0dan5
b. ‐5dan5
c. –√13dan√13
d. 2dan3
14. Diberikan segitiga dengan∠ 30°, 12 , dan 14 .
Luassegitigatersebutadalah....
a. 12
b. 16
Evaluasi
114
c. 24
d. 42
15. Diketahui fungsi. .
, untuk 0° 360°. Nilai
minimumdarifungsi tersebutadalah....
a. 1
b.
c. 5 √
44
d. √
44
115
Penutup
Pengembangankeprofesianberkelanjutan(PKB)merupakankeniscayaanbagiguru
karenatelahdiamanatkandalamundang‐undang.Olehkarenaitupemerintahwajib
menyediakan sarana atau wahana bagi guru untuk mengembangkan keprofesian
dirinya,disampinggurujugaharussecaraaktifmencaridanmungkinmenciptakan
kegiatandalamrangakapengembangankeprofesiannya.Harapannya,mdulinidapat
digunakanuntukkeduanyayaitusebagaisaranafasilitasiPKBgurumaupunsebagai
bahanyangdapatdimanfaatkanguruuntukbelajarterussecaramandiri.
Penyempurnaan modul ini akan terus diupayakan. Oleh karena itu saran dan
masukandariberbagaipihaksangatdiharapkanuntukperbaikandimasamendatang.
Penutup
116
117
DaftarPustaka
[1] Andreescu, T., Gelca, M., 2009. Mathematical Olympiad Challenges SecondEdition,Boston:Birkhauser
[2] Ayres,Frank Jr.,danMoyer,RobertE.,1999.Schaum’sOutlineofTheoryandProbleminTrigonometry.NewYork:Mc‐GrawHillInc
[3] Gelfand,I.M.,Saul,M.,2001.Trigonometry.Boston:Birkhauser
[4] Larsson,R. ,Hostetler,R.,2007.Trigonometry7thEdition.Boston :HoughtonMifflinCompany
[5] Paul A. Foerester. 2005. Calculus: Concepts and Applications, California: KeyCurriculumPress
[6] Robert Wrede & Murray Spiegel. 2010. Advanced Calculus 3rd. New York:
McGraw‐HillCompanies
[7] RonLarson.2006.Calculus3rd.California:KeyCurriculumPress
[8] Ron Larson. 2006.DiscoveringAdvancedAlgebra:An InvestigationApproach.California:KeyCurriculumPress
[9] Silverman,R.A.1985.CalculuswithAnalyticGeometry.NewJersey:Prentice–HallInc
[10] Sukino.2007.MatematikauntukSMAkelasX1B.Jakarta:Erlangga
[11] Sukino.2007.MatematikauntukSMAkelasXI2A.Jakarta:Erlangga
DaftarPustaka
118
119
Glosarium
BagianKalkulus:
DefinisiFormal
Definisi formaladalahdefinisiyangdalampenyajiannyamenggunakansimboldan
ekspresimatematika
FungsiGradienGarisSinggung
Diberikan fungsi . Turunan dari dilambangkan dengan ′ adalah hasil
dari
′ lim→
jika limit tersebut ada. Karena lim→
pada hakekatnya adalah suatu nilai
gradiengarissinggungfungsidi ,maka ′ dapatdipahamisebagaifungsigradien
garis singung dari . Berkaitan dengan notasi, ada beberapa literaturmenyajikan
sebagai ′atau ′
Kontinyu
Dalambahasasederhana,kontinyuberartitidakputus.Sedangkanpengertiandalam
fungsisebagaiberikut.Fungsi dikatakankontinyudi jika lim→ dan
dua‐duanyaadadanberlakulim→
Mendekati
Mendekati disini dimaknai menuju sampai sedekatnya tetapi tidak sampai sama
denganyangdituju.
Substitusi
Substitusi sama arti denganmenggantikan ataumemasukkan.Misalnya substitusi
1ke 5berartimengganti dengan 1.
Glosarium
120
BagianTrigonometri
Asimtot :Asimtotdarisuatufungsi : → adalahgaris
yangtidakpernahdipotongolehfungsi
Derajat :Salahsatuukuransudutyangdinotasikandengan“°"yangmemenuhi1° putaran
Fungsibijektif :Diberikanfungsi : → .Fungsifdisebutfungsibijektifjikamemenuhiduakondisiyaitu1. Jika maka 2. Untuk setiap ∈ maka terdapat ∈
sedemikiansehingga
Fungsiperiodik :Fungsi : → disebutfungsiperiodikjikaterdapatbilanganrealpositif sedemikiansehingga ,untuksetiap ∈
Fungsiinvers :Diberikanfungsi : → .Fungsi disebutfungsiinversdarifungsi jikadanhanyajika dan ,untuksetiap ∈ ,danuntuksetiap ∈
Juring :Daerahpadalingkaranyangdibatasiolehdua
jari–jaridansebuahbusurSistemkoordinatCartesius :Suatusistemkoordinatyangmenggunakan duagarislurusyangsalingtegaklurusdan
berarahdalammenentukankedudukansuatutitikpadabidang.Dimanaduagarisyangdimaksudadalahsumbu dansumbu,sertaperpotongankeduatitikituadalahtitikasal.Sistemkoordinatinijugabisadigunakanuntukkoordinat3dimensi( , , )
Sistemkoordinatpolar :Sistemkoordinatpolaradalahsistem koordinatduadimensiyangterdiridarisatu titiktetap ,yangdisebuttitikasaldan sebuahgarisberarahyangbermuladarititik asal ,yangdisebutsumbupolarRadian :Salahsatuukuransudutyangdinotasikan
dengan“ "danmemenuhi 1 57,3°Sudut :Perputaransuatugaristertentukegaris
tertentulainnyaterhadappusatputaran.Trigonometri :Salahsatucabangilmupengetahuanyang mengkajitentangsudutdanfungsinya
121
Lampiran
Jawaban Evaluasi
1. b
2. b,
3. b,
4. d,
5. a,
6. d,
7. a,
8. c,
9. d,
10. a,
11. c,
12. a,
13. c,
14. d,
15. c
Lampiran
122
cfds