Interpolasi

Dalam suatu situasi sering diperlukanDalam suatu situasi sering diperlukanmengestimasi suatu nilai dimana nilai tsbberada diantara nilai ( titik data ) yang telahberada diantara nilai ( titik data ) yang telahdiketahui sebelumnya .

Untuk maksud tsb digunakan metode“INTERPOLASI” . Metode interpolasi yg seringd k d l h l l ldipaki adalah Interpolasi Polinomial.

Bentuk Interpolasi Polinomial adlah sbb :

Y

LINIER INTERPOLATION (order 1)

XY

QUADRATIC INTERPOLATION (order 2)

Y

XData yg diestimasi

d k hData yg diketahui

XHIGH DEGREE INTERPOLATION (order 3, dst)

LINIER INTERPOLATION f1(X) : Nilai fungsi interpolasidi titik X

Y

E

Fungsi pendekatan f1(X) : 1 menunjukkan orde 1 / linier

f(X1)C

E

f1(X)

Fungsi sebenarnya

f1(X)A dan E : Data yg telah diketahui

C : Data yg akan dicari ????

XX1XXo

A B Df(Xo)

PROBLEM : Mencari nilai Yc di titik X=B di Y <Y <Ydimana Ya<Yc<Ye

ADDE

ABBC

=

)()()()(

1

11

xoxxofxf

xoxxofxf

−−

=−−

)()()()()(1

11 xox

xoxxofxfxofxf −

−−

+=

xofxf −1 )()( : Kemiringan garis yg menghubungkan 2 titik dataxox −1

Contoh Soal

DiketahuiX Ln X

1 O

6 1,7917595,

Ditanya : Berapa Ln2 = ……??? Dg Metode interpolasi linier

Jawab :

35851900)12(07917595,10)2( −f 3585190,0)12(16

,0)2(1 =−−

+=f

• Jadi Ln 2 = 0 3585190 nilai eksak ln 2 = 0 69314718• Jadi Ln 2 = 0,3585190 nilai eksak ln 2 = 0,69314718• error =( 0,69314718 - 0,3585190)/ 0,69314718 = 48,3 %• Untuk memperkecil kesalahan, usahakan lebar

interval data yg diketahui diperkecil…..

Interval yg diperkecil

DiketahuiX Ln X

1 O

4 1,3862944,

Ditanya : Berapa Ln2 = ……??? Dg Metode interpolasi linier

Jawab :

462098130)12(01,38629440)2( −f 46209813,0)12(14

,0)2(1 =−−

+=f

• Jadi Ln 2 = 0,46209813 nilai eksak ln 2 = 0,69314718• error =( 0,69314718 - 0,46209813)/ 0,69314718 = 33,3 %........<

48 3 %48,3 %

)()()()()(1

11 xox

xoxxofxfxofxf −

−−

+=

Dapat dinyatakan dlm bentuk yg sederhana sbb….

P1(x) = Yo + μ (Y1 – Yo )

xox −µDimana :xox −

=1

µDimana :

Contoh Soal

Diketahui X Ln X

1 O

6 1,7917595

Ditanya : Berapa Ln2 = ……??? Dg Metode interpolasi linier

112

y p g p

Jawab :

31

1412

1

=−−

=−−

=xoxxoxµ

1

P1(x)     = Yo + μ (Y1 – Yo )P1(x=2) = 0 + (1/3) (1,3862944 – 0)=0,462098133

QUDRATIC INTERPOLATION

Kesalahan yg terjadi dlm interpolasi linier adalah krn kurvad f i did k ti d i l U t k idr fungsi didekati dg garis lurus. Untuk mengurangikesalahan yg terjadi maka perkiraan dilakukan dgmenggunakan garis lengkung.

Apabila garis lengkung terdapat 3 titik data order 2(Interpolasi Quadratic)

P2(x) = Yo.Lo(x) + Y1.L1(x) + Y2.L2(x)P2(x)   Yo.Lo(x)   Y1.L1(x)   Y2.L2(x)Lagrange Formula Order 2

))(()( 21 xxxxxLo −−=

))(())((

)(2010

xxxxxxxx

xLo−−

=

Lagrange

))(())(()(2101

201 xxxx

xxxxxL−−−−

=Lagrange 

Interpolations Basis Function 

))(())(()( 10

2xxxxxL −−

=))(( 1202 xxxx −−

f1(X) : Nilai fungsi interpolasidi titik X1

Y

E

Fungsi pendekatan f2(X) : 1 menunjukkan orde 2 / QuadraticC

f(X1)

E

f2(X)

Fungsi sebenarnya

C

f2(X)A dan E : Data yg telah diketahui

C : Data yg akan dicari ????

XX2X1Xo

A B Df(Xo)

PROBLEM : Mencari nilai Yc di titik X=B di Y <Y <Ydimana Ya<Yc<Ye

Contoh SoalX L X

DiketahuiX Ln X

1 Ln 1 = 0

4 Ln 4 = 1,3862944

Ditanya : Berapa Ln2 = ……??? Dg Metode interpolasi quadratic

6 Ln 6 = 1,7917595

Jawab :

8)62)(42())(()( 21 =−−

=−−

=xxxxxLo

4)62)(12())(()(

15)61)(41())(()(

20

2010

=−−

=−−

=

−−−−xxxxxL

xxxxxLo

2)42)(12())(()(

6)64)(14())(()(

10

21011

−−−−

=−−

=−−

=

xxxxL

xxxxxL

102

)46)(16()42)(12(

))(())(()(1202

102 =

−−=

−−=

xxxxxxxxxL

P2(x) = Yo.Lo(x) + Y1.L1(x) + Y2.L2(x)( ) ( ) ( ) ( )P2(2) = 0.(8/15) + 1,3862944.(4/6) + 1,7917595.(‐2/10)

= 0,565844366

• Jadi Ln 2 = 0,565844366 nilai eksak ln 2 = 0,69314718, ,• error =( 0,69314718 - 0,565844366)/ 0,69314718 = ….. %

HIGH DEGREE INTERPOLATION

Untuk kasus umum dimana terdapat 3 titik data makadi k i I t l i d j d ti idipakai Interpolasi derajad tinggi

Asumsikan jika jumlah titik data adalah n+1 makainterpolasi polinomial derajad n adalah :interpolasi polinomial derajad n adalah :

Pn(x) = Yo Lo(x) + Y1 L1(x) + + Yn Ln(x)Pn(x) = Yo.Lo(x) + Y1.L1(x) +…+ Yn.Ln(x)Lagrange Formula Order n

Di L I t l ti B iDimana persamaan umum Lagrange Interpolations BasisFunction derajad n adalah

jn

i

xxxL

−Π=)(

jijji xxi −≠=0

)(

Dimana :

П = Perkalian antara suku –suku

i = order

J = jumlah titik dataJ j

Contoh kasus Interpolasi Polinomial derajad 3 ( order 3 )p j ( )

P3(x) = Yo Lo(x) + Y1 L1(x) + Y2 L2(x)+ Y3 L3(x)

3210))()(()( 321 −−− jixxxxxxL

P3(x) = Yo.Lo(x) + Y1.L1(x) + Y2.L2(x)+ Y3.L3(x)

))()((

3,2,1,0,))()(())()(()(

320

302010

3210

−−−

==−−−

=

xxxxxx

jixxxxxx

xL

))()((

3,2,0,1,))()(())()(()(312101

3201

−−−

==−−−

=

xxxxxx

jixxxxxx

xxxxxxxL

))()((

3,1,0,2,))()(())()(()(321212

3102 ==

−−−=

xxxxxx

jixxxxxx

xxxxxxxL

2,1,0,3,))()(())()(()(231303

2103 ==

−−−−−−

= jixxxxxx

xxxxxxxL

PR

Diketahui

X (derajad)

Sin X

30  ½ . √145 ½ . √260 ½ . √390 ½ √490 ½ . √4

Ditanya :

• Berapa Sin 33 = ……??? Dg Metode interpolasi derajad 3

• Berapa error nilai eksak Sin 33 ( dg kalkulator )