Slide Presentasi Mata Kuliah Organisasi Komputer D osen : Yan Everhard R, Ir. MT.
kuliah 6 Benda tegarhimafi.fmipa.unej.ac.id/wp-content/uploads/sites/16/2018/03/kuliah...Momen...
Transcript of kuliah 6 Benda tegarhimafi.fmipa.unej.ac.id/wp-content/uploads/sites/16/2018/03/kuliah...Momen...
BENDA TEGAR
BahanBahan CakupanCakupanGerak Rotasi
V kt M t S d t
pp
Vektor Momentum Sudut
Sistem Partikel
Momen Inersia
Dalil Sumbu Sejajar
Dinamika Benda Tegar
Menggelindinggg g
Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar
Statika Benda TegarStatika Benda Tegar
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.
Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:
θθθΔ 12 θθθ −=Δ
Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)
°=°= 3,572
360rad 1π2π
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
θθθ Δ− 12kecepatan sudut rata-rata:tθ
ttθθ
ΔΔ
=−
=12
12ω
kecepatan sudut sesaat:dθθωω =
Δ== limlim
dttttωω
Δ→Δ→Δ 00limlim
Satuan SI untuk kecepatan sudut adalahdi d tik ( d/ )radian per detik (rad/s)
Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Arah kecepatan sudut:Arah kecepatan sudut:Aturan tangan kanan
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Δ− ωωω 12Percepatan sudut rata-rata:
ttt ΔΔ
=−
=ωωωα
12
12
Percepatan sudut sesaat:
dtd
tωωα =
ΔΔ
=Δ 0lim
dttt Δ→Δ 0
Satuan SI untuk percepatan sudut adalahdi d tik ( d/ 2)radian per detik (rad/s2)
Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.
Persamaan Kinematika RotasiPersamaan Kinematika Rotasi
Perumusan Gerak Rotasi
Kecepatan tangensial:
{ {kecepatankecepatan
ωrv = ( )rad/sdalamωtangensialkecepatan
linearkecepatan
{ {percepatanpercepatan
αra = ( )2rad/s dalam α
tangensialpercepatan
linearpercepatan
Perumusan Gerak Rotasi
Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):
rrvar
22
ω==r
Torsi – Momen gaya
Torsi didefenisikan sebagai hasil kali b d besarnya gaya dengan panjangnya lengan
Torsi – Momen gaya
Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)
Vektor Momentum Sudut
Momentum sudut L dari sebuah benda yang Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:
)vrm(prLrrrrr)vrm(prL ×=×=
il φsinl mvr
rp rmv
φ
⊥ ⊥
=
= =
r p r mv⊥ ⊥= =
••SatuanSatuan SI SI adalahadalah Kg.mKg.m22/s/s..
Vektor Momentum Sudut
P b h d h d k Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:
d dL ( )ddt
ddt
L r p= ×
d d dr p⎛ ⎞ ⎛ ⎞( )ddt
ddt
ddt
r p r p r p× = ×⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+ ×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( )0=
×= vv m
d dLJadi ddt
ddt
L r p= × l ingat F pEXT
ddt
=
Vektor Momentum Sudut
P b h d h d k Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:
dLddt
ddt
L r p= × EXTFdtd
×= rL
Akhirnya kita peroleh: τEXTddt
= L
Analog dengan !! F pEXT
ddt
=g g EXT dt
Hukum Kekekalan Momentum SudutSudut
dL dimana dan
dL
τEXTddt
=L L r p= × τEXT EXT= ×r F
τEXTddt
= =L 0JikaJika torsi torsi resultanresultan = = nolnol, , makamaka
HukumHukum kekekalankekekalan momentum momentum sudutsudut
21 ωω 21 II = 21 21
Hukum Kekekalan Momentum
Linearo Jika ΣF = 0, maka p konstan.
Rotasiotaso Jika Στ = 0, maka L konstan.
Momentum Sudut:Defenisi & Penurunanp = mv Defenisi & Penurunan
U t k k li i t tik l b l k
d
Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
Momentum kekal jikaF pEXT
ddt
= FEXT = 0Momentum kekal jika
τ = ×r FUntuk Rotasi Analog gaya F F adalah Torsi
Bagaimana dng Gerak Rotasi?
L r p= ×
τ = ×r FUntuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi
Analog momentum pp adalah pmomentum sudut
Sistem Partikel
Untuk sistem partikel benda tegar, setiapk l l k k d partikel memiliki kecepatan sudut yang
sama, maka momentum sudut total:
1 2 3
n
n iL l l l l l= + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ∑r r r r rr
1i=
,
n ni
net i netdL dldt dt
τ τ= = =∑ ∑rr
r r,
1 1i idt dt= =∑ ∑
PerubahanPerubahan momentum momentum sudutsudut sistemsistem hanyahanyaPerubahanPerubahan momentum momentum sudutsudut sistemsistem hanyahanyadisebabkandisebabkan oleholeh torsi torsi gayagaya luarluar sajasaja..
Sistem PartikelPerhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasipada bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum p g ysudut adalah jumlah masing2 momentum sudutpartikel:
k̂vrmmi
iiii
iiiii
i ∑=∑ ×=×∑= vrprL (krn ri dan vi tegak lurus)
Arah LL sejajar sumbu z
Gunakan vi = ω ri , diperoleh i
j
rr1rr2
m2
m1Gunakan vi ω ri , diperoleh
r
i rr1
rr3
rr2 m1
m3
ω
vv3
ωrrI=L Analog dng p = mv !!
Vektor Momentum Sudut
DEFINISIMomentum sudut dari sebuah benda yang Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali darimomen inersia benda dengan kecepatan sudutg pterhadap sumbu rotasi tersebut.
ωrrIL
Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untukgerak rotasi):
ωI=L
gerak rotasi):
ωω rrrr
r IdIIdLd )( ατ Idt
Idtdt
====)(
VektorVektor Momentum Momentum SudutSudut
J k d k d l L k k l A b hL Iω=
• Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwahasil perkalian antara I dan ω kekal
2i iI m r= ∑
L IL Iω= L Iω=
Momen Inersia
M I i b i t i t tik l b d tMomen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegardidefenisikan sebagai
...222
211
2 ++== ∑ rmrmrmIi
ii
I = momen inersia benda tegar, k k l k b
i
menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasiterhadap sumbu putarnya
Momen InersiaUntuk benda yang mempunyai distribusi massakontinu, momen inersianya diberikan dalam, ybentuk integral
∫z
dmrIrmI ii
i ∫∑ =⇒= 22
∫ ∫== dVρrdmrI 22dm
y
z
x
y
Dimana ElemenVolume
dldrdrdV ⋅⋅= θ
Momen Inersia
dldrdrdV ⋅⋅= θ
dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan.
Momen Inersia
Untuk lempengan benda dibawah ini, momeninersia dalam bentuk integralinersia dalam bentuk integral
( )dlddI ∫ θρ2 ( )dldrdrrI ⋅⋅= ∫ θρAsumsi rapat massa ρ konstanAsumsi rapat massa ρ konstan
Kita dapat membaginya dalam 3 i t l bbintegral sbb:
( ) ( ) ( )∫∫∫LRdlddI
22 πθρ ( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅⋅= dldrdrrI
000θρ
Momen Inersia
[ ] [ ]rR
⎤⎡ 4Hasilnya adalah [ ] [ ]lrI L⋅⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= θρ π
4 020
0
LRI ⋅⋅= πρ 24
0
Massa dari lempengan tersebut ρ4
LRM ⋅⋅⋅= 2πρ
p g
LRM πρ
21MRI =M I b d 2MRI =Momen Inersia benda
Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadapsumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbusu bu puta se ba a g ya g be ja a a su busejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan denganmenggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar2h2MhII cm +=
MomenMomen InersiaInersia::
ℓ ℓ21 mlI =
21mlI =12mlI = 3
mlI
2mRI =
R
2
21 mRI =
R
2
ab)(
121 22 bamI +=
2
52mRI =
Dinamika Benda Tegarg
Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerjaoleh momen gaya didefenisikan sbb:
21
22
112 2 ωωωωθτθ ω
IIdIdW −=== ∫ ∫ 12221 1θ ω∫ ∫
Energi Kinetik Rotasig
Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah
( ) ( ) 222
21
21 ωω ∑∑ == iiii rmrmK
2221 ωIK =
2Dimana I adalah momen inersia,
EnergiEnergi KinetikKinetik RotasiRotasigg
Linear Rotasi
11 2
21 ωIK =2
21MvK =
Massa Momen Massa
Kecepatan Linear
o eInersia
Kecepatan pSudut
Prinsip Kerja-Energi
Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasimenjadi:
21
22
2
1
2
12
1
2
1
ωωωωθτθ
θ
ω
ωIIdIdW −=== ∫ ∫ 221 1
21 ωIKrotasi =KW Δ= dimana 2rotasirotasiKW Δ dimana
Bila ,maka W = 0 sehingga0=τrBila ,maka W 0 sehingga0τ0=Δ rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
Menggelinding
Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi
GerakGerak MenggelindingMenggelinding: : rotasirotasi dandantranslasitranslasitranslasitranslasi
s Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dts Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dt
dv Rθ ω⇒ = =comv Rdt
ω⇒ = =
GerakGerak MenggelindingMenggelinding: : rotasirotasi dandantranslasitranslasitranslasitranslasi
GerakGerak MenggelindingMenggelinding: : rotasirotasi dandantranslasitranslasitranslasitranslasi
The kinetic energy of rolling
2 212 P P comK I I I MRω= = +
2 2 21 12 2
2 21 1
comK I MR
K I M K K
ω ω= +
2 21 12 2com com r tK I Mv K Kω= + = +
GerakGerak MenggelindingMenggelinding Di Di BidangBidang MiringMiring
GunakanGunakan:: torsi = torsi = II ααNr
sing PR F Iθ α× =
RR xsfrsingF θ coma Rα= −
MakaMaka::
θ θP 2 sin P comMR g I aθ = −
2θ θ
gFr cosgF θ
2P comI I MR= +
singa θ= − 21 /com
com
aI MR
=+
Menggelinding
Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasikinetik rotasi.
22 11 ωImvK + 0022
ωImvK +=
Hukum Kekekalan Energi MekanikTotal Hukum Kekekalan Energi MekanikTotal Dengan Gerak Rotasi
KesetimbanganKesetimbangan Benda Benda TegarTegar
Suatu benda tegar dikatakan setimbang
gg gg
Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama g p pdengan nol.Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan ggaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:
ΣFx = 0 dan ΣFy = 0yΣτ = 0
HubunganHubungan BesaranBesaranGerakGerak Linear Linear -- RotasiRotasi
Linear Rotasix (m) θ (rad)x (m) θ (rad)
v (m/s) ω (rad/s)
a (m/s2) α (rad/s2)m (kg) I (kg·m2)m (kg) I (kg m )F (N) τ (N·m) (N ) L (N )p (N·s) L (N·m·s)
Hubungan BesaranGerak Linear - Rotasi
linear angular
Gerak Linear - Rotasi
linear angular
perpindahan
kecepatanxΔ θΔdtdxv / dtd /θω =kecepatan
percepatandtdxv /= dtd /θω =dtdva /= dtd /ωα =
m ∑ 2massa
gaya
m ∑= 2iirmI
Fr
IFFrrrr
×=τHk. Newton’s
energi kinetikατ I=maF =
2)2/1( mvK = 2)2/1( ωIK =Kerja ∫= FdxW ∫= θτdW