Kul-2-Probalitas Statistik
-
Upload
leznan-day -
Category
Documents
-
view
19 -
download
0
description
Transcript of Kul-2-Probalitas Statistik
PROBABILITAS/PELUANG/KEBOLEH JADIANPELUANG/KEBOLEH JADIAN
Sepasang DaduSepasang Dadu
Untuk satu dadu peluang setiap muka dadu muncul Untuk satu dadu, peluang setiap muka dadu muncul adalah sama yaitu 1/6
Oleh karena itu setiap bilangn 1 s.d 6 akan muncul dengan peluang yang sama.g p g y g
Untuk dua dadu, berapa peluang yang muncul dengan total jumlah 2, 3, 4, …s.d 12?
P lPeluang
Untuk menghitung peluang suatu hasil spesifik maka hitung jumlah semua hasil yang mungkin. Kemudian hitung jumlah yang memberikan hasil yang diinginkan hitung jumlah yang memberikan hasil yang diinginkan. Peluang hasil yang diinginkan adalah sama dengan jumlah yang memberikan hasil yang diinginkan dibagi j y g y g g gjumlah total hasil. Jadi 1/6 untuk satu datu, sedangkan untuk dua dadu 1/6 x1/6=1/36
Sepasang DaduSepasa g adu
Daftar semua hasil yang mungkin untuk sepasang Daftar semua hasil yang mungkin untuk sepasang dadu adalah 36. Total Kombinasi angka Banyaknya g y yjumlah2 1+1 12 1+1 13 1+2, 2+1 24 1+3 3+1 2+2 34 1+3, 3+1, 2+2 35 1+4, 4+1, 2+3, 3+2 46 1+5 5+1 2+4 4+2 3+3 56 1+5, 5+1, 2+4, 4+2, 3+3 5
S D dSepasang Dadu
Total Kombinasi angka Banyaknyajumlah7 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3 68 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4 5
6 6 9 3+6, 6+3, 4+5, 5+4 410 4+6, 6+4, 5+5 3
6 611 5+6, 6+5 212 6+6 1
Sum 36Sum = 36Back to
Peluang untuk dua Dadu
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Total
361
362
363
364
365
366
365
364
363
362
361 Prob.
2.8 5.6 8.3 11 14 17 14 11 8.3 5.6 2.8 %3636363636363636363636
Back to
Peluang untuk dua Dadu
Dice
0 120.140.160.18
ty
0.040.060.080.1
0.12
Prob
abili
00.02
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Number
Gabungan PeluangJika suatu contoh hasil dapat dicapai dalam dua atau
lebih cara yang saling gantung dengan peluang masing p dan p maka peluang hasil tersebut adalah p + ppA dan pB maka peluang hasil tersebut adalah pA + pB.
Ini adalah peluang mendapatkan A atau B Ini adalah peluang mendapatkan A atau B.
ContohTandai dua muka dadu dengan warna merah. Jika dadu
diundi berapa peluang mendapatkan muka merah muncul? muncul?
31
61
61 =+=p
366
G b P lGabungan Peluang
Jika suatu contoh hasil mewakili kombinasi dua kejadian tak saling gantung yang mempunyai peluang individu p and p maka peluang hasil tersebut adalah individu pA and pB maka peluang hasil tersebut adalah pA × pB.
Ini adalah peluang mendapatkan A dan B. Peluang mendapatkan A dan B adalah pA × pB. Peluang mendapatkan A dan B adalah pA × pB.
ContohUndi dua normal dadu. Berapa peluang dua angka 6
muncul?
111361
61
61)2( =×=p
KomplikasiTinjau satu daduJika p adalah peluang sukses (1/6) maka
d l h l l ( /6)q adalah peluang gagal (5/6)
p + q = 1 or q = 1 – pp + q = 1, or q = 1 – p
Apabila dua dadu diundi, berapa peluang p , p p gmendapatkan satu angka 6.?
KomplikasiPeluang angka 6 muncul pada dadu pertama dan tidak
pada dadu kedua adalah:
365
65
61 =×=pq
Peluang angka 6 muncul pada dadu kedua dan tidak pada dadu pertama adalah sama jadi: pada dadu pertama adalah sama, jadi:
185
36102)1( === pqp
1836
SimplifikasiPeluang sama sekali tidak muncul angka 6 adalah
2555)0(3625
65
65)0( =×== qqp
Jumlah ketiga peluang adalah: p(2) + p(1) + p(0) = 1
Simplifikasip(2) + p(1) + p(0) = 1
p² + 2pq + q² =1(p + q)² = 1
Pangkat adalah jumlah dadu atau jumlah usahaApakah ini berlaku umum?
Tiga Dadu(p + q)³ = 1
p³ + 3p²q + 3pq² + q³ = 1p(3) + p(2) + p(1) + p(0) = 1
Karena berlaku untuk dadu 3 maka secara umum(p + q)N = 1
Distribusi Binomial
Peluang berhasil n dalam N usaha(p + q)N = 1
nNnNP −!)( nNnqpnNn
NnP −
−=
)!(!!)(
dimana, q = 1 – p.
Random Walk Problem / Binomial Distribution
( ) !lr nnNP n r l=
!r rn N nN r l −=( )
! !lr
rr l
P n r ln n
=( )! !
r r
r r
r ln N n
=−
1r l+ =
Teorema Binomial ( ) ( )0
!! !
NN n N n
n
Nx y x yn N n
−
=
+ =−∑ ( )0 ! !n n N n=
( ) 1N
P∑ ( )0
1r
rn
P n=
=∑ Normalisasi
Koin Mata Uang
Undi 6 koin. Peluang n gambar garuda611!6! ⎞⎛⎞⎛−N nn
61!6
21
21
)!6(!!6
)!(!!)(
⎞⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
−= −
nnqp
nNnNnP nNn
6
21
)!6(!!6)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
nnnP
Number ExpectedToss 6 coins N times. Probability of n heads:
611!6! ⎞⎛⎞⎛−N nn
61!6
21
21
)!6(!!6
)!(!!)(
⎞⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
−= −
nnqp
nNnNnP nNn
N b f ti h d i t d i
6
21
)!6(!!6)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
nnnP
Number of times n heads is expected is:n = N P(n)
Distribusi Untuk 6 KoinDistribusi Untuk 6 Koin
Binomial Distribution
0.3
0.35
Binomial Distribution
0.15
0.2
0.25
obab
ilty
0
0.05
0.1
0.15
Pro
00 1 2 3 4 5 6
Successes
Untuk 100 koin
0.09
Binomial Distribution
0.05
0.06
0.07
0.08
bilty
0 01
0.02
0.03
0.04
Prob
ab
0
0.01
Successes
Untuk 1000 koinBinomial Distribution
0.03
0.015
0.02
0.025
babi
lty
0
0.005
0.01Prob
0 60 120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
780
840
900
960
Successes
Rerata Distribusi BinomialnnPn
n)(∑=
N nNn!)(
where
qpnNn
NnP nNn
)!(!!)(
∂−
= −
nnPnPp
p )()( :Notice =∂∂
Rerata Distribusi Binomial
nPp
pnnPnnn∑
∂∂=∑= )()(
qppnPpn
p
N
nn
+∂∂=∑
∂∂=
∂
)()(
pNqppNn
qpp
pp
p
NN
n
=+=
∂∑
∂−− 11 )1()(
)()(
pNnpqpp
=
)()(
Deviasi Standar (σ)
( )2nn −=σ ( )( ) ( )222 )( nnnPnn
n∑ −=−=σ
( ) 22222 22 nnnnnnnnnnn
+−=+−=−222 nn −=σ
Deviasi Standar (σ)nP
ppnnPn
nn∑⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂=∑= )()(
222
qppNpqpppn
p
NN
nn
+⎞⎜⎛ ∂=+⎞
⎜⎛ ∂⎞
⎜⎛ ∂=
⎠⎝ ∂
−)()( 12
[ ]qpNpNqpNpn
qppNp
pqpp
pp
pn
NN +−++=
+⎠
⎜⎝ ∂
+⎠
⎜⎝ ∂⎠
⎜⎝ ∂
−− ))(1()(
)()(
212 [ ][ ] [ ]pNqpNppNpNn
qpNpNqpNpn
+=−+=
+++
1
))(1()(2
Deviasi Standar (σ)
nn −=σ 222
[ ] pNpNqpN
nn
−+=
−=
σ
σ22 )(
NpqNpqpNpNNpq
=
=−+=
σσ 222 )()(
Npq=σ
Untuk Distribusi Binomial
Npq
pNn
=
=
σ
qNq
Npq
1==
σ
σ
NpNpn
Untuk p=q maka N
1=
σp qNn
Apa makna fisisnya? σ dapat diartikan sebagai “kesalahan” terhadapσ dapat diartikan sebagai “kesalahan” terhadap rata-rata
pengambilan sampling dalam jumlah besarpengambilan sampling dalam jumlah besar akan mengakibatkan kesalahan relatif mengecil. Contoh kasus Fisika:
APLIKASI DISTRIBUSI BINOMIALUndi koinMemilih barang rusak atau tidakMengambil benda dua jenis benda dalam kotakJalan acak
Gaussian dan Poisson Distribution
Binomial ( N →∞, r ~ l ) ⇒ Gaussian
( N →∞, r → 0 ) ⇒ Poisson
( )P n( )n
Di t ib i G iDistribusi Gaussian
Bila N sangat besar maka n juga besar sehingga perubahan P sangat kecil:
d di d b i f i k i P dapat dipandang sebagai fungsi kontinyu sehingga perlu dicari P maksimum
∂
Akan diperoleh P(n) maksimum pada nilai rata‐rata
0)( =∂∂ nPn
Akan diperoleh P(n) maksimum pada nilai rata‐rata
nn =
Dapat dibuktikan bahwa fungsi distribusi Gaussian
( ) ⎤⎡1 2( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
2exp
2
1)(2
nnnGσπσ
∫ =1)( dnnG
Distribusi Gaussian mempunyai bentuk simetris dan merupakan hal yang umum dan sering ditemui di alam.
Keadaan mikro(Microstates) danKeadaan makro(Macrostates)
Setiap hasil yang mungkin disebut keadaan mikro
Kombinasi semua keadaan mikro yang memberikan bilangan pengamatan (spots) sama disebut keadaan makromakro
Keadaan makro yang memuat keadaan mikro Keadaan makro yang memuat keadaan mikro terbanyak disebut peluang yang paling munkin terjadi
Peluang Thermodinamika
Suku dengan semua faktorial pada persamaan distribusi Binomial merupakan jumlah microstates distribusi Binomial merupakan jumlah microstates yang menuju menjadi ke macrostate tertentu. Suku ini disebut kesetimbangan termodinamika ,“thermodynamic probability”, wn.
!N)!(!
!nNn
Nwn −=
MicrostatesJumlah total dari microstates adalah:
=Ω ∑nw
nP
w
)(yasesungguhnPeluangΩ
=nP )(yasesungguhnPeluang
Untuk microstates dengan jumlah
maxw≅ΩUntuk microstates dengan jumlah sangat besar
Multiple Outcomes
NN !!NNNN
wi∏
=⋅⋅⋅⋅
=!!!! 321
NNi
i =∑
Stirling’s Approximation
⎞⎛
−≅
N
NNNNN
!
ln!ln: largeFor
( ) ∑−=∏−=⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∏
=i
iii
NNNNN
Nw !ln!ln!ln!ln!
!lnln
∑ ∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
i iiii NNNNNNw )ln(lnln
∑−=⎠⎝
iii
i i
NNNNw )ln(lnlni