KUANTUM AYAR ALAN TEORİLERİNİN KUANTİZASYONU VE STANDART MODEL
-
Upload
mehmet-qemal-guemues -
Category
Documents
-
view
237 -
download
0
Transcript of KUANTUM AYAR ALAN TEORİLERİNİN KUANTİZASYONU VE STANDART MODEL
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
1/83
KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNNKUANTZASYONU VE STANDART MODEL
QUANTIZATION OF QUANTUM GAUGE FIELD
THEORIES AND THE STANDARD MODEL
MEHMET KEMAL GM
PROF. DR. MGE BOZ EVNAY
Tez Danman
Hacettepe niversitesi
Lisansst Eitim-retim ve Snav Ynetmeliinin
Fizik Mhendislii Anabilim Dal iin ngrd
YKSEK LSANS TEZ olarak hazrlanmtr.
2015
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
2/83
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
3/83
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
4/83
ZET
KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VESTANDART MODEL
Mehmet Kemal GM
Yksek Lisans, Fizik Mhendislii Blm
Tez Danman: Prof. Dr. Mge BOZ EVNAY
Haziran 2015, 73 sayfa
Bu almann temel amac, ada fiziin hemen her alannda temel omurga haline gelmi
olan ayar teorilerinin kuantizasyon probleminin incelenmesidir. Bu dorultuda, bal sistem-
ler olan ayar teorilerinin kuantizasyonu, Dirac kanonik kuantizasyon yntemi ve Feynman
yol integrali kuantization formalizmi zerine ina edilmi olan Faddeev - Popov yntemi kap-
samnda karlatrmal olarak ele alnmtr. Ayar teorilerinin kuantizasyonunda en nemli
ve incelikli konu olan ayar tespit sreleri zerine zel dikkat sarfedilmitir. Bu srelerin
kanonik formalizmde son derece karmak olmasna karn, Faddeev - Popov yol integrali
formlasyonunda ok daha kolay ve dorudan halledilebilirler. Bu matematiksel ve estetik
stnlkler, fonksiyonel yol integrali formalizmini ve Faddeev - Popov metodunu, alan ku-
antizasyonu balamnda, merkezi bir noktaya tamtr. almann son evresinde ayar tespit
srecinin bir sonucu olarak ortaya kan, BRST simetrisi olarak adlandrlan, bir kalt simetri
zerinde allm ve ayar teorilerinin renormalizasyonu balamndaki nemli rolne iaret
edilmitir.
Anahtar Kelimeler:Yang - Mills teorisi, bal sistemlerin kuantizasyonu, Dirac kanonik
kuantizasyon metodu, ayar tespiti, yol integrali kuantizasyonu, Faddeev - Popov yntemi,
BRST simetrisi.
i
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
5/83
ABSTRACT
QUANTIZATION OF QUANTUM GAUGE FIELD THEORIES ANDTHE STANDARD MODEL
Mehmet Kemal GM
Master of Science, Department of Physics Engineering
Supervisor: Prof. Dr. Mge BOZ EVNAY
June 2015, 73 pages
The main purpose of this study is to review the quantization problem of gauge theories which
have become the fundamental backbone in the modern physics. The quantization of gauge
theories, which are constrained systems, were considered in the frameworks of the canonical
quantization method of Dirac, and the Feynmans path integral formalism, using Faddeev -
Popov method, comparatively. The gauge fixing processes, which are the most important and
subtle issues in the quantization of gauge theories, were paid particular attention to. Although,
these processes are extremely complex in the canonical formalism, they can be handled easily
and straightforwardly in the context of the Faddeev Popov method. These mathematical and
aesthetical advantages have elevated the functional Path Integral Formalism and the Faddeev
- Popov method to a central position in the area of field quantization. In the last stage of the
study, a residual symmetry, known as BRST symmetry, which occures as a result of the gauge
fixing processes, was reviewed, and its important role in the context of the renormalization
of gauge theories was discussed.
Keywords:Yang - Mills theory, quantization of constrained systems, Diracs canonical qu-
antization method, gauge fixing, path integral quantization, Faddeev - Popov ansatz, BRST
symmetry.
ii
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
6/83
TEEKKR
Yksek lisans tez almam sresince, bu almann titizlikle yaplmasn salayan ve des-
tekleyen danmanm Sayn Prof. Dr. Mge Boz Evinaya; engin birikimi ve sabryla bana
rehberlik eden ve beni destekleyen Sayn Prof. Dr. Namk Kemal Paka; bu tez sresince
yardmlarn, moral desteklerini ve dostluklarn esirgemeyen tm arkadalarma ve destek-
lerini yanmda hissettiim anneme ve babama, tm itenliim ve minnettarlmla teekkr
ederim.
Bu tezin son evrelerinde, 014 A602 006 nolu CERN-LHC-CMS Projesi erevesinde Ha-
cettepe - CERN Bilimsel birliine lk Adm isimli alt yap projesi destei ile CERN-CMS
yelii gerekletirilmitir. Yaplan teorik almalarn uygulamalarna ynelik ileri eitim
evresinin anlan BAB Projesi erevesinde 2015 yaznda CERNe yaplacak ziyaret aracl
ile gerekletirilmesi planlanmaktadr. Projenin salad motivasyon ve potansiyel olanaklar
iin niversitemiz yetkililerine itenlikle teekkr ederiz.
iii
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
7/83
GSTERMLER VE KISALTMALAR
Gsterimler
g=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Minkowski metrii
c= 1 = Doal Birim sistemi
ciki=
iciki Einstein Toplam Kural
Ksaltmalar
1PI Tek Nokta Etkileimi (1 Point Interaction)
QCD Kuantum Renk Dinamii (Quantum Chromodynamics)
QED Kuantum Elektrodinamii(Quantum Electrodynamics)
QG Kuantum Ktle ekim (Quantum Gravity)
SM Standart Model (Standard Model)
WI Zayf Etkileimler (Weak Interactions)
iv
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
8/83
NDEKLER
Sayfa
ZET............................................................................................................................... i
ABSTRACT .................................................................................................................... ii
TEEKKR..................................................................................................................... iii
GSTERMLER VE KISALTMALAR ........................................................................... iv
NDEKLER ................................................................................................................ vEKLLER ......................................................................................................................vii
1. GR........................................................................................................................... 1
2. YEREL AYAR DNMLER VE AYAR KURAMLARI...................................... 3
2.1. Global Faz Dnm ve Yerel U(1) Ayar Dnm............................................... 3
2.2. SU(N) Ayar Dnm ve Yang-Mills Teorisi .......................................................... 6
3. DIRACIN KANONK KUANTZASYON YNTEM VE AYAR ALANLARI-
NIN KANONK KUANTZASYONU .........................................................................11
3.1. Mekanik Sistemler iin Diracn Kanonik Kuantizasyon Yntemi ..............................11
3.2. Birinci Snf Balar ve Ayar Dnmleri..................................................................18
3.3. Abelyen Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu....................................................20
3.4. Abelyen Olmayan Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu.....................................25
3.5. Dirac ddias ve Ayar Teorileri...................................................................................31
4. YOL NTEGRAL YNTEM VE AYAR ALANLARININ YOL NTEGRAL
YNTEM LE KUANTZASYONU ..........................................................................33
4.1. Yol ntegrali Yntemi................................................................................................33
4.1.1. Kuantum Alanlar in Yol ntegrali Formalizmi ......................................................33
4.1.2. Balantl Diyagramlarn reteci.............................................................................354.2. Faddeev - Popov Yaklam .......................................................................................38
4.3. Ayar Alanlarnn Feynman Kurallar ..........................................................................43
5. BRST SMETRS .......................................................................................................48
5.1. BRST Simetrisi..........................................................................................................48
5.2. Ward (Slavnov - Taylor) zdelikleri ........................................................................54
6. SONU........................................................................................................................57
A.NOETHER TEOREM.................................................................................................59
B.GRASSMANN NTEGRALLER................................................................................62C.YOL NTEGRALNN NASI VE GE GENLKLER..........................................66
v
http://-/?-http://-/?- -
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
9/83
D.POISSON PARANTEZLERNN DAILMA ZELL...........................................70
KAYNAKLAR ................................................................................................................71
ZGEM.....................................................................................................................73
vi
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
10/83
EKLLER
Sayfa
ekil 4.1. nc mertebedeW[J]ve []arasndaki ilikinin grafik temsili...........38
ekil 4.2. Faddeev - Popov Determinantnn diagramatik gsterimi............................41
ekil A.1. Eylemin deiimi .......................................................................................59
ekil C.1. Yol integralini hesaplanabilmesi iin, yol ncelikle ok saydaki ara
noktalar zerinden kesikli hale getirilir................................................................66
ekil C.2. Yol integrali, konfigrasyon uzaynda iki noktay birletiren tm olas
yollar zerinden toplam ierir. ............................................................................67
vii
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
11/83
1.GR
4 Temmuz 2012de CERNde Higgs bozonunun deneysel olarak gzlemlendiinin ilan edil-
mesiyle tamamlanan Standart Modelin iskeletini oluturan ayar alan kuramlar, doadaki
etkileimleri aklamada kullanlan en gl aralardr.
Ayar simetrisine sahip bilinen en eski teori, Maxwellin formle ettii elektromanyetik te-
oridir. Daha sonra Einstein denklemlerinin de benzer bir simetriyi ierdii Hilbert tarafndan
gsterilmitir.Ayarkavram ilk kez bu iki teoriyi birletirmeye alan Hermann Weyl ta-
rafndan demiryollarndaki ray ls teriminden (track gauge/scale) esinlenerek kullanl-
mtr. Weylin bu iki kuram birletirme abas boa kmasna ramen, ayar kelimesinin
kullanmna devam edilmitir ve kuantum mekaniinin gelitirilmesiyle lek kavram U(1)
simetrisine denk gelen bir faz deimezliine karlk kullanlmaya balanmtr. Bu ere-
vede, ykl nesneler arasndaki etkilemeyi salayan kuvvet tayc alanlarn sistematik bir
ekilde sisteme dahil edilmesi mmkn olmutur [1][2][3].
Kronolojik olarak daha nce Kuantum Elektrodinamiini (QED) modellemede kullanlan
Abelyen U(1) ayar alan kuramnn 1954te Chen Ning Yang ve Robert Mills tarafndan
SU(N) gruplar iin geniletilmesiyle, Elektrozayf ve kuvvetli etkileimlerin (Kuantum
Renk Dinamii - QCD) de ayar alan kuramlar ile modellenmesinin n almtr [4]. Elekt-
rozayf etkileim SU(2)grubu ile modellenirken, kuvvetli etkileimlerSU(3)grubu ile mo-
dellenir.
Ayar alanlarnn kuantizasyonu yukarda bahsedilen temel etkileimin kuantum kuram
erevesinde aklanabilmesi iin gereklidir. Ancak ayar kuramlarnn en belirgin ve bilinen
zellii olan artk serbestlik derecelerine sahip olmalar, sistemin bilinen standart kuan-
tizasyon yntemleri ile kuantize edilmesini engeller. Bu tip fiziksel sistemler; yani sistemi
matematiksel olarak betimleyen alanlarn serbestlik derecelerinin, doada gzlemsel olarak
saptanan serbestlik derecelerinden daha yksek olduu sistemler, bal fiziksel sistemler ola-
rak adlandrlr.
Bal sistemlerin kuantizasyonundaki bu incelik ilk olarak Dirac tarafndan kanonik kuanti-
zasyon yntemi erevesinde ele alnmtr [5]. Bu yntem daha sonra Anderson, Bergman
ve dierleri tarafndan gelitirilmitir [6].
Bal sistemlerin kanonik erevede kuantizasyonu iin 1980lerin sonunda Faddeev ve Jac-
kiw, Diracn kanonik Hamilton ynteminden daha kestirme ve ekonomik bir yntem ortaya
atmtr [7]. Bu yntem Diracn ynteminin aksine sistemin balarn batan tretip bunlar
snflandrmak yerine teoride ba denklemlerinin adm adm zlmesini ve yol boyu siste-
min artk serbestlik derecelerinin elenmesini ierir.1960larn sonunda ayar alan kuramlarnn Feynmann yol integrali formalizmi erevesinde
1
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
12/83
kuantize edilebilmesi iin Faddeev ve Popov bir yaklam ortaya atmlardr [8]. Ayar kuram-
larnn renormalize edilebilirlii ise tHooft, Slavnov ve Taylorun ncl ve daha birok
bilim insannn katklaryla gsterilmitir [9][10][11].
Ayar alanlar Faddeev - Popov yaklam erevesinde kuantize edilirken teoriye fiziksel ol-
mayan baz hayalet paracklarn dahil edilmesi gerektii saptanmtr. Bu hayalet parack-
lar Faddeev - Popov hayaletleri olarak adlandrlrlar. Bu yeni paracklarn varl, kuramda
yeni bir simetriye yol aarlar. Bylece Faddeev - Popov yaklam ile ayar sabitlemesi ya-
plarak kuantize edilen teori, artk ayar simetrisini kaybederken, orijinal simetrinin kalnts
yeni bir fermiyonik simetriye sahip olur. Bu simetri ilk olarak Becci, Rouet Stora ve onlar-
dan bamsz olarak Tyutin tarafndan gsterilmitir ve bu bilim insanlarna ithafen BRST
simetrisi olarak adlandrlmtr [12][13][14].
Bu almada, esas olarak yukarda bahsedilen kuantizasyon yntemlerinden Diracn ka-
nonik ve Faddeev ile Popovun yol integrali yaklamlar ksaca zetlenerek, Abelyen ve
Abelyen olmayan ayar alan kuramlarnn bu yntemlerle nasl kuantize edildii allmtr.
almann ikinci blmnde klasik alan kuram balamnda ayar alan kuramlar ve ayar
simetrileri ksaca tantlmtr.
nc blmde, Dirac kanonik kuantizasyon yntemi detayl bir biimde incelenerek Ma-
xwell ve Yang - Mills teorilerinin bu yntemle kuantizasyonu allmtr. Burada zellikle
ayar saptama konusu ayrntyla tartlm ve bu srecin kanonik Hamiltonyen erevesinde
ne denli karmak ve zahmetli olduu gzlemlenmitir. Abelyen durumda ok fazla zorlan-madan stesinden gelinebilen bu husus, Abelyen olmayan durumda neredeyse baedilemez
boyutlara ular.
Buna karlk bu konu Faddeev - Popov formalizmi erevesinde son derece basit ve k bir
ekilde zlebilmektedir. Dier hesaplama stnlkleri yannda bu balamdaki rahatl da,
neden bu yntemin giderek, zellikle ayar teorileri iin, standart kuantizasyon yntemi haline
geldiini gstermektedir.
Drdnc blmde Yol integrali yntemi ksaca zetlenerek, Yang - Mills teorisinin Faddeev
- Popov yaklam ile nasl kuantize edilecei detaylca gsterilmi ve bu erevede teorininFeynman kurallar tretilmitir.
Son blmde ise Faddeev - Popov yaklamnn bir sonucu olarak teoride ortaya kan BRST
simetrisi incelenmi, bu balamda Faddeev - Popov hayaletlerinin fiziksel durumlar tarafn-
dan ierilemeyecei ksaca gsterilmitir. Daha sonra kuramn renormalize edilebilirlii iin
kilit neme sahip olan Ward (Slavnov - Taylor) zdelikleri tretilmitir.
Bu almalar yaplrken Feynman yol integrali formalizminin yannda kullanlan klasik alan
kuramnda r ac bir teorem olan Noether teoremi ve Faddeev - Popov hayaletlerinin
yol integrallerinin hesaplanmas iin gerekli olan Grassmann integralleri almann sonundaekler ksmnda zetlenmitir [15].
2
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
13/83
2.YEREL AYAR DNMLER VE AYAR KURAMLARI
Yerel ayar simetrisi alanlarn fazlarnn her uzay-zaman noktasnda birbirlerinden bamsz
seilebilme ilkesine dayanr. Yerel ayar simetrisine sahip olan kuramlar ayar kuramlar olarak
adlandrlrlar. Bu srekli gruplar bir Lie grubu olutururlar ve teorinin simetri grubuveya
ayar grubuolarak adlandrlrlar.
Klasik bir alan teorisinde mevcut global faz simetrileri yerelletirmek istendiinde Lagranji-
yene ayar alan ad verilen vektr alanlarnn eklenmesi gerekir. Bylece teorideki alanlarn
temsil ettii paracklar arasndaki etkileme, sisteme k bir biimde dahil edilmi olur.
Ayar grubuU(1)olan Kuantum Elektrodinamii (QED), bir tane ayar alanna sahiptir ki, bu
da foton olarak bildiimiz parac temsil eder.
2.1.Global Faz Dnm ve Yerel U(1) Ayar Dnm
Greli kuantum mekaniinde serbest maddesel paracklar, rnein elektron, Dirac denkle-
minin zmleri olan spinr alanlar ile betimlenirler. Bu serbest spinr alanlarn Lagranjiyen
younluu1 (Dirac Lagranjiyeni),
L =i m (2.1)
dnm parametresi,, reel skaler bir sabit veg, etkileim sabiti olmak zere
U eig (2.2)
eklinde tanmlanm global faz dnm altnda deimez kalr.
Eitlik (2.2)deki global dnmn parametresi, (x) gibi uzay-zamann bir fonksiyonu
olarak deitirilerek dnm yerel hale getirilebilir. Bu dnm altnda Eitlik (2.1)deki
Lagranjiyen artk deimez kalmaz. nk nn uzay-zaman trevlerini ieren terimleri de
artk dnm Lagranjiyene eklenecektir:
L L = L g (2.3)
Yerel ayar dnmleri altnda Lagranjiyeni deimez brakmak iin, Eitlik (2.1)deki tre-
vin kovaryant trevle deitirilerek, Lagranjiyene ile etkileen bir vektr alan eklenmesi
gerekir:
D +igA . (2.4)
1Bundan sonra ksaca Lagranjiyen olarak anlacaktr.
3
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
14/83
Bu durumda yeni Lagranjiyen,
L =iD m (2.5)
olur.Eitlik (2.5)teki Lagranjiyenin deimezliinin salanabilmesi iin, Dningibi dn-
mesi gerekir:
(D) D
=U(D) . (2.6)
Bu durumda,Aayar alannn dnm kural
D =
(+igA
) (eig(x)
)=eig(x) () +igAe
ig(x) (2.7)
ifadesinden (ig) +igA
= [igA]
A = A . (2.8)
eklinde bulunur.
Bylece yerel ayar dnmleri altnda deimez kalan bir Lagranjiyen ina edilmi olur.
Ancak yeni Lagranjiyen Ann dinamik terimlerini de iermelidir. Vektr alan iin anti-
simetrik alan iddeti tensr
F i
g[D, D] =A A (2.9)
tanm ile, ayar alan iin dinamik Lagranjiyen terimi
LA= 1
4FF (2.10)
eklinde ifade edilir. Burada alan iddeti tensrnn bileenleri
F0i = Ei
1
2ijk F
jk = Bi (2.11)
olmak zere,Fnn kontravaryant matris gsterimi
F
0 E1 E2 E3
E1 0 B3 B2
E2 B3 0 B1
E3 B2 B1 0
(2.12)
4
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
15/83
formundadr.
Yerel ayar simetrisini ihlal edecei iin, ayar alan Lagranjiyeninde A2 gibi bir terim ol-
mamas gerekir. Kolayca gsterilebilecei gibi, anlan A2 terimi vektr alannn ktlesinin
karesine kar gelmektedir. Dolaysyla ayar simetrisine sahip olan bir vektr alann ktlesiz
olmas gerekir. Sonu olarak yerel ayar dnmleri altnda deimez kalan Lagranjiyen
L =
iD m
1
4FF (2.13)
eklinde yazlabilir.
Ayar alanlar iin hareket denklemi, Euler - Lagrange denkleminden
F g= 0 (2.14)
olarak elde edilir.
YerelU(1)ayar dnmleri iin Noether Akm, Eitlik (A.2)den yola klarak
j = L
(A)A+
L
() +
L
(
) (2.15)
eklinde tanmlanr. Eitlik (2.2) ve (2.8)den alanlarn ayar dnmleri altnda sonsuzkk
deiimleri
A =
= ig
= ig (2.16)
gz nne alndnda, Noether akm
j =F g. (2.17)
formunda bulunur. Dolaysyla, Eitlik (2.11) kullanlarak ve Eitlik (A.3)den hareketle, No-
ether yk
Q =
d3xj0 =
d3x
(Eii g
0)
=
d3x
(iE
i g)
=
d3xG (x) (2.18)
eklinde elde edilir. Burada G (x), klasik elektromanyetik kuramdan hatrlanaca zere, Ma-
5
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
16/83
xwell hareket denklemlerinden birini oluturan
G (x) = E = 0 (2.19)
Gauss yasasnn kuantum operatr karldr. Gauss yasasnn kuantize edilmi alanlarnayar dnmlerinin jenaratr olduu ileride ayrntl bir ekilde gsterilecektir.
2.2.SU(N) Ayar Dnm ve Yang-Mills Teorisi
Aralarnda etkileme olmayan N tane Dirac alan ele alndnda, sistemin Lagranjiyeni
L =iaa maaa, a= 1, 2, . . . , N (2.20)
eklinde ifade edilebilir. Ktlelerin eit olduu durumda
1
...
N
ve 1 N (2.21)
tanmlar yaplarak, Lagranjiyen daha kompakt bir biimde
L =i m (2.22)
formunda yazlabilir. Grld zere bu Lagranjiyen global birSU(N) simetrisine sahiptir.
Bu ifadenin, a, a= 1, 2, 3 , uzay-zamann reel skaler fonksiyonlar ve Ta, SU(N) grubunun
anti-Hermityen jenaratrleri2 olmak zere,
=U
U e, = gTaa (2.23)
eklinde tanmlanan global dnm altnda deimez kalmas gerekir. Bu simetriyi yerel-
letirmek iin,
A gTaAa (2.24)
2SU(N)iinTalar grubun anti-Hermityen jeneratrleri olmak zere SU(N)grubunun Lie cebiri ve nor-malizasyonu yledir:
Ta, Tb
= fabcTc
Tr
(TaTb
) =
1
2ab
6
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
17/83
matris deerli bir vektr potansiyel olmak zere,
D I+A (2.25)
kovaryant trevi tanmlanabilir. Bu, kovaryant trevin temel gsterimdeki halidir. Lagranji-yenin deimez kalmas iin alann kovaryant trev de
D D
=U(D) (2.26)
eklinde dnmelidir:
(I+A
)U =U[(I+A) ] . (2.27)
Bu ifadeden hareketle, ayar alanlarnn dnm kuralnn
U() + (U) +AU = U() +U A (2.28)
ara basama gz nne alnarak
A=U AU1 (U) U
1 (2.29)
olmas gerektii bulunur. Eersonsuzkk bir parametre ise, dnm,
A=A D (2.30)
eklinde ifade edilebilir. Burada Dkovaryant trevin adjoint temsildeki ifadesidir ve ak
hali
D I+ [A, (2.31)
olarak gsterilir. Dolaysyla yerel SU(N)ayar dnmleri altnda deimez kalan Lagran-
jiyen
L=iD
m (2.32)
formunda yazlabilir.
Yapy tamamlamak iin bu Lagranjiyene ayar alanlarnn kinetik teriminin de eklenmesi ge-
rekir. Kinetik terimin mevcut Abelyen olmayan durumda belirlenebilmesi iin, Abelyen du-
rumdan ipular karlabilir. Eitlik (2.25)te tanmlanan temel temsildeki kovaryant trev-
ler iin, Eitlik (2.9)dakine benzer yaklamla, Abelyen olmayan alan iddet tensr, matris
temsilinde
[D, D] = A A+ [A, A] F (2.33)
7
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
18/83
eklinde bulunur. Eitlik (2.24)teki matris gsterimi tanmndan hareketle
F= gFa
Ta (2.34)
yazlabilir ve bu ifadeden
Fa=Aa A
a gf
abcAbAb (2.35)
elde edilir. Buradafabc kompaktSU(N)grubunun yap sabitidir.
Lagranjiyene (2.33)te gsterilen alan iddeti ile yazlan kinetik terim eklenirse, nihai Lag-
ranjiyen
L =iD m 1
4FaF
a (2.36)
formunda olacaktr. Burada SU(N) gruplarnn normalizasyon zellii kullanlarak, ayaralanlarnn kinetik terimi
LA = 1
4FaF
a = 1
2g2T r (FF
) (2.37)
eklinde de yazlabilir.
Ayar alanlar iin Euler-Lagrange denklemleri, vektr potansiyelin deiimine karn eyle-
min deimez kalmas ilkesi gerei dorudan elde edilirler3. ncelikle Adeki sonsuzkk
deiimlerin,Fde yaratt deiiklie baklrsa;
F = A A+ [A, A] [A, A]
F = DA DA (2.38)
bulunur. Eylemdeki deiim ise;
S =
d4x
1
2g2T r [(FF
)] +i(
D)
=
d4x1g2
T r (FF) +i (A) =
d4x
1
g2T r [F(D
A DA)] +i (A)
=
d4x
2
g2T r [F(D
A)] +i (A)
(2.39)
olur. Birinci terimde ksmi integrasyon kullanlrsa,
S= d4x 2g2 T r [(DF) A] +iA +yzey terimleri (2.40)3Kukusuz bu ana basamak atlanp, Euler - Lagrange denklemleri kullanlarak da bulunabilirler.
8
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
19/83
bulunur. Bu mertebedeki deiimler altndaS = 0olmas gerektiinden, Eitlik (2.24)de
yer alan tanm da kullanlarak hareket denklemi
(DF)a +igb
(Ta)bc c= 0 (2.41)
eklinde elde edilir.
Eitlik (2.25)te tanmlanan kovaryant trev operatrleri iin de Jacobi zdelii:
[D, [D, D]] + [D, [D, D]] + [D, [D, D]] = 0 (2.42)
formunda yazlabilir. Bu ifadeden hareketle Eitlik (2.33)te kullanlarak, Bianchi zdelii
elde edilir:
[D, F] = 0 . (2.43)
Dual alan tensr
F =1
2F (2.44)
eklinde tanmlandnda,
[D, F] = DF (2.45)
ifadesi de kullanlarak, Eitlik (2.43)
DF = 0 (2.46)
formunda yazlabilir. Bu ifadenin, hareket denklemlerinin bir sonucu olmadnn vurgulan-
mas gerekir.
SU(N)Ayar dnmleri iin, Noether akm; Eitlik (2.23) ve (2.29)dan yararlanlarak,
alanlarn ayar dnmleri altnda sonsuzkk deiimleri,
Aa = Dab
b
a = g (Tc)ab
cb
a = gb(Tc)ab
c (2.47)
ve Eitlik (A.2)nin de kullanlmasyla,
j = F,aDac c iga
(Tc)ab cb (2.48)
9
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
20/83
eklinde bulunur. Bu durumda, Noether yk
Q =
d3xj0 =
d3x
(F0,aDac
c iga(Tc)ab
cb)
=
d3
x (Daci Ei,a iga(Tc)ab b) c=
d3xGc (x) c (2.49)
formunda elde edilir. BuradaGc ile gsterilen terim Abelyen olmayan alanlar iin Gauss ya-
sasdr. Maxwell durumunda belirtildii gibi, bu korunumlu ykn, kuantize edilmi alanlarn
ayar dnmlerinin jeneratr olduu ileride ayrntl bir ekilde gsterilecektir.
10
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
21/83
3.DIRACIN KANONK KUANTZASYON YNTEM VE AYARALANLARININ KANONK KUANTZASYONU
3.1.Mekanik Sistemler iin Diracn Kanonik Kuantizasyon Yntemi
Bilindii gibi konfigrasyon uzaynda L (qi,qi) , i = 1, 2,...,Ngibi bir Lagranjiyen ile temsil
edilen sistemin faz uzaynda tanml Hamiltonyene dnm,piler kanonik momentumlar
olmak zere,
pi= L
qi (3.1)
Legendre dnm ile yaplr:
H(p, q) =piqi
L (q, q) . (3.2)
Bu dnmn tersinir olabilmesi iin konfigrasyon uzaynda birbirinden bamsz herqihzna kar, dierlerinden bamsz birpimomentumu karlk gelmelidir.Adnm mat-
risi olmak zere bu iki uzay arasndaki dnmq
p
=A
q
q
=
I 0
b b
q
q
(3.3)
eklinde tanmlanabilir. Burada b ve b, N Nboyutlu matrislerdir. qn kuadratik terimleriniieren Lagranjiyenler iin
b= b(q) ve b=b(q) (3.4)
olmaldr. Dolaysyla ters dnme karlk gelecek olan A1 matrisi
A1 =
I 0
b1b b1
(3.5)
eklindedir. YaniA1, bmatrisinin singler olmad durumda tanmldr. Eitlik (3.3)ten
grlecei zerepi momentumu,bvebmatrisleri cinsinden
pi =bijqj+ bij qj (3.6)
formunda ifade edilebildiine gre,bmatrisinin elemanlar
bij = pi
qj=
2L
qiqj(3.7)
11
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
22/83
olmaldr. Yani, A matrisinin tersinin var olmas iin, bnin tersinin var olmas, bunun iin
de
detb = 0 (3.8)
olmas gerekir. Aksi durumda, dnm tersinir olmayacaktr. Yani N adet birbirinden ba-
mszpi momentumu tanmlanamayacak ve sistemin Hamiltonyeni bir tek(unique) ol-
mayacaktr. Bu tip sistemler bal sistemler olarak adlandrlrlar.
bmatrisinin rankRolmak zere,R < NolduundaNtane bamsz hzn sadeceRtanesi
koordinatlar ve elenik momentumlar cinsinden yazlabilir. Ancak, burada faz uzay dei-
kenlerini birbiriyle ilikilendirenN R= Mtane daha bant vardr. Bunlara birincil ba
koullar ad verilir ve
m (q, p) =pm gm (q, p) = 0 m= 1, 2,...,M (3.9)
eklinde gsterilebilirler. Birincil ba koullar sistemin faz uzayn 2N (N R) =N+
R < 2Nboyutlu birPhiperyzeye snrlar. Bu hiperyzeye birincil ba yzeyi denir ve
2Nboyutlu hiperyzeyi tarafndan kapsanr. Yani sistemi betimleyen Hamiltonyen, bu
ba yzeyi zerinde tanmlanr. Bu noktada Diracn yapt bir tanmn devreye sokulmas
gerekir.
Herhangi ikiF, G dinamik deikeniChiperyzeyi zerinde birbirlerine eitse
F G|C = 0 (3.10)
bu iki dinamik deiken birbirlerine zayf eittir denir ve bu iliki
FG (3.11)
eklinde gsterilir. Bu durumda, Eitlik (3.9)da tanmlanan ba koulu ifadesi
m (q, p) =pm gm (q, p) 0 (3.12)
olarak yazlabilir. Bu ba koullarnn varlnda, Hamilton hareket denklemlerinin yeni for-
munun nasl olaca Hamiltonyenin deiimi ile belirlenir:
H = qipi +piq
i L
qiqi
L
qiqi
= qipi
L
qiqi . (3.13)
Bu ifadeden Hamiltonyenin sadeceqvepnin fonksiyonu olduu kolaylkla grlebilir. An-
cak bu Hamiltonyen, bir tek ekilde belirlenemez. nk qve p arasnda ba koullar
tarafndan belirlenen ekstra bir iliki var olduundan, bu ilikinin fiziksel sistemi betimle-
12
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
23/83
yen, Hamiltonyen iine de tanmas gerekir. Dolaysyla, sfra eit olan ba koullarnn
bir lineer kombinasyonu Hamiltonyene eklenir ve Hamiltonyen ba yzeyi zerinde
H H+ umm . (3.14)
eklinde ifade edilir. Eitlik (3.14)teumler bilinmeyen Lagrange arpanlardr. Bu eitlik
birincil ba koullarn da ierdiinden, Hamilton hareket denklemlerinin yeni formu
qi H
pi +um
m
pi , (3.15)
pi H
qi +um
m
qi (3.16)
eklindedir. Grlecei gibi hareket denklemleri bilinmeyen umparametrelerini iermektedirve buumparametreleri, tutarllk gerei,qveplerin fonksiyonlar olmaldr. Ayrca burada
Hn, birincil Hamiltonyen,Hpolarak,
Hp H+ umm (3.17)
tanmlamak mmkndr. Bu birincil Hamiltonyende yer alan ba koullar tutarllk iin za-
man iinde evrilmemelidirler. Yani
m 0 (3.18)
olmaldr. Eitlik (3.18)deki bantlar tutuarllk artlar olarak adlandrlrlar.
Klasik dinamikten hatrlanabilecei zere iki FveG dinamik deikeninin Poisson paran-
tezleri
{F, G} F
qi
G
pi
F
pi
G
qi, (3.19)
eklinde tanmlanr ve herhangi bir dinamik deikenin zamanla deiimi
F = {F, H} {F, Hp} (3.20)
eklinde ifade edilebilir. Dolaysyla Eitlik (3.20) kullanlarak, tutarllk artlar
m {m, Hp}
{m, H} +un {m, n}
hm+Cmnun0 (3.21)
bulunur. BuradaCmn, ba koullarnn Poisson parantezlerinin ina ettii matrisin elemanla-
rdr.
Eitlik (3.21)de elde edilen tutarllk artlar, yeni tutarszlklarn ortaya kmasna sebep
13
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
24/83
olabilirler: rnein; L= qq, Lagranjiyeni = p1ba koulu ile H=qHamiltonyenini
verir. Bu ba koulunun zamana gre trevi 1dir. Bu da yeni bir tutarszla sebep
olur. Bu tr tutarszlklarn bertaraf edilebilmesi iin, Eitlik (3.21) ile gsterilen artlar iki
farkl durum iin yeniden gzden geirilmelidir:
1. detC0durumunda Lagrange arpanlar
un Cnmhm (3.22)
eklinde tek ve sabit bir biimde belirlenir. Bu ifadede
Cnm =(
C1)
nm (3.23)
olarak tanmlanmtr. Bu tespit ile, herhangi bir dinamik deikenin zaman iindekideiimi
F {F, Hp} {F, H} + {F, m} um
{F, H} {F, m} Cmnhn
{F, H} {F, m} Cmn {n, H} (3.24)
eklinde belirlenir ve Eitlik (3.24) herhangi bir balang noktasnn ba yzeyinde
bulunmasn garantiler.
2. detC0durumunda Lagrange arpanlar belirlenemez. Eer Cnin rankR < Nise
A= N Rtanewabo zvektr vardr:
wma Cmn 0 a= 1, 2, . . . ,A. (3.25)
Eitlik (3.21) soldanwmalar ile arplrsa
hmwma 0 (3.26)
elde edilir. Bu durumda Eitlik (3.22)deki denklemler tamamen salanaca gibi,K1tane yeni ba koulu da ortaya kar:
k 0, k= M+ 1,...,M+K1 . (3.27)
Bu ba koullar ikincil ba koullar olarak adlandrlr.
kincil ba koullarnn elde edilmesinden sonra, birincil ba yzeyinden daha dk boyutlu
bu yeni ba yzeyi zerinde birincil ve ikincil ba koullar iin tutarllk artlar snanma-
sna devam edilir. Algoritma burada durabilecei gibi yeni ba koullar da ortaya kabilir.
14
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
25/83
Dolaysyla bu algoritma, ortaya kan her yeni ba yzeyi zerinde, tutarllk artlar belir-
lenip yeni bir ba koulu ortaya kmayncaya kadar srdrlr 1. Sonu olarak btn ba
koullar (birincil, ikincil, ncl...)
j 0, j = 1,...,M+ K J (3.28)
eklinde belirlenir. Burada birincil ba koullarnn sistemin momentumun tanmndan belir-
lendiini, ancak ikincil, ncl... ba koullarnn, birincil ba koullarnn hareket denk-
lemlerinden tretildiini hatrlatmak gerekir.
Eer ba yzeyi ba eitlikleri ile tanmlanyorsa, bu yzeyde sfr olan herhangi bir faz uzay
fonksiyonu ba koullarnn lineer kombinasyonu biiminde de yazlabilir. Hamiltonyen de
vj gelii gzel sabitler olmak zere
HE=H+ vjj (3.29)
eklinde ifade edilebilir.
Ba koullar Dirac tarafndan bir baka snflandrmaya daha tabi tutulmutur. Eer bir
F(q, p)fonksiyonu tmjba koullaryla Poisson parantezleri sfra zayf eitse,
{F, j} 0, j= 1, 2, ...,J , (3.30)
birinci snf, dier durumlarda ise ikinci snffonksiyon olarak adlandrlr. Ba koullarnn
bu ekilde, birinci, ikinci snf olarak snflandrlmas; birincil, ikincil, ncl... eklinde
snflandrlmalarndan tamamen bamszdr.
Bu noktada, birinci snf fonksiyonlar iin nemli bir teoremin vurgulanmas gerekir:
Teorem 1. Birinci snf fonksiyonlar kmesi Poisson parantezleri altnda kapaldr.
spat:EerFveG birinci snf ise Eitlik (3.30) ba koullarnn lineer komibinasyonuna
kuvvetli eit biimde yazlabilir:
{F, j} =fjj j (3.31)
ve benzer ekilde
{G, j} =gjj j (3.32)
1Algoritma u ekilde sonlanr:
1. 0 0elde edildiinde,
2. Lagrange arpanlardan birisi belirlendiinde,
3. Yeni bir ba koulu bulunmadnda.
15
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
26/83
olarak ifade edilebilir. Jacobi zdeliinden faydalanlarak
{{F, G} , j} = {F, {G, j} } {G, {F, j}}
= {F, gjj j} {G, fjj j}
= gjj {F, j} + {F, gjj } j fjj {G, j} {G, fjj } j
0 . (3.33)
olduu kolaylkla gsterilebilir. Bu durumda Fve Gnin Poisson parantezleri birinci snftr.
Artk sistemdeki tm ba koullar, birbirlerinden bamsz olan Itane birinci snf
i(q, p) 0, i= 1, ..., I , (3.34)
ve geriye kalanS=J Itane ikinci snf
(q, p) 0, = 1,...,S (3.35)
ba koullar olmak zere iki kategoriye ayrlabilirler.
Zamandan bamsz ba koullarnn belirlendii bu yntemde tm Lagrange arpanlar be-
lirlenebilecei gibi, bir ksm belirsiz de kalabilir. Eer sistemdeki birincil ba koullarndan
birinci snf olanlar varsa, tm ba koullarnn belirlenmesi sonucunda hala birincil Hamil-
tonyende belirlenememi Lagrange arpanlar kalr.2 Bu belirlenemeyen Lagrange arpanla-rnn says birincil ba koullarndan birinci snf olanlarnn says kadardr.
Birinci snf ba koullar, daha sonra ayrntl ekilde incelenecek olan yerel ayar deimez-
lii ile ilikilerinden tr, zel nem tarlar.
Dirac tarafndan yeni bir cebir tanmlamak amacyla, ikinci snf ba koullarnn, elemanlar
= {, } , (3.36)
eklinde tanmlanan birmatrisi ina ettii gsterilmitir. Bir sonraki aamada kullanlmakzere bu matrisin baz zelliklerini gzden geirmek gerekir: kinci snf ba koullarnn,
1. matrisi singler deildir. Yani matrisinin determinant ba koullar tarafndan
tanmlanan en kk ba yzeyi,C, zerinde sfrdan farkldr:
det 0 . (3.37)
2Maxwell alan kuram iin de tutarl bir Hamilton formalizmi tanmlamak iin ayar sabitleme koullarnaihtiya vardr ve bu ayar sabitleme koullarn birinci snf ba koulu olacak ekilde semek gerekir (Bkz.
Blm 3.2).
16
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
27/83
Aksi durum varsaylarak bu ifade ispatlanabilir. Eersinglerse ve
ra =r {, } 0 (3.38)
koulunu salayanr2
= 0karakterine sahip birrvektr (null vector) var ise ikincisnf ba koullarnn zayf eitlii kullanlarak Eitlik (3.38),
{r, } 0 (3.39)
eklinde yazlabilir verayrca birinci snf ba koullaryla da sra deitirebilir.
Bu da daha nce birinci snf ba koullar iin Eitlik (3.30)da yaplan tanmla eliir.
Yani,matrisinin determinant sfrdan farkl olmaldr.
2. matrisi antisimetriktir. Bundan dolay matrisin boyutu ift olmaldr. Bir dier de-yile, ikinci snf balarn says olan Sift say olmaldr.
3. kinci snf ba koullar iin tutarllk koulu yazlrsa
= {, H} +v {, } 0
= {, H} +v 0 (3.40)
eitliine ulalr. Dolaysyla det 0zellii gz nnde bulundurulduunda, Eit-
lik (3.40)daki denklemlerv
lar iin zlebilir.
Bu noktada artk sistemin kuantizasyon ilemine geilebilir. Bir sistem kuantize edilmek
istendiinde, faz uzaynn temel deikenleri olan konum ve elenik momentuma Hilbert
Uzaynda tanml kuantum ilemciler kar getirilir. Bu tr iki ilemcinin komtasyon ba-
ntlar da kuantum Hilbert uzaynn elemandr. Herhangi iki kuantum operatr olanFve
Giin kuantum komtatr F , G
i {F, G} (3.41)
eklinde gsterilir ve bu durumda ba koulu bantlar | gibi bir kuantum durumu zerinesnrlama getiren kuantum ilemciler olarak ele alnr. Dolaysyla
{1, 2} 0
1,2
| =i {1, 2} | = 0 (3.42)
eklinde bir edeerlik salanr. Eitlik (3.42)den grlecei zere, kapallk zelliklerinden
tr, yalnz birinci snf ba koullarna sahip sistemler iin klasik kuramdan kuantum ku-
ramna gei yaplabilir. Ancak sistemin Lagrange arpanlar da sistemde ikinci snf balar
olmadan hesaplanamaz.
Bu problemi amak maksadyla, Dirac; ikinci snf ba koullar iin, ba yzeyi zerinde
birinci snf gibi davranabilmelerini salayacak yeni bir cebir tanmlamtr. kinci snf ba
17
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
28/83
koullarnn Poisson parantezleri, Dirac parantezleri ile deitirilip; karlk gelen komta-
trleri sfra kuvvetli eit hale getirilerek kuantizasyon yaplabilir.
Herhangi iki faz uzay deikeni iin Dirac parantezi
{F, G}D {F, G} {F, } {, G} (3.43)
eklinde tanmlanr. Burada ()1 olup, = dr. Eitlik (3.36)dan
kolaylkla grlecei zere herhangi bir faz uzay fonksiyonunun ikinci snf ba koullaryla
Dirac parantezleri sfrdr:
{F, }D = {F, } {F, } {, }
= {F, } {F, }
= {F, } {F, } = 0 . (3.44)
Poisson parantezlerinin tm zellikleri Dirac parantezleri tarafndan da salanr. Tm birinci
snf ve ikinci snf ba koullarnn Dirac parantezleri sfra zayf eit olur.
Son olarak bir faz uzay fonksiyonunun Hamiltonyeni ile Dirac parantezine baklrsa
{F, H}D = {F, H} {F, } {, H} (3.45)
bulunur. Hamiltonyenin tm ba koullaryla Poisson parantezi sfra zayf eit olaca iin
ikinci terim sfra zayf eit olur ve
{F, H}D {F, H} =F (3.46)
elde edilir. Bu ifadeden anlalaca zere, Dirac parantezleri, Poisson parantezleri ile ayn
hareket denklemlerini verir.
Bylece ikinci snf ba koullarna sahip bir sistemin kuantizasyonu, Poisson parantezleri
Dirac parantezleri ile yer deitirilerek ve tm ikinci snf ba koullar batan sfra kuvvetli
eit olacak ekilde ayarlanarak gerekletirilmi olur.
3.2.Birinci Snf Balar ve Ayar Dnmleri
Bir nceki blmde belirtildii zere birinci snf ba koullarnn ayar dnmlerinin je-
neratr olduu gsterilebilir: Bu maksatla, geniletilmi toplam Hamiltonyendeki Lagrange
arpanlarna bakmakta fayda vardr. Birincil ba yzeyi zerinde birincil Hamiltonyen Eitlik
(3.17)deki gibidir ve bu ba yzeyi zerinde birinci snf ba koullarnn tutarllk artlar
j {j, H} +um {j , m} 0 j = 1, , J m= 1, , M (3.47)
18
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
29/83
eklinde olur. Bu ifade umler iin Jtane homojen olmayan lineer denklem sistemidir ve
umler iin genel zm
um =v aVma +Um (3.48)
formunda yazlabilir. Bu ifadede Vma
lar homojen zmler, va gelii gzel katsaylar ve
Umler homojen olmayan zmlerdir. Bu durumda geniletilmi toplam Hamiltonyen
HT = H+ Umm+v
aVma m
= H +vaa (3.49)
dzenlemesiyle ifade edilebilir. Diracn snflandrmasna gre H ve a srasyla birinci
snf Hamiltonyen ve birinci snf ba koullardr. Hamiltonyendeva gibi gelii gzel katsa-
ylarn olmas tm durumlarn gzlenebilir olmadn ve bir fiziksel durumun sonsuz farkl
gsterimi olabileceini syler. Yani balangta, (0) = (q(0) , p (0)), olan bir (q, p)durumu iin hareket denklemleri ayn fiziksel durumu temsil eden farkl zmler verirler
( (t) = (t)). Bu durum sistemde ayar simetrisinin olduuna iaret eder.
Bu zellikten faydalanlarak, birinci snf ba koullarnn ayar dnmlerinin jeneratr
olduu gsterilebilir: Bir F dinamik deikeninintgibi sonsuzkk bir zaman aral iin-
deki telenmesi incelendiinde,
F(t) = F(0) + {F, HT} t
= F(0) + [{F, H} +va {F, a}] t . (3.50)
bulunur. Eitlik (3.50)devalar keyfi parametreler olduklarndan, vann va1 ve va2 gibi iki
zel seimi iinFintdeki deerlerinin fark
F(t) =F2(t) F1(t) = t (va2 v
a1) {F, a}
a {F, a} (3.51)
eklindedir. Bu ifadede,sonsuzkk keyfi bir sayy temsil eder.
Eitlik (3.51) deki dnm, sonsuzkk ayar dnmdr ve eerFdeikeni, bu
dnm ile yeni birF deikenine dntrlrse, bu yeni F deikeni de ayn hareket
denklemlerini salayacaktr. Eitlik (3.51)den grlecei zere, bu dnmn jeneratr
birincil birinci snf ba koullardr.
kincil birinci snf ba koullarnn da ayar dnmlerinin jeneratr olabilecei benzer bir
yntemle gsterilebilir. Bunun iin Fdinamik deikenine arka arkaya iki sonsuzkk ayar
dnm uygulanr.a parametreli ilk dnmFdeikenini
F1 = F(0) +a {F, a} (3.52)
19
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
30/83
formunda dntrrken,a
parametreli ikinci dnm de uygulandnda, F deikeni
F12 = F1+a {F1, a}
= F(0) +a {F, a} +a {[F(0) +a {F, a}] , a} (3.53)
ve bu dnmler ters srayla uygulandnda
F21=F(0) +a {F, a} +
a
F(0) +a
{F, a}
, a
(3.54)
bulunur. Bu iki dnm deFfonksiyonunu ayn fiziksel duruma denk gelecek ekilde d-
ntrr. Bu durumdaF21 F12fark, Poisson parantezleri iin Jacobi zdelii de kullan-
lrsa,
F =F21 F12 = aa
[{{F, a} , a} { {F, a} , a}]
= aa
{F, {a, a}} (3.55)
elde edilir. Grld gibi ayar dnmnn jenaratr {a, a}dr. Bu Poisson paran-
tezi birincil ba yzeyi zerinde sfra zayf eittir. Ancak Teorem 1de de gsterildii zere
birinci snf balar Poisson parantezleri iin kapallk zelliine sahiplerdir; yani{a, a}
birinci snf ba koullarnn bir lineer kombinasyona kuvvetli eittir:
{a, a
} =
a
a
a
a
. (3.56)
Dolaysyla alar ikincil ba koullar da olabilir. Ksaca, birincil birinci snf ba koullar
ayar dnmlerinin jeneratr iken, ikincil birinci snf ba koullar da ayar dnmlerinin
jeneratr olabilir ve bu dnmler sistemin fiziksel durumunda bir deiiklie sebebiyet
vermezler.
3.3.Abelyen Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu
Ayar alanlarn kuantizasyonu iin, ncelikle A(x)vektr alanna karlk gelen kanonikalan momentumun hesaplanmas gerekir:
(x) L
(0A)= F0 , (3.57)
0 = 0
i = Ei . (3.58)
20
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
31/83
Vektr alan ve kanonik momentumu iin, e zamanl Poisson parantezleri
{A(x) , A(y)}|x0=y0 = 0 = {(x) , (y)}|x0=y0 (3.59)
{A(x) , (y)}|x0=y0 =3
(x y ) (3.60)eklinde ifade edilir. Eitlik (3.58)ten grld zere, = 0durumunda0 = 0olduun-
dan,0n tm dier dinamik deikenlerle Poisson parantezlerinin sfr vermesi beklenir;
ancak bu Eitlik (3.60) ile eliir. Dolaysyla 0 = 0, ba koulu olarak sisteme dahil edil-
melidir. Bu ba koulunun varl, teoriyi kuantize etmeye alrken bal sistemler iin
gelitirilmi bir kuantizasyon ynteminin kullanlmasn gerekli klar.
lk olarak Diracn kanonic yntemi kullanlarak, bu kuantizasyon ileminin nasl gerekle-
tirileceine baklabilir.
ncelikle
L = 1
4FF
= 1
2
(ii BiBi,
) (3.61)
Lagranjiyeni ile betimlenen sistemin, kanonik Hamiltonyen younluu
Hcan = 0A L =
i 0Ai L
= i(
i +iA0)
L
= 1
2
(ii +BiBi
)+ i
iA0 (3.62)
olarak elde edilir. Kanonik Hamiltonyen, (3.62)deki ikinci terim iin bir ksmi integrasyon
uygulanarak
Hcan =
d3x Hcan
= H0
d3xA0ii (3.63)
olarak bulunur. BuradaH0, Eitlik (3.63)daki ilk terime karlk gelen Hamiltonyendir.
Birincil ba koulu
1= 0 = 0 (3.64)
olmak zere, birincil Hamiltonyen
Hp=Hcan+ d3x11 (3.65)
eklindedir. Bu ifadede 1, Lagrange arpann temsil eder.1ba koulu iin tutarllk art
21
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
32/83
ise
1 {
0, Hp}0 (3.66)
eklinde yazlr. Eitlik (3.66)deki Poisson parantezi hesaplanmak istenirse, Eitlik (3.59) ve
(3.60) kullanlarak, bu hesaba tek katknn sadece Eitlik (3.63)daki ikinci terimden gelecei
kolaylkla grlr3. Bylece
d3y
{0 (x) , A0 (y)
(i
i (y))}
x0=y0=
d3y
{0 (x) , A0 (y)
}x0=y0
(i
i (y))
=
d3y 3 (x y )
(i
i (y))
= ii (x)
0 (3.67)
elde edilir. Grld gibi birincil ba koulu iin yazlan tutarllk art ikincil bir ba koulu
ortaya karmtr:
2=ii0 . (3.68)
yleyse, ikincil Hamiltonyen;
HS = Hcan+
d3x11+
d3x22
= H0+
d3x [11+ (2 A0) 2] (3.69)
olmak zere, Eitlik (3.60)daki e zamanl Poisson parantezleri vastasyla, yeni tutarllk
artnn
2={(
ii)
, HS}
0
0 0 (3.70)
zdeliini salad kolayca gsterilebilir. Tutarllk artnn aikar bir biimde salanma-
syla, bu noktada algoritma sonlanr.Grld zere, teorinin iki birinci snf ba koulu vardr. Bir nceki blmde tartld
zere, sistemde birinci snf ba koullarnn varl yerel ayar simetrisinin varlna iaret
eder. Bu durumda sisteme, bu birinci snf koullarn ikinci snfa dntrecek ekilde ayar
3E zamanl fonksiyonel Poisson parantezlerinin
{F,GH} = {F, G}H+ G {F,H}
standart dalm zelliklerini salad EK.Dde gsterilmitir.
22
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
33/83
sabitleme koullar eklenir. rnein;
1(x) A0(x) 0 (3.71)
2(x) iAi(x) 0 (3.72)
Coulomb Ayar sabitleme koullar seilebilir.
Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta da ayar sabitleme koullarnn birincil ba koul-
laryla benzer yapda, yani:
0(x) 0 A0(x) 0
ii(x) 0 iA
i(x) 0 (3.73)
olmasdr. Bu ayar sabitleme konusunun tad incelik, bir sonraki blmde Abelyen olma-yan durum iin ayrntl bir biimde tartlacaktr.
Bylece teorinin tm ba koullarnn kmesi
1 1, 2
1, 3 2, 4
2 (3.74)
elde edilir. Bu bakoullarnn oluturduu matrisinin elemanlar daha nce Eitlik (3.36)da
ij(x, y) = {i(x) , j(y)}|x0=y0 (3.75)
eklinde tanmlanmt. Bu matrisin 13 = 31 ve 24 = 42 bileenleri dndaki
bileenleri sfrdr. Sfrdan farkl bileenler ise
12= 21 = {1, 2} ={
0 (x) , A0 (y)}
x0=y0= 3 (x y ) (3.76)
34 = 43 = {3, 4} =
{i
i (x) , iAi(y)
}x0=y0= (x)i (y)j {i(x) , Aj(y)}x0=y0= (x)i(y)
jij
3 (x y ) = 2x3 (x y ) . (3.77)
olarak bulunur Sonu olarak, (x,y )matrisi
(x,y ) =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 2x0 0 2x 0
3 (x y ) . (3.78)
23
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
34/83
ve bu matrisin tersi olanmatrisi
(x,y ) =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 2
x
0 0 2x 0
3 (x y ) . (3.79)
formunda elde edilir.
Artk Eitlik (3.43)te gsterildii gibi, iki dinamik alan deikeninin e zamanl Dirac pa-
rantezleri hesaplanabilir:
{A(x) , A(y)}D
x0=y0= 0 = {(x) , (y)}D
x0=y0(3.80)
{A(x) , (y)}D
x0=y0= {A(x) , (y)}|x0=y0
d3z d3w
{A(x) , 0(z)}
3 (z w) {A0(w) , (y)}
+{
A(x) ,(
ii(z))}
2z 3 (z w)
{(jAj(w)
), (y)
}x0=y0
= 3 (x z ) 00
3 (x z )
d3z d3w ij
(z)i
3 (x z ) 2z 3 (z w) (w)
j3 ( w y )
{A(x) , (y)}Dx0=y0 = 00 ij(x)i 12x (x)j 3 (x y ) . (3.81)Ayar sabitleme denklemlerinin, Eitlik (3.71) ve (3.72), altnda Dirac parantezleri
{A(x) , A(y)}D
x0=y0= 0 = {(x) , (y)}D
x0=y0
(3.82)
{Ai(x) , j(y)}D
x0=y0
=
ij (x)i
1
2x(x)j
3 (x y )
= ij (tr)(x y) (3.83)
eklinde elde edilir.
Kuantizasyon srecindeki son adm, tm Dirac parantezlerinin kuantum komtatrler ile de-
itirilmesidir. Bu durumda, Eitlik (3.82) ve (3.83)
[A(x) , A(y)]|x0=y0 = 0 = [(x) , (y)]|x0=y0 (3.84)
24
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
35/83
[Ai(x) , j(y)]|x0=y0 = i
ij (x)i
1
2x(x)j
3 (x y )
= iij (tr)(x y) (3.85)
halini alr ve bylece sre tamamlanm olur.
Burada bir ayrntya daha deinmek gerekir: Eitlik (3.71) ve (3.72)de verilen ayar sabitleme
koullar sayesinde teorinin kanonik Hamiltonyeni de
Hcan= H0=
d3x
1
2
2 + B2
(3.86)
eklinde elde edilir.
Abelyen ayar kuram iin, kuantum Noether teoremi uygulanarak, bulunan korunumlu ykn
ayar dnmlerinin jeneratr olduu rahatlkla gsterilebilir. Bu tartma Abelyen olma-yan durum iin EK.A sonunda yapldndan, Abelyen durum iin hesaplamalar ayrnt ile
gsterilmemitir. Abelyen olmayan kuram iin yaplan hesaplardaS U(N)gruplarnn yap
sabitifabc = 0alnarak, tm sonular kolayca Abelyen durum iin uyarlanabilir.
3.4.Abelyen Olmayan Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu
Abelyen olmayan ayar alanlarn kuantizasyon iin de, Abelyen duruma benzer ekilde, n-
celikleAa(x)vektr alanna karlk gelen kanonik alan momentumlar
,a (x) L
(
0Aa) = F0,a (3.87)
0,a = 0
i,a = Ei,a (3.88)
oluturularak, e zamanl Poisson parantezleri
{Aa(x) , A
b(y)
}x0=y0
= 0 ={
a(x) , b(y)
}x0=y0
(3.89)
{Aa(x) ,
b(y)
}x0=y0
=i ab 3 (x y ) (3.90)
eklinde ifade edilir. Ancak, Eitlik (3.88)ten grld zere0,a = 0olduundan,0,an
tm dier dinamik deikenlerle Poisson parantezlerinin sfr vermesi beklenir. Ancak bu du-
rum Eitlik (3.90) ile elieceinden,0,a = 0, bir ba koulu olmaldr. Abelyen durumda-
25
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
36/83
kine benzer ekilde teorinin kanonik Hamiltonyen younluu hesaplanr ve
Hcan = a
0A,a L = a00A0,a + ai
0Ai,a L
= ai (i,a + (D
iA0)a
) L= 1
2
(i,ai,a +Bi,aBi,a
)+ ai
(DiA0
)a (3.91)formunda bulunur. Bu ifadeden de kanonik Hamiltonyen
Hcan =
d3xHcan
= H0
d3xA0,a
(Dii
)a(3.92)
eklinde elde edilir. Buradaki ikinci terim, integral altnda bir ksmi integrasyon yapldktan
sonra yzey terimleri atlarak bulunmutur.
Birincil ba koulu
a1 = 0,a = 0 (3.93)
olmak zere, birincil Hamiltonyen
Hp = Hcan+
d3xa1
a1
= H0
d
3
x A0,a (Dii)a a1a1 (3.94)eklindedir.
a1 ba koulu iin tutarllk art hesaplanrken, fonksiyonel Poisson parantezlerinin da-
lm zellikleri kullanlanlarak tek katknn sadece Eitlik (3.94)deki ikinci terimden geldii
kolayca grlebilir:
{0,a (x0,x ) , Hp
} =
d3y
{0,a (x0,x ) , A
0,b (x0,y )
} (Dii(x0,y )
)b
=
d3y ab3 (x y ) (Dii(x0,y ))b=
(Dii(x0,x )
)a 0 . (3.95)
Eitlik (3.95)den grld zere, birincil ba koulu iin yazlan tutarllk art ikincil bir
ba koulu ortaya karmtr:
a2 =(
Dii)a
0 . (3.96)
26
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
37/83
yleyse ikincil Hamiltonyen
HS = Hcan+
d3xa1
a1+
d3xa2
a2
= H0+
d3
x [a
1
a
1+ (a
2 Aa
0) a
2] (3.97)
eklinde yazlabilir. imdia2nn tutarllk artna baklrsa
a2 {a2, HS} (3.98)
olmaldr. Eitlik (3.98)te eitliin sa tarafndaki tek katknn Eitlik (3.97)teki nc
terimden gelecei kolaylkla grlebilir:
a2 =
a2(x ) ,
d3y(
b2 Ab0)
b2(y )
. (3.99)
Bu durumdaq2, ba koullarSU(N)grubunun cebiri gerei
{a2(x0,x ) ,
b2(x0,y )
}=fabcc2(x0,x ) (x y ) (3.100)
ifadesini salar.
Bylece,
a2(x) =fabcc2(x) (b2(x) Ab0(x)) (3.101)eitliine ulalm olur.a2nin tutarllk art
a2 =Aa0 (3.102)
seimi yaplarak, yani yeni Lagrange arpan tespit edilerek salanm olur ve algoritma son-
lanr. Bu durumda ikincil Hamiltonyen de
HS=H0+
d3x a1a1 (3.103)
ifadesine indirgenmi olur.
zetlersek, teorinin iki adet birinci snf ba koulu vardr.
Dirac algoritmas erevesinde ilerleyebilmek iin, bu balara eit sayda ayar sabitleme
koullar eklenerek, tm ba koullar kmesini ikinci snf ba koullarna dntrmek
gerekir [22].
Ayar alanlarnn (rnein; elektromagnetik alan) fiziksel zelliklerinden biri olan transvers-
27
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
38/83
lik zelliini saladndan, Coulomb ayar, en ok kullanlan ayardr:
a2 =iAai 0 . (3.104)
a
2nna
2ile eleerek, istenen zellii (ikinci snfa dntrme) yaps gerei salayacaaktr. Burada zel dikkat gerektiren a1ile elemeyi salayacak ikinci ayar koulunun ne
ekilde seileceidir. Bu incelikli husus Abelyen durumda, basitliinden dolay pek sknt
yaratmamt.
Abelyen olmayan duruma gemeden nce, bu seimi (1 = A0 0) kritik bir perspek-
tiften tartmak faydal olacaktr. Hi gzard edilmemesi gereken nokta (Abelyen durumda
genel olarak dillendirilmese de),2 =iAikoulunun da tutarllk koulunu (yani zamanda
evrilmeme) salamas ve bunu2ile uyumlu olarak yapmasdr:
2=0(iAi) =i(0Ai) . (3.105)
Bu koulun, Gauss yasas ile birlikte deerlendirilmesi ve uyumunun salanmas gerekir.
Tanm gerei
i = F0i= 0Ai+ (iA0) (3.106)
olduundan,
0Ai= i+iA0 (3.107)
yazlabilir. Eitlik (3.107), Eitlik (3.105)de yerine konulursa,
2 = i(i+iA0)
= ii+ 2A0 (3.108)
elde edilir. Gauss yasas ile uyumluluk gerei,2nin tutarll
2= 2A0 0 (3.109)
kouluna ulalmasn salar. Bu koulu her yerde salayan statik (2nin tutarllnn gereibulunan 2 A0 0denklemince garanti edilen)A0n
A0 0 (3.110)
koulunu salamas gerekir ki, zaten Abelyen durumda da bu seim yaplmtr.
Bu tartmann bu detayda yaplmasnn nedeni, eldeki Abelyen olmayan erevede duru-
mun olduka farkl olmas ve bu inceliklerin gzard edilerek Coulomb ayar seiminin tpk
28
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
39/83
Abelyen durumda olduu gibi yaplmasnn doru ve mmkn olmaddr. Bu seimin
a2 =iAi,a
0 (3.111)
ksm fiziksel olarak transverslik zelliini salamas nedeniyle, tartmaszdr. nceliklebua2koulunun tutarllnn snanmas gerekir:
ai = Fa0i= 0A
ai + DiA
ai (3.112)
tanmnn altnda
a2 = 0(iAai ) =i(
ai + DiA
a0)
= iai +iDiA
a0 (3.113)
bulunur. a2, Gauss yasas ile uyumluluk zorunluluu gerei, Eitlik (3.96) kullanlarak, Eit-
lik (3.113)da
iai =
a = [Ai, i]a = fabcAbi
ci (3.114)
yazlrsa
a2 =a +iD
abi A
b0 (3.115)
elde edilir.
Eitlik (3.115)den hemen grlebilir ki;a2nn tutarllk zorunluluuA0,a(x) 0gibi birayar seimini dlamaktadr. Zira, bu seim, a = 0olmasn gerektirir, bu da Abelyen olma-
yan teoriyi Abelyen duruma indirgeyecektir.
Bu seenek ortadan kaldrldna gre a1ile uyumlu bir eleme yapabilecek bir ayar seimi
Mab iDabi (3.116)
tanm yaplarak, Eitlik (3.115)den
a2 =MabAb0+
a 0 (3.117)
eklinde bulunur.
zetle, Yang - Mills teorisi iin birinci snf Dirac ba koullarna elik edecek Coulomb
ayar tespiti koullar
a1 = MabAb0+
a 0
a2 = iAi,a
0 (3.118)
olarak seilir.
29
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
40/83
Dirac algoritmasndaki bir sonraki adm Dirac parantezlerinin hesaplanmasdr. Bunun iin
daha nce Eitlik (3.36)da tanmland gibi ba koullarnn oluturduumatrisinin ina
edilmesi gerekir.ai veai koullar
ai genel ifadesi ile gsterilirse
a1
a1,
a2
a1,
a3
a2,
a4
a2 (3.119)
olmak zere,matrisinin elemanlar,
abij (x, y) {
ai (x) , bj(y)
}x0=y0
(3.120)
eklinde tanmlanr.
Bu matrisin elemanlar son derece karmak ifadelerdir. Bu durum, zellikle Dirac paran-
tezlerinin inasnda kullanlacak olan 1
in hesaplanmasnda, bu yntemin kullanllbalamnda ciddi kukular yaratan, teknik zorluklar ortaya koyar.
matrisinin sfrdan farkl elemanlar
ab12 = ab21 =
{a1,
b2
}={
0a (x) , A0,b (y)}
x0=y0=Mab (x) 3 (x y ) ,(3.121)
ab22={
a2, b2
}={
a1(x) , b1(y)
}x0=y0
=fabcc (x) 3 (x y ) , (3.122)
ab
23 = ab
32= {a2, b3} = {a1(x) , b2(y )}x0=y0 = fabc c2(x ) 3 (x y )+fabc i
Ac0 i
3 (x y )
+ab (Ac0c2)
a2A
b0 , (3.123)
ab33 ={
a3, b3
}={
a2(x) , b2(y)
}x0=y0
=fabcGc (x) 3 (x y ) , (3.124)
ab34 = ab43 = {
a3,
b4} = {
a2(x) ,
b2(y)}x0=y0 = M
ab (x) 3 (x y )(3.125)
olarak bulunur.
Dirac parantezlerinin elde edilmesi iin1in dolaysyla da, ncelikle M1in hesaplan-
mas gerekir. Bu hesaplamada,
Mab =Aab +Bab (3.126)
olmak zere
Aab = ab 2
Bab = fabcAci i (3.127)
30
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
41/83
tanmlar yaplarak1
A +B =
1
A
1
AB
1
A+
1
AB
1
AB
1
A+ (3.128)
alm kullanlacaktr. Hemen grld zere, A1, 2 operatrnn Green fonksiyonudur.
M1
in kesin ifadesi, ancakGab (x, y) =c
ab
|x y | (3.129)
fonksiyonunu ieren sonsuz bir seri alm ile ifade edilebilecektir. Bundan sonraki admlar
gereksiz karmaklklar ierdii iin artk bu dorultuda devam edilmeyecektir.
Btn bu tartmadan karlan ders: kanonik Hamiltonyen formalizminin, Abelyen du-
rumda ok fazla sknt karmadan ayar teorisinin (ve dier basit bal sistemlerin) kuanti-
zasyonunda kullanlabilmesine karn, Abelyen olmayan durumda, zellikle Faddeev - Po-
pov yol integrali formalizmi gibi ok k ve basit bir alternatifi varken, hi de kullanl ve
ekonomik bir yntem olmaddr.
Bu perspektiften bakldnda, bir sonraki blmde detayl olarak incelenecek olan Faddeev
- Popov yol integrali ynteminin neden bu denli ne kt ve artk ayar alanlarnn (ve dier
pek ok bal sistemin) standart kuantizasyon yntemi olarak benimsendii ok ak ekilde
grlecektir.
3.5.Dirac ddias ve Ayar Teorileri
Diracn birinci snf ba koullarnn ayar dnmleri olduu iddiasn snamak iin tezinkapsam balamnda, daha gereki bir platform olarak ayar alan kuramlar ele alnabilir:
lk olarak Abelyen kuram ele alnrsa, hatrlanaca zere, ayar alanlarnn parametreli
sonsuzkk dnmlerinin
A= (3.130)
eklinde olduu Blm.2de gsterilimitir. Bu dnmlerin, kuramn birinci snf balar
tarafndan retilip retilmediklerini gstermek amacyla kuramn birinci snf balarn, ayar
alanlar ile kanonik komtatrlerine baklrsa;
[1(x) , A(y)]x0=y0 = [0(x) , A(y)] x0=y0 = i0 3 (x y) ,
[2(x) , A(y)]x0=y0 = [ii(x) , A(y)] x0=y0 = ii (x)i 3 (x y)(3.131)
olduu grlr. Eitlik (3.131)den karlabilecek ilk ders, birincil birinci snf ba kou-
lunun, tek bana ayar dnmlerini retemediidir. Yine burada ikincil birinci snf ba
koulu olan Gauss yasas ise sadece ayar alanlarnn uzay bileenlerinin dnmn rettii
de sylenebilir.
Kuantum Noether kuram balamnda, dnmlerin Noether yknn kuantize edilmi alan-
larn dnmlerinin jeneratr olduu bilinmektedir (Bkz. EK.A). Buradan hareketle Abel-
31
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
42/83
yen durumda Noether yk, kuramn birinci snf ba koullar cinsinden
Q =
d3xJ0 =
d3x ()
=
d3
x [1(0) 2] (3.132)
eklinde yazlabildii grlr. Eitlik (3.132)dan, ayar dnmlerinin jeneratrnn ancak
birinci snf ba koullarnn zel bir kombinasyonunun olaca grlebilir.
Benzer tartma Abelyen olmayan teori erevesinde de yaplabilir. Bu durumda birinci snf
ba koullarnn ayar alanlar ile kanonik komtatrleri
a1(x) , Ab(y)x0=y0 = a0(x) , Ab(y) x0=y0 = i0 3 (x y) ,a2(x) , A
b(y)
x0=y0
=
(Dii)a (x) , Ab(y)
x0=y0 = ii
ab (Dx)aci
3 (x y)
(3.133)
eklinde yazlr. Abelyen durumda olduu gibi birincil birinci snf ba koulu, tek bana,
ayar dnm retmezken; Gauss yasas da sadece uzay bileenlerinin dnmn retir.
Kuantum Noether kuram balamnda ayar dnmleri ele alndnda, Noether yk birinci
snf ba koullar cinsinden
Q =
d3xJ0 =
d3x,a (D)
a
=
d3x [a0(D0)
a (Dii)a
a]
=
d3x [a1(D0)
a a2a]
=
d3x [a1(0)
a + (a a2) a] (3.134)
eklinde yazlabilir. Buradaa
a =fabc0,bAc0 (3.135)
eklinde tanmlanmtr ve bir renk yk olarak yorumlanabilir.
Eitlik (3.134), birinci snf ba koullarnn tek balarna ayar dnmlerinin jeneratrleri
olamayacan, ancak zel bir kombinasyonlarnnn bu dnmleri retebileceini daha
ak bir biimde gstermitir. Yani, ancak bu kombinasyon iinde birinci snf balar ayar
dnmlerinin jeneratr ilevini stlenirler. Bu nedenle, Diracn ortaya att birinci s-
nf ba koullarnn ayar dnmlerinin jeneratrleri olduu iddiasnn ayar kuramlarnda ,
zellikle de birincil ba koulu iin, salkl bir ekilde almad grlebilir.
32
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
43/83
4.YOL NTEGRAL YNTEM VE AYAR ALANLARININ YOLNTEGRAL YNTEM LE KUANTZASYONU
4.1.Yol ntegrali Yntemi
Bir nceki blmde ayar alanlarnn kuantizasyonu Diracn bal sistemler iin gelitirdii
yntem ile yapld. Kanonik yntem Hamiltonyen sistemler iin gelitirilmi olduundan do-
as gerei ak Lorentz deimezliine sahip deildir. Kukusuz bu deimezliin mevcu-
diyeti zel tekniklerle (Schwinger cebiri) snanabiliyorsa da, daha sonra Feynmann geli-
tirdii bir yntem olan,yol integrali kuantizasyon yntemibu bakmdan ve dorudan fiziksel
sonularn retilmesine odakli bir yapya sahip olmas,c-saylar ve alanlarla hesap yapma-
nn kolayl, farkl ayar sabitleme koullar arasnda daha rahat bir gei salamas... gibi
baka balamlarda da pek ok avantaj salamaktadr.
Bu gl estetik yanlarna ramen yol integrali ynteminin teknik bakmdan dikkat gerekti-
ren birka zel durumu sz konusudur: rnein; yol integrali yntemi Minkowski uzaynda
iyi tanml deildir. Bu yzden fonksiyonel integraller daha iyi yaknsama zelliine sahip
olan klidyen metrikte hesaplanr ve hesaplamann sonunda tekrar Minkowski metriine geri
dn yaplr. Gauss integralleri tesinde kesin integral yntemlerinin bilinmiyor olmas, bu
yntemin esas olarak bir pertrbasyon yntemi olmas anlamna gelir.
4.1.1.Kuantum Alanlar in Yol ntegrali Formalizmi
Kuantum alan kuramna gei, kuantum mekaniksel erevedeki sonlu serbestlik derecesin-
den, (x)gibi sonsuz sayda serbestlik derecesine sahip deikenlere geilerek yaplr. Buna
gre, birx noktasndaki alann biry noktasna gei olasl,T, zaman sralama operatr
olmak zere,
0 |T[ (x) (y)]| 0 =
[d] (x) (y) exp
i
d4x L ()
(4.1)
eklinde yazlr. Bu integrali hesaplamak iin Eitlik (C.10)dakine benzer bir rete fonksi-
yoneli tanmlanr:
Z[J] =N
[d] exp
i
d4x [L () +J(x) (x)]
. (4.2)
Bu ifadede, integral eleman ve normalizasyon
[d] x d (x)N1 Z[J= 0] =
[d] ei
d4xL(x) (4.3)
33
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
44/83
formundadr.
Bu integral skaleralanlar iin hesaplarken, sonlu serbestlikderecesi durumunda izlenen adm-
lar benzer srayla uygulanr.
rnek olarak skaler alan teorisi ele alnrsa; klasik alanlarn, Klein - Gordon denklemini birkaynan varlnda salayan, homojen olmayan zmler olduu dnlerek,
(+m2
)cl(x) =J(x) (4.4)
ifadesinden balanabilir.
Klein - Gordon denkleminin Green fonksiyonu
(+m2)xF(x y) = 4 (x y) (4.5)ifadesi ile tanmlanr. Bu durumda Eitlik (4.4)n zm olan klasik alanlar
cl(x) =
d4yF(x y) J(y) (4.6)
formunda ifade edilebilir.
Bu noktada skaler alanlar
+cl (4.7)
eklinde bir telemeye tabi tutularak, Eitlik (4.2)deki Gauss integrali alndnda,
Z(J) =exp
i/2
d4x d4y J(x) F(x y) J(y)
(4.8)
bulunur. Bu durumda, normalizasyon katsays, Eitlik (4.3)ten
N1 = det (+m2)1/2
(4.9)
olarak elde edilir. Dolaysyla Eitlik (4.5)te tanmlanan propagatr, Eitlik (4.8)den fonk-
siyonel trevler alnarak,
iF(x y) =
J(x)
J(y)Z(J)
J=0
(4.10)
eklinde elde edilir. Eitlik (4.10)a gre, Eitlik (4.1)de tanmlanan alanlarn gei genlikleri
(x1, x2, , xn) = in 0 |T[ (x1) (x2) (xn)]| 0
= Z(J)
J(x1) J(x2) J(xn)
J=0
. (4.11)
34
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
45/83
olarak bulunur. rnein 4-nokta iin bu trev aka,
4i=1
J(xi)
Z(J)
J=0
= F(x1 x2) F(x3 x4) + F(x1 x3) F(x2 x4)
+F(x1 x4) F(x2 x3) . (4.12)
formunda ifade edilir.
rete fonksiyoneli,Z(J),J= 0etrafnda kuvvet serisi olarak da yazlabilir:
Z(J) =
n=0
1
n!
d4x1 d
4xnJ(x1) J(xn) Z(n) (x1 x2) . (4.13)
Bu ifadede,
Z(n) (x1 x2) =
J(x1) J(xn)Z(J)
J=0
= in 0 |T[ (x1) (x2) (xn)]| 0 (4.14)
eklindedir.
4.1.2.Balantl Diyagramlarn reteci
Karmak Feynman diagramlarn analiz ederken bu diagramlar, balantl ve balantsz
olarak ayrmak gerekir: Balantsz diyagramlar, herhangi bir izgiyi kesmeden iki paraya
ayrlabilir. Balantl diagramlar iinse bu mmkn deildir.
Eitlik (4.2)de tanmlanan Z(J) rete fonksiyoneli, hem balantl hem de balantsz
Feynman diagramlarn retir. Bu durumda yol integrali ynteminin renormalizasyon kura-
mn da ieren fiziksel problemlere uygulanmasnda, balantsz diagramlardan arndrlm
yeni birW(J)fonksiyoneli tanmlamak gerekir:
Z(J) =eiW(J) . (4.15)
Zve Warasndaki ilikiyi daha ak bir ekilde gstermek iin W(J), J = 0civarnda
kuvvet serisine alabilir:
W(J) =
n=0
1
n!
dx1 dxnJ(x1) J(xn) W
(n) (x1, , xn) . (4.16)
Bu seride ilk drt terim iin trevlere baklmas, Zve Warasndaki ilikiyi zmleyebilmek
iin yeterlidir. Serideki tek sayda trev ieren terimler daha nce gsterildii zere sfrdr.
35
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
46/83
kinci ve drdnc trevler ise srasyla,
2W
J(x1) J(x2)=
i
Z2Z
J(x1)
Z
J(x2)
i
Z
2Z
J(x1) J(x2) (4.17)
ve
4W
J(x1) J(x2) J(x3) J(x4) =
i
Z22Z
J(x1) J(x2)
2Z
J(x3) J(x4)+perm.
i
Z
4Z
J(x1) J(x2) J(x3) J(x4). (4.18)
eklindedir.J= 0olduunda, Eitlik (4.17)den rahatlkla grlecei zere ikinci mertebe-
den trevler ieren terimler iin
iW(2) (x1, x2) =Z(2) (x1, x2) (4.19)
bants salanr. Ancak drdnc mertebeden trevleri ieren terimlerde iliki bu kadar
aikar deildir:
W(4) (x1, x2, x3, x4) =i
Z(2) (x1, x2) Z(2) (x3, x4) +perm.
iZ(4) (x1, x2, x3, x4)
(4.20)
W(J)nin yalnzca balantl diyagramlar rettiinin gsterilmesi iin, rnek olarak4
teorisi ele alnabilir: Anlan teori kapsamnda, Eitlik (4.8) kullanlarak
Z(2) (x1, x2) = iF(x1 x2) +
2
d4zF(x1 z) F(z x2) F(z, z) (4.21)
Z(4) (x1, x2, x3, x4) = [F(x1 x2) F(x1 x2) +2 perm. terim]
i
2
d4zF(x1 z) F(z, z)
F(z x2) F(x3 x4) +5 perm. terim]
i4!
d4zF(x1 z) F(x2 z)
F(x3 z) F(x4 z) +23 perm. terim] (4.22)
sonular elde edilir. Bu faktrler Eitlik (4.20) ile verilen W(4) (x1, x2, x3, x4)ifadesine yer-
letirildiinde, balantsz diyagramlara karlk gelen terimlerin birbirini yok ettii ve sadece
balantl diyagramlara denk gelen terimlerin kald grlebilir.
Bu formalizmde nemli olan, meru vertekslerin (proper vertices) rete fonksiyonelidir
36
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
47/83
ve Legendre dnm ile
() =W(J)
d4x J(x) (x) . (4.23)
eklinde tanmlanr. Ancak bu ifadede ve Jbirbirinden bamsz deildir ve aralarndakiiliki aikar deildir. Bu iliki, Eitlik (4.23)n Jveye gre ksmi trevleri alnarak g-
rlebilir:W(J)
J(x) = (x) ;
()
(x)= J(x) . (4.24)
Trev ilemi tekrarlandnda:
G (x, y) 2W(J)
J(x) J(y)=
(x)
J(y)
(x, y)
2
() (x) (y)= J(x) (y) (4.25)
bulunur. (x, y)ve G (x, y), srekli uzay zaman indislerine sahip sonsuz boyutlu matrisler
olarak dnlerek birbirlerinin ters matrisleri olduu gsterilebilir:
d4z (x, z) G (z, y) =
d4z
2 ()
(x) (z)
2W(J)
J(z) J(y)
=
d4z
(z)
J(y)
J(x)
(z)
= 4 (x y) . (4.26)
Eitlik (4.26)nn bir kez dahaJye gre ksmi trevi alndnda
d4z
3W(J)
J(x) J(u) J(z)
2 ()
(y) (z)
=
d4z
2W(J)
J(x) J(z)
d4zG (u, z)
3 ()
(y) (z) (z) (4.27)
elde edilir. Eitlik (4.27)de
J(u)=
d4z
(z)
J(u)
(z)=
d4zG (u, z)
(z) (4.28)
zincir kural kullanlmtr. Zincir kuralnn iki kez daha uygulanmasyla, ifadenin sadeleti-
rilmesi mmkndr:
3W(J)
J(x) J(y) J(z) =
d4xd4yd4zG (x, x) G (y, y) G (z, z)
3 ()
(x) (y) (z). (4.29)
37
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
48/83
Bu ifadenin grafik temsili ekil 4.1de gsterilmitir.
ekil 4.1: nc mertebedeW[J]ve []arasndaki ilikinin grafik temsili.
rete fonksiyonelleri arasndaki ilikiye dikkat edilirse diyagramlardaki bacaklarn saysile tekrarlanan trevlerin saysnn ilikili olduu grlebilir. Fonksiyonel yol integrali yak-
lamnn avantaj, bu sonularn pertrbasyon teorisinden bamsz olmasdr. Bu sayede
karmak grafiksel tekniklere bavurmadan deiik tiplerdeki propagatrler ve verteksler ara-
sndaki ilikiler rahatlkla elde edilebilir.
4.2.Faddeev - Popov Yaklam
Yol integrali formalizminin asl gl yn istenilen ayar sabitleme koullarnda alabilme
serbestlii vermesindedir (kanonik yntemde, bu hi kolay deildir). Yol integrali ynte-
minde ayar sabitleme, fonksiyonel integrale bir veya bir ka delta fonksiyoneli yerletirile-
rek yaplabildii iin, istenilen ayarda allabilir. Bu yaklam Faddeev ve Popov tarafndan
1967 ylnda gelitirilmitir.
Ayar teorilerinde eylem, ayar dnmleri altnda deimez kald iin yol integralinde
[dA]integral eleman zerinden yaplan toplamda, birbirlerine ayar dnm ile bal son-
suzAU konfigrasyonu integrasyona katk yapar ve yol integrali raksar. Yani
AU =U AU1 (U) U1 (4.30)
dnm altnda eylem deimez kald iin
dAU
zerinden alnan integral, Udan gelen
sonsuzluu ierir ve [dA] e
iS[A] (4.31)
bulunur.
yle ki, birA ile balayp tm mmkn AU lar dikkate alnrsa fonksiyonel uzayda bir
yrnge taranm olur. Buradaki problem udur: yrnge boyunca Udeitiinden sonsuzfarklUiin toplam tekrarlanr ve integral sonsuza gider. Bu problemin zm yrngenin
38
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
49/83
dilimlenmesiyle mmkn olur. Bunun iin de integrale [A,a]veya [iAi,a]gibi ayar sa-
bitleme faktrlerinin eklenip, integralin konfigrasyon uzaynda A,a = 0veya iAi,a = 0
gibi bir yzey zerinde kalmas salanr. Genel olarak ayar sabitleme ilemi, alanlarn her-
hangi bir fonksiyonu, rnein,
[F(A)] (4.32)
ile yaplabilir ki bu delta fonksiyoneli de
F(A) = 0 (4.33)
yzeyinde ayar sabitler.
Ancak fonksiyonel integrale delta fonksiyoneli dorudan yerletirildiinde, integral eleman
deiir. Faddeev ve Popov, yol integraline delta fonksiyoneli yerine,
1 = F P
[dU]
F(
AU)
(4.34)
zdelii ile tanmlanan bir tamlk koulu eklenmesi ile bu belirsizliin ortadan kaldrlabile-
ceini gstermilerdir. Bu ifadede, F P,Faddeev - Popov determinantdr. Burada ilk olarak
gz nne alnmas gereken husus, grup elemannn ayar dnmleri altnda deimezlii-
dir. Bu da gruptan cebire geilerek, sonsuzkk hesaplarla dorulanabilir. yle ki, Uve
U SU(N)grubun elemanlar ise, grubun integral eleman, sonsuzkk dzeyde,
[dU] = [d (UU)] d [U] . (4.35)
eklinde yazlabilir. Bu durumdaU=eparametrizasyonu gz nne alnrsa, sonsuzkk
lar iin grup eleman
U I+ +O(
2)
(4.36)
formunda alacandan, ardarda iki SU(N) dnm, sonsuzkklar cinsinden
UU = U
(I+ ) (I+ ) I+
I+ ( +) I+ (4.37)
eklinde ifade edilebilir. Eitlik (4.37)in sol tarafndaparametresi iin diferansiyel alnd-
nda, grup integral eleman
[dU] =a,x
(d)a
(x) a,x
(d)a (x) (4.38)
olarak yazlabilir ki, bu da kapallk zellii gerei grubun integral elemannn deimediini
gsterir.
39
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
50/83
Eitlik (4.34)teki tamlk koulu Eitlik (4.31)deki yol integraline yerletirilirse
[dA]
F P
[dU]
F(
AU)
ei
d4xL[A] (4.39)
elde edilir.
Bu noktada Faddeev - Popov determinantnn ok nemli bir zelliine deinmek gerekir:
Faddeev - Popov determinant ayar dnmleri altnda deimez kalr: EerF P(A)daki
AalanAU ile deitirilirse Eitlik (4.35)teki tanm gerei
1F P(
AU)
=
[dU]
F
AUU
= [d (U
U)] FAUU
=
[dU]
F
AU
= 1F P(A) (4.40)
bulunur.
Btn yol integralindeA AU1
dnm yapldnda[dA]integral eleman ve eylem
deimez kalr. AncakF(
AU)
faktr F(A) olarak deiir. Bu durumda Eitlik (4.39)daki
integrali
[dU]
[dA] F P[F(A)] e
i
d4xL[A] (4.41)
formunda yazlr. Bylece [dU] = (4.42)
sonsuz faktrnn integralden izole edilmesi mmkn olur. yle ki, ayarF(A) = 0yze-
yinde sabitlendii iin, bu ekilde ayar serbestisi nedeniyle oluan sonsuzluun fonksiyonel
integralden izolasyonu gerekleir.
Bu durumda, yol integralinde ayar sabitleme problemi, F Piin ak bir ifade bulma ilemine
indirgenmi olur. Eitlik (4.33)ten de yararlanarak Faddeev - Popov determinant
F(
AU)
=(U U0)
det
F(
AU (x))
U (x)
1
. (4.43)
eklinde yazlabilir. Bylece, Faddeev - Popov determinant
F P =det F (AU
(x
))U (x) (4.44)40
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
51/83
olur.
Teorinin Feynman kurallarn yazarken, bu determinantn ak ifadesinin kullanlmas gere-
kir. Bu ak ifadeyi bulmak iin, kkgrup parametreleri iinF
(AU
)seriye alrsa,
F(
AU (x))
=F(A(x)) +
d4yM(x, y) (y) + , (4.45)
Eitlik (4.44)teki determinantnM(x, y)matrisinin determinantna indirgenecei grlebi-
lir.
Faddeev - Popov determinantMmatrisinin determinantna indirgendikten sonra, bu deter-
minantcvecgibi iki alan zerinden Gauss integrali formuna dntrlebilir:
F P =det M= [dc] dc expi d4xd4yc (x) M(x, y) c (y) . (4.46)Burada nemli olan nokta udur: Bu determinantn paydada deil de payda kalabilmesi iin
cvecn Grassmanyen alanlar olmas gerekir (Bkz Ek.C). Yani cvec, Fermi - Dirac istatis-
tiine uyan (anti-komtasyon bantlarn salayan) skalerhayalet ve anti-hayalet(Faddeev
- Popov hayaletleri) alanlardr.
Alternatif olarak bu determinant, lineer cebirdeki bilinen bir zdelikten faydalnarak
F P =det M=eT r(logM) (4.47)
eklinde yazlabilir. Burada determinantn kesikli hale sokulmu x ve y uzaylar ile izospin
indisleri zerinden alnd hatrlanmaldr. Bu ifadeM=I+ Lolacak ekilde yazldnda
det (I+ L) = exp {T r [log (I+ L)]}
= exp
n=1
(1)n1
n T r (Ln)
(4.48)
elde edilir. Lnin kuvvetleri zerindenizilemi Feynman kuramnn pertrbasyon almnda
kapal halkalar olarak yorumlanr (Bkz ekil 4.2) ve bu, hayalet alanlarn sadece i diagram-
larda grlp, fiziksel olarak gzlemlenemeyeceinin gstergesidir1.
ekil 4.2: Faddeev - Popov Determinantnn diagramatik gsterimi1Bu tartma, Blm.5te sistemin fiziksel durum uzaynn inas yaplrken, tekrardan ele alnacaktr.
41
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
52/83
Bir dier nemli nokta ise [F(A)] fonksiyonelinin eksponansiyel bir forma dntrlerek
Eitlik (4.40)deki yol integralindeki eyleme eklenmesidir. Bunun iin ayar sabitleme terimi,
F(A),
F(A) = 0 (4.49)
yzeyinden
F(A) =Ba (x) (4.50)
gibi bir yzeye genelletirilir. Burada Ba (x), ayar alanlarndan bamsz, uzay zamann keyfi
bir fonksiyonudur. Bu durumda Eitlik (4.34)te grlen Faddeev - Popov determinantF Pdeimez kalr ve bu ifadedeki zdelik
1 = F P
[dU]
F
(AU
) Ba (x)
. (4.51)
formunda genelletirilebilir. Eitlik (4.31)de tanmlanan yol integraline Eitlik (4.51) yer-
letirilir ve sonsuz hacim faktrleri integralden izole edilirse, rete fonksiyoneli,
Z[J] =
[dA] [dB] F P
F(
AU)
Ba (x)
exp
i
d4x
L (x) +J,aAa
1
2(Ba (x))2
(4.52)
formunda elde edilir. Eitlik (4.52)de integrale eklenen
[dB] exp
i
2
d4x (Ba (x))2
(4.53)
faktr bir sabitle arpma denk gelir ve dolaysyla sadece bir normalizasyon faktrdr.
Burada, keyfi sabiti ayar parametresini temsil eder. B a zerinden Gauss arlkl bir fonk-
siyonel integral alndnda rete fonksiyoneli
Z[J] =
[dA] F Pexpi d4x L (x) +J,aAa 12(F(A))2 (4.54)ekline dnr.
Bu aamada,
F(A) =A,a = 0 (4.55)
Landau ayar iinF Pdeterminant hesaplanabilir: nfinitesimalparametreli Abelyen ol-
mayan ayar dnmleri altnda ayar alanlarnn dnm kural
AU =A D (4.56)
42
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
53/83
gz nne alnarak, Eitlik (4.55)den, ayar sabitleme terimi
F(
AU)
=A,a D
= 0 (4.57)
olarak bulunur. Bu ifade, Eitlik (4.45) ile karlatrlrsa, M(x, y)matrisi iin:
Mab(x, y) =
U(a) (x)
(AU
)b(y) =
a (x)
(D
)bc c (y)
= [D]ab 4 (x y) (4.58)
ifadesi elde edilir. Bu matrisin determinant Gauss formunda Grassmann integrasyon yn-
temleri de kullanlarak (Bkz. EK.B):
F P =detM=
[dc] [dc] expi d4x ca (x) [D]ab cb (x) (4.59)eklinde elde edilir.
Bylece, Landau ayar iin, yol integrali rete fonksiyonelinin
Z[J = 0] =
[dA] [dc] [dc] exp
i
d4x
1
4FaF
,a 1
2(A
,a)2
ca (x) (D)ab cb (x)
(4.60)
ifadesine ulalr.
4.3.Ayar Alanlarnn Feynman Kurallar
Eitlik (4.60)ta, Landau ayarnda, elde edilen
Sef f = SY M+Sgf+SF P G
=
d4x
1
4FaF
,a 1
2(A
,a)2 ca (x) [D]ab cb (x)
(4.61)
etkin eylemi, ayar alanlar ve hayalet alanlar asndan etkileimsiz kuadratik ksmlar ve
etkileimli ksmlar olmak zere iki ksma ayrlabilir:
fa=Aa A
a . (4.62)
olmak zere, ayar alanlar iin etkileimsiz ksm
S(0)Y M+gf=
d4x
1
4faf
,a 1
2(A
,a)2
(4.63)
43
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
54/83
eklindedir. Bu ifadeye ksmi integrasyonlar uygulanarak,
S(0)Y M+gf =
d4x
1
2Aa(g
) abA
b+
1
2Aa
abAb
=
d4
x
1
2 Aa
g1 1 abAb (4.64)bulunur. Eitlik (4.64)te
Kab (x y) =Aa
g
1
1
4 (x y) ab (4.65)
tanm yaplarak, Eitlik (4.65) cinsinden
S(0)Y M+gf= d4x d4y
1
2
Aa(x)Kab
4 (x y) Ab(y) (4.66)
formunda yazlabilir. Bu durumda (etkileimsiz) rete fonksiyoneli
Z(0)Y M+gf[J] =
[dA] e
iS(0)YM+gf+
d4xJ,aAa
=
[dA] exp
i
d4x d4y
1
2Aa(x) K
ab (x, y) A
b(y)
+i
d4xJ,a (x) Aa(x)
= exp
d4x d4y12
J,a (x) ab(x, y) J,b (y)
(4.67)
eklinde ifade edilir. Burada ab(x, y), Feynman propagatr olmak zere, Eitlik(4.5)te
verilen tanm gerei
d4z Kac (x, z)
bc(z, y) =
4 (x y) ba (4.68)
zdeliini salamas gerekir.
Eitlik (4.65)te ak hali grlen kernel iin propagatr, Eitlik (4.68) ifadesi ve Fourier
dnmnden de faydalanlarak
44
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
55/83
d4k
(2)4eik(xy)ab =
d4z 4 (x z)
g(z)
1
1
(z)
(z)
ac
d4
k bc
(k) eik(zy)
=
d4z d4k ab
4 (x z)(k)
gk2 +
1
1
kk
eik(zy)
=
d4k ab(k)
gk2 +
1
1
kk
eik(xy)
(4.69)
eklinde hesaplanr. Artk hesaplama cebirsel bir denklem zmne indirgenmi olur. Feyn-man propagatr kapal formda
(k) =A (k) g+ B (k) kk (4.70)
olarak yazlrsa, Eitlik (4.68) ve (4.69)dan A ve B katsaylarnn salayaca bir cebirsel
denkleme ulalr:
Ak2+kkA1
1
1
Bk2 = 1
(2)4
(4.71)
Buradan hareketle, Eitlik (4.70)de tanmlanan A ve B katsaylar
A = 1
(2)4
B = A ( 1) 1
k2 (4.72)
formunda bulunur. Bylece,
ab(x, y) =
d4k
(2)4eik(xy) 1
k2 +i
g+ ( 1)
kk
k2
ab (4.73)
ile tanmlanan Feynman propagatr elde edilmi olur. Bu ifadenin diagramatik gsterimi
(Feynman Diagram)
,a
,b=
1
k2 +i
g+ ( 1)
kk
k2
ab . (4.74)
eklindedir2.
2Buradakii paramtresi sonsuzkk bir paramtre olup, reel eksendeki kutuplarn integralde yol aacaraksamalardan kanmak iin gelitirilmi bir reglarizasyon yntemidir.
45
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
56/83
Eitlik (4.74)te= 1seimi (Feynman Ayar) ile propagatr
ab(x, y) =
d4k
(2)4eik(xy)
g
k2 +i (4.75)
formunda daha basit bir hale dnr. Skaler alan propagatrne benzediinden, bu seimlehesap yapmak ok daha kolaydr.
Benzer biimde hayalet alanlarn kuadratik eylem teriminden balanarak,
S(0)F P G=
d4x d4yca (x)abc
b (y) (4.76)
propagatr hesaplandnda
ab (x, y) = d4k
(2)4eik
(xy) 1(k)2 +iab (4.77)
elde edilir ve diyagramatik olarak
,a
,b=
ab
(k)2 +i(4.78)
ile gsterilir.
Etkileimli terimler iin verteks faktrlerini hesaplamak amacyla, eylemdeki etkileim te-
rimlerinin pertrbatif alm yaplabilir.J,ve srasylaA,cvecalanlarna kar gelen
kaynak terimler olmak zere, elde edilen
Z[J] =exp
i
d4x L
Ja,
a,
a
Z
(0)Y M+gf[J] Z
(0)F P G[,] (4.79)
rete fonksiyonelinden temel verteks fonksiyonlar () hesaplanabilir:
1. ayar bozonu ieren12
abcfaA,bA,c terimi iin, 3i=1 ki= 0durumunda;
,c ,b
k
k
k
,a
iabc =iabc
(k1 k2)g+ (k2 k3) g + (k3 k1)g
.
(4.80)
46
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
57/83
2. Drt ayar bozonu ieren 14
abcadeAbAcA
,dA,e terimi iin,4
i=1 ki= 0durumunda;
,a ,b
,d ,c
iabcd =
i
abecde (gg g g)
+acebde (gg gg)
+adecbe (gg gg) (4.81)
3. ki hayalet ve bir ayar bozonu ierenca (x) abcA,ccb (x)terimi iin,
c
,a
b
iabc =gabck (4.82)
sonularna ulalr.
47
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
58/83
5.BRST SMETRS
5.1.BRST Simetrisi
nceki blmde gsterildii zere, ayar sabitlemesi yapldktan sonra bulunan
Lef f = LY M+ Lgf+ LF P G
= 1
4FaF
,a 1
2(A
,a)2 +ca (Dc)a (5.1)
etkin Lagranjiyeni artk ayar simetrisine sahip deildir. Fakat bu Lagranjiyen hala kalnt bir
fermiyonik simetriye sahiptir. Yeni Lef f
Aa = w (Dc)a
ca = w
2fabccbcc
ca = w
(A
,a) . (5.2)
dnmleri altnda deimez kalr. Burada wdnmn parametresi ve sabit bir Grassman
saysdr.
Eitlik (5.2)deki dnmlere gre etkin Lagranjiyendeki baz terimlerin nasl dnt
incelendiinde, genel olarakA, c ve c alanlarn temsil etmek zere 2 = 0 olduu
grlr. Gerekten de,Aalan iin balanarak
(Dc)a = Dab c
b +fabcAbcc
= w
2Dab
(fbcdcccd
)+wfbcd (Dc)
ccd = 0 (5.3)
elde edilir. Benzer ekilde, calanna bakldnda
1
2fabccbcc
=fabccbcc = w
2fabcfbdecdcecc (5.4)
bulunur. Eitlik (5.4), SU(N) grubunun cebirinden ve hayalet alanlarn anti-komtasyon
ilikilerinden faydalanlarak1,
1
SU(N)grubunun anti-Hermityen jeneratrlerinin cebri:Ta, Tb
=fabcTc
ve Jacobi zdelii:Tc, T
d, Te + Td, [Te, Tc] + T
e, Tc, Td = 0facbfbde +fadbfbec +faebfbcd = 0
48
-
7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL
59/83
fabcfbdecdcecc = 1
3
(fabcfbdecdcecc +fabdfbeccecccd +fabefbcdcccdce
)=
1
3 (fabcfbde +fabdfbec +fabefbcd) cdcecc (5.5)formunda yazlabilir. Eitlik (5.5)te eitliin sa tarafnda, parantez iindeki ifade S U(N)
grubunun Jacobi zdelii olduundan, sfra eittir. Dolaysyla Eitlik 5.4de sfra eit olur.
Bylece, hayalet alanlar da iki kez dnme tabi tutulursa sonucun sfr olaca (2 = 0
karakteristii) gsterilmi olur.
Ayar sabitleme teriminin dnm ise,
(A,a) =w(D
c)a (5.6)
eklindedir. Anti-hayalet alanlar iin Eul