Kütle Merkezi ve Merkezler - DEUkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/7-_agirlik_merkezi-cev.pdf ·...

Kütle Merkezi ve

Merkezler

Konular:

Kütle/Ağırlık merkezleri

Merkez kavramı

Merkez hesabına yönelik yöntemler

KT 2

Merkez kavramının birçok uygulama alanı vardır.

Öncelikle “ağırlıklı ortalama” kavramına bakalım:

Örneğin, sınıftaki öğrencilerin

merkezini bulmak için

öğrencilerin ortalama

pozisyonlarını bulmamız gerekir.

Öğrencilerin pozisyonlarını

(xi,yi) olarak belirtelim. Buna

göre ortalama x ve y

koordinatları şu şekilde ifade

edilir:

N

y

N

yyyy

N

x

N

xxxx

N

i

i

N

N

i

i

N

121

121

...

...

Ağırlıklı Ortalama

(x1,y1) (x2,y2)

(xi,yi) (xn,yn) (x3,y3)

y

x

y

x

KT 3

Ağırlıklı Ortalama

Bir sonraki adımda, öğrencilerin her birine farklı miktarda ağırlıklara sahip

bilyalar dağıtılsın; (w1,w2,…,wN). Bu durumda, bilyaların ortalama pozisyonu

öğrencilerin ortalama pozisyonundan farklı olacaktır. Örneğin pencere

kenarındaki öğrencilere daha çok bilya verdiğimizi varsayarsak, bilyaların

ortalama pozisyonu pencere kenarına daha yakın olacaktır. Bilyaların ortalama

pozisyonu şu şekilde bulunur:

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

ii

w

yw

y

w

xw

x

1

1

1

1

n

nn

n

i

i

n

i

ii

n

n

www

xwxwxwx

w

xw

x

www

xxx

...

...

],....,,[

],....,,[

21

2211

1

1

21

21veri seti

ağırlık

fonksiyonu

ağırlıklı aritmetik

ortalama

toplama operatörü

kullanılmadan

Genel olarak ise;

(wi’ler herhangi bir

büyüklük olabilir:

not, nüfus vb.)

KT 4

Alan Merkezleri

A

y

x

Şekilde görülen alanı küçük alanlara

(A1,A2,…AN) ayıralım ve bunların

koordinatları;

A1 : (x1,y1)

A2: (x2,y2)

AN : (xN,yN)

Bu durumda, A alanının merkezi, veya

ortalama alan pozisyonu, ağırlıklı ortalama

formülü kullanılarak hesaplanır: A1

x

y A2

AN

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

ii

A

Ay

y

A

Ax

x

1

1

1

1

Düzlem alan üzerindeki sonsuz adet

elemandan biri olan i'inci elemanın

ağırlık merkezinin koordinatları:

Düzlem alanın ağırlık merkezinin

koordinatları:

DWi : i. elemanın ağırlığı

DAi : i. elemanın alanı

(xi,yi): i. elemanın ağırlık

merkezinin koordinatları

W : Düzlemsel alanın ağırlığı

A : Düzlemin alanı

: Düzlem alanın ağırlık

merkezinin koordinatları

),( yx

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları

- Düzlem alan; sonsuz adet i elemandan meydana geldiği için; düzlemsel alana

etkiyen toplam yerçekim kuvveti (ağırlık):

DDDDn

i

in WWWWW1

21 ... olur.


- Ağırlık merkezinin koordinatları olan 'nin hesaplanabilmesi için, toplam

kuvvetlerin; x ve y eksenleri etrafında yaratacağı statik momentlerin, bütünü

oluşturan her bir eleman kuvvetinin teker teker bu eksenlere göre alınan statik

momentlerin toplamına eşit olacağı ilkesinden faydalanılır:

),( yx

WnxWxWxWxWx n DDDD ........ 332211

i

n

i

i

n

i

i WxWx DD 11

..

D

D

n

i

i

i

n

i

i

W

Wx

x

1

1

.

olur.


- Ağırlık merkezinin koordinatları olan 'nin hesaplanabilmesi için, toplam

kuvvetlerin; x ve y eksenleri etrafında yaratacağı statik momentlerin, bütünü

oluşturan her bir eleman kuvvetinin teker teker bu eksenlere göre alınan statik

momentlerin toplamına eşit olacağı ilkesinden faydalanılır:

),( yx

WnyWyWyWyWy n DDDD ........ 332211

i

n

i

i

n

i

i WyWy DD 11

..

D

D

n

i

i

i

n

i

i

W

Wy

y

1

1

.

olur.


Ele alınan düzlemsel alan; basit geometrik şekillere ayrılamıyorsa; yukarıdaki

bağıntılar aşağıdaki gibi; sürekli ortam, diğer bir deyişle integral ifadesine

dönüştürülmelidir.

n

i

i

n

i

ii

A

Ax

nx

1

1

)(

).(lim

n

i

i

n

i

ii

A

Ay

ny

1

1

)(

).(lim

A

S

dA

dAx

xy

A

A

.

A

S

dA

dAy

y x

A

A

.

Burada; A: Düzlemsel yüzeyin toplam alanını

Sy: y eksenine göre "statik momenti" (birimi m3, cm3…)

Sx: x eksenine göre "statik momenti" (birimi m3, cm3…) göstermektedir.


KT 10

Ağırlık Merkezi

Bir cisim farklı boyutlarda sonsuz sayıda parçacığın birleşiminden oluşur.

Parçacıkların ağırlıkları bir paralel kuvvetler sistemi oluşturacaktır ve belirli bir

uygulama noktası olan tek bir (eşdeğer) bileşke ile gösterilebilir. Bu noktaya

cismin ağırlık merkezi denir.

Dünyanın bir cisme uyguladığı yer çekimi kuvvetine o cismin ağırlığı denir. Bu

kuvvet, cismin üzerine yayılmış çok sayıda kuvvetin (dW) bir araya gelmesiyle

ortaya çıkar ve bunların bileşkesi W ile gösterilir.

KT 11

Ağırlık merkezinin

koordinatlarını bulmak için her

bir eksene göre moment alınır.

Burada,

zyx

zyx~,~,~

,,Ağırlık merkezi

G’nin koordinatları

Cismi oluşturan

sonsuz küçük

parçacıkların (dW)

koordinatları

Eksenler 90o

döndürüldüğünde:

KT 12

Kütle Merkezi

Bir cismin ivmeli hareketinde veya

dinamik tepki hesabında kütle merkezi

kullanılmaktadır.

dW=g.dm

g: sabit

KT 13

Geometrik Merkez

Hacim Merkezi

dm=.dV

KT 14

Alan Merkezi

Geometrik Merkez

KT 15

Çizgi Merkezi

Geometrik Merkez

Bir çizgi x-y düzleminde ise ve y=f(x) şeklinde bir fonksiyon ile tanımlanırsa;

22 )()( dydxdL

veya

KT 16

dxxdL

xdx

dy

dxdxdydL

xy

))4(1(

4

))/(1(

2

2

2

2

Bulunan “dL” ifadelerinden ikisi de kullanılabilir, hangisinde daha basit integral

elde ediliyorsa tercih edilir.

KT 17

Önemli noktalar

• Merkez bir cismin geometrik merkezini gösterir, bu nokta cisim homojen ise ağırlık/kütle merkezi ile çakışır.

• Merkez formülleri, cismi oluşturan parçaların momentleri ile cismin bileşkesinin momenti arasındaki dengedir.

• Bazı durumlarda, merkez cismin dışında bir yerde olabilir (örn: içi boş halka). Ayrıca, simetrik cisimlerde merkez simetri ekseni üzerinde bulunur

KT 18

Örnek 73 Şekilde gösterilen üçgenin alan

merkezinin y koordinatını ( )bulunuz. y

Diferansiyel eleman: dy kalınlığında

ve rasgele bir yeri olan bir dikdörtgen

eleman düşünelim. Benzer üçgenler

yardımı ile:

yy

dyyhh

bdA

yhh

by

h

bbx

yh

x

h

b

edeifadedencinyixxdydA

~

)(

)()(

lim)sin'(

Bu dikdörtgenin ağırlık

merkezinin x eksenine

olan uzaklığı

x eksenine göre

moment

KT 19

Bu sonuç herhangi bir üçgen için geçerlidir.

y ekseninden olan mesafeyi ( ) bulmak isteseydik, y eksenine paralel bir

dikdörtgen kullanılırdı. Ve alan merkezinin y eksenine mesafesi, alanın y eksenine

göre momenti hesaplanarak bulunur.

x

KT 20

Örnek 74

y1=x2 ve y2=x

fonksiyonlarının

sınırladığı taralı

alanın

geometrik

merkezinin ( )

koordinatını

bulunuz.

x

m

dxxx

dxxxx

dxyy

dxyyx

dA

dAx

x

xxmerkezgeometrikdxyydA

A

A 5.06/1

12/1

)(

)(

)(

)(~

~)(

1

0

2

1

0

2

12

1

0

12

12

a) y eksenine

paralel bir

dikdörtgen

alalım:

y1=x2

y2=x

x

y

1m

1m

KT 21

5.06/1

12/1

)(

)(2

1

)(

)](2/)[(

)(

)](2/)[(~

22

~)(

1

0

1

0

2

1

0

1

0

1

0

21

21

1

0

21

2121221

dyyy

dyyy

dyyy

dyyyyy

dyxx

dyxxxx

dA

dAx

x

xxxxxxdyxxdA

A

A

b) x eksenine

paralel bir

dikdörtgen

alalım:

KT 22

Örnek 75

y1=x2 ve y2=x fonksiyonlarının

sınırladığı taralı alanın geometrik

merkezinin ( ) koordinatını bulunuz. y

y1=x2

y2=x

x

y

1m

1m

y1=x2

y2=x

x

dx

y

dxydA .

y

1m

1m

2

12

xxy

yyy

olur.

2

222

22

1

xxy

xxx

yyy

i

i

olur.

xxi

21

yyyi

m

dxxx

dxxxxx

dxyy

dxyyxx

dA

dAy

y

xxxx

xymerkezgeometrikdxyydA

AA

A 4.06/1

15/1

)(

))((2

1

)(

))((2

1~

)(2

1

2

~)(

1

0

2

1

0

22

12

1

0

12

2

22

2

12

X eksenine

paralel dikdörtgen

ile de deneyiniz.

dxxxdA

dxydA

)(

.

2

6

1

3

1

2

1)

32(

)(

1

0

32

1

0

2

xxA

dxxxA

x

12

1)

43()(.

1

0

1

0

4332

x

A

iy

xxdxxxdAxS

2

1

6

112

1

A

Sx

y

1

0

3243

1

0

22

)(2

1))(

2(.

xx

A

ix dxxxxxdxxxxx

dAyS

15

1

10

1

6

1)

53(

2

11

0

53

xx

Sx 5

2

6

115

1

A

Sy x

Alanı bulup

hem x hem y

ağırlık

merkezi

bulunabilir:

Örnek 74-a)

Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

G h

2

hy

b

2

bx

DİKDÖRTGEN

(b=h İSE KARE)

hbA .



G h

3

hy

b

2

bx

EŞKENAR VE

İKİZKENAR ÜÇGEN

2

.hbA



G h

3

hy

b

3

bx

DİK ÜÇGEN

2

.hbA



G

3

4ry

rx

YARIM DAİRE

VE

ÇEYREK DAİRE

2

. 2rA

O r r

rx

3

4rx

4

. 2rA

G

r r O

r

3

4ry


KT 31

Kompozit Alanların Merkezleri

Bileşik cisim, dikdörtgen, üçgen, yarım daire şeklinde birbirine bağlı basit

şekilli cisimlerden oluşur. Böyle bir cisim genellikle parçalara bölünür, bu

parçaların herbirinin ağırlığı ve ağırlık merkezinin konumu bilinirse, tüm

cismin ağırlık merkezini belirlemek için integral işlemine gerek kalmaz.

Basit geometrik alanların oluşturduğu kompozit alanların merkezlerinin

bulunması için, kompozit alanı oluşturan bileşenlerin merkezleri kullanılır.

1

3

2

y

x

Ortak x ve y eksenlerine göre, her üç

şeklin alan momentleri hesaplanarak bu

kompozit alanın ağırlık merkezi bulunur.

321

321

AAA

AAAA

dAdAdA

xdAxdAxdA

dA

xdA

xİntegral yöntemi ile:

KT 32

1 3 2

y

x

3x

1x

2x

i

ii

i

ii

A AA A

A A

A

A

A

Ayy

A

Axx

AAA

AxAxAxx

dAxxdAvedAxxdA

AxdAxxdAdA

xdA

x

321

332211

32

1111

3 32 2

1 1

1

1

y

x

12cm

10cm 12cm

1

2

Şekildeki levhanın ağırlık

merkezinin koordinatlarını verilen

eksen takımına göre hesaplayınız.

cmcmcm

x 375.8)2/12*12()12*10(

14*)2/12*12(5*)12*10(

2 1

cmcmcm

y 25.5)2/12*12()12*10(

4*)2/12*12(6*)12*10(


i

ii

i

ii

A

Ayy

A

Axx

Örnek 76

KT 34

Örnek 77

2 m

1 m

1 m 3 m 2 m

Şekilde gösterilen plak alanın ağırlık

merkezini bulunuz.

1.5 m

1.5 m 1 m

1 m

2.5 m

2 m

Plak aşağıda görüldüğü şekilde üç

parçaya bölünür. (3) numaralı

parçanın alanı negatiftir, çünkü (2)

numaralı parçadan çıkarılmıştır.

2 m

1 m

1 m 3 m 2 m

Parça no A (m2) xi (m) yi (m) xi A(m3) yi A(m3)

1 1/2*3*3=4.5 1 1 4.5 4.5

2 3*3=9 -1.5 1.5 -13.5 13.5

3 -2*1=-2 -2.5 2 5 -4

Toplam A11.5 xi-4 yi14

mA

Ayy

mA

Axx

i

ii

i

ii

22.15.11

14

348.05.11

4

KT 36

Örnek 78

Şekilde görülen bileşik alanın ağırlık

merkezini bulunuz. 2 m

6 m

2 m

2 m 8 m

8 m 2 m

r=1

Kesilip çıkarılmış

parçalar y

x

i

ii

i

ii

A AA A

A A

A

A

A

Ayy

A

Axx

AAA

AxAxAxx

dAxxdAvedAxxdA

AxdAxxdAdA

xdA

x

321

332211

32

1111

3 32 2

1 1

1

1

Alan No Alan (m2)

1 100 5 5 500 500

2 -4 1 3 -4 -12

3 -3.14 8 8 -25.13 -25.13

toplam 92.86 470.87 462.87

)(

)(

)(

)(

3

3

mAy

mmAx

mmy

mmx

ii

ii

i

i

)(

)(

)(

)(

3

3

mmAy

mmAx

my

mmx

ii

ii

i

i

)(

)(

)(

)(

3

3

mmAy

mAx

mmy

mmx

ii

ii

i

i

mymx 98.486.92

87.46207.5

86.92

87.470

2 m

6 m

2 m

2 m 8 m

8 m 2 m

r=1

Kesilip çıkarılmış

parçalar y

x

1 3

2

)(

)(

)(

)(

3

3

mmAy

mmAx

mmy

mx

ii

ii

i

i

2m

Şekilde gösterilen L profilin x-y kesitinde

ağırlık merkezinin yerini bulunuz.

2

1

y

x 1.5 cm

1.5 cm

G

9 cm

12

cm

x

y

i

ii

i

ii

A

Ayy

A

Axx

cmcmcm

x 48.2)5.1*5.7()5.1*12(

)5.12/5.7(*)5.1*5.7(75.0*)5.1*12(

1.5 cm

7.5 cm 12

cm

1.5 cm

cmcmcm

y 98.3)5.1*5.7()5.1*12(

75.0*)5.1*5.7(6*)5.1*12(

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları Örnek 79

y

x 5cm

4cm 5cm

2 1

4

3

4cm 6cm 4cm

3cm

2cm

Şekilde verilen x-y eksen takımına göre taralı yüzeyin ağırlık merkezi koordinatlarını

hesaplayınız.

Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları Örnek 80

cm

cmcmcmcm

x 99.6)4/5*()4*8(2/)2*6()2*8(

)3

5*48(*)4/5*(6*)4*8()28(*2/)2*6(4*)2*8(

2

2

cm

cmcmcm

y 02.5)4/5*()4*8(2/)2*6()2*8(

)3

5*4(*)4/5*(4*)4*8()2*3/28(*2/)2*6(9*)2*8(

2

2

2 1 4 3

2 1 4 3

Şekilde verilen x-y eksen takımına göre taralı yüzeyin ağırlık merkezi koordinatlarını

hesaplayınız.

Kesilip çıkarılmış parçalar

Örnek 81

cm

cmcmcm

x 5.1)4/12*(2/)6*6()30*36(

)3

12*418(*)4/12*()2(*2/)6*6(0*)30*36(

2

2

cm

cmcmcm

y 09.16)4/12*(2/)6*6()30*36(

)3

12*4(*)4/12*()218(*2/)6*6(15*)30*36(

2

2

y

x

b

a

2

2x

a

by

Şekildeki taralı yüzeyin ağırlık merkezini hesaplayınız.

Örnek 82

A

S

A

dAx

xyA

i

.

A

S

A

dAy

y xA

i

.

1. Önce alan bulunur:

ax

dAA0

2. Sonra Sx ve Sy statik

momentleri hesaplanıp

alana bölünerek ağırlık

merkezi bulunur:

y

x

b

a

G

dA

dx

2

yyi

xxi

2

2x

a

by

ydxdA

dxxa

bdA 2

2 3

.

30 0

3

2

2

2

bax

a

bdxx

a

bA

ax a

Öncelikle küçük dikdörtgen parçanın dA alanı x=0, x=a arasında integre edilerek tüm

alan bulunur:

G

ax ax a

A

iy

bax

a

bdxx

a

bdxx

a

bxdAxS

0

2

0 0

4

2

3

2

2

2 44.

4

3

3

4

2

a

ab

ba

A

Sx

y

y

x

b

a

dA

dx

2

yyi

xxi

2

2x

a

by

x

ax ax a

A

ix

ab

a

xbdx

a

xbdxx

a

bydAyS

0

2

0 0

4

52

4

422

2 101022.

10

3

3

10

2

b

ab

ab

A

Sy x

y

x

b

a

G

dA

dx

2

yyi

xxi

2

2x

a

by

yy

y

x

b

a

2

2x

a

by 3

.baA

10

3by

4

3ax

y

x


y

x

b

a

2

21 xa

by

xa

by 2

Örnek 83

2

2

12

xa

bx

a

by

yyy

y

x

b

a

2

21 xa

by

xa

by 2

dx

y

dxydA .olur.

xxi

21

yyyi

xa

bx

a

by

xa

bx

a

bx

a

byyy

i

i

22

222

2

2

2

2

2

21

olur.

dxxa

bx

a

bdA

dxydA

)(

.

2

2

6

3232)

32(

)(

2

32

0

3

2

2

0

2

2

abA

baba

a

ba

a

bax

a

bx

a

bA

dxxa

bx

a

bA

a

ax

y

x

b

a

2

21 xa

by

xa

by 2

dx

y

dxydA .

xxi

2

yyi

aax

A

iya

bx

a

bxdxx

a

bx

a

bdAxS

00

2

433

2

2 )43

()(.

124343

222

2

43 baS

baba

a

ba

a

baS yy

ax

A

ix dxxa

bx

a

bx

a

bx

a

bdAyS

0

2

2

2

2))(

22(.

15106)

106(

2

4

25

2

3

0

4

52

2

3 abS

a

ba

a

ba

a

xb

a

bxS x

a

x

2

6

12

2

a

ab

ba

A

Sx

y

axax

x dxxa

bx

a

bdxx

a

bx

a

bx

a

bx

a

bS

0

4

4

22

2

2

0

3

3

22

2

24

4

23

3

2

)22

()2222

(

5

2

6

15

2

b

ab

ab

A

Sy x

y

x

b

a

2

21 xa

by

xa

by 2 6

.baA

5

2by

2

ax

y

x

x

y

y2=2x1/2


y1=x2/4 y

x

Örnek 84

dx

y

dxydA .

x

y

y2=2x1/2

y1=x2/4

dxx

xdA

dxydA

)4

2(

.

22/1

33.533.567.10)123

4(

)4

2(

4

0

32/3

4

0

22/1

xxA

dxx

xA

x

6.9166.25)165

4()

42(.

4

0

4

0

42/532/3

x

A

iy

xxdx

xxdAxS

8.133.5

6.9

A

Sx

y

xxi

4

0

2/542/54

0

22/12/1

2

)4

2324

()4

2)(8

(.

xx

A

ix dxx

xxx

dxx

xxx

dAyS

2/122

2/12

18

)8

(42

xxx

xxy

yyi dx

y

dxydA .

x

y

y2=2x1/2

y1=x2/4

xxi

dxx

xdA

dxydA

)4

2(

.

22/1

6.94.616)1602

2()

322(

4

0

524

0

4

xxdx

xxS

x

x

8.133.5

6.9

A

Sy x

my 8.1

mx 8.1

233.5 mA

KT 58

Yayılı Yükler

Bir çok durumda, cismin çok büyük bir yüzey alanı, rüzgarın, akışkanların

neden olduğu veya sadece cismin yüzeyi aracılığıyla taşınan malzeme ağırlığı

gibi yayılı yüklere maruz kalabilir.

Bu yüklerin yüzey üzerindeki her bir noktadaki şiddeti N/m2 birimi ile ölçülebilen

p basıncı olarak tanımlanır.

Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)

A B

M P1 P2

kiriş ekseni

- P1 ve P2 tekil kuvvetler

- M tekil moment

- Özel durumlar dışında; genel olarak tekil kuvvet ve momentler gerçekte

yoktur. Gerçekte kuvvetler, belli bir yüzey üzerinde veya bir hacim içinde

yayılıdır. Genelde kuvvetler; temas yüzeyine, ağırlık kuvvetleri ise hacme

yayılıdır.

- Kuvvetlerin yayılı olduğu yüzey veya hacim küçük ise; kuvvetler tekil kuvvet

olarak dikkate alınırlar. Ancak yüzey ve hacimler ihmal edilemeyecek kadar

büyük ise yayılı yükler dikkate alınmalıdır.

A

kiriş ekseni

L

B

Düzgün yayılı yük (örneğin;

duvar yükü, zati yük vb.)

A

kiriş ekseni

L

B

Düzgün yayılı üçgen yük

q (t/m; kg/cm...) q (t/m; kg/cm…)



A

kiriş ekseni

L

B

Düzgün yayılı trapez

(yamuk) yük

q2

q1

A

kiriş ekseni

L2

B

Değişken üçgen yayılı yük

(döşemeden kirişe aktarılan yük)

q

L

L1

Yukarıda gösterildiği gibi, kirişlere etkiyen yayılı yükler, kiriş eksenine dik yönde

uygulanan yüklerdir. Yayılı yükler yerine, şiddeti yayılı yüke eşit tekil (=konsantre) bir yük

yazılabilir. Bu yükler ve etkidiği yerler sonraki slaytta sunulmuştur.

A B

Düzgün yayılı yük (örneğin;

duvar yükü, zati yük vb.)

A B

Düzgün yayılı üçgen yük

q (t/m) q (t/m)


L/2

L

L/2

R=q.L (ton) R=q.L/2 (ton)

L/3

L

2L/3


A B

Trapez; dikdörtgen ve

üçgen olmak üzere 2

elemana ayrılır.

q2

q1

A

kiriş ekseni

L2

B

2 farklı üçgen tek-tek

dikkate alınır.

q

L

L1

R1=q1.L

R2=(q2-q1).L/2

L/2

L

L/2

L/3 2L/3 2L1/3

R1=q.L1/2 R2=q.L2/2

L1/3 2L2/3 L2/3

KT 64

Bileşke Kuvvetin Şiddeti

Şekilde gösterilen plak üzerindeki yükleme, sonsuz sayıda ve her biri plağın ayrı

bir diferansiyel alanına etkiyen bir paralel kuvvetler sistemidir. Bu kuvvetler

sistemi bir tek FR bileşke kuvvetine indirgenebilir.

Basınç yükü şiddetinin yönü yük şiddeti diyagramı üzerindeki oklarla belirtilir. Ve

birim alan başına kuvvet yerine, birim uzunluk başına kuvvet (N/m) olarak

gösterilir.

KT 65

Bileşke Kuvvetin Konumu

FR’nin etki çizgisinin x konumu, bileşke kuvvetin ve yayılı kuvvetin O

noktasına (y eksenine) göre momentleri eşitlenmek suretiyle belirlenebilir.

Basınç, y ekseni

boyunca düzgün

olduğundan

sadece x’in

fonksiyonudur.

KT 66

Buradan;

Yayılı yüke eşdeğer olan bileşke kuvvetin etki çizgisi, yayılı yükün oluşturduğu

alanın ağırlık merkezinden geçmektedir. Eşdeğer tekil kuvvet FR, ağırlık

merkezine etkitildiğinde yaratacağı etki (örn: mesnet kuvvetleri), yayılı yükün

yaratacağı mesnet tepkileri ile aynı olacaktır.

Şekildeki kirişin mesnet reaksiyonlarını

hesaplayınız.

A B

2 t/m

4m

6m

2m

3 t

4 tm

0 Fx

0 Fy

0 AM

+

+

+

Ay+By-3

t-(2t/m*6)=0 Ay + By = 15t

Ay By

Ax

Ax=0

-3t*2m-(2t/m*6)*3m-4tm+6*By=0 By = 7.67t ( )

Ay = 7.33t ( )

Çözüm:

Örnek 85

Şekildeki kirişin mesnet reaksiyonlarını hesaplayınız.

A B

6 t/m 4 t/m

6m 2m

2 t/m

Örnek 86

A B

6 t/m R1=4*6=24t

R2=(6-4)*6/2=6t

4 t/m

6m 2m

2 t/m

R3=2*2=4t

Ay

Ax

By

0 Fx

0 Fy

0 AM

+

+

+

Ax=0

Ay+By-(2t/m*2)-(4t/m*6)-(2t/m*6/2)=0 Ay + By = 34t

-4*1-24*(3+2)-6*(2+6*2/3)+8*By=0 By = 20t ( )

Ay = 14t ( )


A B

4m 4m

3 t/m

4 tm 2 tm

30o

6 t

1m 2m

Örnek 87

Ay

Ax

By

6*sin30=3t

6*cos30=5.20t

A B

4m 4m

3 t/m

4 tm 2 tm

30o

6 t

1m 2m

3t/m*4m=12t

0 Fx

+

Ax+5.20=0 Ax=-5.20t ( )

0 Fy

+

Ay+By-3-12=0 Ay + By = 15t

0 AM

+

2tm-4tm-3t*4m-12t*(5+2)m+11*By=0 By = 8.91t ( )

Ay = 6.09t ( )


A B

1m 2m

3 t/m 2 t/m

3m 2m

4 t

1 t

Örnek 88

0 Fx

+

1-Bx=0 Bx=1t ( )

A B

1m 2m

3 t/m 2 t/m

3m 2m

4 t

1 t

Ay

Bx

By

0 Fy

+

Ay+By-4-3-6=0 Ay + By = 13t

3t/m*2m=6t 2t/m*3m/2=3t

0 AM

+

4t*2m-3t*2m-6t*(4+1)m+6*By=0 By = 4.67t ( )

Ay = 8.33t ( )

Şekildeki kirişte verilen yayılı yükleri tek bir kuvvete indirgeyerek

mesnet reaksiyonlarını hesaplayınız.

A B

100 N/m

4m 6m

400 N/m

Örnek 89

A B

100 N/m

4m 6m

400 N/m

y

x

2

1 3

1x

2x

3x

F1=A1 F2=A2 F3=A3

Alan No Alan (m2)

1 100*6 6/2 1800 Nm

2 (1/2)*300*6 (2/3)*6 3600 Nm

3 (1/2)*400*4 6+(1/3)*4 5864 Nm

Toplam 2300 N 11264 Nm

)(

)(

)(

)(

3

3

mmAy

mmAx

mmy

mx

ii

ii

i

i )(NmAx ii

mx 9.42300

11264

FR= 2300 N

A B

Ay

Ax

By

mx 9.4

FR=2300N

Tablo yapmak şart değil hesapla

da aynı sonuç bulunur.

A B

Ay

Ax

By

mx 9.4

FR=2300N

0 Fx

+

Ax=0

0 Fy

+

Ay+1127-2300=0 Ay = 1173 N ( )

0 AM

+

-2300*4.9+By*10=0 By = 1127 N ( )

Kütle Merkezi ve Merkezler - DEUkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/7-_agirlik_merkezi-cev.pdf ·...

Documents

Transcript of Kütle Merkezi ve Merkezler - DEUkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/7-_agirlik_merkezi-cev.pdf ·...